高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.1
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1习题课 Word版含解析
§2.1 习题课一、选择题1．(1 22-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为( ) A.2B．－ 2C.22D．－222．化简3a－b3＋a－2b2的结果是( )A．3b－2a B．2a－3b C．b或2a－3b D．b3．若0<x<1，则2x，(12)x,0.2x之间的大小关系是( )A．2x<0.2x<(12)x B．2x<(12)x<0.2xC．(12)x<0.2x<2x D．0.2x<(12)x<2x4．若函数则f(－3)的值为( )A.18 B.12C．2D．85．函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b>0B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<06．函数f(x)＝4x＋12x的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称二、填空题7．计算：120.064-－(－14)0＋160.75＋120.01-＝___________________________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则3210m n-＝________.9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)1332⎛⎫⎪⎝⎭和2332⎛⎫⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3.11．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？§2.1 习题课作业设计1．C [原式＝122-＝12＝22.] 2．C [原式＝(a －b )＋|a －2b |＝⎩⎨⎧ b ， a ≤2b ，2a －3b ，a >2b .]3．D [当0<x <1时，2x >1，(12)x <1， 对于(12)x ，(0.2)x ，不妨令x ＝12， 则有0.5>0.2.] 4．A [f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.]5．D [f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象左右平移|b|个单位得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以0<a<1，由y＝a x过点(0,1)得知y＝a x的图象向左平移|b|个单位得f(x)的图象，所以b<0.]6．D [f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．]7.48 5＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485.8.8 39．[－8，2 3 ]解析因为y＝3x是R上的单调增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈[－9，－13]，所以y＝1－3x∈[－8，23]．10．解(1)考查函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考查函数y＝(2)x.因为2>1，所以函数y＝(2)x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考查函数y＝(32)x.因为32>1，所以函数y＝(32)x在实数集R上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫⎪⎝⎭<2332⎛⎫⎪⎝⎭.(4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1，∴π－2<(13)－1.3.11．解(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a2－a＝a 2，即a＝32或a＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，∴a－a2＝a2，即a＝12或a＝0(舍去)．综上所述，所求a的值为12或32.12．解∵f(x)＝aa2－1(a x－1a x)，∴函数定义域为R，设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，∴当a>1时，ax1<ax2，aa2－1>0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，f(x)为增函数，当0<a<1时，，aa2－1<0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)为增函数，综上，f(x)在R上为增函数．13.解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ)章章末检测B pdf版含解析
是( )
A．f(－4)>f(1)
B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)<f(1)
D．不能确定
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知函数 f(x)＝Error!，则 f(2＋log23)的值为______． 3－x
14．函数 f(x)＝loga3＋x(a>0 且 a≠1)，f(2)＝3，则 f(－2)的值为________． 15．函数 y＝ log1 (x2 3x 2) 的单调递增区间为______________．
11 ∴(2)3.1<(1.5)3.1<23.1，故选 D.]
log232 2 7．A [∵log89＝log223＝3log23，
2 ∴原式＝3.] 8．B [∵ab>0，∴a、b 同号．
当 a、b 同小于 0 时①②不成立；
当 ab＝1 时④不成立，故只有③对．] x＋3
9．C [y＝lg 10 ＝lg(x＋3)－1，
∴M∩N＝{x|0≤x<4}．] 2．B [当 x＝0 时，ymin＝30－1＝0， 当 x＝2 时，ymax＝32－1＝8， 故值域为[0,8]．]
9x＋1
3．D [由 f(3x)＝log2 2 ，
3x＋1
1
得 f(x)＝log2 2 ，f(1)＝log2 2＝2.]
4．B [ 21log2 5 ＝2· 2log2 5 ＝2×5＝10.]
即 y＋1＝lg(x＋3)．故选 C.] 10．D [分别作出 y＝2x 与 y＝x2 的图象．
知有一个 x<0 的交点，另外，x＝2，x＝4 时也相交，故选 D.]
11．B [∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令 f(x)>0，得 x>2.又 f(x)为偶函数且 f(x－2)>
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.3 Word版含解析
§2.3 幂函数一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝x B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－12．幂函数f(x)的图象过点(4，12)，那么f(8)的值为( )A.24B．64C．22D.1 643．下列是y＝23x的图象的是( )4．图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－125．设a＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )A．0B．2C．3D．4二、填空题7．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．8．函数y＝12x＋x－1的定义域是____________．9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．三、解答题10．比较1.121、121.4、131.1的大小，并说明理由．11．如图，幂函数y ＝x3m －7(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．能力提升12．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．13．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．§2.3 幂函数作业设计1．C [根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数．]2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，12＝4α，即22α＝2－1，∴α＝－1 2 .∴幂函数为y＝12x-，∴f(8)＝128-＝18＝122＝24.]3．B [y＝23x＝3x2，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝3－x2＝3x2＝f(x)，即y＝23x是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．]4．B [作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝25x在x>0时是增函数，所以a>c；y＝(25)x在x>0时是减函数，所以c>b.]6．B [因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f(x)＝1>|x|；当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]7．④解析当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．8．(0，＋∞)解析y＝12x的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．9．m<－3 2解析 由幂函数的性质知－2m －3>0， 故m <－32.10．解 考查函数y ＝1.1x ，∵1.1>1， ∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵12>13，∴121.1>131.1.再考查函数y ＝12x ，∵12>0，∴它在(0，＋∞)上是增函数． 又∵1.4>1.1，∴121.4>121.1， ∴121.4>121.1>131.1.11．解 由题意，得3m －7<0. ∴m <73.∵m ∈N ，∴m ＝0,1或2， ∵幂函数的图象关于y 轴对称， ∴3m －7为偶数． ∵m ＝0时，3m －7＝－7，m ＝1时，3m －7＝－4， m ＝2时，3m －7＝－1.故当m ＝1时，y ＝x －4符合题意．即y ＝x －4. 12．解 (1)若f (x )为正比例函数， 则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数， 则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1± 2.13．解 设f (x )＝x α，则由题意，得 2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2. 设g (x )＝x β，由题意，得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2.在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ)章章末检测B Word版含解析
章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x －4的值域为N ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．[0,4)D ．[0，＋∞)2．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为() A ．[2,8] B ．[0,8]C ．[1,8]D ．[－1,8]3．已知f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)的值为( )A ．1B ．2C ．－1 D.124．21log 52 等于( )A ．7B ．10C ．6 D.925．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．36．比较13.11.5、23.1、13.12的大小关系是( )A ．23.1<13.12<13.11.5B ．13.11.5<23.1<13.12C ．13.11.5<13.12<23.1D ．13.12<13.11.5<23.17．式子log 89log 23的值为( )A.23 B.32C ．2D ．38．已知ab >0，下面四个等式中：①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；②lg a b ＝lg a －lg b ；③12lg(a b )2＝lg a b ；④lg(ab )＝1log ab 10. 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}12．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (12)x ， x ≥4f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为______．14．函数f (x )＝log a 3－x 3＋x(a >0且a ≠1)，f (2)＝3，则f (－2)的值为________． 15．函数y ＝212log (32)x x -+的单调递增区间为______________．16．设0≤x ≤2，则函数y ＝124x -－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的反函数g (x )的解析式；(2)解不等式：g (x )≤log a (2－3x )．18．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．19．(12分)已知x>1且x≠43，f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，试比较f(x)与g(x)的大小．20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，14≤x≤4，(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．21．(12分)已知f(x)＝log a 1＋x1－x(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．章末检测(B)1．C [由题意，得M ＝{x |x <4}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝{x |0≤x <4}．]2．B [当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0,8]．]3．D [由f (3x )＝log 29x ＋12， 得f (x )＝log 23x ＋12，f (1)＝log 22＝12.]4．B [21log 52 ＝2·2log 52＝2×5＝10.]5．B [由100a ＝5，得2a ＝lg5，由10b ＝2，得b ＝lg2，∴2a ＋b ＝lg5＋lg2＝1.] 6．D [∵13.11.5＝1.5－3.1＝(11.5)3.1，13.12＝2－3.1＝(12)3.1，又幂函数y ＝x 3.1在(0，＋∞)上是增函数，12<11.5<2，∴(12)3.1<(11.5)3.1<23.1，故选D.]7．A [∵log 89＝log 232log 223＝23log 23， ∴原式＝23.]8．B [∵ab >0，∴a 、b 同号．当a 、b 同小于0时①②不成立；当ab ＝1时④不成立，故只有③对．]9．C [y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，即y ＋1＝lg(x ＋3)．故选C.]10．D [分别作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象．知有一个x <0的交点，另外，x ＝2，x ＝4时也相交，故选D.]11．B [∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )>0，得x >2.又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，∴f (|x －2|)>0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0.]12．A [由f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a >1，而f (－4)＝a |－4＋1|＝a 3，f (1)＝a |1＋1|＝a 2，∵a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．]13.124解析 ∵log 23∈(1,2)，∴3<2＋log 23<4，则f (2＋log 23)＝f (3＋log 23) ＝23log 312+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)3·12log 32-＝18×13＝124.14．－3解析 ∵3－x 3＋x>0，∴－3<x <3 ∴f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝log a 3＋x3－x ＝－log a 3－x3＋x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．∴f (－2)＝－f (2)＝－3.15．(－∞，1)解析 函数的定义域为{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x >2或x <1}，令u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝12log u 是减函数，所以u ＝x 2－3x ＋2的减区间为函数y ＝()212log 32x x -+的增区间，由于二次函数u ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32，所以(－∞，1)为函数y 的递增区间．16.52 12解析 y ＝124x -－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，x ∈[0,2]，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×(1－3)2＋12＝52.17．解 (1)指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (x )的反函数g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．(2)∵g (x )≤log a (2－3x )，∴log a x ≤log a (2－3x )若a >1，则⎩⎨⎧ x >02－3x >0x ≤2－3x ，解得0<x ≤12，若0<a <1，则⎩⎨⎧ x >02－3x >0x ≥2－3x ，解得12≤x <23，综上所述，a >1时，不等式解集为(0，12]；0<a <1时，不等式解集为[12，23)．18．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]，故y ＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]，故值域为[－98，0]．(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，解为x ＝－1<0，不成立；当a <0时，开口向下，对称轴x ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立；当a >0时，开口向上，对称轴x ＝14a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．故a 的取值范围为(0，＋∞)．19．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1<x <43时，34x <1，∴log x 34x <0；当x >43时，34x >1，∴log x 34x >0.即当1<x <43时，f (x )<g (x )； 当x >43时，f (x )>g (x )．20．解 (1)∵t ＝log 2x ，14≤x ≤4，∴log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 24＋log 2x )(log 22＋log 2x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，∴令t ＝log 2x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，∴当t ＝－32即log 2x ＝－32，x ＝322-时，f (x )min ＝－14.当t ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝12.21．解 (1)由对数函数的定义知1＋x 1－x>0， 故f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x 1－x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)(ⅰ)对a >1，log a 1＋x 1－x >0等价于1＋x 1－x>1，① 而从(1)知1－x >0，故①等价于1＋x >1－x 又等价于x >0. 故对a >1，当x ∈(0,1)时有f (x )>0.(ⅱ)对0<a <1，log a 1＋x 1－x >0等价于0<1＋x 1－x <1，② 而从(1)知1－x >0，故②等价于－1<x <0.故对0<a <1，当x ∈(－1,0)时有f (x )>0.综上，a >1时，x 的取值范围为(0,1)；0<a <1时，x 的取值范围为(－1,0)．22．解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0， 即b －12＋2＝0⇒b ＝1.∴f (x )＝1－2x2＋2x ＋1. (2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 设x 1<x 2则f (x 1)－f (x 2)＝12112121x x -++＝()()2112222121x x x x -++.因为函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴22x－12x>0.又(12x＋1)(22x＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2. 即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3.。
高一数学必修一配套课时作业：第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.1Word版含解析
4b 3 2 3 ab a3
2x－ xy
13．若 x>0，y>0，且 x－
xy－2y＝ 0，求 y＋2
的值． xy
n 1.
an与 (
n
a)n
的区别
(1) n an是实数 an 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶性限制，
a∈R，但这个式子的值受 n 的奇偶性限制：当 n 为大于 1 的奇数时， n an＝a；
[2，
7 3)∪
(73，＋
∞
)，∴③不正确；
④中，∵ 100a＝5,10b＝2，
当 n 为大于 1 的偶数时， n an＝|a|.
(2)( n a)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中实数 a 的取值由 n 的奇偶性决定：
当 n 为大于 1 的奇数时， ( n a)n＝ a，a∈R；当 n 为大于 1 的偶数时， ( n a)n＝a，
a≥0，由此看只要
n (
a)n 有意义，其值恒等于
11
1
1
(4)a±2 a 2 b 2 ＋b＝( a 2 ±b 2 )2(a>0，b>0)；
1
1
1
1
(5)( a 2 ＋ b 2 )( a2 － b2 )＝a－ b(a>0，b>0)．
第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
§2.1 指数函数 2． 1.1 指数与指数幂的运算
知识梳理 1．xn＝ a(n>1，且 n∈ N*) 2.根式 根指数 被开方数
a，即 ( n a)n＝ a.
2．有理指数幂运算的一般思路
化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的
运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.2(二)
2．2.2对数函数及其性质(二)课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．1．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值是()A．5B.1 5C.1e D.122．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2和y＝(x)2B．|y|＝|x|和y3＝x3C．y＝log a x2和y＝2log a xD．y＝x和y＝log a a x3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(12log x)的定义域是()A．[12，1] B．[4,16]C．[116，14] D．[2,4]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)5．函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A ．[－1,1]B ．[12，2] C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．b B ．－b C.1b D ．－1b6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1) D ．y ＝13log x (13≤x <1)题 号 1 2 3 4 5 6二、填空题7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________． 9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22010)的值等于()A．4B．8C．16D．2log4813．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．1．在对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，底数a 对其图象的影响无论a 取何值，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．2.2 对数函数及其性质(二)双基演练 1．A2．D [y ＝log a a x ＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．] 3．C [由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14.]4．A [∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.] 5．2解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．(3,1)解析 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a >0且a ≠1，都有y ＝1. 作业设计1．D [因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c .]2．D [∵－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2. ∴y ＝f (x )的定义域为[12，2] 即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.]3．C [∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)．]4．B [函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.] 5．B [f (－x )＝lg1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数， 故f (－a )＝－f (a )＝－b .]6．C [由y ＝3x (－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)， 故选C.] 7．b ≤1解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1. 又2x ≥2，∴b ≤1. 8．[12，1)∪(1,2]解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1，∴log a x >1或log a x <－1， 变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1a当x ＝2时，令|y |＝1， 则有log a 2＝1或log a 2＝－1， ∴a ＝2或a ＝12. 要使x >2时，|y |>1.如图所示，a 的取值范围为1<a ≤2或12≤a <1. 9．(0,1)∪(2，＋∞)解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2<2，得0<a <2，所以0<a <1；若a >1，由于y ＝log a x 是增函数， 则a 2>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2.10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0， 故3－2a >0，即a <32.综上可得，a 的取值范围是1<a <32.11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax ， 解得a ＝－1或a ＝1(舍)． (2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋xx －1＋12log (x －1)＝log(1＋x)，12当x>1时，log(1＋x)<－1，12∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，12∴m≥－1.12．C[∵f(x1x2…x2010)＝log a(x1x2…x2010)＝8，f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22010)＝log a(x21x22…x22010)＝2log a(x1x2…x2010)＝2×8＝16.]13．解数形结合可得0<n<m<1或1<n<m或0<m<1<n.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ)章末检测A Word版含解析
章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是( ) A .2a －1 B ．－2a －1 C .1－2aD ．－1－2a2．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( ) A ．[0，53) B ．[0，53] C ．[1，53)D ．[1，53]3．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞)4．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是( ) A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．985．若a>1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a)x 2的图象可能是下列四个选项中的( )6．下列函数中值域是(1，＋∞)的是( ) A ．y ＝(13)|x －1|B ．y ＝34x -C ．y ＝(14)x ＋3(12)x ＋1 D ．y ＝log 3(x 2－2x ＋4)7．若0<a<1，在区间(－1,0)上函数f(x)＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f(x)>0 B ．增函数且f(x)<0 C ．减函数且f(x)>0 D ．减函数且f(x)<08．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x ，x>02x ，x ≤0，则f(f(19))等于( )A ．4B .14C ．－4D ．－149．右图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( )A ．m<0，n>1B ．m>0，n>1C ．m>0,0<n<1D ．m<0,0<n<110．下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44<log 0.46 B ．1.013.4>1.013.5 C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 6711．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M ∩N ＝∅12．设偶函数f(x)＝log a |x ＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b －2)与f(a ＋1)的大小关系为( )A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.log 34log 98＝________.14．函数f(x)＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________． 15．设log a 34<1，则实数a 的取值范围是________________．16．如果函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)计算：(－3)0－120＋(－2)－2－1416-； (2)已知a ＝12，b ＝132， 求[23a -()()122123b ab a ----]2的值．18．(12分)(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值； (2)计算：log 49－log 212＋5lg210-.19．(12分)设函数f(x)＝2x＋a2x－1(a为实数)．(1)当a＝0时，若函数y＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式；(2)当a<0时，求关于x的方程f(x)＝0在实数集R上的解．20．(12分)已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．21．(12分)已知－3≤12log x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．22．(12分)已知常数a 、b 满足a >1>b >0，若f (x )＝lg(a x －b x )． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)证明y ＝f (x )在定义域内是增函数；(3)若f (x )恰在(1，＋∞)内取正值，且f (2)＝lg2，求a 、b 的值．章末检测(A)1．C [∵a <12，∴2a －1<0.于是，原式＝4(1－2a )2＝1－2a .]2．C[由函数的解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53.所以1≤x <53.]3．C [∵x ≥1，∴x 2＋3≥4， ∴log 2(x 2＋3)≥2，则有y ≥4.]4．B [由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ， 则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.] 5．C [∵a >1，∴y ＝a x 在R 上是增函数，又1－a <0，所以y ＝(1－a )x 2的图象为开口向下的抛物线．] 6．C [A 选项中，∵|x －1|≥0，∴0<y ≤1； B 选项中，y ＝341x＝14x 3，∴y >0；C 选项中y ＝[(12)x ]2＋3(12)x ＋1，∵(12)x >0，∴y >1； D 选项中y ＝log 3[(x －1)2＋3]≥1.]7．C [当－1<x <0，即0<x ＋1<1，且0<a <1时，有f (x )>0，排除B 、D.设u ＝x ＋1，则u 在(－1,0)上是增函数，且y ＝log a u 在(0，＋∞)上是减函数，故f (x )在(－1,0)上是减函数．]8．B [根据分段函数可得f (19)＝log 319＝－2，则f(f(19))＝f(－2)＝2－2＝14.]9．D[当x＝1时，y＝m，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以0<n<1.] 10．D[A选项中由于y＝log0.4x在(0，＋∞)单调递减，所以log0.44>log0.46；B选项中函数y＝1.01x在R上是增函数，所以1.013.4<1.013.5；C选项中由于函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以3.50.3>3.40.3；D选项中log76<1，log67>1，故D正确．]11．B[由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，解得2x＝4或2x＝12，即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有M N.]12．C[∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝log a|x|.当a>1时，函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上是增函数，∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；当0<a<1时，函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．综上可知f(b－2)<f(a＋1)．]13.4 3解析原式＝lg4 lg3 lg8lg9＝lg4lg3×lg9lg8＝2lg2×2lg3lg3×3lg2＝43.14．(1,4)解析由于函数y＝a x恒过(0,1)，而y＝a x－1＋3的图象可看作由y＝a x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．15．(0，34)∪(1，＋∞)解析当a>1时，log a 34<0<1，满足条件；当0<a<1时，log a34<1＝log a a，得0<a<3 4.故a>1或0<a<34.16．(1,2)解析当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝log a x在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为log a2，所以log a2>1＝log a a，所以1<a<2.17．解(1)原式＝1－0＋1(－2)2－()1442-＝1＋14－2－1＝1＋14－12＝34.(2)因为a＝12，b＝132，所以原式＝23128114 2233a b a b--+-+⎛⎫=⎪⎝⎭＝8414413333222221 ----⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．解(1)∵log a2＝m，log a3＝n，∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12. (2)原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg 510＝log 23－log 23－2＋25＝－85.19．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －1， 由已知g (－x )＝－g (x )，则当x <0时，g (x )＝－g (－x )＝－f (－x )＝－(2－x －1) ＝－(12)x ＋1，由于g (x )为奇函数，故知x ＝0时，g (x )＝0，∴g (x )＝⎩⎨⎧2x －1， x ≥0－(12)x＋1，x <0.(2)f (x )＝0，即2x ＋a2x －1＝0，整理， 得：(2x )2－2x ＋a ＝0， 所以2x＝1±1－4a2，又a <0，所以1－4a >1，所以2x＝1＋1－4a2， 从而x ＝log 21＋1－4a2. 20．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)f (－x )＝log a－x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1 ＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)， 函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减． 所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减； 当0<a <1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．21．解 ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝(log 2x －32)2－14，∵－3≤12log x ≤－32.∴32≤log 2x ≤3.∴当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )有最小值－14；当log 2x ＝3，即x ＝8时，f (x )有最大值2.22．(1)解 ∵a x －b x >0，∴a x >b x，∴(a b )x >1.∵a >1>b >0，∴a b >1.∴y ＝(a b )x 在R 上递增．∵(a b )x >(a b )0，∴x >0.∴f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)证明 设x 1>x 2>0，∵a >1>b >0， ∴1x a >2x a >1,0<1x b <2x b <1.∴－1x b >－2x b >－1.∴1x a －1x b >2x a －2x b >0. 又∵y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴lg(1x a －1x b )>lg(2x a －2x b )，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在定义域内是增函数．(3)解 由(2)得，f (x )在定义域内为增函数， 又恰在(1，＋∞)内取正值，∴f (1)＝0.又f (2)＝lg2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lg (a －b )＝0，lg (a 2－b 2)＝lg2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，a 2－b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12.。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.1 Word版含解析
第二章基本初等函数(Ⅰ)§2.1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．如果____________________，那么x叫做a的n次方根．2．式子na叫做________，这里n叫做__________，a叫做____________．3．(1)n∈N*时，(na)n＝____.(2)n为正奇数时，na n＝____；n为正偶数时，na n＝______.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna ＝_______________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________．5．有理数指数幂的运算性质：(1)a r a s＝______(a>0，r、s∈Q)；(2)(a r)s＝______(a>0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中正确的是() A．①③④B．②③④C．②③D．③④2．若2<a<3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是()A．5－2a B．2a－5 C．1D．－13．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是()A．(－12)－1B．122-C．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D．2－14．化简3a a的结果是()A．a B．1 2 aC．a2D．1 3 a5．下列各式成立的是()A.3m2＋n2＝()23m n+B．(ba)2＝12a12bC.6(－3)2＝()133- D.34＝1326．下列结论中，正确的个数是() ①当a<0时，()322a＝a3；②na n＝|a|(n>0)；③函数y＝()122x-－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0B ．1 C ．2D ．3二、填空题 7.614－3338＋30.125的值为________．8．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a+＝________.9．若x >0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________. 三、解答题 10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)；(2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238-.11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．能力提升 12．化简：4133223384a a b b a-+÷(1－23b a )×3a .13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值．第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算知识梳理1．x n ＝a(n>1，且n ∈N *) 2.根式 根指数 被开方数 3．(1)a (2)a |a | 4.(1)na m (2)1a m n (3)0 没有意义5．(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r 作业设计1．D [①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2； ②错，416＝2，而±416＝±2.] 2．C [原式＝|2－a |＋|3－a |， ∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1.]3．C [∵(－12)－1＝－2,122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12，∵2>22>12>－2，∴1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.] 4．B [12a =.]5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A 选项错；(b a )2＝b 2a 2，B 选项错；6(－3)2>0，()133-<0，C 选项错．故选D.]6．B [①中，当a <0时，()()3312222a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦＝(－a )3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确； ③中，有⎩⎨⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确； ④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10.∴2a ＋b ＝1.④正确．] 7.32解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22y x a+＝(a x )2·()12y a＝32·125＝9 5. 9．－23解析 原式＝412x －33－412x ＋4＝－23.10．解 (1)原式＝()()11132122xy xyxy -⎡⎤⎢⎥⎣⎦·(xy )－1＝13x ·2111136622y x yxy---＝13x ·13x-＝⎩⎨⎧1， x >0－1，x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22 ＝22－3.11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4. ∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2 (－3<x <1)－4(1≤x <3).12．解 原式＝()111333212133338242aa b a b b a aa--÷++×13a13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。
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第2课时对数的运算
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)log a(M·N)＝____________________；
(2)log a M
N＝____________________；
(3)log a M n＝__________(n∈R)．2．对数换底公式
log a b＝log c b
log c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：log a b·log b a＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()
A．log a x·log a y＝log a(x＋y)
B．(log a x)n＝n log a x
C.log a x
n＝log a
n
x
D.log a x
log a y＝log a x－log a y
2．计算：log916·log881的值为()
A．18B.1
18C.
8
3D.
3
8
3．若log 51
3·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9B.19C ．25D.125
4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1
b ＝2，则A 等于( ) A ．15B.15 C ．±15D ．225
5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于( ) A.a b －1B.32(b －1)
C.
3a
2(b ＋1)
D.3(a －1)2b
6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a
b )2的值等于( ) A ．2B.12C ．4D.1
4
二、填空题
7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷4
25＝_____________________________________. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝2
3lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题
10．(1)计算：lg 12－lg 5
8＋lg12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1
b 的值．
11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组．()
A．二B．四
C．五D．七
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的
75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的1
3？(结果保留1位有效数
字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
1．在运算过程中避免出现以下错误：log a(MN)＝log a M·log a N.
log a M
N＝
log a M
log a N.
log a N n＝(log a N)n.
log a M±log a N＝log a(M±N)．
2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：
知识梳理
1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C
2．C [log 916·log 881＝lg16lg9·lg81lg8＝4lg22lg3·
4lg33lg2＝8
3.] 3．D [由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lg x
lg6＝2，
lg x ＝－2lg5，x ＝5－2＝1
25.] 4．B [∵3a ＝5b ＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A .
由1a ＋1
b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.]
5．C [∵log 89＝a ，∴lg9
lg8＝a . ∴log 23＝3
2a .
lg3＝log 23log 2
10＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1).]
6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2， lg a lg b ＝1
2.
于是(lg a
b )2＝(lg a －lg b )2
＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×1
2＝2.] 7.6
5－3
解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(
3
254
25
－
125425
)
＝2log 5(10×0.5)＋213132
22
5
5---
＝2＋16
5－5＝6
5－3. 8．1
解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. 9．1000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2
E 1
＝3.
∴E 2
E 1
＝103＝1000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg 12－lg 5
8＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg33lg2·2lg2lg3＝1－43＝－13. 方法二 lg 12－lg 5
8＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·
lg4lg3
＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－2lg33lg2·2lg2
lg3 ＝(lg2＋lg5)－43＝1－43＝－1
3.
(2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1
b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 方法二 因为3a ＝4b
＝36，所以136a ＝3,136b
＝4，
所以(136a
)2
·
136b
＝32×4， 即2136
a b
+＝36，故2a ＋1
b ＝1.
11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1
2.
又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b )
＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2
lg a ·
lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b
lg a ·lg b
＝2×22－2×1
2
12
＝12，
即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.
12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ， 将已知表格转化为下表：
∵lg2＋lg5＝0.30103＋0.69897＝1，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg8＝3lg2＝3×0.30103＝0.90309，
∴第五组对应值正确．
∵lg12＝lg2＋lg6＝0.30103＋0.77815＝1.07918，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．]
13．解设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得1
3＝0.75
x，即x＝
lg
1
3
lg0.75
＝
－lg3
lg3－lg4
＝
lg3
2lg2－lg3
＝
0.4771
2×0.3010－0.4771
≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3.。