14-18北清自招博雅领军数学不知如何分类的题目
北大自招2016.7. 设n a
的整数，若112016n
k k a ==∑，求n =________。
7.【解答】1017072
设n a k =
，那么有12k <，即22
2211122k n k k k n k k ⎛⎫⎛⎫-<<+⇒-+≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭。
这就是恰有2n 个数等于k 。
故所求10081
210081009i n i ===⨯∑。
北大自招2016. 17. 54张扑克牌，排成一排，先去掉第一张，将第二张放到最后，再去掉第三张，第四张放到最后，依此类推，问最后剩下的是原先的第几张牌
____________。
17.【解答】44
每⼀轮剩下的牌依次是
2; 4; 6; · · · ; 52; 54;
4; 8; 12; · · · ; 48; 52;
4; 12; 20; · · · ; 44; 52;
12; 28; 44;
12; 44;
44。
2017.2北大特优8. 已知集合A 为非空实数集，B ，C 为A 的非空真子集。
已知A ，B ，C 对于加减法和数乘运算封闭（集合A 关于加减法和数乘运算封闭的定义为：,a b A Q λ∀∈∈，，均有a +b ∈A ，a A λ∈）。
证明：存在a A ∈，而a B C ∉⋃。
8.【解答】如下
利用反证法，假设对于任意的a A ∈，均有a B C ∈⋃，即a B ∈或a C ∈成立。
①若BC 中有一个是另一的子集：不妨设B C ⊆，则反证法假设的结论等价于：对任意的a A ∈，均有a C ∈成立。
于是A C ⊆，这是C 是A 的非空真子集矛盾。
②如果BC 均不是对方的子集，则b B ∃∈，b C ∉；c C ∃∈，c B ∉。
考虑b +c 这个元素，根据反证法假设，它一定属于B 或C 。
不妨设b +c B ∈，由于B 对于减法封闭，我们得到c =(b +c )-b B ∈，矛盾。
【评析】此题的背景是抽象代数理论中关于群、环、域的定义。
逻辑推导并不复杂，但注意把逻辑理顺。
2017.1清华标测17. 甲乙丙丁四个人背后有四个号码。
赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号。
他们每个人都说对了一半，问丙是几号( )
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
17.【解答】C
考虑乙。
乙是3号时，根据钱同学，丙是2号。
根据孙同学的话，丁是2号，矛盾。
当乙不是3号时，根据赵同学，甲是2号，根据李同学的话，丁是1号。
所以丙是3号，乙是4号满足条件。
【评析】逻辑推理题，其实也只有两种情况，一一验证即可。
2017.1清华标测29. 若存在满足下列三个条件的集合A ,B ,C ，则称偶数n 为“萌数”：
(1)集合A ,B ,C 为集合M ={1,2,…,n }的3个非空子集，且A ,B ,C 两两交集为空集，A B C M ⋃⋃=;
(2)集合A 中所有数为奇数，集合B 中所有数为偶数，所有3的倍数都在集合C 中；
(3)集合A ,B ,C 中所有数的和分别记为S 1,S 2,S 3, S 1=S 2=S 3
下列说法正确的是（ ）
A. 8是“萌数”
B. 60是“萌数”
C. 68是“萌数”
D. 80是“萌数”
29.【解答】ACD
集合M 中所有元素的和为22
M n n S +=，考虑3|M S ，于是()
*6,62n k k k N =+∈，当6n k =时，集合M 中所有3的倍数之和大于13M S ，集合C 中元素之和大于13M S ，不符
当62n k =+时，218153M S k k =++，其中3的倍数和为263k k +，而所有奇数的和为2961k k ++，所有偶数的和为2992k k ++，那么只需要找若干和为k 的奇数，若干和为k+1的偶数放入C 集合中，所以k 为奇数，124n l =-形式的数是必要条件，通过验证A 、C 、D 三个选项，进行构造。
A: 5、7；4、8；1、2、3、6
C: 11k =，将奇数11，偶数4,8和3的倍数一起放入集合C 中
D: 13k =，将奇数13，偶数4,10和3的倍数一起放入集合C 中
【评析】组合题目，根据条件自然想到去估算集合C 来确定一个数是“萌数”所需要满足的条件。
2017.1清华标测33. 已知实数x ,y 满足()()()()()()
2222161161x y x y y x y x ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩，则（ ） A. 22
551222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. x =y C. 有3组解（x ,y ） D. 有4组解(x ,y )
33.【解答】AB
原方程组为22560560
y x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相加得到选项A ；两式相减得了()()50x y x y -++=，而直线50x y ++=与圆22
551222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相离，当0x y -=时，解得()()(),2,2,3,3x y =。
所以选项B 正确，C 、D 错误。
2017.4清华标测3. {1,2,...,25},S A S =⊆，且A 的所有子集中元素之和不同。
则下列选项正确的有（ ） A. max 6A = B. max 7A =
C. 若5
12345113{,,,,},2i i A a a a a a a ==<∑则 D. 若51234511{,,,,},2i i A a a a a a a ==<∑则 3.【解答】AD.
一方面，取A={25,24,23,21,18,13}，是一个满足题意的构造，6A =。
另一方面，若7A =，则A 的全体非空子集个数为721127-=个。
而设A={a 1,a 2,…,a 7}，其中a 1>a 2>…>a 7。
考虑A 中的小于等于4元的非空子集，其有43217777353521798C C C C +++=+++=个。
而A 中小于等于4元的非空子集的元素和一定在[a 7，a 1+a 2+a 3+a 4]中，至多有a 1+a 2+a 3+a 4-a 7+1≤a 1+a 2+a 3+a 42524232294≤+++=种，与所有子集元素之和不同矛盾!故max 6A =。
对于CD ，容易验证1,2,4,8,16是使得5
11i i a =∑最大的取值，且513122i i a =<<∑。
故D 正确。
【评析】标准的组合构造题目。
对于此类题目，学会构造是很关键的。
一般而言，当你构造出6个的解答，发现7个给不出来后，完全可以直接猜出A 而不去证明；上述答案的证明已经达到竞赛中等水平了。
而CD 用二进制的思想很容易想到，不再赘述。
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
14-18年北清自招博雅领军数学真题-数论基础与整除
北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数，且1234n n n n+++的个位数字为0，则满足条件的正整数n的个数为（）A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r，使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点，则n可以等于（）A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈，且1()7f x>的x的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=，则a b c d+++有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)，于是a+b+c+d不是质数即可。
如301=7×43=(1+6)×(1+42)，于是a=1，b=252，c=42，d=6即得正确答案是B。
【评析】数论不定方程问题，其中的换元方法是数论中的经典。
北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=，则使得10n| abc的最大正整数n是（）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。
2018年清华北大自招真题
值为（ ）
A. 63
B. 1009
C. 2018
D. 前三个答案都不
对
【解答】D
【考点】数列问题以及基本不等式的应用
【解析】令 x = k + r(k Z且0 k n −1, 0 r 1) ，当 k = 0 时 x[x] = 0 ； k 1时，则
k2 x[x] = (k + r)k k 2 + k ， x[x] 有 k 个取值；
x2 − 2a x − a − 2ax +1 = 0 (x − a)2 − 2a x − a +1− a2 = 0 ( x − a − a)2 = 2a2 −1
，
2a2
−1
0
x − a = a
2a2 −1 0
2a2
−1
，要使原方程有三个互不相等实根，则
a
2019 2018
−1=
2018
，
−a1
+
a2
−
a3
+
... −
a2017
+
a2018
=
(1−
1)(1− 1
1 )(1 − 2
1)...(1− 3
1) 2018
−1
=
−1
，
两式相加即得
a2
+
a4
+ ... +
a2018
=
2018 −1 2
=
2017 2
.
6. 已知实数 A,b,c 成公差非 0 的等差数列，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（-3， 2），点 N 的坐标为（2，3），过点 P 作直线 Ax+by+c=0 的垂线，垂足为点 M，则 M,N 间的 距离的最大值与最小值的乘积是（ ）
清华大学2018自主招生、领军计划笔试真题.doc
清华大学2018自主招生、领军计划笔试真
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清华大学2018自主招生、领军计划笔试真题
清华大学2018年自主招生及领军计划笔试真题，供2019及2020届考生参考学习。
6月10日，清华大学2018年自主招生考试全面启动，2018年清华大学自主招生、领军计划依然在全国设置多个考点，考生可就近选择。
自主招生测试为初试和复试。
一、笔试时间
初试时间为6月10日上午9:00-12:00，共3个小时。
二、笔试模式
初试采用笔试形式，理科类：数学、物理、化学;文科类：数学、语文、历史。
清华理科笔试都是选择，共75题，数学35道题，物理20道，化学20道。
时间是数学90分钟，理化90分钟。
三、笔试难度
题目比高考难多了，这是真正看“水平”的。
基本是对学竞赛的有优势。
尤其理化有大学内容，没学竞赛的，有很多题可
能“看不懂”!
数学尚可，物理很难，全是大学知识，化学有些简单题。
四、笔试真题
化学：涉及空气污染的比较多，还有大学的有机化学，如：哪些气体会导致空气污染，测出其中含量?地球的臭氧含量以及造成大气污染的元素?化学有一道是高考原题。
物理：涉及热力学知识点是“理想气体”，难度偏大。
清华大学自主招生数学试题解析
• 1・2017年清华大学自主招生暨领军计划试题解析已知-•根绳子放在数轴的[0・斗」区阳丄二线密度二皿-护.求绳子的质屋- 解答加解答 件先冇cos 単十 i iin 4?5二(cos 警cos 夸一 sin 警sin 弩: 二 cos + isin再I ] i 归纳法，可得3 警+ Tn 警,1 E.世到 ttJ -' = 1,则 cw 1 — w -' TW " - C4J _'：7W + ru _l —2 COS 〒 T tv ' + ⑴ 二 2cCrS 号.战/(tw )/(a/ )f( OJ ? )/(oi 1)/(w)/(w _1 )/(w 2 )/(«"*)(4?十 W 十 2)(^~2十 J 十 2)(^ 十 y + 2)(W _1 + 胪 + 2) (1 十洞十2^ + w -] + 1 + 2M + 2w a 十 2w l + 4)(1 十 4 2^ + OJ -2 + 1 + 2^ + 2^ + 2M _r + 4)(6 + Gcos^ + 4cos 警)(6 + g 警 + Seos 警)(6 + ficos y - 4tos yj(6 + 4cOH 弩- E 阮、(6 - 6孕y + isin ^,/(x) = x z 十龙+若则f (川)几』〉的值为+ i^cos ^sin 警 + sin 警cos 弩 5-75-l)(6 + ?5- 1、4• 1・《高校自主招生一数学》 贾广素工作室• 2 •=11.若 0「门 +flCOS （A ：-l ）= 0 有唯--解,则（A.厲的值唯• B. 口的值不唯一C 门的值不存在D.以上都不对解答选A.因为f （兀）=217 +acos （A ：-l ）关于x = l 对称,所以若f （x ）^唯一零点,则零点只 能为1.将兀=1彳弋入，得到a = T,此时f （x ） =2|x_11 -cos （x-l ）,^检验« = -1符合 题意"04已知皿1 *2 ,衍皿&€ ｛1、Z ，3,4：｝ ,口3皿4》为口I ■吐.心皿4中不同数字的种类哀如N （1J23） =3,N （122,1｝二2,求所有的256个（血心gg ）的排列所得 7V （"l 山2 ,如■心）的平均值为（）.解答选D-N 5\心、a 3心）为1的个数为4；N （心•如，為虫J 为2的个数为CS （CS+2Q ） = 84； N （尙0 心皿Q 为3的个数为二144*N （Q i *2 *麻3皿4 ）为球的个数为A] — 24.117^从而 iijfR^^6(4xi + 84X2+114X3 + 24X1) = ^.在△/WC 中 *sinZ/l + sinz^/?sinz^C 的最大值为(解答选E市积化和差公式得sin^A + sin^Bsm^C=sin^A + y (cost^B - ZC) - cos(^B + 乙CM-sin^A - -^COB ^A + ~|~cos(Z 百—乙 C) 冬 sin^A - -^-cosZ^/4 + 令Y I s + (_ 4)- Z 卩)+ YA - 32175 64A- iB.1 +75D.无报大值4《高校自主招生一数学》贾广素工作室在= = + j时取等号*四人做一道选项为A.B，C.D的选择题•四牛同学的对话知厂赵:我选A.钱:我选B,GD当屮的-个一孙古我选C李古我选6四个人毎人只选了…个选项川1' R倂不相同'我中貝有一个人说谥•则说谎的人町能是诽1 解答孙或李.用列衣法•只中O代表选该选项.X代表没有选该选项一如赵说谎•则无人选A（见表1八弟盾一表1A B C D赵XX孙0O如钱说谎,则赵、钱均选A（见表2）-矛曲.表2A H C赵O践O如孙说谎.则可得如表3所示的情况:成7..O _______X• 3 *《高校自主招生一数学》贾广素工作室如李说谎.则川'得in* 4所示的悄况•成立.表4A B C D赵O钱X OO0X已知2・ lvC?C, I 2 + IV I = 1 H, I z2 + H'2 I 二4?则I ZW I (解答选注意到1 - | z + w | - - | (z w)21 = \ z2w2+ 2zw | , 从【对冇1 | z2 + | - 21 ziv | 与I $ 21 砂| 一］护+ \沪从而（最小值可以取测例如辽二捋7.⑷二上尹,最大值亦可以取到’例如辽二今+寺人⑷二-3 +丄)2 21往四面体PABC ABC为等边三角形，边长为乳“二乳珂？二4./V二乳贝W四而体P/W0的体积为（）.A. 3B. 2屈C. /1TD. /10解答选C件先PC2= PB Z+ BC\故PB±反\设P到底而的高足PH.则BC± UH ZABH =30°设PH = h.AH =a^H^b,CH = c”山余弦定理得+ A2= 32・护+护二学,+ h2 -5\07A.有最大值普B有最大值号C有最小值另 D.有最小值号* 5 *如图［所示，已知曲线+ / = l 以及直线i lt y =弄仏；y = _yx,曲线E 与八交于A,B 两点“与h 交于C-D 两点.在E 上任找一点P (不与A^.C-D 重合几直线AP.M 分 别与仏交于M,N两点，则(A,B. C, D. 解答选BC•设P 的坐标为(利小八则乎+冗二I •此吋PA 的方程为v 42ya - -7—匕-找)・Xo - V2円?的方程为+ ©)•分别与方程尸-专工联立,可得_ 72 y a + ~2X ^尤 M 二-； -------_号-列+屈09二 yri .对于函数=e i (jt-l)a (x-2),H 下选项正确的是( A.冇2个极大值 B冇2个扱小值 U 1是极大值点 解答BC, 求导数：/"(x) = e^ECx - l)2(x -2) -- I)C A -2) +=c T (x + /3)(x -^/3)(JT - 1).则f 〔C 右2个极小值门是极大值点.D. 1是极小值点(x - I}2]10在椭圆上存在2个不同的点Q,使得丨021，二丨OM I 丨(釈 在椭圆上存在4个不同的点Q,使得丨％］—|OM| |QV| 在椭圆上存在2亍不同的点0使得住椭圆上存在4个不同的点0使得△NfAsAQMO rfl 对称性，不奶设A RC D 的塑标分别为-罟- - 72图!0M\ \ 0N\ - 0M - ON -\OM\\ON\ = \ 0A\\可^\OQ\2= \o^\ \o^\’可选Wt A/.C2四点.若△MXIsAQTfO.则只能选耽刈•觸足A + 2y + 3z- 100的非负整数解的组数为(A 883B 884 C. 885).D 886Zy种数00—5C5110—484920-474830—4546h・・h・・33u1表5解的组数为51 + 49 + 4W + 46 + 45 + - + 4 + 3 + 1 + 0 =百甘 4.{(x t y，z) | x +2y + 3z^l，JC,y T z>0} ■求V的体积+这是-个玄角呗休•三条玄角边丘是1以寺.故休积为春一已知f(x)=c2x +e -ax.^ X^).均右只站孑厶求a的取值范围一解答rtl f (X) = c21 + c1- m符/CO) = 2,又f (JC ) =2c^J + c J- ◎该导歯数在［th +«■)上递増‘故贾求 f (0)=3-^>0,即a<3.州图2所小』为闘山II屈心• f E在岡.11运动JL满出/AM-艸+则-W)* 6 ** 7・的中点E 的轨迹为（）-A.圆B.稱圆 U 双曲线的一支 D.线段解答选入 由E 为中点'得PE Z + QE& 二 BE 2 十 OE 2 BO-=厝.做动点到两疋点距离的平方和为足f （因此动点E 的轨迹为慎1 一15L_已知椭圜方程为为苴右准线上一点，过P 向椭圆作切蜒，切点分别为恻的左恆点対几则（ 人解答选AU汁先汴.意到结论:在椭圆准线上作取一点•过该点作椭•圆的两条切线*那么两切点的连 线必过该准线村应的倩点（虚明略）-应用结论•可知/XF/W 的周氏九定值•且越AH 乖胃于横轴吋它的值忌小.此时JT] Xi 码，骷"百€ （1,2,3,4,5,6? T 且 JC],x z T x 3T x 4，嘉■站各不相同，则禰足心一5忌+ 10x a - 10氐+ 5x s -x a = 0的解的组数为參少?解答6.首先心-应是5的倍数点x 产1皿之或机=6t x fi = L 考虑方程-+ 10的—10盟」5心 一 5 或-5x-i + 10氏 一 W 鹤 + 5嘉二一 5* 即-x 2 - 2X 3 - 2x x + A :5 = I或—X2 + 2^3 — 2也 + Jts - — 1注意到肌-乱不足2的倍数•战由上面的方服有也-耳厂乳軌-心一 -1或若砧-应一 -1心-占二]・或者X 5 _ X? = -3、心-心=1或若也-也二】* -工4二-1故这个方程有M+3二6纽解.已知 A e { - KOJ ZV e (2,3,4,5,映射 f ： A^B. li^ 足 x 十 f(x) +球J ）为壷数.求f 的个数. 解答50.A. \AB\的扯小值为1 C. AFA13的周艮为定值B. \AB\的毘小值师 D. A MB 的面积为定值' 8 -注意到 X + /(JC ) +xf(x) = <x + l)(f(x) +1)-1. + 十 1)为偶数. 故若x 为偶数，则f (巧为奇数•即f(0)二3或和N - “的取值任意，由乘法原 理可得,答案为2x5a ^50.解答选匚一注总到公式fm 二故dH 错误.另一方血M ©/? *从而川门币二0-故F (丽｝=- 最后•如 A 二 0•则 P(AB)>0.U 知实数厲』满足a 2+ a =3b 2 +2乩且 H 则C 解答a ACD若 a<b,则 / + a<h~ + b<2( b 2+ b)<3b~ + = 矛盾.另一方面■若3b 2 + 2b= a 2 + a^(2h)2 + 2b>3b 2 +2乩矛盾.最U 若 b^2a 侧 a 2a ~ 3b~ + 2b^3(2a¥ +4a^>a - + a * 矛盾. 故得选项为ACD1 + A ：| 4 1 + A2 +I + X t0]7 ~卿( hA.显窍有】个乩小于1 B 虽务有2个在小于2 C. mHx {, --■, x 2 di?} ^2 (J17D. max { x } T , JC 2 AU \ ^2 016解答ABD.如有2个绪小于】・则上式左边大于占 + j ])•矛盾一 如有3个摘小于厶则匕式左边大于占+出+占■不质. 再注意到x t =^=-= ^01T = 2O16是一组解点匚不陇立. 如 max{jt! ,Xi»***tX aM7 }<2 Olfii 则―-—+ ―1— + ■■■ + -------- ! ----- > --------- 1 --- + -------- - ---- + ■■■ + ------ ! -----1 + 利 h1 + X 2O I 7 1 +2 0161 +2 0161 +2 016矛质.已知事件月—n<P<l?)<lt!WiJ(A . /n = i -re/?)C, H 丽=0B . p(^|A)= i-r(B)D. P(J\B)=QA. b<aB a<bC a<2b D. b<2a已知严■，总期均为大于o 的实数.a故答案选AB6 ' 8 -《高校自主招生一数学》 贾广素工作室入｛和 + 几 + zd 是等比数列B.若存在 m .>1— y… - z m ,则 JCi = yi = Zi1 q 1U 若心二-才忌二才则= ( - 1)"亠尹D 以上均不正确解答选BC首先*当首项^i = ^i-zi= 0时・皿+几十為｝不是等比数列.其次，若存在啣>l,s = % =昭，解方程组可得x…L -i = y^-i = z^-t =2x Mt 从而递推 可得Xi 二力=巧，一 1 弓 ’ 1出次*由Xi = 一忑心二亍得｝■] + Zi - 2x2 + X] =2,则幷“*斗爲二3 •不，根据递推式用為=(-1)”十右.故答棗选BCA 3 n r., =0. 5 B. 3 H * r h =0,6 C. 3 M r fl = () 7 [>, 3 » < =0,8 解答选2假设不存在航’便得 仏=0 5.则山H =O^ioo =0. 85,必存亦「使得hVU •硏5.若k 是偶数•不妨设血二三⑴汀汕笆筈於3<*・不符令题意;若血是奇数"设氐二加T-l.f炭厂+，只能f 矛氐所以选项A 正确 4= 08同理可得选项D 正确. 如果此人第2、86次全部投中•排除B,C.一同学打球■记g 为投起次后的命中率，已知心—AsFL 版则一足有().。
清华大学自主招生试题数学
2021年自主招生华约数学试题一、选择题(1) 设复数z满足|z|<1且15||2zz+=那么|z| = ( )4321 A B C D 5432解：由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2〔舍去〕，12 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角。
那么异面直线DM与AN所成角的余弦为( )1111A B C D36812[分析]此题有许多条件，可以用“求解法〞，即假设题中的一局部要素为，利用这些条件来确定其余的要素。
此题中可假设底面边长为〔不妨设为2〕，利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，。
如图建立坐标系，那么A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，)，那么1111(,,),(,,222222M N-，31213(,,),(,,222222DM AN=-=-。
设所成的角为θ，那么1 cos6DM ANDM ANθ==。
解法二：如图，设底面边长为2，。
平移DM 与AN 在一起。
即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN= AQ= ，容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。
解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。
即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。
以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，那么直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)假设222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 () 3131A1,B ,C1D ,122222222--+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
清华领军计划数学模拟题
A
24 5
B
28 5
C
5
D
6
22 若 S n 是等差数列 an 的前 n 项和，且 a1 1,9S11 11S9 198, 则 S10 ____
A
81
B
100
C
121
D
120
个
23 A x ax 1 0 ， B 1, 2 ,则使得 A B 的实数 a 共有
6 10 C , AC , B, B, D 16 20 C , C , D, AB, C
A
4
B
5 2
4 设 S n 1 2 n, n N , 则函数 f (n)
Sn 的最大值为______ (n 32) S n 1 D 1 50
A
5 若 f ( x)
A
ax 1 在区间 ( 2, ) 上是增函数，则 a 的取值范围为______ x2 1 1 (2, ) B ( , ) C (, 2) D (, ) 2 2 4x b 是奇函数，则 a b ____ 2x
4
C
3
D
3 4
A
6
10 设复数 z 满足|z|<1 且 | z
A
4 5
B
3 4
11 将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法有______种
A
81
B
64
C
18
D
36
12 把函数 y cos(3 x
A
右， 4
) 的图像向____平移____个单位就可以得到 y sin(3 x ) 的图像 4 B 左， C 右， D 左, 4 12 12
北大博雅自主招生数学真题
辅导2与⾼考题的对比2017年北京⼤学⾃主招⽣数学试题1.保持了近年北⼤⾃招试题的风格．(a)20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．(b)时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完．(c)D选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第5题，答案数字不怎么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第9题，答案明显是个负整数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算．(d)风格灵巧，强调多想少算．⽐如第1题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能就悲剧了．(e)不追求知识点的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频考点，在2017年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向被北⼤冷落，这场考试也不例外．(f)经典试题有⼀定的重现率．⽐如第6题就是平⾯⼏何中的经典问题，第9题中⽤到的对数运算公式在⾃招考试中也是屡见不鲜．2.相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下．3.有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的．1.有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第19题、第20题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般来讲数量较少．2.有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好的基本功．⽐如第18题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是正道．再⽐如第14题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就会卡壳．3.还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第12题，需要将多个变量之间的本质关系想清楚才能顺利解决．光光⼦辅导1.⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决．2.往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了．3.试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍难．对此⼤家要有⼼理准备．4.选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上，⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣1分吗？可是我们算算期望，⼀道题随机选择的得分期望是0.5分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼．1.已知实数a,b 满⾜(a 2+4)(b 2+1)=5(2ab −1)，则b Åa +1aã的值为（）A.1.5B.2.5C.3.5D.前三个答案都不对解析C ．2.函数f (x )= x 2−2 −12|x |+|x −1|，x ∈[−1,2]上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对解析B ．3.不等式组y ⩾2|x |−1,y ⩽−3|x |+5所表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A.6B.335C.365D.前三个答案都不对解析C ．4.(1+cos π5)Å1+cos 3π5ã的值为（）A.1+1√5 B.1+14C.1+1√3D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导5.在圆周上逆时针摆放了4个点A,B,C,D ，已知BA =1，BC =2，BD =3，∠ABD =∠DBC ，则该圆的直径为（）A.2√5B.2√6C.2√7D.前三个答案都不对解析D ．6.已知三⾓形三条中线长度分别为9,12,15，则该三⾓形⾯积为（）A.64B.72C.90D.前三个答案都不对解析B ．7.已知x 为实数，使得2,x,x 2互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的2倍，则这样的实数x 的个数为（）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对解析B ．8.设整数a,m,n 满⾜√a 2−4√5=√m −√n ，则这样的整数组(a,m,n )的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．9.设S =1log 12π+1log 13π+1log 15π+1log 17π,则不超过S 且与S 最接近的整数为（）A.−5B.4C.5D.前三个答案都不对解析A ．10.已知复数z 满⾜z +2z 是实数，则|z +i |的最⼩值等于（）A.√33 B.√22C.1 D.前三个答案都不对解析D ．11.已知正⽅形ABCD 的边长为1，P 1,P 2,P 3,P 4是正⽅形内部的4个点使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三⾓形，则四边形P 1P 2P 3P 4的⾯积等于（）A.2−√3 B.√6−√24C.1+√38D.前三个答案都不对解析A ．光⼦辅导12.已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为10和20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（）A.Å103,5ãB.Å5,203ãC.Å203,20ãD.前三个答案都不对解析C ．13.正⽅形ABCD 与点P 在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为1，且|P A |2+|P B |2=|P C |2，则|P D |的最⼤值为（）A.2+√2B.2√2C.1+√2 D.前三个答案都不对解析A ．14.⽅程log 4(2x +3x )=log 3(4x −2x )的实根个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析B ．15.使得x +2x 和x 2+2x2都是整数的正实数x 的个数为（）A.1 B.2C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析A ．16.满⾜f (f (x ))=f 4(x )的实系数多项式f (x )的个数为（）A.2 B.4C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析D ．17.使得p 3+7p 2为平⽅数的不⼤于100的素数p 的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．18.函数f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3)的最⼩值为（）A.−1B.−1.5C.−2D.前三个答案都不对解析A ．19.动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−6x +7=0都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的⼀⽀C.抛物线D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导20.在△ABC 中，sin A =45，cos B =413，则该三⾓形是（）A.锐⾓三⾓形 B.钝⾓三⾓形C.⽆法确定D.前三个答案都不对解析A ．。
历年自主招生试题分类汇编—集合与逻辑
历年自主招生试题分类汇编——不等式5. （ 2014 年北约） 已知 xy1 且 x, y 都是负数 ,求 xy1的最值 .xy【解】由 x 0, y 0可知 , x y 1 | x y | 1 | x | | y | 1 ,所以 | xy | | x || y | (| x || y |)21 ,即 xy (0, 1] ,44 4令 t xy(0, 1] ,则易知函数 yt 1 在 (0,1] 上递减 ,所以其在 (0, 1] 上递减 ,4t4 于是 xy 1 有最小值41 17 ,.无最大值xy4 4解答二： 1(x) ( y)2 xy 得 0 xy1 ，而函数 f (t) t 1 在 (0,1) 上单一递4 t减，在 (1,) 单一递加， 故 f ( xy) f (1) ，即 xy1 17 ，当且仅当 x y1 时4 xy 42取等号．10. （ 2014 年北约） 已知 x 1, x 2 , ,x nR ,且 x 1x 2x n 1,求证: ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) ( 2 x n ) ( 2 1)n .【证】 (一法 :数学概括法 )①当 n 1 时,左侧 2 x 12 12 1 右侧 ,不等式建立 ;②假定 nk( k 1,k N * ) 时 ,不等式 ( 2x 1)( 2x 2 ) ( 2x k ) ( 2 1)k 建立 .那么当n k 1时 ,则 x 1x 2x k x k1 ,k 1个正数不可以同时都大于 1,1 因为这也不可以同时都小于 1,所以存在两个数 ,此中一个不大于 1,另一个不小于 1,不如设 x k 1,0x k 11,进而 ( x k 1)(x k 1 1) 0x k x k 11 x k x k 1 ,所以( 2 x 1 ) ( 2 x 2) ( x2k ) ( x k 2 1)( 2 x 1 ) ( 2 x 2 ) [ 2k x2 ( x k 1x k ) k x 1]( 2 x 1 ) ( 2 x 2) ( x2k x k 1) ( 2 1 ) (k 2 1 ) ( 2 1k ) 1( 2 1 )此中推导上式时利用了x 1x 2 x k 1 (x k x k 1) 1 及 nk 时的假定 ,故 n k 1 时不等式也成立 .综上①②知 ,不等式对随意正整数n 都建立 .(二法 )左侧睁开得 ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) ( 2x n )( 2)n( 2)n 1n( 2)n 2(( 2)n k(x ix i x j )x i 1xi 2x i k)x 1x2xni 11 i j n1 i 1 i 2i k n由均匀 不等式得11x i x ix iC n k(x i x ix i)CnkC n k(( x 1x 2k 1C n kk2x n ) Cn 1 ) Cnk1 i 1 i 2i k n121k1 i 1 i 2i k n故 ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) ( 2 x n )n( n 11( n 22( n kkC n n( n2 ) 2 )C n 2 C)n2C)n,2即 1. )(三法 )由均匀 不等式有n 2n21nx knx k1n(n⋯⋯① ;n() n⋯⋯②)2 x k2 x kk 12 x kk 12 x kk 1k 11①+②得 n n2 ( x 1 x 2x n )n, 即 ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) (2 x n ) ( 2 1)nn1建立 .(2 x k ) nk 11 n 22( 四 法 )由AM GM不 等 式 得 ：()n ，n i1 x i2n( x i2)i 11 ( n x i )n1， 两 式 相 加 得 ： 12 1， 故n i1 x i2nn( x i2)n( x i2)i 1i 1nn．(2 x i)(1 )2i 11．（ 2011 年北 文） 02，求 ： sintan ．【分析】 不如 f ( x)x sin x ， f (0)0 ，且当 0x， f ( x)1 cos x 0 ．于是2f ( x) 在 0 x上 增．∴ f ( x)f (0) 0 ．即有 xsin x ．2同理可 g (x) tan x x 0 ．g(0) 0 ，当 0 x， g ( x)110 ．于是 g ( x) 在 0x上 增。
14-18年北清自招龅牙领军数学真题-函数的性质与图像
清华领军2015.4.设函数()f x 的定义域为（-1，1），且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(1,1)x y ∈-、，且()f x 为（ ）A.奇函数B.偶函数C.减函数D.有界函数清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了导数类清华领军2015.23.设函数2sin π()1xf x x x =-+，则（ ）A.4()3f x ≤B.|()|5||f x x ≤C.由线()y f x =存在对称轴D.曲线()y f x =存在对称中心清华领军2015.30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)0y x y x x +++-=，则（ ） A.L 是轴对称图形 B.L 是中心对称图形 C.22{(,)|1}L x y x y ⊂+≤ D.11(,)|22L x y y ⎧⎫⊂-≤≤⎨⎬⎩⎭同时分入函数的极值类清华领军2017.15.已知2()f x x ax b =++在(1,1)x ∈-上有两个零点。
求22a b -的取值范围。
A.(0,)+∞B.(0,2)C.(,2)-∞D.(2,2)-清华领军2017.21.满足35(3)40x y x x y ++++=的(,)x y （ ） A.在一条直线上 B.在一条抛物线上 C.为有限个 D.为无限个 分类存疑北大自招2016.1. 求()212log 2x x -++的单调增区间。
1.【解答】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭要求()212log 2x x -++的单调增区间，由12log x 是在()0,+∞上的减函数，故即解2201,2122x x x x ⎧-++>⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪>⎝⎭⎪⎩北大自招2016.5. 设x ，y ，z 3R ∈，求方程381nnnx y z ++≤，当n →+∞时确定的几何体的体积为________。