恒定电流的磁场

故力 F12 应理解为第一个回路C1在空间产生磁场，第二个
回路C2在这一磁场中受力，即
u0 F12 I 2 d l2 4 C2
其值只取决于电流回 路C1的电流分布及源点到 场点的距离矢量R，而与 电流回路C2无关。

C1
I1d l1 R －－线电流 3 R
J (r ') dV ' R
S
J S (r ') dS' (4 1 9) R
0 A 4
Id l' C R (4 1 10)
解题技巧：磁矢位的方向与电流方向一致，故当电流分布 已知，先求磁矢位，再求磁通密度。
第四章 恒定电流的磁场
【例4-2】求半径为a的微小电流环的磁矢位和磁通密度。
Id l I a ad
'
'
'
x

'
aI (a x sin ' a y cos ' )d '
图4-4 电流圆环产生的磁场
第四章 恒定电流的磁场
1 1 a (1 sin sin ' ) 如果r>>a，则有 R r r
0 [ 4
B 0
J (r ') V R ]dV ' ( A) 0
J (r ' ) 0 对场点作用
-----B的散度 (4 1 6) 恒等于零
恒定电流产生的场是无散场或连续的场。
第四章 恒定电流的磁场
磁矢位：
一个散度为零的矢量可用另 一个矢量的旋度来表示。
第四章 恒定电流的磁场
4.1 真空中恒定磁场的基本方程* 4.2 磁介质的磁化、介质中的场方程*
4.3 恒定磁场的边界条件*
4.4 自感和互感*
第四章 恒定电流的磁场
4.1 真空中恒定磁场的基本方程
主要内容： 磁 通(量)密度 磁通密度的散度和磁通连续性原理 磁场强度和安培环路定律
r
P ( x, y , z )
图4-2 Q点电流元在P点产生的场
－－毕奥——沙伐定律（ Biot - Savart Law ） 表示载有恒定电流I的 导线在场点(x,y,z)或r处 所产生的磁通密度。
注：d l ' , B和a R 遵循 右手螺旋法则。
第四章 恒定电流的磁场
对体分布的电流
0 B( r ) 4
满足右手螺旋
第四章 恒定电流的磁场
4.1.2 磁通密度的散度及磁通连续性原理
1.磁通密度的散度
0 B(r ) 4 1 a 0 ( ) R 2 R R 4
J (r ') R V R3 dV ' (4 1 3) 1 V J (r ') [( R )]dV ' ( A) A A (4 1 5)
z
'
R
0
r
y
x
到场点的距离矢量
1
l
图4-3 载流导体产生的磁场
R r z ' a ( z z ' )a z
第四章 恒定电流的磁场
故P点的磁通密度为
0 B 4

C
Idz' az aR 0 I dz' a 2 C R 4 R3
由图4-3 的几何关系得
第四章 恒定电流的磁场
4.1.1 磁 通(量)密度
设真空中载有两个载有 线电流 回路C1、C2,电流 I1dl1和I2dl2分别为C1、C2 回路上的电流元，如图示。
图 4-1 两电流回路间的相互作用力
R
dl1
r1 r2
dl2
则电流回路C1对C2 作用力F12为
第四章 恒定电流的磁场
0 F 12 4
【例4-1】一根长为2l的直导线沿z轴放置，通过z方向的
电流为I，求其在周围产生的磁通密度。
解：如图，由于导线圆柱对 称，采用圆柱坐标系，则源点的 位置坐标为(0,0,z´),设场点的 位置坐标为P(ρ ,φ,z)。则电流 元 Id l Idz a z
' '
l
Idz
'
z

2
az
a P( , , z )

V
J (r ') R dV ' (4 1 3) 3 R
对面分布的电流
0 B( r ) 4

S
J S (r ') Байду номын сангаасR dS' (4 1 4) 3 R
磁通密度B的单位 T（特斯拉，Tesla),或（wb/m2）。 工程上，用高斯(Gaussion),1G=10-4T。
第四章 恒定电流的磁场
故定义：
0 B1 4
I1d l1 aR C1 R 2
-----磁通密度
第四章 恒定电流的磁场
Q( x' , y ' , z ' )
规定： r'表示源点，r表示
场点。如图4-2示，故有
I dl'
r'
0
R r' r
0 B( r ) 4
Id l aR C R 2
(4 1 2)
解：如图4-4，因为圆环及其磁场具有圆对称性，采用球
坐标系，将待求场点P放在yz平面，不失普遍性。 电流环在P点产生的磁矢位为
z
r
0 A 4

V
I dl' R
'
P(r , , ) 2


0
r'
其中，R r r
R
y
Idl '
r 2 a 2 2ra sin sin '
( A) 0
B 0
恒定磁场中，规定
B A
(4 1 7)
当矢量场的散度和旋度同时 确定时，矢量场才唯一确定。
A 0 --- ------------库仑规范
(4 1 8)
------------磁矢位
0 A 4
0 A 4


V

C2 C1
I 2 d l2 ( I1d l1 aR ) (4 1 1) 2 R
－－－安培力定律(Ampere’s force Law )
1820年, 法国物理学家安培从实验中总结 出电流回路之间的相互作用力的规律。
R r2 r1
R aR R
第四章 恒定电流的磁场
用场的观点解释安培力定律：电流回路之间的相互作用 力是通过磁场来传递的 。
R csc , z z ' cot dz' csc2 d
sin I 0 I 0 故 B a d a (cos1 cos 2 ) 4 4
2 1
如果导线无限长，则 1 0, 2 ，因此有
0 I B a 4