2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第18讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【点评】(1)求任意角三角函数值的过程可以归纳为“负化 正，大化小，化成锐角再查表”，求值时，一定要认真审 题，选择恰当公式，找出最佳途径，完成求值． (2)三角函数的化简是各类考试重点的内容之一，要注 意灵活，准确地使用诱导公式．
素材1
1 已知 cos(75° ＋α)＝ ，其中 α 为第三象限角，求 cos(105° 3 －α)＋sin(α－105° )的值．
2x
1 【解析】方法 1：(1)由 sinx＋cosx＝ ，两边平方得 5 1 24 sin x＋2sinxcosx＋cos x＝ ，得 2sinxcosx＝－ ， 25 25
2 2
49 所以(sinx－cosx) ＝1－2sinxcosx＝ ， 25
2
π 又因为－ <x<0， 2 所以 sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0， 7 故 sinx－cosx＝－ . 5
3 3 2 2
3 11 (1＋ )＝ . 8 16 (3)sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ 9 23 ＝1－2× ＝ . 64 32
【点评】本例是方程思想在三角中的应用问题，求解中注意 乘方， 因式分解和配方， 一般地， 已知 sinθ＋cosθ， sinθ－cosθ， sinθcosθ 中，任何一个都可以用来求出另两个值．
2x
1．在求值与化简时，常用的方法有：①弦切互化， sinx 主要公式为 tan x ， x tan x os x； sin cosx ②和积互化，利用(sin x cos x) 2 1 2sin x cos x 的关系进行变形、转化； ③巧用“1”的变换： sin 2 x cos 2 x. 1 2．在求值、化简时，要细心观察三角函数式的 特征，灵活、恰当地选用公式．思路一： 切化弦，思路二：化为同名函数． 3．运用诱导公式的关键在于函数名称与符号 的正确判断和使用．
素材2
tanα 已知 ＝－1，求 sin2α＋sinαcosα＋2 的值． tanα－1
tanα 1 【解析】由 ＝－1，得 tanα＝ ， 2 tanα－1 3sin2α＋sinαcosα＋2cos2α 所以 sin2α＋sinαcosα＋2＝ sin2α＋cos2α 3tan2α＋tanα＋2 ＝ tan2α＋1 12 1 3× ＋ ＋2 2 2 13 ＝ ＝ . 12 5 ＋1 2
所以 sin(75° ＋α)＝－ 1－cos275° ＋α ＝－ 12 2 2 1－ ＝－ ， 3 3
1 2 2 2 2－1 则 cos(105° －α)＋sin(α－105° )＝－ ＋ ＝ . 3 3 3
【点评】解答本题的关键是分析所求式和已知式中的角度，寻 找到 75° ＋α 与 105° －α 之间的关系，即(105° －α)＋(75° ＋α) ＝180° ，从而为应用诱导公式化简找到入手之处．
p+ -cos ⑩_____
【要点指南】 sin ①1；② ；③ cos ；④ sin ； cos ⑤ tan ；⑥ cos ；⑦ cos ； ⑧ sin ；⑨ cos ；⑩ sin
4 1.α 是一个三角形的内角，且 sinα＝ ，则 tanα 的值等于( 5 4 A．－ 3 3 C. 4 3 B．－ 4 4 D．± 3
1 3π 1 5.cos(π＋α)＝－ ，则 sin( ＋α)＝ － . 2 2 2
1 【解析】由 cos(π＋α)＝－cosα，得 cosα＝ ， 2 3π 1 所以 sin( ＋α)＝－cosα＝－ . 2 2
一
诱导公式的应用
16π 【例 1】(1)求 sin(－ )的值； 3 (2)化简： sin2π＋αcos－αcosπ＋α . 3π tanπ－αcos3－π－αsin －αtan－2π－α 2
① ②
1 由①得 sinx＝ －cosx，将其代入②， 5 整理得 25cos2x－5cosx－12＝0， 3 4 所以 cosx＝－ 或 cosx＝ . 5 5
sinx＝－ 3 5 π 因为－ <x<0，所以 2 4 cosx＝5
，
7 故 sinx－cosx＝－ . 5
2sin －sinx＋1 2 (2)原式＝ sinx cosx ＋ cosx sinx ＝sinxcosx(2－cosx－sinx) 3 4 4 3 ＝(－ )× ×(2－ ＋ ) 5 5 5 5 108 ＝－ . 125
π 1 7 3.已知－ <x<0，sinx＋cosx＝ ，则 sinx－cosx 的值为 － . 2 5 5
1 【解析】由 sinx＋cosx＝ ， 5 1 平方得 sin x＋cos x＋2sinxcosx＝ ， 25
2 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 24 所以 1＋2sinxcosx＝ ，所以 2sinxcosx＝－ ， 25 25 24 49 所以(sinx－cosx) ＝1－2sinxcosx＝1＋ ＝ ， 25 25
公式一：
2kp+
-
p-
p+
2p-
正弦
余弦 正切
sin
③____ tan
④_____
cos -tan
sin
-cos ⑤_____
-sin
-cos tan
-sin
⑥____ -tan
公式二：
正弦 余弦
- ⑦_____ sin
+ cos ⑧_____
p- ⑨_____ -sin
素材3
(1)已知 cosα－sinα＝1， 求(cos2013x＋sin2013x)2； 1－sin6x－cos6x 3 (2)证明： 4 4 ＝ . 1－sin x－cos x 2
【分析】 遇到条件 cosx－ sinx＝1，可 运用平方法，求得 sinxcosx，代入求解．
【解析】(1)由 cosx－sinx＝1，可得 1－2sinxcosx＝1， 则 sinxcosx＝0，即 sinx＝0 或 cosx＝0. 当 sinx＝0 时，cosx＝1＋sinx＝1， 得(cos2013x＋sin2013x)2＝1； 当 cosx＝0 时，sinx＝cosx－1＝－1， 得(cos2013x＋sin2013x)2＝1. 综上可知，(cos2013x＋sin2013x)＝1.
【点评】(1)在解决关于正弦、余弦的齐次问题时，可逆用商 sinα 数关系式 tanα＝ 将弦化为切(以减少函数名称)，从而达 cosα 到简化运算目的． (2)三角中的化简、 求值及三角恒等式的证明问题常常采 sinα 用“切化弦法”，即利用商数关系 tanα＝ ，把切函数化 cosα 为弦函数，以达到统一函数名称之目的．
1．理解同角三角函数的基本关系式： sinx sin x cos x 1， tan x. cosx 2．能利用单位圆中的三角函数线推
2 2
导正弦、余弦、正切的诱导公式． 3．能灵活应用同角公式、诱导公式进 行简单三角函数的化简、求值与证明．
1 ．同角三角函数关系式： sin 1 平方关系： 2 cos 2 ① __________ . tan 2 商数关系： ② __________ . 2．三角函数的诱导公式 (巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限) 注意：记忆公式中始终假视为锐角
(2)证明：因为 sin2x＋cos2x＝1， 所以 1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2， 1－sin6x－cos6x 1－sin4x－cos4x sin2x＋cos2x3－sin6x－cos6x ＝ 2 sin x＋cos2x2－sin4x－cos4x 3sin4xcos2x＋3cos4xsin2x ＝ 2sin2xcos2x 3sin2x＋cos2x ＝ 2 3 ＝ . 2
【解析】cos(105° －α)＝cos[180° －(75° ＋α)] 1 ＝－cos(75° ＋α)＝－ ， 3 sin(α－105° )＝－sin(105° －α)＝－sin[180° －(75° ＋α)]＝ －sin(75° ＋α)． 1 因为 cos(75° ＋α)＝ ，且 α 为第三象限角， 3 所以角 75° 为第四象限角． ＋α
二
利用同角公式进行弦切转化
sinα－3cosα 【例 2】(1)已知 tanα＝2，求 的值； sinα＋cosα 1 (2)化简：tanθ(cosθ－sinθ)＋sinθ· (tanθ＋ )． tanθ
【解析】 (1)tanα＝2，显然 cosα≠0， sinα－3cosα tanα－3 2－3 1 ＝ ＝ ＝－ . 3 sinα＋cosα tanα＋1 2＋1 sinθ sinθ cosθ (2)原式＝ · (cosθ－sinθ)＋sinθ( ＋ ) cosθ cosθ sinθ sin2θ sin2θ ＝sinθ－ ＋ ＋cosθ cosθ cosθ ＝sinθ＋cosθ.
【点评】(1)本题看似复杂，其实由条件可求得 sinx 及 cosx 的 值为特殊值，从而使问题快速解决． (2)本题在证明过程中，充分利用三角函数的平方关系， sin2α＋cos2α＝1，对“1”进行巧妙的代换，使问题迎刃而解．
备选例题
π 1 已知－ <x<0，sinx＋cosx＝ . 2 5 (1)求 sinx－cosx 的值； x x 2x 3sin －2sin cos ＋cos 2 2 2 2 (2)求 的值． sinx cosx ＋ cosx sinx
2sin －sinx＋1 2 (2)原式＝ sinx cosx ＋ cosx sinx ＝sinxcosx(2－cosx－sinx) 12 1 108 ＝(－ )×(2－ )＝－ . 25 5 125
2x
1 sinx＋cosx＝ 5 方法 2：(1)联立方程组 sin2x＋cos2x＝1
16π 16π 4π 4π 【解析】 (1)sin(－ )＝－sin ＝－sin(4π＋ )＝－sin ＝ 3 3 3 3 π π 3 －sin(π＋ )＝sin ＝ . 3 3 2 sin2αcosα－cosα (2)原式＝ sinπ－α sin－2π－α 3 · －cosα －cosα cosπ－α cos－2π－α ＝－1.
高考数学(理)总复习课件：同角三角函数的基本关系与诱导公式
D. 1＋k2
[解析] 由cos α＝k，k∈R，α∈ π2，π ，可知k＜0，设
角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以 k2＋y2＝1，得
y＝ 1－k2，由三角函数定义可知sin α＝ 1－k2.
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1 (2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝___4_4_2___. [解析] 因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝ cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋ sin246°＝1，而sin245°＝12，故原式＝44＋12＝4412.
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考点二 诱导公式的应用[师生共研过关]
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[典例精析]
(1)设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋cos32π＋α－sin2π2＋α
(1＋2sin
α≠0)，则f－236π＝____3____.
[解析] 因为f(α)＝
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1. (3)若α∈R，则tan α＝csions αα恒成立． (4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (5)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝
sin2α＋sin αcos α sin2α＋cos2α
＋2＝
tan2α＋tan tan2α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
考法(三) “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用 返回
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tan α＝sin αcos α的关系中，须保证tan α有意义，所以须使α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2 α＋cos 2 α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切tan αtan α－tan α－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) (A)－32 (B)32 (C)－12(D)12D 解析：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.故选D.2．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )(A)12 (B)－12 (C)32(D)－32A 解析：∵f (α)＝sin αcos α(－cos α)·(－tan α)＝sin αtan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tan α·cos α等于( ) (A)12 (B)－12 (C)－32(D)32C 解析：若α＝113π，tan α·cos α＝sin αcos α·cos α＝sin α＝sin 113π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝－sin π3＝－32.故选C.4．已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435．已知sin x cos x ＝38，且x ∈π4，π2，则cos x －sin x ＝________. 解析：因为x ∈π4，π2， 所以sin x >cos x ， 即cos x －sin x <0，所以(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，所以cos x －sin x ＝－12. 答案：－12考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )(A)25 (B)－25 (C)－2(D)2解析：(1)依题意得⎩⎨⎧tan α＝sin αcosα＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，由此解得cos 2 α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan α＋1＝25.答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)，k∈Z；(2)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α；(3)化简tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 cos(－α－π)sin(－π－α).解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α)sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos(π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以原式＝sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.(2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2 α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.(3)方法一：原式＝(－tan α)·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝(－tan α)·[－cos (π－α)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)·sin α＝－tan α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.方法二：原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.【反思归纳】 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【即时训练】 已知sin(3π＋θ)＝13， 求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用 (高频考点)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．求： (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0， ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin 3 θ＋cos 3 θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2 θ－sin θcos θ＋cos 2 θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.答案：(1)2－2 (2)2＋1【反思归纳】 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．【即时训练】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sin α＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sin α＋2π3＝________. 解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49， 所以sin αcos α＝－518<0，所以α为钝角．故选D. (2)因为π2<α<π，所以2π3<α＋π6<7π6， cos α＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sin α＋2π3＝sin π2＋α＋π6＝cos α＋π6＝－1213. 答案：(1)D (2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简： (1)cos α－π2sin 52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α).解：(1)原式＝cos π2－αsin π2＋α·sin α·cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α.(2)原式＝cos 2α－tan α－sin α＝cos 3α＋1cos α.【规律总结】 三角函数式化简目标方向 (1)用同角关系中切弦互化，统一函数名． (2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．【源题变式】已知f (x )＝sin (2π－x )·cos 32π＋xcos (3π－x )·sin 112π－x ，则f －21π4＝________.解析：因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin6π－π2＋x＝sin 2xcos x －sin π2＋x ＝sin 2x －cos 2x ＝－tan 2x . 所以f －214π＝－tan 2－214π＝－tan 2－5π－π4＝－tan 2－π4＝－1.答案：－1课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)210 (B)－210 (C)7210(D)－7210A 解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，即tan α＝43，得sin α＝－45，cos α＝－35∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) (A)－25(B)－15(C)15 (D)25答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )(A)45 (B)35 (C)－45(D)－35 D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－35，故选D.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )(A)916 (B)－916 (C)－34 (D)34答案：B5．已知α是第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α的值为( ) (A)－2 (B)2 (C)0(D)3C 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α|cos α|＋sin α|sin α|，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α|cos α|＋sin α|sin α|＝－1＋1＝0.故选C.6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) (A)π3 (B)π4 (C)π2(D)2π3C 解析：因为3sin π2－A ＝3sin(π－A )， 所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33， 又0<A <π，所以A ＝π6.又因为cos A ＝－3cos(π－B )， 即cos A ＝3cos B ， 所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π， 所以B ＝π3.所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 7．设f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝________. 解析：方法一：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .方法二：f (sin x )＝3－(1－2sin 2 x )＝2＋2sin 2 x ， ∴f (x )＝2＋2x 2，∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋2cos 2x －1＝3＋cos 2x . 答案：3＋cos 2x8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )的结果为________． 解析：n 为偶数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. n 为奇数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. 答案：09．已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________.解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23.答案：－2310．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan (α＋5π)tan (－α－π)·sin (α－3π)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·(－sin α)＝－cos α；(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．已知2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α＝75，求tan α的值．解：由题意得2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝75， 所以2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝75， 所以10tan 2α＋5tan α－15＝7tan 2α＋7，所以3tan 2α＋5tan α－22＝0，所以(3tan α＋11)(tan α－2)＝0，所以tan α＝－113或tan α＝2.能力提升练(时间：15分钟)12．设f (x )＝⎩⎨⎧ s in πx ， (x ＜0)，f (x －1)＋1， (x ≥0)和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosπx ，(x ＜12)，g (x －1)＋1，(x ≥12)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值为( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)5 B 解析：∵g (14)＝22，g (56)＝cos(－16π)＋1＝32＋1，f (13)＝sin(－23π)＋1＝－32＋1，f (34)＝sin(－π4)＋1＝－22＋1，∴原式＝3.故选B.13．已知sin θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则sin(π－θ)·sin(32π－θ)的值为( )(A)229(B)－229 (C)19(D)－19B 解析：∵θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223， ∴sin(π－θ)sin(3π2－θ)＝－sin θcos θ＝－13×223 ＝－229.故选B.14．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π315．在三角形ABC 中，求cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2的值． 解：在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2， 所以cos A ＋B 2＝cos π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. 16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12 ①sin θcos θ＝m 2 ②而sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34.由②得m 2＝34，∴m ＝32. (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝32sin θ＝12. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.。
浙江专版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
于
A．433π cm
B.
8 3
3π
cm
C． 4 3 cm
D．8 3 cm
解析：设扇形的半径为 r cm，如图．
由 sin 60°＝6r，得 r＝4 3 cm，
()
∴l＝|α|·r＝23π×4
3＝83
3 π
cm.
答案：B
3．已知扇形周长为 40，则当扇形面积最大时，圆心角等于_____． 解析：设圆心角是 θ，半径是 r，则 2r＋rθ＝40. 又 S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 当且仅当 r＝10 时，Smax＝100，此时 2×10＋10θ＝40，θ ＝2. 所以当 r＝10，θ＝2 时，扇形的面积最大． 答案：2
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合． 2．确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置 3 步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围；
(2)再写出
kα
或α的范围； k
(3)然后根据
k
的可能取值讨论确定
kα
或α的终边所在位置． k
考点二 扇形的弧长及面积公式
[题组练透]
所以 cos∠AOB＝cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝12. 答案：A
1
1 sin
α＋tan1
α＝________.
2
解析：∵角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－153，
∴cos α＝
－x ＝－ 5 ，即
x2＋36
13
1
x＝52或
x＝－52(舍去)，
∴P－52，－6，∴sin α2＝－1123，∴tan α＝csions αα＝152，
高考数学第一轮基础复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
解法 2：设 tanα1＝185，α1 为锐角， 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝185， 设 AC＝8，BC＝15，则 AB＝17， ∴sinα1＝187，
∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝187. 解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， 又 tanα＝csionsαα＝－185，由勾股数组 8,15,17 知排除 A， ∴选 C.
已知
tan2α ＝ － 2
2
，
且
满
足
π 4
<α<
π 2
，
则
2cos2α2－sinα－1 2sinπ4＋α
的值为(
)
A. 2
B．－ 2
C．－3＋2 2
D．3－2 2
解析：2cos22sα2i－nπ4si＋nαα－ 1＝csionsαα＋－csoinsαα＝1ta－nαta＋nα1. 又 tan2α＝－2 2＝1－2tatannα2α
cos2
sin2
＝sinα2＋cosα2 －sinα2－cosα2
α2为第二象限角 α2为第四象限角
∴原式＝± 2sinα2＋π4. 答案：± 2sinα2＋π4
利用诱导公式进行化简求值
[例 3] 设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中 a，b，
α∈R，且 ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若 f(2009)＝5，则 f(2010)
答案：C
点评：本题中由 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方扩大了 θ 的取值范围会引起增解，必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ＋ cosθ<1 得出π2<θ<π，进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ ＝－ 33，故变换时必须要等价，使用不等价变换时，一 定要检验．
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
A.
5
π
6
3
5
− = ，则sin −
故选C.
=(
)
√
4
B.
5
解：依题意，知sin −
2π
3
2π
3
= sin[
3
C.−
5
π
π
− − ]
6
2
4
D.−
5
= −cos(
π
− )
6
= −cos
π
6
− =
3
− .
5
【巩固强化】
1
3
1.已知cos = ，且 为第四象限角，则sin =(
4
5
cos 2 = .则sin 2 = 2sin cos = −4cos2 = − .故选A.
（2）已知sin + cos =
A.−
3 5
，则tan
5
+
1
tan
B.
√
2
5
5
2
=(
C.−
)
4
5
5
4
D.
9
5
解：原式两边平方，得sin 2 + 2sin cos + cos 2 = .
A.−
√
1
2
1
2
B.
解：因为tan = −3，所以cos ≠
1
3
cos +sin
0.所以
cos −sin
)
C.−
1
3
1+ −3
1− −3
D.
=
1+tan
高考数学一轮复习课件浙江专版-第18讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
p- sin -cos ⑤_____
p+ -sin -cos tan
2p- -sin ⑥____ -tan
公式二：
正弦
- ⑦_____
+ cos
p- ⑨_____
p+ -cos
余弦 sin ⑧_____ -sin ⑩_____
【要点指南】
①1；② sin ；③cos；④ sin； cos
【解析】由 sinx＋cosx＝15， 平方得 sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＝215， 所以 1＋2sinxcosx＝215，所以 2sinxcosx＝－2245， 所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝1＋2245＝4295， 又－π2<x<0，所以 sinx－cosx<0，所以 sinx－cosx＝－75.
【分析】 遇到条件 cosx－ sinx＝1，可 运用平方法，求得 sinxcosx，代入求解．
【解析】(1)由 cosx－sinx＝1，可得 1－2sinxcosx＝1， 则 sinxcosx＝0，即 sinx＝0 或 cosx＝0. 当 sinx＝0 时，cosx＝1＋sinx＝1， 得(cos2013x＋sin2013x)2＝1； 当 cosx＝0 时，sinx＝cosx－1＝－1， 得(cos2013x＋sin2013x)2＝1. 综上可知，(cos2013x＋sin2013x)＝1.
⑤ tan；⑥cos；⑦cos； ⑧ sin；⑨ cos；⑩sin
1.α 是一个三角形的内角，且 sinα＝45，则 tanα 的值等于( )
A．－43
B．－34
3 C.4
D．±43
【解析】 cosα＝± 1－sin2α＝±35， 所以 tanα＝csoinsαα＝±43.故选 D.
数学人教版新优化浙江大一轮复习课件：4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
对点训练(1)
A.- 3
sin (-190°)
3
B.-
2
=(
C.
)
3
2
D. 3
关闭
cos (360°-10°)-2sin (180°-20°)
原式=
-sin (180°+10°)
cos10 °-2sin (30°-10°)
=
-(-sin10 °)
1
3
cos10 °-2 2 cos10 °- 2 sin10 °
π
α≠ 2 +kπ,k∈Z.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果
的符号,需要根据角α的范围确定.
2.三角函数的诱导公式要牢记十字口诀:“奇变偶不变,符号看象
限”,并理解口诀的含义.
3.利用公式化简求值时,先要化任意角的三角函数为锐角三角函
数,其步骤是去负—脱周—化锐,要特别注意函数名称和符号的确
π
∵sin θ-4 = 2(sin θ-cos θ)= 3,
2
3
6
2
1
∴sin θ-cos θ= 3 ,两边平方,得 1-2sin θcos θ=1-sin 2θ=3,∴sin 2θ=3.故
关闭
选 A.
A
解析
答案
-20考点一
考点二
诱导公式的应用(考点难度)
【例2】 (1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1
3
3
2
1
2
3
90°
2
120°
2
3
3
2
1
0
150°
1
高考数学一轮复习第三章三角函数3.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及课件
10 5
3.(2016四川,11,5分)sin 750°= 答案
1 2
.
解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°= . 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角.
1 2
4.(2016课标全国Ⅲ理改编,5,5分)若tan α= ,则cos2α+2sin 2α=
3 4
.
答案 解析
综上,cos(α-β)=- 7 .
9
3
3
3 3
9
解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). ∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α,cos β=cos[(2k+1)π-α]=-cos α,k∈Z.
2 2 2 2 2 1 -1=当sin α= 1 时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos α+sin α=-(1-sin α)+sin α=2sin α-1=2× 7 .
7 9 1 3
.
解析 本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式,两角差的余弦公式. 解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). ∵sin α= ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α= (k∈Z).
2 β 2=- , 2 ,cos 当cos α= 1 = sin时 α 3 2 2 3 3
1.(2017泰州中学第一次质量检测)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=5 ,则m的值为
. 答案
1 2
4
解析 由题意得cos α=
8m
64m 2 9
m 舍 . =- ⇒m= 5 2 2
2014高考数学一轮复习课件3.2同角三角函数的基本关系
x与sin x＋cos x的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化
为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．
1 【尝试解答】 (1)由sin x＋cos x＝ ，平方得 5 1 2 2 sin x＋2sin xcos x＋cos x＝ ， 25 24 整理得2sin xcos x＝－ . 25 49 2 ∵(sin x－cos x) ＝1－2sin xcos x＝ . 25 由－π＜x＜0，知sin x＜0. 又sin x＋cos x＞0，∴cos x＞0，sin x－cos x＜0，
sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？ 【提示】 sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α.
5 1．(人教A版教材习题改编)已知cos(α－π )＝－ ，且 13 α是第四象限角，则sin α ＝( ) 12 12 5 12 A．－ B. C. D．± 13 13 12 13
＝asin α＋bcos β＋4＝5，
∴asin α＋bcos β＝1，
∴f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)＋4
＝－(asin α＋bcos β)＋4＝－1＋4＝3.
【答案】 (1)B (2)A
1 (2013· 揭阳模拟)已知－π ＜x＜0，sin x＋cos x＝ . 5 (1)求sin x－cos x的值； sin 2x＋2sin2x (2)求 的值． 1－tan x
x－cos x的符号的影 π 响．事实上根据条件可进一步判定x∈(－ ，0)． 2 2．对于sin α ＋cos α ，sin α －cos α ，sin α cos α 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可 求，转化公式为(sin α ±cos α )2＝1± 2sin α cos α ，体现 了方程思想的应用．
高考数学第一轮考点复习课件 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：
考 纲
sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
要 求
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
热 点 提 示
同角三角函数的基本关系式和诱导公式是三角函 数部分的重要基础知识，对三角函数的考查都会 涉及到这部分知识，在高考中除了和其他知识一 起综合考查外，有时也直接考查，直接考查时常 以小题形式出现.
sinx＋cosx＝15 ① ， sin2x＋cos2x＝1 ② 由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得 25cos2x－5cosx－12＝0.
∵－π2<x<0，∴scionsxx＝＝－45 35
，
所以 sinx－cosx＝－75.
解法二：∵sinx＋cosx＝15，
∴(sinx＋cosx)2＝(15)2，
解：(1)f(α)＝sinα·ctaonsααs·(i－nαtanα)＝－cosα. (2)∵cos(α－32π)＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－ 525－12＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
【例 1】 已知 sin(3π＋α)＝2sin(32π＋α)，求下列 各式的值．
(1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα；(2)sin2α＋sin2α.
▪ 1．由一个角的一个三角函数值求其他三 角函数值时，要注意讨论角的范围．
▪ 2.注意公式的变形使用，弦切互化、三角 代换、消元是三角代换的重要方法，要尽 量减少开方运算，慎重确定符号．
▪
▪ 3.注意“1”的灵活代换，如1＝sin2α＋ cos2α.
▪ 4.应用诱导公式时，重点是“函数名称” 与“正负号”的正确判断，一般常用“奇 变偶不变，符号看象限”的口诀．