高中数理化常用公式

高中数理化常用公式高中数学常用公式一. 代数 1. 集合，函数{}{}{}()A B B A A B A B x x A x B A B x x A x B A x x U x A card A B card A card B card A B U ⊆⊆⇔==∈∈=∈∈=∈∉=+-，，，且或且 |||()()()()()aa a m n N n a aa a m n N n m n m n m nm nmn=>∈>==>∈>-011101，，，，且且,,()()R n M n M NM N M NM MN aNN N aa n a a a a a a ab b a Na ∈=-=⎪⎭⎫⎝⎛+===log log log log log log log log log log log log ，基本型：()ab f x b a a b f x a ()()log =⇔=>≠>010，，()log ()()a b f x b f x a a a =⇔=>≠01，同底型：a a f x g x a a f x g x ()()()()()=⇔=>≠01，()log ()log ()()()a a f x g x f x g x a a =⇔=>>≠001，换元型：()f a x=0或()f x a log =02. 数列（1）等差数列()()()a a d a a n da Ab A a b m n k l a a a a S a a nna n n dn n n m n k l n n +-==+-⇒=++=+⇒+=+=+=+-1111122121，，成等差（2）等比数列a a q a Gb G ab m n k l a a a a n n m n k l=⇒=+=+⇒=-112，，成等比 ()()()S a q q q na q n n =--≠=⎧⎨⎪⎩⎪111111（3）求和公式()()()()k n n k n n n k n n k nk nk n===∑∑∑=+=++=+⎡⎣⎢⎤⎦⎥12131212121612 3. 不等式a b b a a b b c a ca b a c b c a b c a c b a b c d a c b d a b c ac bc >⇔<>>⇒>>⇒+>++>⇒>->>⇒+>+>>⇒>，，，0()()a b c ac bca b c d ac bd a b d b n Z n a b a b n Z n n n n n ><⇒<>>>>⇒<>>⇒>∈>>>⇒>∈>，，，，0000101()a b a b R a b aba b R a bab a b c R a b c abca b c R a b c abc a b a b a b-≥∈⇒+≥∈⇒+≥∈⇒++≥∈⇒++≥-≤±≤+2+++2233332233，，，，，， 4. 复数()()()()()()()()()()()()a bi c di a c b d a bi a b a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i a bi c di ac bd bc ad ia bi c di ac bd c d bc adc b i +=+⇔==+=++++=++++-+=-+-++=-++++=+++-+，222222()()()a bi a C a bi C bi n n n n n n n +=+++-11…()()()()()[]()[]()()()()()[]a bi r i r i r i r r i r r n i n r i r i r r i r k n i k nk n nn k n +=++⋅+=⋅++++=+++=-+-=+++⎛⎝⎫⎭⎪=-cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθωπθπθ11122212121211222212121222011，，…，z z z z z z z z z z z z z z z z z zzzz z z z z z z z n n121212121212122212121212=⋅==-≤±≤+==±=±⋅=⋅z z z z 1212⎛⎝ ⎫⎭⎪=5. 排列组合与二项式定理()()()()()()()A n n n n m A n n m C A m n n n m m C n m n m C C C C C n m n m nm n m n m n m n m n m n m nn m=---+=-==--+=-=+=+--1211111……!!!!!!!()a b C a C a b C a b C b T C abn n n nn n r n r r n n n r nrn rr+=+++++=--+-0111……二. 三角函数 1. 同角关系sin cos tan sec cot csc sin csc tan sin cos cos sec cot cos sin tan cot 222222111111αααααααααααααααααα+=+=+======，， 2. 诱导公式()()()()()()()()()ααααααααααααααααααtan 180tan cos 180cos sin 180sin tan tan sin sin cos cos tan 360tan cos 360cos sin 360sin ±=±︒-=±︒=±︒-=--=-=-±=±︒⋅=±︒⋅±=±︒⋅ k k k()()()()()()ααααααααααααcot 270tan sin 270cos cos 270sin cot 90tan sin 90cos cos 90sin =±︒±=±︒-=±︒=±︒=±︒=±︒3. 和差公式()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±=± 14. 倍角公式sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan 222211222122222ααααααααααα==-=-=-=-5. 半角公式sincos cos cos tan cos cos tan cos sin sin cos αααααααθθθθθ212212211211=±-=±+=±-+=-=+ 6. 万能公式()sin tantan cos tan tan tan tantansin cos sin ααααααααααααϕ=+=-+=-+=++221212122212222222，a b a b7. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：)ABC (2sin sin sin 外接圆半径为△R R Cc B b A a === 8. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：a b c bc Ab c a ca B c a b ab C222222222222=+-=+-=+-cos cos cos三. 向量运算 1. 向量的加法()()a aa b b aa b c a b c +=++=+++=++002. 向量减法()()()()--=+-=-+=-=+-a aa a a a ab a b 03. 实数与向量的积：以下公式λ、u 为实数，a b 、为向量()()()λλλλλλa a ua u a u a a ua ==+=+()λλλa b a b +=+线段的定比分点：设，P P P 13、、的坐标分别为()x y 11，，()x y ，，()x y 22，，则有：x x x y y y =++=++121211λλλλ向量的数量积及运算律数量积（内积）：a b a b ⋅=cos θ向量b 在a 方向的投影为b cos θ设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则（1）e a a e a ⋅=⋅=cos θ （2）a b a b ⊥⇔⋅=0（3）当a 与b 同向时，a b a b ⋅=； 当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；a a a a a a a⋅===⋅22（4）cos θ=⋅a ba b（5）a b a b ⋅≤数量积运算律：（a ，b ，c 为向量，λ为实数） a b b a ⋅=⋅（交换律）()()()()λλλa b a b a b a b c a c b c⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅四. 解析几何 1. 直线方程()y y k x x y kx b y y y y x x x x x a y bAx By C -=-=+--=--+=++=11121121102. 两点距离、定比分点()()AB x x P P x x y y B A =-=-+-12212212x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121211λλλλ x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1212223. 两直线关系l l A A B B C C 12121212//⇔=≠ 或k k 12=且b b 12≠l 1与l 2重合⇔==A A B B C C 121212或k k 12=且b b 12=l 1与l 2相交⇔≠A A B B 1212或k k 12≠l l A A B B 1212120⊥⇔+=或k k 121=-l 1到l 2的角()tan θ=-++≠k k k k k k 211212110 l 1到l 2的夹角()tan θ=-++≠k k k k k k 211212110 点到直线的距离d Ax By CA B =+++00224. 圆锥曲线（1）圆()()x a y b R -+-=222 圆心为()a b ，，半径为R（2）椭圆()x a y ba b 222210+=>> 焦点()()F c F c 1200-，，，()b ac 222=- 离心率e c a=准线方程x a c=±2 焦半径MF a ex MF a ex 1020=+=-，（3）双曲线：x a y b22221-= （4）抛物线抛物线y px p 220=>()焦点F p 20，⎛⎝ ⎫⎭⎪ 准线方程x p =-2五. 立体几何1. 空间两直线平行判定（1）a b b c a c //////，⇒（2）a b a b ⊥⊥⎫⎬⎭⇒αα// （3）a b a b ////ααβαβ⊂=⎫⎬⎪⎭⎪⇒（4）αβγαγβ//// ==⎫⎬⎪⎭⎪⇒a b a b2. 空间两直线垂直判定（1）a b a b ⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥αα （2）a b l l b //⊥⎫⎬⎭⇒⊥α 3. 直线与平面平行（1）判定a b a b a a a ⊄⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊂⎫⎬⎭⇒ααααβαβ//////// （2）性质a ab a b ////βααβ⊂=⎫⎬⎪⎭⎪⇒4. 直线与平面垂直（1）判定m n m n B l m l n l a b a b ⊂⊂=⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥ααααα，，， //（2）性质a b a b⊥⊥⎫⎬⎭⇒αα//5. 平面与平面平行（1）判定<>⊂=⎫⎬⎪⎭⎪⇒<>⊥⊥⎫⎬⎭⇒<>⎫⎬⎪⎭⎪⇒1 2 3a ba ba b Aaa,//,//////////////βαααβαβαβαγβγαβαβ<>⎫⎬⎭⇒3αγβγαβ//////（2）性质<>==⎫⎬⎪⎭⎪⇒<>⊂⎫⎬⎭⇒1 2αβγαγβαβααβ////////aba b a6. 平面与平面垂直（1）判定<>⊂⊥⎫⎬⎭⇒⊥1aaαβαβ<2>二面角的平面角θ=︒90（2）性质<>⊥=∈⊥⎫⎬⎭⇒⊥<>∈∈⊥⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊂12αβαβαβααββα，，， b a a b a A a A a a 7. 几何体的侧面积S ChS Ch 正棱柱侧正棱锥侧==12' S RhS RlS R 圆柱侧圆锥侧球===242πππ8. 几何体的体积V ShV Sh V R h V R h V R 棱柱棱锥圆柱圆锥球=====131343223πππ六. 概率与统计1. 概率性质（1）p i i ≥=012，，，……；（2）p p 121++=……2. 二次分布()C p qb k n p n k k n k -=；， 3. 期望()E x p x p x p E a b aE b n n ξξξ=+++++=+1122…………若()ξ~B n p ，，则E np ξ=4. 方差()()()D x E p x E p x E p n n ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+1212222………… 5. 正态分布()()f x e x x u ()=∈-∞+∞--12222πσσ，，式中的实数u ，σσ(>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差。