受迫振动中振幅和频率的讨论
受迫振动中振幅和频率的讨论
+ C 2e
i w2 - g 2 t
)
有欧拉公式e = cos b i sin b - gt 2 2 2 2 x = e [C 1 (cos w - g t - i sin w - g t )
+ C 2 (cos w - g t + i sin w - g t )] x = e
- gt 2 2 2 2
2
= 0
进行两次积分，得到：
C (t ) = C 1x + C 2
其中C 1，C 2 为任意常数， 在动力学之中,两个常数与运动有关。
x = C (t )e = e
lt
- gt
(C 1x + C 2 )
以上为齐次方程的通解情况
接下来我们求非齐次方程的特解：
d x dx 2 + 2 g + w x = f cos W t + f sin W t 1 2 2 dt dt
利用待定系数法求解两个微分方程
d x
f1 f2 dx 2 iW t + 2 g + w x = e ( + ) 2 dt 2 2i dt
2
° iW t 设方程的特解为x1 = Pm (t )e
Pm (t )是一个关于t的m 次多项式
° iW t x1 = Pm (t )e 代入原方程，得到：
- We +e
m 令 = 2g m
k = w2 m
F1 m
= f1 ,
F2 m
= f2
方程变为以下形式
d x dx 2 + 2 g + w x = f cos W t + f sin W t 1 2 2 dt dt
受迫振动实验报告
受迫振动实验报告
实验目的：
1. 观察受迫振动现象；
2. 研究受迫振动的频率与外力频率之间的关系。
实验原理：
受迫振动是指在一个振动系统中加入外力的情况下，振动系统受到外力的作用而发生振动。
受迫振动的频率与外力频率有关，外力频率等于振动系统的固有频率时，振动幅度最大。
实验器材：
1.弹簧振子；
2.外力源；
3.震动台。
实验步骤：
1.将弹簧振子固定在震动台上，并调整弹簧振子的松紧程度，
使其能够产生自由振动。
2.将外力源连接到弹簧振子上，并调节外力源的频率，使其与
弹簧振子的固有频率相等。
3.观察弹簧振子的振动情况，并记录其振动幅度。
4.逐渐调整外力源的频率，观察和记录弹簧振子的振动情况。
5.根据观察结果，绘制受迫振动的振幅-频率图。
实验结果：
1.当外力频率等于弹簧振子的固有频率时，振动幅度最大。
2.当外力频率与弹簧振子的固有频率有一定的偏差时，振动幅
度逐渐减小。
实验结论：
通过实验可以得出以下结论：
1.受迫振动的频率与外力频率之间存在关系，外力频率等于振动系统的固有频率时，振动幅度最大。
2.外力频率与振动系统的固有频率存在偏差时，振动幅度逐渐减小。
3.受迫振动是一种通过外力作用使振动系统发生振动的现象。
实验总结：
本实验通过观察弹簧振子的受迫振动现象，研究了受迫振动的频率与外力频率之间的关系。
通过实验可以进一步了解振动现象，并且掌握了观察和记录实验现象的方法。
受迫振动共振实验报告
一、实验目的1. 了解受迫振动的基本原理和共振现象。
2. 通过实验验证受迫振动共振的条件，并观察共振现象。
3. 研究不同频率、阻尼和激励力对受迫振动共振的影响。
4. 掌握实验数据采集和分析方法，提高实验技能。
二、实验原理受迫振动是指在外力作用下，物体发生的振动现象。
当外力的频率与物体的固有频率相同时，会发生共振现象，此时物体的振幅达到最大值。
实验原理基于牛顿第二定律，物体的运动方程可表示为：\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) \]其中，\( m \) 为物体的质量，\( c \) 为阻尼系数，\( k \) 为弹簧劲度系数，\( x \) 为物体的位移，\( F(t) \) 为外力。
当外力为简谐振动时，即 \( F(t) = F_0 \cos(\omega t) \)，则运动方程可简化为：\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t) \]三、实验仪器与设备1. 波尔共振仪2. 信号发生器3. 数字示波器4. 阻尼器5. 连接线四、实验步骤1. 将波尔共振仪的摆轮与阻尼器连接，并调整阻尼器，使摆轮处于自由振动状态。
2. 打开信号发生器，设置合适的频率和幅度，产生简谐振动信号。
3. 将信号发生器的输出信号连接到波尔共振仪的输入端，开始实验。
4. 使用数字示波器观察波尔共振仪的振动信号，记录振幅和频率。
5. 调整信号发生器的频率，观察共振现象，记录共振频率和振幅。
6. 改变阻尼器的阻尼系数，观察阻尼对共振现象的影响。
7. 改变激励力的幅度，观察激励力对共振现象的影响。
五、实验结果与分析1. 实验结果表明，当信号发生器的频率与波尔共振仪的固有频率相同时，发生共振现象，振幅达到最大值。
2. 随着阻尼系数的增加，共振频率逐渐降低，振幅逐渐减小。
3. 随着激励力幅度的增加，共振现象更加明显，振幅达到最大值。
六、实验结论1. 受迫振动共振现象是当外力频率与物体的固有频率相同时，物体振幅达到最大值的现象。
受迫振动的实验报告
受迫振动的实验报告实验报告：受迫振动一、实验目的：1. 了解受迫振动的基本概念和特性；2. 掌握受迫振动系统的建模和分析方法；3. 验证理论分析模型与实验结果的一致性。
二、实验器材和仪器：1. 受迫振动装置（包括弹簧、质量块、驱动器等）；2. 实验台；3. 示波器；4. 动力计。
三、实验原理与内容：1. 受迫振动的基本概念：受迫振动是指振动系统在外界周期性作用力的驱动下发生的振动。
外力的周期性变化会使振动系统发生非简谐振动，其振幅和频率与驱动力的特性有关。
2. 实验装置和建模：实验中使用的受迫振动装置由一个弹簧和一个质量块组成。
弹簧与质量块形成振动系统，驱动器通过周期性的施加力将振动系统带入受迫振动状态。
建立受迫振动系统的模型时，可以将振动系统简化为单自由度振动系统，并假设该系统的阻尼为零。
通过对质量块的运动进行观察和分析，可以得到受迫振动系统的振幅和频率等特性。
3. 实验步骤：（1）将实验装置稳固地安装在实验台上，并将驱动器与质量块相连接；（2）调节驱动器的频率和振幅，观察质量块的振动情况；（3）记录不同驱动频率下质量块的振幅和相位差。
四、实验结果与数据处理：1. 驱动频率-振幅曲线：将驱动频率作为横坐标，振幅作为纵坐标绘制曲线图。
根据实验数据得到的曲线，可以观察到受迫振动系统的共振现象，并可以确定共振频率和振幅。
2. 驱动频率-相位差曲线：将驱动频率作为横坐标，相位差作为纵坐标绘制曲线图。
根据实验数据得到的曲线，可以判断受迫振动系统的相位差与驱动频率的关系。
3. 对比理论模型与实验数据：将实验得到的驱动频率-振幅曲线和相位差曲线与理论模型进行对比。
通过对比可以评估理论模型的准确性和适用范围。
五、实验结论与讨论：1. 根据实验结果可以得出受迫振动系统具有共振现象，在共振频率附近振幅显著增大。
2. 实验数据与理论模型的对比结果显示，理论模型能够较好地描述受迫振动系统的振幅和相位差特性。
3. 受迫振动实验可能存在的误差主要来自驱动器的精度和实验环境的影响。
受迫振动与共振实验报告
实验报告：受迫振动与共振1.实验目的：本实验旨在通过研究受迫振动与共振现象，探究受迫振动的特点和共振的产生条件，并对实验结果进行分析和讨论。
2.实验器材：振动平台弹簧、质量块受迫振动装置功率放大器示波器频率计3.实验原理：受迫振动是指一个振动系统受到外力的作用，从而导致振幅的变化和相位的偏移。
在一定条件下，当外力的频率与系统的固有频率相等时，共振现象就会出现，此时振幅达到最大。
4.实验步骤：步骤1：搭建受迫振动装置，包括振动平台、弹簧和质量块。
步骤2：调整振动平台的频率和振幅，使其与受迫振动装置的固有频率相等。
记录调整后的频率和振幅值。
步骤3：接通功率放大器，调节输出功率，使受迫振动装置的振幅达到最大。
记录此时的频率和振幅值。
步骤4：使用示波器观察受迫振动的振动曲线，并记录相关数据。
步骤5：根据实验数据计算共振频率和共振宽度，并进行分析和讨论。
5.实验结果：调整后的频率和振幅值记录如下：频率：X Hz振幅：X cm受迫振动装置达到共振的频率和振幅值记录如下：共振频率：X Hz共振振幅：X cm6.实验讨论：通过实验数据计算得到的共振频率和共振宽度是否符合理论预期？受迫振动的振幅是否随着外力频率的增加而增加？如何改变外力的频率和幅度，以观察受迫振动的不同响应？7.实验结论：受迫振动是受到外力作用的振动，其振幅和相位会随着外力频率的变化而发生变化。
共振是指外力频率与系统固有频率相等时，振幅达到最大的现象。
通过实验可以观察到受迫振动的共振现象，并计算出共振频率和共振宽度。
以上为受迫振动与共振实验报告的基本内容和结构。
根据实际情况，还可以添加实验数据的图表、数据分析和实验误差的讨论等内容。
5.6受迫振动的研究
5.6 受迫振动的实验研究振动是自然界中最常见的一种运动形式，由受迫振动所引起的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。
共振现象具有极大的破坏作用，因而减振和防振成了工程技术和科学研究的重要任务；但随着科学研究的发展，人们发现，共振在许多领域中还有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作；为探索物质的微观结构，常采用核磁共振和顺磁共振的研究方法等。
研究受迫振动特性，主要是研究受迫振动的振幅与频率的关系特性以及相位与频率的关系特性。
通常将这两种特性简称为幅频特性和相频特性。
【实验目的】1、 研究摆轮作受迫振动时的幅频特性和相频特性。
2、 研究施加不同的阻尼力矩，对受迫振动的影响，观察共振现象。
3、 学习用频闪法测定摆轮的角位移与驱动力矩的相位差。
【实验原理】物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为驱动力。
如果驱动力是按余弦(或正弦)规律变化，那么当振动状态稳定时，受迫振动也将按余弦(或正弦)规律振动。
此时，振幅保持恒定，其大小与：⑴驱动力的频率；⑵原振动系统无阻尼时的固有振动频率；⑶阻尼系数等因素有关。
在受迫振动状态下，系统除了受到驱动力(矩)的作用外，同时还受到回复力(矩)和阻尼力(矩)的作用。
所以在振动状态稳定时，物体的位移变化与驱动力(矩)的变化不是同相位的，而是存在一个相位差（位移的相位落后于驱动力(矩)的相位）。
当驱动力矩频率与系统的固有频率相同而产生共振时，物体的振动振幅达到最大，此时位移与驱动力(矩)的相位差为－90°。
本实验的研究对象是一个摆轮，摆轮同时在如下三个力矩的作用下作振动运动：⑴在蜗卷弹簧提供的弹性力矩作用下作自由摆动；⑵在电磁线圈产生的阻尼力矩作用下作阻尼振动；⑶在电动机-偏心轮-连杆机构系统提供的驱动力矩作用下作受迫振动。
这样可以直观地显示机械振动中的一些物理现象。
设摆轮受到的周期性驱动外力矩为t M M ωcos 0=，0M 为驱动力矩的幅值，ω为驱动力的圆频率；而弹性力矩为θk -，k 是蜗卷弹簧的劲度系数；如果摆轮运动时的角速度不是很大，则可认为阻尼力矩（包括空气阻尼和电磁阻尼）与角速度成正比，即阻尼力矩为dtd b θ-，b 称为阻力矩系数；当摆轮对转轴的转动惯量为J 时，摆轮的动力学方程可表达为t M dt d b k dtd J ωθθθcos 022+--= （1）令 J k =20ω，Jb =β2，J Mf 00=则式（1）变为t f dtd dt d ωθωθβθcos 202022=++ （2） 当0cos 0=t f ω时，式（2）即为阻尼振动方程。
受迫振动实验实验报告
一、实验目的1. 理解受迫振动的概念，掌握受迫振动的特性。
2. 通过实验观察受迫振动现象，验证受迫振动的幅频特性和相频特性。
3. 研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。
4. 学习用频闪法测定运动物体的某些量，如相位差。
二、实验原理1. 受迫振动：物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为策动力。
如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动。
此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。
2. 幅频特性：当策动力的频率与系统的固有频率相同时，系统产生共振，振幅最大。
3. 相频特性：在稳定状态时，物体的位移与策动力变化相位不同，存在一个相位差。
4. 频闪法：通过观察物体在特定频率下闪烁的次数，可以测量物体的运动周期，从而求得相位差。
三、实验仪器1. 波尔共振仪2. 频闪仪3. 秒表4. 直尺5. 数据采集器四、实验步骤1. 将波尔共振仪安装好，调整摆轮使其自由摆动。
2. 开启波尔共振仪，设置策动力频率，观察摆轮的振动情况。
3. 使用频闪仪拍摄摆轮振动图像，通过频闪法测定摆轮的运动周期。
4. 记录不同频率下的摆轮振幅，绘制幅频特性曲线。
5. 调整阻尼力矩，观察摆轮振动情况，记录不同阻尼力矩下的振幅。
6. 分析实验数据，验证受迫振动的幅频特性和相频特性。
五、实验结果与分析1. 实验结果显示，随着策动力频率的增加，摆轮振幅先增大后减小，并在某一频率下达到最大值，即共振现象。
2. 当阻尼力矩增加时，摆轮振幅逐渐减小，共振频率不变。
3. 通过频闪法测定摆轮的运动周期，可以得到相位差。
4. 实验结果与理论分析相符，验证了受迫振动的幅频特性和相频特性。
六、实验结论1. 受迫振动是物体在周期外力作用下发生的振动，其振幅与策动力频率、固有频率和阻尼系数有关。
2. 当策动力频率与固有频率相同时，系统产生共振，振幅最大。
受迫振动实验报告总结
受迫振动实验报告总结实验目的本实验旨在通过研究受控物体在受迫力作用下的振动特点，探讨谐振、共振、幅频特性等相关问题，加深对振动现象的理解。
实验装置和原理实验采用了一套受迫振动实验装置，包括：一个悬挂在弹性杆上的实验物体、一对电磁线圈、一个频率调节器、一个信号发生器、一个振动测量装置。
其中实验物体连接电磁线圈，当电磁线圈通过交流电流时，对实验物体施加周期性的受迫力。
实验步骤1. 将实验物体悬挂在弹性杆上，并调整实验物体的位置，使其处于自由落体平衡状态。
2. 调节频率调节器，采用不同的频率进行实验，观察实验物体的振动情况，并记录测得的数据。
3. 利用信号发生器调节电磁线圈的交流电流频率，将频率调至实验物体的谐振频率附近，观察实验物体的共振现象。
4. 将实验物体的频率与电流大小、振幅等参数进行测量，得出实验物体的幅频特性曲线。
实验结果与分析经过实验观察及测量，得到了一系列实验数据，并绘制了相应的图表。
实验结果显示，实验物体在受迫力作用下产生了振动，且振幅与频率存在一定的关联性。
谐振现象通过调节频率调节器，我们观察到实验物体在达到一特定频率时出现了谐振现象。
在该频率下，实验物体的振幅较大，且对外界干扰较为敏感。
这一现象说明，当受迫力的频率与实验物体的固有频率相近时，能量传递效率较高，振动幅度达到最大。
幅频特性曲线根据实验数据绘制的幅频特性曲线显示，实验物体的振幅随着频率的变化呈现出一定的规律性。
在低频范围内，振幅逐渐增加；而在谐振频率附近，振幅达到最大值；随后在高频范围内，振幅逐渐减小。
实验讨论与改进在实验过程中，我们发现了一些问题，并对实验结果进行了讨论和分析。
首先，由于实验条件的限制，我们无法精确测量实验物体的振动频率和振幅，可能存在一定的误差。
其次，实验过程中可能会受到外界干扰因素，如空气阻力、弹簧老化等，这些因素可能会对振动现象产生一定影响。
为提高实验的准确性和可靠性，我们可以进行以下改进措施：增加测量仪器的精度、减小外界干扰因素、多次重复实验取平均值等。
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el t (l 2 + 2gl + w2 ) = 0
Q el t > 0 \ l 2 + 2gl + w2 = 0
这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的 特征方程。我们用一元二次方程的求根公式 求解方程。
得l = - g - g2 - w2 1
l 2 = - g + g2 - w2
讨论根的情况
方程的两个特解为：
C e 2 g2 - w2t
C (t ) = 1
+C
1
2 g2 - w2
2
C (t ) =
C e' - 2 g2 - w2t 1
+ C'
2
- 2 g2 - w2
2
可以看到：
C 1
，
C' 1
也是任意常数
2 g2 - w2 - 2 g2 - w2
令C =
C 1
,C ' =
C' 1
1 2 g2 - w2 1 - 2 g2 - w2
dt
两边积分，得到：
e2(g+ l )t dC (t ) = C
dt
1
dC (t ) dt
=
C 1e-
2( g + l )t
再次积分，得到：
C (t ) =
C e- 2(g + l )t 1
- 2(g + l )
+
C2
l = - g - g2 - w2 1
l = - g + g2 - w2 2
代入C(t),得：
受迫振动中振幅和频率的讨论
关于受迫振动的微分方程
• 振子的受力情况： • 回复力、阻力、策动力
• 回复力： F回-
m dt
策动力的讨论
• 一般情况下策动力需要周期性变化，因此， 我们可以用弦类函数去表示策动力
• 同时策动力一般是有稳定的最大值 • 我们看到在受迫振动中，策动力成为振子
12
1
2
通解为x = C e(- g-
+ C e g2 - w2 )t
(- g+
g2 - w2 )t
1
2
C ,C 为两个与振子运动有关的常数 12
至于C ,C 究竟等于什么， 12
我们会在求解非齐次方程之后说明
如果g2 < w（2 阻尼振动）
那么l , l 均为复数， 12
l = - g - w2 - g2i 1
运动的主要因素。所以策动力的方向应该 与位移方向相同。
\ F策动 = F1 cos Wt + F2 sin Wt
几处要点
• 使用余弦函数与正弦函数叠加，是为了使 策动力能取到不同的相位。
• 余弦函数与正弦函数周期相同，是为了使 策动力的最大值在任意一个周期内都为一 个定值。
• 在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下， 策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类 函数。
方程两边同时乘以e(l + 2g)t , 得到
e2(g +
l
)t
d 2C [
(t
)
+
2(g +
dC (t ) l ) ]=
0
dt 2
dt
e2(g + l )t
d2C (t ) +
2(g +
l )e2(g+ l )t
dC (t)
=
0
dt 2
dt
\ d (e2(g+ l )t dC (t )) = 0
dt
=
f1,
2
m
=
f2
方程变为以下形式
d2x + 2g dx + w2x = f cos Wt + f sin Wt
dt 2
dt
1
2
对应的齐次方程为
d2x + 2g dx + w2x = 0
dt 2
dt
设方程的一个解为： x = el t
代入齐次方程
l 2el t + 2gl el t + w2el t = 0
2
1
2
可以看到，两者是等价的 因此，解可以合并为：
x = C e + C e (- g- g2- w2 )t
(- g + g2 - w2 )t
1
2
其中C ，C 为任意常数，
1
2
在动力学之中,两个常数与运动有关。
同时，γ与ω的大小关系也会对方程的形 式产生影响
如果g2 > w2(过度衰减)
那么l , l 均为实数，且l ¹ l
l = - g + w2 - g2i 2
x = C e + C e (- g- g2- w2 )t
(- g + g2 - w2 )t
1
2
x = C e + C e (- g- w2- g2i)t
C (t ) = C e2 g2- w2t + C
1
1
2
C (t ) = C 'e- 2 g2- w2t + C '
2
1
2
l = - g1
g2 - w2 l 2 = - g +
代入x = C (t )el t，得
g2 - w2
x = (C e2 g2- w2t + C )e(- g- g2- w2 )t
微分方程
m d2x dt 2
=
- kx -
mdx dt
+
F1
cos Wt
+
F2
sin Wt
d2x +
m dx +
k
x=
F 1 cos Wt +
F 2 sin Wt
dt 2 m dt m m
m
这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程
为了简化运算，我们做参数替换
令 m = 2g k = w2
m
m
F
F
1
m
1
1
2
x = C e + C e (- g+ g2- w2 )t
(- g- g2 - w2 )t
1
1
2
x = (C 'e- 2 g2 - w2t + C ' )e(- g+ g2 - w2 )t
2
1
2
x = C e + C e ' (- g- g2- w2 )t
' (- g + g2 - w2 )t
° ° (- g- g2 - w2 )t
(- g + g2 - w2 )t
x = e x = e 1
2
但是，上述两个解都不含有任意常数， 所以它们都不是方程的通解。 我们可以利用常数变易法去讨论
在上述方程的解中γ，ω，1均为常数， 但是前两者由方程给定，只有“1”是 我们的假设。
所以，我们可以把“1”，变为一个与自 变量t有关的变常数C(t).
令x = C (t )el t , 并代入方程，得
[l 2el tC (t ) + l el t dC (t ) + l el t dC (t )
dt
dt
+el t
d 2C (t ) ]+
2g[l
el tC (t )
+
el t
dC (t )]
dt 2
dt
+ w2el tC (t ) = 0
对方程进行整理，可以得到：
el
t
d [
2C
(t
)
+
2(g
+
l
dC (t) )
+
dt 2
dt
(l 2 + 2gl + w2)C (t )] = 0
这里出现了l 2 + 2gl + w2
显然，l 2 + 2gl + w2 = 0
\ el t [d2C (t ) + 2(g + l ) dC (t )] = 0
dt 2
dt
γ+λ≠0时，使用积分因子法对方程进行处理