结构动力学振动分析的矩阵迭代法
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有限元法与程序-结构振动3
（1）标准Lanczos法
设标准特征值问题
K {x} {x}
其中：K为n×n阶矩阵。首先选取适当的初始迭代
向量｛U1｝，且｛U1｝T｛U1｝=1计算
{U k 1} ( K{U k } k {U k } k {U k 1}) / k 1
1 0
其中，
k {U k }T K{U k }
{ x} 1{ y1 } 2 { y 2 } q { y q } i { y i } Y { }
i 1 q
由Rayleigh商得
{x}T K {x} { }T Y T KY{ } R({x}) T {x} M{x} { }T Y T MY{ }
2. 子空间迭代法 由上节讨论知道，逆迭代法可以使迭代向量向 最低阶特征向量靠近。利用这一点，把逆迭代 法和Rayleigh-Ritz法相结合，交替使用逆迭代 法和Rayleigh-Ritz法，即用逆迭代中的初始向 量组作为Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子 空间中求解低阶广义特征值问题，再用子空间 中的特征向量作为Ritz基的坐标，得到一组新 的Ritz基向量，即迭代向量。不断改善Ritz向 量基，使得Ritz基向量空间不断向原问题的q 阶向量空间靠拢，从而求得越来越精确的解， 这就是子空间迭代法的基本思想 。
令β1=1，作 （1） k {U k }T M{uk }
（2） {wk } {u k } k {U k }
T { w } M{wk } （3） k 1 k
（4） {U k 1} {wk } / k 1
（5） {uk 1} K 1 M{U k 1} k 1{U k }
2({}T M {})K {} 2({}T K {})M {} {0}
结构动力学振动分析的矩阵迭代法
1.000 0.733 0.400
（2） 1
18.10 12.10 5.80
（2） 1
1.000 0.669 0.320
（3） 1
17.296 11.296 5.287
（3） 1
1.000 0.653 0.306
（4） 1
17.121 11.121 5.182
（4） 1
1.000 0.650 0.303
其中
D2 DS1
（13-31） （13-32） （13-33）
此时，可用下式近似计算频率
式中
22 （（（2211）））mTm2(1)(20)
（1） 2
D
（0）
22
（13-34）
用这个方法确定第二振型以前，必须要先求得第一振型。
一般来说，第二振型的精度比第一振型大致上降低一位有效 数字，若想要第二振型分析时得到满意的结果，在计算滤型 矩阵S1时，用到的第一振型必须具有非常高的精度。
ˆn n2k 1mˆn
（13-2） （13-3）
D k 1m （动力矩阵） （13-4）
ˆn n2Dˆn
（13-5）
先假定试探位移向量（10），使它尽可能接近第一振型的
形状，而振幅是任意的。即：
（1） 1
n2 D（1 0）
（13-5a）
下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭 代的结果。
或
（1） 1
N
n 1
Dφ
nn2Yn(0)(n1
)2
φ n n2Dφ n
（13-17） （13-18）
将其代入式（13-17）得
（1） 1
（2） 1
18.10 12.10 5.80
（2） 1
1.000 0.669 0.320
（3） 1
17.296 11.296 5.287
（3） 1
1.000 0.653 0.306
（4） 1
17.121 11.121 5.182
（4） 1
1.000 0.650 0.303
其中
D2 DS1
（13-31） （13-32） （13-33）
此时，可用下式近似计算频率
式中
22 （（（2211）））mTm2(1)(20)
（1） 2
D
（0）
22
（13-34）
用这个方法确定第二振型以前，必须要先求得第一振型。
一般来说，第二振型的精度比第一振型大致上降低一位有效 数字，若想要第二振型分析时得到满意的结果，在计算滤型 矩阵S1时，用到的第一振型必须具有非常高的精度。
ˆn n2k 1mˆn
（13-2） （13-3）
D k 1m （动力矩阵） （13-4）
ˆn n2Dˆn
（13-5）
先假定试探位移向量（10），使它尽可能接近第一振型的
形状，而振幅是任意的。即：
（1） 1
n2 D（1 0）
（13-5a）
下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭 代的结果。
或
（1） 1
N
n 1
Dφ
nn2Yn(0)(n1
)2
φ n n2Dφ n
（13-17） （13-18）
将其代入式（13-17）得
（1） 1
第十三章 振动分析的矩阵迭代法
(13-27)
M1
不包含第一振型的试探形状为
0 0 20 v v 1Y 2 1
(13-28)
§13.4 高阶振型分析 在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是 应用淘汰矩阵S1
2 v 0 v 0 2 1 11T mv 0 S1v 0 2 2 M1
ˆ ˆ v=n 2Dvn
v1 =Dv1
1 0
(13-5)
(13-5a)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
1
2 1
1 =v1 v
1 1
(13-6*)
考虑任一点k的位移
1
12
1 vk0 =vk1 1
(13-7*)
2 1
0 v
k1 1 vk1
该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.1 3
2s
(13-23)
最终结果可视为
v1
s
1Y1(0) 1 (0) max(1Y1 )
(13-24)
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
(13-32)
D2 =DS1
(13-33)
此时可用下式计算频率
2 2 (1)
(1) T (v 2 ) mv(0) 2 (1) (1) v 2 mv 2
(13-34)
v 2 D 2 v(0) 2
§13.4 高阶振型分析 第三和更高振型的分析
高等结构动力学
净化了的第三振型的形状为
(0) 3 v (0) Y (0) Y (0) v 3 1 1 2 2
N
k
i
《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解
A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI
r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G
i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G
1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin
2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x
4
代入得
a
2
a2
0 2
a
1
2
a
3 i
a
4 i
a
结构动力学6-2014
Sm k
1
ˆ Sv
(i )
ˆ v
2
( i 1)
工程抗震研究所 Institute of Earthquake Engineering DUT
刘君 2014-11-16
5
(0) ˆ v
1 1 1
ˆ S v
(0)
大连理工大学土木水利学院 Dalian University of Technology
大连理工大学土木水利学院 Dalian University of Technology
M
1
1 0 0 0 0.5 0 0 0 1
1 0 1 0 0 2 1 0 2 1 S M K 0 0.5 0 1 2 1 0.5 1 0.5 1 2 0 0 1 0 1 2 0
1 0 0 0 2 0 M 0 0 1
2 1 0 1 2 1 K 0 1 2
Dk m
1
ˆ Dv
(i )
1
2
( i 1) ˆ v
9
工程抗震研究所 Institute of Earthquake Engineering DUT
Sm k
1
ˆ Sv
(i )
ˆ v
2
( i 1)
工程抗震研究所 Institute of Earthquake Engineering DUT
刘君 2014-11-16
7
无阻尼自由振动运动方程
ˆ 0 [k m]v
2
大连理工大学土木水利学院 Dalian University of Technology
大型结构振动分析方法
对于等截面杆均匀杆，其单元质量矩阵为：
6.1.3 坐标转换
140 0 0 70 0 0
0
156
22l
0
54
13l
Μe
ml 420
0 70
22l 0
4l 2 0 13l 0 140 0
3l 2
0
0 54 13l 0 156 22l
0
13l 3l 2
0
22l
4l 2
单元特性矩阵是在局部坐标系下建立的，但是在考虑节点力的平衡和位移连续
在动力问题中，位移是空间坐标和时间坐标的函数。一般采用在空间中 离散结构的方法。
单元与结点划分： 单元：均质等截面直杆。 结点：杆件两端、断面突变位置、集中质量位置。
基本未知量：结点的位移和转角。 由变形协调条件可知，某结点的位移也就是汇交于此结点处的各
杆的杆端位移。确定了以结点位移为参数来表达杆内任一点位移函数 后，不难进一步写出惯性力、阻尼力、弹性内力等各种量的表达式。 这样通过限单元法便将一个原无限自由度体系动力问题转变成一个以 有限个结点位移为广义坐标的多自由度体系的动力问题。
(1)外荷载作用下的杆端力列阵 FGe
单元两端位移和转角为零。单元 上作用任意分布的外载荷，计算 该外载荷引起的杆端的弯矩。
杆元作用任意载荷，图（a）给出 了杆端力的正向。 另假设一个杆元，没有外载荷作
用，仅在i端发生单位角位移。
功的互等定理：图(a)杆元载荷在图(b)杆元变形上做的功等于图(b)
x l u (l,t) u j (t)
可解出
a0 (t) ui (t)
1 a1(t) l [u j (t) ui (t)]
u
(
x,
结构动力学7
{ψ } [ K ]{ψ } ρ (ψ ) = {ψ }T [ M ]{ψ }
T
若假设振型{ψ}接近结构的基本振型，则Rayleigh熵为：
{ψ }T [ K ]{ψ } ρ (ψ ) = ≈ ω12 {ψ }T [ M ]{ψ }
7.1 Rayleigh法 ——近似的证明
假设振型可表示为结构固有振型的线性组合
{ } = ∑{φ}iYi = [φ ]{Y } ψ
i =1
N
设振型为正交归一化振型，则Rayleigh熵可表示为
{Y }T [φ ]T [K ][φ ]{Y } = N Y 2ω 2 / N Y 2 ρ (ψ ) = T T ∑i i ∑i {Y } [φ ] [M ][φ ]{Y } i =1 i =1
7.2 Rayleigh-Ritz法 虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的 近似解，但在动力分析中，为得到足够精确的 结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。 Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固 有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的 振型。 Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其 Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程 组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振 频率和自振振型。
7.1 Rayleigh法
结构最大动能：
T=
1 2 2 Z ω {ψ }T [ M ]{ψ } cos2 ωt 2
E=
1 2 Z {ψ }T [ K ]{ψ }sin 2 ωt 2
Tmax
：
Emax
1 2 = Z {ψ }T [ K ]{ψ } 2
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
(同济大学)结构动力学教程 第六章 结构动力学中常用的数值方法
（2） 求解位移向量： [K ]{x}t+θ∆t = {R}t+∆t
{x}t+∆t = a4 ({x}t+θ∆t − {x}t ) + a5{x}t + a6{
（3） 求解加速度、速度、位移向量：{x}t+∆t = {x}t + a7 ({x}t+∆t + {x}t ) {x}t+∆t = {x}t + ∆t{x}t + a8 ({x}t+∆t + 2{x}
（{Q}t+θ∆t = {Q}t +θ ({Q}t+∆t −{Q}t )） 以位移 {x}t+θ∆t 为未知量建立求解方程，即：
[K ]{x}t+θ∆t = {R}t+θ∆t
式中，
[K ] = [K ] + 1 [M ] + 3 [C]
(θ∆t ) 2
θ∆t
{R }t +θ∆t
= {Q}t
+ θ ({Q}t+∆t
x
xt+∆
t + ∆t
用同样方法处理位移
泰勒展开：{x}t+∆t
= {x}t
+ {x}t ∆t +
1 {~x}∆t 2 2
类似地设 t → t + ∆t 时间间隔内：{x} = {x}t + 2δ ({x}t+∆t − {x}t )
(0 ≤ δ ≤ 0.5)
{x}t+∆t = {x}t + {x}t ∆t + (0.5 − δ ){x}t ∆t 2 + δ {x}t+∆t ∆t 2
与原矩阵a相关联的矩阵设矩阵a的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量仍为非奇异则的逆矩阵存在为其特征值相似即有可逆矩阵存在使的特征值也为特征向量为特征值的和与积设矩阵的特征值为则有供校核用特征向量规范化设矩阵的特征向量为的特征向量
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（13-34）
式中
（1） 2
D
（0） 2 2
用这个方法确定第二振型以前，必须要先求得第一振型。 一般来说，第二振型的精度比第一振型大致上降低一位有效 数字，若想要第二振型分析时得到满意的结果，在计算滤型 矩阵S1时，用到的第一振型必须具有非常高的精度。
克拉夫书P210 例题E13-2
1
或
（1） 1
1 2 D φ nnY n ( ) n 1 n
N
2 (0 )
2 φ n n Dφ n
（13-17）
（13-18）
将其代入式（13-17）得
（1） 1
1 2 φ nY n ( ) n 1 n
N
(0 )
（13-19）
(1) (1) max( ) 用最大的基准元素 去除 1 ，使之规格化， 1 (1) 1 从而得到最后改进的第一次迭代循环的形状 ，因此
2015200049
学院：土木工程学院 班级：学硕结构一班 姓名：张桂斌 学号：2015200049
振动分析的矩阵迭代法 （克拉夫书-第13章）
1.引言 结构动力学求解实际问题的数学模型，从几个自 由度的体系，到几百甚至几千个自由度的有限元模 型，其中可能多达五十到一百个振型对反应有不可 忽略的影响。为有效地处理这些实际问题，需要较 行列式求解方法更有效的振动分析方法。 问题—如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假设初始振型并迭 代调整至实际振型的适当近似，再由运动方程确定 震动频率。
将式（13-29）代入式（13-31），得到
（13-31）
1 （1） （0） （0） DS D ~ 1 2 2 2 2 2 2
其中
（13-32）
D2 用下式近似计算频率
（ ）m m
2 2
（1） T (0 ) 2 2 （1） (1) 2 2
（0） 1
(0 )
φY
（0） 1 1
φ Y
（0） 2 2
φ Y
（0） 3 3
（13-14）
第一振动频率的振动形状所对应的惯性力为
(0 ) 2 f(0) 12m1 1 m(0)
2 2 2 ( / ) 记 1 ，展开得 n 1 n
（13-15）
四次迭代以后，形状已收敛到足够的精度。
按式（13-13）求第一振型频率：
max （ ） 1.000 210 .77 max （ ） 1 / 3600 17.082 1 14.52 rad / s
2 1 （4） 1 （5） 1
3.收敛性的证明
最初假定的形状可用正规坐标表示为
ˆ ˆ n n D n
（0）
（13-5）
先假定试探位移向量 1 ，使它尽可能接近第一振型的 形状，而振幅是任意的。即：
（ 1） 1
n D
2
（0） 1
（13-5a）
下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭 代的结果。
振型幅值依赖于未知频率，但在迭代过程中只需 要振型形状，省去频率后的改进形状表示为：
φ m
T 1
（0） 2
φ mφ Y
T 1
T 1
（0） 1 1
φ mφ Y
T 1
（0） 2 2
（13-26）
由于振型的正交特性，第一振型分量幅值为
Y
（0） 1
φ m M1
（0） 2
（13-27）
不包含第一振型的试探形状为
（0） （0） (0) φ Y ~2 2 1 1
(0)
（13-21）
按此方式继续进行，经过s次循环后得到结果
(s ) （0） （13-22） 1 （0） 1 2s （s） 1 1 φ Y φ 2Y 2 ( ) (s ) (s ) 1 1 2 max（ 1 ） max（ 1 ）
1 1 2
（13-10）
把质量分布作为一个加权系数，取平均值 求频率的近似值。
2 1
m m
(1) T 1 （1） T 1
(0 ) 1 (1) 1
（13-11）
当迭代过程收敛，s 次循环后的频率为：
max （ max （
2 1
（s 1） 1 （s） 1
） 1 （13-13） （s） ） max （ 1 ）
18 .10 12 .10 5.80
1.000 0.669 0.320
17 .296 11 .296 5.287
3） （ 1
4） （ 1
4） （ 1
5） （ 1
1.000 0.653 0.306
17 .121 11 .121 5.182
1.000 0.650 0.303
17 .082 11 .082 5.159
该结构柔度矩阵为：
~ k 1 f 11 5 2 1 5 5 2 in / kips 3600 2 2 2
动力矩阵为：
11 7.5 4 2 1 ~m D f 5 7.5 4 s 3600 2 3 4
用如下所示的表格形式表示迭代过程：
(1) 1） 1 （ 1 (1) max （ 1 ）
n 1
φ nY n(0)(
N
1 2 ) n
max （ ）
(1) 1
（13-20）
用同样的方法做下一次迭代循环得到第二次循环产生的 形状 N
1 4 φ nY n ( ) (2) n 1 1 n （2） 1 (2) max （ 1 ） max （ 1(2)）
2s
1 3
（s） 1
2s
（13-23）
最终结果可视为
φY φ1 (0 ) max（φ 1Y1 ）
(0 ) 1 1
（13-24） 证毕！
4.高阶振型分析
第二振型分析
假设任意第二振型
T 前乘φ 1 m ，导得
（0） 2
（0）
（13-25）
克拉夫书P205 例题E13-1 通过计算图E11-1的三层建筑框架的第一振型和频率来说 明矩阵迭代法。虽然用例题E11-1中导得的刚度矩阵求逆可以很容易 求得该结构的柔度矩阵，但是为了说明柔度矩阵的求法，这里对每 一个自由度相继施加单位荷载进行推导。根据定义，由这些单位荷 载所产生的位移表示柔度影响系数。
D
0） （ 1 1） （ 1
11 1 5 3600 2
1） （ 1
7.5 7.5 3
2） （ 1
4 4 4
1 22 .50 1 16 .50 1 9.00
2） （ 1 3） （ 1
1.000 0.733 0.400
(0 )
（13-9）
一般来说，所得的 1 和 1 是不一样的，在这种情 形下，真正的第一振型频率介于式（13-9）求得的最大 值与最小值之间：
0) (0) ( k1 2 k 1 (1) (1) 1 k 1 min k 1 max
（13-28）
在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是应用滤型 矩阵 S1
~
其中
（0） 2
（0） 2
1 T (0 ) (0 ) - φ1 φ 1 m 2 S1 2 M1
（13-29）
1 T S1 Ι - φ 1φ 1 m M1
（13-30）
在这种情况下，式（13-5）可以写成
1 （1） （0） D ~ ~2 2 2 2
f
(0 )
（0） 1 2 2 （0） 2 （0） 1 2 m φ 11Y1 φ 22Y 2 ( ) φ 3Y3 ( ) （13-16） 2 3
由这些惯性力产生的挠度为
（1） 1
k f
1 ( 0 )
（0） 1 2 2 （0） 2 （0） 1 2 k m φ 11Y1 φ 22Y 2 ( ) φ 3Y3 ( ) 2 3
2.基本（第一）振型分析
这个方法列式的起点是无阻尼自由振动方程（11-33）：
2 k ˆ ˆ n n m n
fn n m ˆ n
2
（13-1）
ˆ n k f n
1
（13-2）
ˆ ˆ n n k m n
2 1
（13-3）
D k m
2
1
（动力矩阵） （13-4）
（ 1） 1
D
（0） 1
（13-7）
（ 1） 来进行规格 1
该向量除以向量中最大的元素max（ 化，得到改进的迭代向量：
）
（1） 1
max （ ）
（1） 1 （1） 1
（13-8）
设 k 为向量中任一自由度，频率近似值为：
2 1
(1)
(0 ) k1 (1) k1