三种常用固有振动特征值解法的比较
第四章 结构固有振动特征值问题的数值解
第四章结构固有振动特征值问题的数值解§4.1 概述根据结构振动的数学模型，即振动微分方程所形成的矩阵特征值问题，求解结构的固有振动特性——固有频率与固有振型，是结构振动分析的一个主要任务。
结构的固有振动特性是结构振动的内因。
固有振动特性也是进行结构振动响应分析和结构动力学设计的基础。
对于简单的结构，如均匀直梁、均匀直杆等，可以用解析的方法解得其固有振动特性。
对于一般结构，如果只需获得结构有限阶的固有振动特性，也可以采用试验测试（模态识别）的方法来获得。
但是对于大型复杂结构，不可能用解析分析的方法得到其固有振动特性，而采用试验测试的方法不仅花费高，而且周期长，对于处于设计状态的结构，显然也无法进行试验。
所以对复杂的工程结构，常用的方法是建立结构的数学模型，用数值求解的方法获得结构的固有振动特性。
随着计算技术飞速发展和特征值计算方法的研究进展，通过矩阵特征值问题的求解来获得结构固有振动特性，是已经被振动工程界普遍接受的一个有效和可靠的途径。
从数学理论上也可以证明，许多特征值计算方法具有相当好的精度，并且获得了实践和实验的证明。
由于结构固有振动特性求解与矩阵特征值求解问题的密切关系，在结构振动分析中，矩阵特征值问题已经成为结构固有振动特性分析的一个代名词。
所以在本章中，只要不作说明，一般讲的矩阵特征值问题就是指结构的固有振动特性求解问题。
所谓系统的特征值就代指结构的固有频率，特征向量代指结构的固有振型（固有模态）矩阵特征值问题的数值求解方法可以分为三类：矩阵分解法、迭代法和矩阵变换法。
由于矩阵（代数）特征值问题本身就是一个完整的系统，本章只能根据结构固有振动分析问题的需要，介绍一些常用的求解方法。
详尽的矩阵特征值问题的数值求解方法可以参考威尔金森的名著《代数特征值问题》。
本章的论述是建立在已经用有限元素法建立了结构振动运动数学模型的基础上。
§4.2 结构振动特征值问题的性质根据结构振动方程，可以得到结构固有振动的代数特征值问题：}]{[}]{[2x M x K ω=（4－1）或 }]{[}]{[x M x K λ= （2ωλ=） （4－2）振动特征值问题除了第二章所述的性质外，在特征值问题的数值求解中，还要用到如下一些性质： 1． 移轴特性对特征值问题}]{[}]{[x M x K λ= （4－3）若μ为一已知实数，则有：}]{)[(}]){[]([x M x M K μλμ-=- （4－4）新的特征值问题可写为：}]{[}]{ˆ[x M x Kρ= （4－5） ][][]ˆ[M K Kμ-= （μλρ-=） （4－6） 显然，上面两个特征值问题具有相同的特征向量，而特征值间的关系为：μρλ+=i i （4－7）μ称为移轴量。
机械振动信号的特征提取方法
机械振动信号的特征提取方法引言机械振动信号是通过振动传感器采集到的机械系统振动情况的物理信号。
通过对振动信号的分析和处理，可以获取有关机械系统运行状态的重要信息，如故障诊断、健康监测等。
本文将介绍一些常用的机械振动信号的特征提取方法。
一、时域分析时域分析是将振动信号表示为时间序列的形式，并从中提取特征。
常见的时域特征包括振动信号的均值、方差、峰值、峭度等。
这些特征能够反映振动信号的整体情况，但对于复杂的振动信号来说，时域特征的信息有限。
二、频域分析频域分析是将振动信号通过傅里叶变换等方法转换到频域中，并从频谱中提取特征。
在频域中，我们可以观察到信号在不同频率上的能量分布情况。
常见的频域特征包括频谱峰值、主频、频带宽度等。
频域分析能够提供振动信号的频率信息，从而有助于判断机械系统的故障类型。
三、小波分析小波分析是一种同时进行时域分析和频域分析的方法。
通过将振动信号与不同的小波基函数进行卷积，可以得到时间和频率同时局部化的小波系数。
常见的小波分析方法有离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）。
小波分析能够提取振动信号中的瞬态特征、频率变化和时变特性，对于故障诊断和趋势预测具有较好的效果。
四、能量分析能量分析是一种从振动信号的角度出发的特征提取方法。
通过计算振动信号在不同频率区间上的能量，可以获取振动信号在不同频率范围内的能量密度谱。
能量分析对于振动信号的周期性和谐波成分有一定的敏感性，能够用于检测机械系统的机械故障或电动机的故障。
五、熵分析熵分析是一种用于评估信号非线性特性的特征提取方法。
通过计算振动信号的样本熵、近似熵等，可以揭示振动信号的复杂度和随机性。
熵分析能够用于检测机械系统的非线性振动和故障。
结论机械振动信号的特征提取是机械故障诊断和健康监测的重要手段。
时域分析、频域分析、小波分析、能量分析和熵分析是常用的特征提取方法。
综合运用这些方法能够获取到机械系统振动信号的丰富信息，进而实现对机械系统运行状态的监测和故障诊断。
振动常用特征值指标计算 峭度 rms 峰峰值 歪度
振动常用特征值指标计算峭度 rms 峰峰值歪度振动信号是许多工程和科学领域中常见的信号类型之一。
通过对振动信号进行分析和计算其特征值指标，可以帮助我们更好地理解和描述信号的特性及其所代表的物理过程。
本文将介绍振动信号常用的四个特征值指标，分别是峭度、均方根值、峰峰值和偏度，并解释它们的含义和计算方法。
首先，让我们来了解一下峭度。
峭度是用来描述信号数据分布的峰值陡峭程度和尖锐程度的指标。
它可以帮助我们判断信号的聚集程度和峰值的尖锐程度。
具体而言，峭度值越大，表示信号的分布越陡峭和尖锐，反之则表示分布较平缓。
峭度的计算方法是通过对信号的偏差平方进行求和，并除以信号的标准差的四次方。
峭度值的计算结果可以用来判断信号是否具有尖峰或是平坦的特征。
其次，均方根值（RMS）是振动信号中常用的一个特征值指标。
它是信号的平均值的平方根。
RMS可以反映信号的总体能量。
通过计算信号的平方，并对平方后的数值取平均值再进行开方，得到的结果就是RMS值。
RMS值越大，表示信号的能量越大，反之则能量越小。
通常情况下，我们可以比较不同信号的RMS值来判断它们的能量大小。
第三个特征值指标是峰峰值。
峰峰值是指信号波形的最大值与最小值之间的差值。
它可以反映信号振幅的变化范围。
通常情况下，振动信号的峰峰值越大，表示信号的振动幅度越大。
峰峰值的计算方法是将信号的最大值与最小值相减，得到的结果就是峰峰值。
最后一个特征值指标是偏度。
偏度是用来描述信号数据分布的对称性的指标。
偏度值可以帮助我们判断信号数据分布的偏斜情况。
具体而言，偏度值大于零表示信号分布向右偏斜，偏度值小于零表示信号分布向左偏斜。
偏度的计算方法是通过对信号的偏差的三次方进行求和，并除以信号的标准差的三次方。
偏度值的计算结果可以用来判断信号数据的偏斜程度。
通过对振动信号进行峭度、均方根值、峰峰值和偏度等特征值指标的计算，我们可以更加全面地了解和描述信号的特性。
这些特征值指标的计算结果可以辅助我们进行信号处理和分析，例如用于故障诊断和预测，以及振动监测和控制等方面。
高等结构振动学-第4章-结构固有振动特征值问题的数值解
[K] [M ] 0
（4－21）
显然变换后的特征值不变：
（4－22）
且可以证明，变换前后的特征向量间具有关系：
{x} [A]{}
（4－23）
即相似变换不改变矩阵的特征值，特征向量具有转换关系。
4． 特征值对正交变换的不变性 ［正交变换］：在相似变换中，若对于非奇异矩阵[ A] ，有[ A]T [ A] [I ]，即
第四章 结构固有振动特征值问题的数值解
§4.1 概述
根据结构振动的数学模型，即振动微分方程所形成的矩阵特征值问题，求 解结构的固有振动特性——固有频率与固有振型，是结构振动分析的一个主要 任务。结构的固有振动特性是结构振动的内因。固有振动特性也是进行结构振 动响应分析和结构动力学设计的基础。
对于简单的结构，如均匀直梁、均匀直杆等，可以用解析的方法解得其固 有振动特性。对于一般结构，如果只需获得结构有限阶的固有振动特性，也可 以采用试验测试（模态识别）的方法来获得。
出符合给定精度的解，也可以用更快的割线法来加速寻根：
( r 1)
(r)
p((
r
p((r) ) ) ) p((r
1)
)
((r
)
(r1) )
（4－32）
但要注意，使用割线法时，迭代的初值很重要，一般与二分法联合使用，
以保证迭代的迅速收敛。
【 例 】 计 算 矩 阵 特 征 值 问 题 [K ]{x} [M ]{x} 的 第 一 个 特 征 值 1 。
（4－31）
实 际 计 算 时 ， 是 从 的 初 值 0 开 始 ， 依 次 计 算 p(0 ) ， p(0 ) ，
p(0 2) ， p(0 n) 的值，根据它们的正负号，确定出根所在的区间
振动常用特征值指标计算
振动常用特征值指标计算
振动的常用特征值指标是用来描述振动信号特性的参数，常用
的特征值指标包括振动的频率、幅值、相位、波形形状等。
计算这
些特征值指标可以帮助我们了解振动信号的性质和特点，对于故障
诊断、结构健康监测等方面具有重要意义。
首先，振动的频率是描述振动信号周期性变化的指标，可以通
过傅立叶变换等方法来计算信号的频谱，从而得到振动的频率成分。
频率成分可以反映出系统的固有振动频率以及激励频率，对于故障
诊断和结构动力学分析具有重要意义。
其次，振动的幅值是描述振动信号大小的指标，可以通过时域
分析方法计算得到。
振动的幅值可以反映出系统振动的强度，对于
评估系统的工作状态和性能具有重要作用。
另外，振动的相位是描述振动信号相对于参考信号的相位差，
可以通过相关分析等方法来计算。
振动的相位信息可以帮助我们了
解振动信号的时序特性，对于故障诊断和信号处理具有重要意义。
此外，振动的波形形状是描述振动信号波形特征的指标，可以
通过时域分析和频域分析方法来计算。
振动的波形形状可以反映出系统的动态特性，对于结构健康监测和故障诊断具有重要意义。
综上所述，振动的常用特征值指标计算涉及到频率、幅值、相位、波形形状等多个方面，可以通过不同的信号处理和分析方法来获取这些特征值指标，从而全面地了解振动信号的特性和规律。
这些特征值指标的计算对于工程实践和科学研究具有重要意义，可以帮助我们更好地理解和应用振动信号。
各种模态分析方法情况总结与比较
各种模态分析方法总结与比较一、模态分析模态分析是计算或试验分析固有频率、阻尼比和模态振型这些模态参数的过程。
模态分析的理论经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
模态分析最终目标是在识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
二、各模态分析方法的总结（一）单自由度法一般来说，一个系统的动态响应是它的若干阶模态振型的叠加。
但是如果假定在给定的频带内只有一个模态是重要的，那么该模态的参数可以单独确定。
以这个假定为根据的模态参数识别方法叫做单自由度(SDOF)法n1。
在给定的频带范围内，结构的动态特性的时域表达表示近似为：()[]}{}{T R R t r Q e t h rψψλ= 2-1而频域表示则近似为：()[]}}{{()[]2ωλωψψωLR UR j Q j h r tr r r -+-= 2-2 单自由度系统是一种很快速的方法，几乎不需要什么计算时间和计算机内存。
STAAD模态分析与固有频率求解方法
STAAD模态分析与固有频率求解方法概述模态是结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率，阻尼比和模态振型，获取这些结构振动特性的过程称之为模态分析或频率振型分析。
结构分析中经常会用到结构的这些固有振动特性，比如底部剪力法求解地震作用时需要用到结构的基本自振周期，再比如说利用振型分解法求解多自由度体系的各种动力分析都需要用到结构的各阶周期和振型。
因此，模态分析不仅是求解结构振动特性的方法，也是动力分析的基础。
本文将模态分析的求解方法进行全面介绍。
STAAD提供了两种求解结构模态的方法，分别是瑞利法和特征向量法。
1.CALCULATE RAYLEIGH (FREQUENCY) 瑞利法2.. MODAL CALCULATION (REQUESTED) 特征向量法瑞利法一般来说，工程结构的基频或者前几阶固有频率比较重要，瑞利法就是一种计算结构基频的常用近似算法。
瑞利法又叫做能量法，其核心思想是基于边界条件假定一个基频振型函数，然后利用能量守恒原理（最大动能和最大势能相等），从而求出结构的第一阶固有频率。
工程中，常选用构件在重力荷载工况下的静力挠度曲线作为基频振型曲线，而这个挠度曲线越接近实际得出来的基频越准确，当不能判断第一振型样子的时候，需要设置多种工况（比方自重在三个方向的三种工况），在每个工况中使用该命令，频率低者更接近基频。
在STAAD.Pro中，命令CALCULATE RAYLEIGH (FREQUENCY) 用于计算此命令之前的荷载工况在相应于变形方向上的结构近似频率。
在一组荷载的作用下结构将产生位移，程序中将这一位移作为振型，并计算出与该振型所对应的结构自振频率。
因此，这一命令应紧跟于其所在荷载工况的后面给出。
示例：LOADING 1 DEAD LOADSELFWEIGHT Y 1CALCULATE RAYLEIGH FREQLOADING 1 DEAD LOADSELFWEIGHT Z 1CALCULATE RAYLEIGH FREQ在这个例子中，程序将会分别计算荷载工况1和2的瑞利频率，并输出该频率的数值（单位是周/秒）及沿着整体坐标方向的最大挠度数值和所在的节点号。
机械振动中的特征值问题！
机械振动中的特征值问题！机械振动是指系统在某一位置（通常是静平衡位置，简称平衡位置）附近所作的往复运动。
显然这是一种特殊形式的机械运动。
人类的大多数活动都包括这样或那样的机械振动。
例如，我们能听见周围的声音是由于鼓膜的振动；我们能看见周围的物体是由于光波振动的结果；人的呼吸与肺的振动紧密相关；行走时人的腿和手臂也都在作机械振动；我们能讲话正是喉咙（和舌头）作机械振动的结果。
早期机械振动研究起源于摆钟与音乐。
至20世纪上半叶，线性振动理论基本建立起来。
欧拉（Euler）于1728年建立并求解了单摆在阻尼介质中运动的微分方程。
1739年他研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释共振现象。
1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出了微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。
1760年拉格朗日（Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。
最早研究的连续系统是弦线。
1746年达朗伯（d’Alembert）用片微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。
1753年伯努利（Bernoulli）用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解。
1759年拉格朗日从驻波解推得性波解，但严格的数学证明直到1811年傅里叶（Fourier）提出函数的级数展开理论才完成。
一个振动系统本质上是一个动力系统，这是由于其变量如所受到的激励（输入）和相应（输出）都是随时间变化的。
一个振动系统的响应一般来说是依赖于初始条件和外部激励的。
大多数实际振动系统都十分复杂，因而在进行数学分析时把所有的细节都考虑进来是不可能的。
为了预测在指定输入下振动系统的行为，通常只是考虑那些最重要的特性。
也会经常遇到这样的情况，即对一个复杂的物理系统，即使采用一个比较简单的模型也能够大体了解其行为。
对一个振动系统进行分析通常包括以下步骤。
1. 建立数学模型建立数学模型的目的是揭示系统的全部重要特性，从而得到描述系统动力学行为的控制方程。
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2005全国结构动力学学术研讨会海南省海口市，2005.12.19-20中国振动工程学会结构动力学专业委员会三种常用固有振动特征值解法的比较宫玉才1周洪伟 陈 璞 袁明武（北京大学力学与工程科学系 北京，100871）Email ：yuanmw@摘要： 本文以高效的细胞稀疏直接快速解法为核心步骤，实现了快速的固有振动广义特征值问题解法, 并在相同的允许模态误差的意义下检验了三种结构动力学中常用的大型矩阵特征模态算法——子空间迭代法、迭代Ritz 向量法和迭代Lanczos 法的计算效率。
迭代Ritz 向量法平均而言最快，子空间迭代法最慢，三种解法效率相差不是太大。
与ANSYS 的子空间迭代和Lanczos 法相比，本文的子空间迭代比ANSYS 的效率高很多，Lanczos 法和ANSYS 的差不多 。
大量较大规模的例题显示，本文对特征值算法的改进是十分有效的，算法的健壮性，通用性都达到了高水平。
关键词：特征值，结构振动，迭代法，高效能计算1高等学校博士学科点专项科研基金资助项目 （编号：20030001112）引言在工程有限元分析中常常要求解广义代数特征值问题0K M ϕλϕ−= (1)的部分低阶特征值与特征向量。
对于矩阵阶数超过1000的大型问题，子空间迭代法、Ritz 向量法和Lanczos 法被公认为求解部分低阶极端特征值和特征向量的有效方法。
尽管国内外的有限元软件都提供广义代数特征值问题(1)的多种解法，但结果仍然不能令人完全满意，漏根与多根、自由模态误判都时有发生。
传统上，低端特征值问题求解过程极度依赖于谱变换的线性方程组()T K M x LDL x My µ−==(2)的解法，移轴矩阵K M µ−的LDLT 三角分解是计算量最大的主要步骤。
在以变带宽解法为核心步骤的特征值解法中，它常常占到特征值问题计算时间的70%到90%。
本文采用了文[1]提出的一个效率非常高的有限元解法-细胞稀疏直接快速解法（简称细胞解法）替换变带宽解法，极大地提高了三角分解的效率。
如果要求不太多的特征模态，例如10个，通常认为Ritz 向量法和Lanczos 法具有比子空间迭代法更高的计算效率，Ritz 向量法和Lanczos 法比子空间迭代法平均快4～10倍[2]。
但是，标准的Ritz 向量法和Lanczos 方法对收敛的判定是相对含糊的，在实用的工程计算中可能造成漏根或多根。
传统上，子空间迭代用特征值的两次迭代之相对误差不等式()(1)(1)||||l l k k l k λλλελ++−≤ (3)控制收敛，而Lanczos 法用其过程中的不等式 1||||k i q qi s νλνβε−−≤<(4)控制收敛。
在大量的工程计算中，发现在允许误差510λνεε−==的情形下，除最低的十几阶模态之外，子空间迭代与Lanczos 法所得到的特征向量精度都可能不令人满意。
这一现象对Lanczos 方法尤为严重，原因是采用逆迭代技术时，高阶的、密集的特征值不易分离。
关于特征模态的收敛，不同的算法往往采用不同的标准，相对速度的比较不是很客观。
对于特征模态的近似(,)kk λϕ%%，在各种算法中可以统一用模态误差(5) 代替特征值误差作为收敛判据，来衡量算法的效率。
||||||||k k k k kk k k k K M K M K M ϕϕλϕϕλϕεϕλϕ−−≈≤%%%%%%%%%(5)模态误差有明显的物理意义，k K ϕ是振型k ϕ的最大弹性节点力，而kk M λϕ%%是振型k ϕ的最大惯性节点力。
式(5)的最左端是非平衡节点力与最大弹性节点力之比，中间是非平衡节点力与最大惯性力之比[3]。
大量算例表明，在模态误差的意义之下，收敛过程平稳，三种解法效率相差不是太大。
迭代Ritz 向量法平均最快，子空间迭代法最慢。
本文最后还与 ANSYS V.8.1的子空间迭代法和块Lanczos 法进行了比较。
1 算法描述1.1 子空间迭代法 最初是由Clint 和Jennings 提出，是反幂法的推广[4]。
稍后，Bathe 和Wilson 在其中加入了子空间上的Rayleigh-Ritz 过程。
它可以明显地改善收敛速度[4,5]。
以下是一个子空间迭代算法的主要步骤。
I ．初始化1. 确定子空间的维数q2. 选取初始向量矩阵 N q X R ×∈3. 设定每次移轴的最大迭代次数max I II ．移轴与Sturm 序列校核1. 计算移轴µ，应设法保证它不是特征值2. 分解移轴刚度矩阵T K M LDL µ−＝3. Sturm 序列校核III ．迭代max I 次，完成后转向步骤I 1. 将X 进行M-正交归一化 2. 向量矩阵 11()T X LDL MX −=；3. 计算K 和M 在X 1上的投影，*11T K X KX =，*11T M X MX =4. 求解q 阶广义特征值问题 ***K M ∗∗Φ=ΦΛ5. 形成新的近似特征向量 1X Y ∗=Φ6. 按模态误差判断特征值和特征向量的收敛，移出已收敛的特征向量，并在X 中加入随机向量或减缩子空间的大小。
子空间迭代法假设q 个初始向量同时进行迭代，求得前p 个特征值和特征向量。
传统上，min(2,8)q p p =+，但当模态数目需求较多时，这种取法显然是不现实的。
经验表明，子空间维数可取4)q =，其中s 为L 中一行的平均非零元个数，由第II 与III 步计算量之比确定。
1.2 迭代Ritz 向量法 Ritz 向量法由Wilson ，Yuan （袁明武）和Dickens 在1982年提出的[6], 也称为WYD-Ritz 向量法，最初用来求解地震的动力响应问题。
后来，袁明武等将其用于大型特征值问题的计算，使它成为一种极为有效的特征值算法[7]。
引入迭代可以改善特征值与特征向量的精度，具体步骤如下：I ．初始化1. 确定块Ritz 向量法块宽q 与生成步数r2. 选取初始向量矩阵0N q Q R ×∈3. 设定每次移轴的最大迭代次数max I II ．移轴1. 计算移轴µ，应设法保证它不是特征值2. 分解移轴刚度矩阵T K M LDL µ−=3. Sturm 序列校核III ．迭代max I 次，完成后转向II1. 对0,1,,k r =L 解 1T k k LDL Q MQ +=，然后用将 1k Q +对已收敛的特征向量以及12,,,k Q Q Q L 作M-正交归一化，并形成1k Q +。
2. 计算K 在12(,,,)r Q Q Q Q =L 上的投影，*T K Q KQ =3. 求解q ×r 阶标准特征值问题**K ∗∗Φ=ΦΛ 4. 形成新的近似特征向量X Q ∗=Φ5. 按模态误差判断特征值和特征向量的收敛，移出已收敛的特征向量6. 如果达到了预期的特征值个数，退出；否则将未收敛的前q 个近似向量作为初始向量进行下一次迭代1.3 迭代Lanczos 方法 Lanczos 方法是在五十年代初提出的，它用正交向量组约化对称矩阵为三对角矩阵。
七十年代以前它被认为不稳定，用于实际计算不多。
1972年Paige 证明了失去了正交性的充分必要条件是其投影矩阵的特征值收敛到原矩阵的特征值。
此后，Wilkinson 等建议了重正交化方案，Golub, Cullum 和Donath, Underwood 等建议了块Lanczos 方法，Underwood 建议了迭代Lanczos 方法[8,9]。
本文采用一个带重正交的迭代块Lanczos 方法，向量生成步骤与上面的迭代Ritz 向量法一致，其差别是Lanczos 方法利用了Ritz 向量生成过程中的正交归一化系数。
迭代Lanczos 方法的第I ，II 步与迭代Ritz 向量法完全一致，为了节省篇幅，我们仅给出第III 大步中的第1，2步：III ．迭代 I max 次，完成后转向II1. 对0,1,,k r =L 解 1T k k LDL Q MQ +=，然后用将 1k Q +对已收敛的特征向量以及12,,,k Q Q Q L 作M-正交归一化，并形成1k Q +。
在此过程中依次形成*T2. 求解q ×r 阶标准特征值问题**T ∗∗Φ=ΦΛ。
文献上一般都将Krylov 空间12(,,,)r Span Q Q Q L 的维数取得较大，例如待求特征值个数的2倍，以期一次完整的Lanczos 过程得到全部想要的模态。
本文是在较小的Krylov 空间上完成Lanczos 过程，然后用最好的q 个近似特征向量作为下一次Lanczos 过程的初始向量。
这样的方案是一个子空间迭代与Krylov 空间结合的算法，具有与子空间迭代法同样的可靠性，在文献上还较为少见。
1.4 程序实现 在程序实现中，移轴三角分解，向前消元和向后回代采用了细胞解法[1]，它的综合效率是变带宽解法的数倍至数百倍。
在其它方面，循环展开也广泛地应用于各种计算加速中，例如正交归一化等。
算法中需要多次计算的乘积KX 采用稀疏总体刚度矩阵与向量乘积的方案计算，它的计算量与计算时间比求解方程(2)小一个量级以上，因而不影响整体的计算效率。
如果在正交化过程中，一个向量正交化以前的模与正交化以后的模之比超过了某一阈值，我们将对此向量实施双正交化，即对已正交化的向量再实施正交化。
在下面的数值试验中，这一阈值取为1210。
为节省计算量，Ritz 向量法与Lanczos 法的III.4在形成新的特征向量时，未计算全部Rayleigh-Ritz 特征值相对应的近似特征向量。
在子空间迭代法中，投影特征值问题的解法选用了广义Jacobi 方法[3]，允许误差取为242−。
在Lanczos 方法和Ritz 向量法中，求解投影特征值问题采用了Householder 变换与QL 方法的组合[10]。
根据经验，子空间迭代法中与一次移轴三角分解相应的最大迭代次数取为223max max(0.5/(3210),6)I Ns Nq Nq q =++ (6)迭代Ritz 向量法与迭代Lanczos 法块的大小一般取为4q =，步数为6r =；这相当于Krylov 子空间的维数是24。
类比于子空间迭代法，与一次移轴三角分解相应的最大迭代次数取为22233max max(0.5/(3210),4)I Ns Nq r Nqr q r =++ (7)三个算法的Sturm 校核均取后验方式，移轴的首选为下两个待收敛特征值之中点，即120.5()k k µλλ++=+%% (8)若失败，则选为10.98()k k k µλλλ+=+−% (9)其中kλ是最后一个已收敛的特征值，1k λ+%，2k λ+%是下两个待收敛的特征值。