苏科版八年级下册平行四边形复习

教师辅导讲义

授课时间 年 级 八 课 时 数 3 学员姓名

辅导科目

数学

学 科 教 师

课 题 平行四边形

教学目标 1、掌握平行四边形的性质并灵活应用 2、掌握平行四边形的判定方法

一、课前检测：1.已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ） （A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种 2.如图，在□ABCD 中，E 、F 是 AC 上的两点．且AE=CF ．求证：ED ∥BF ．

3.平行四边形ABCD 中, ∠BAD 与∠BCD 的平分线分别与BD 交于点N 、M.求证:AM//CN

4.如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于点F ，那么BE=CF ，请你说明理由.

5.如图，已知：平行四边形ABCD 中，的平分线

，交于

．求证：．

6.如图，分别以RtΔABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ΔACD、等边ΔABE．已知∠BAC=300，EF⊥AB，垂足为F，

连结DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

7、如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.

求证：四边形AECF是平行四边形.

三、知识点梳理1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2、平行四边形性质：（1）平行四边形的两组对边分别平行。（2）平行四边形的两组对边分别相等。

（夹在两条平行线间的平行线段相等；夹在两条平行线间的垂线段相等。）

（3）平行四边形的对角相等。邻角互补。（4）平行四边形的对角线互相平分。

（5）若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积（用三角形全等证明）。

（6）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。

3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．

4、平行四边形的周长、面积：周长： C=2（AB+BC）面积：(1)S=底×高=ah如图①，．

(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC且高相等，则

．

平行四边形面积----特殊的情况 (1)

1

2

PBC ABCD

ABCD S S

?=

V Y

Y

（2）

AOB BOC COD AOD

ABCD S S S S

?===

V V V V

Y（3）

12

1

2ABCD

ABCD S S S

?+=

Y

Y

5．平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．

6、平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行． (3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．

例如：将一平行四边形的纸片对折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，这条折痕必通过

练习：将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有 ( ) A．1种B．2种C．3种D．无数种

四、例题解析类型1 平行四边形的性质应用----求边长、对角线长

例1 如图，在Y ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为( )

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm

练习：如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为 .

例2如图，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）

A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6

练习：已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是( ) A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与40

例3、请用刻度尺与圆规作一个平行四边形，使得两条对角线与一条边各为3cm，5cm，3cm. （不写作法，保留痕迹）类型2 平行四边形的性质的应用----求周长

A

B C

D

P

A

B

C

D

O

C

A

B

D

P 1

S

2

S

例4．如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于E ，交BC 与F ，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD 的周长是 ( )A ．16 B ．14 C ．12 D ．10

练习：如图所示，在Y ABCD 中，BF ⊥AD 于F ，BE ⊥CD 于E ，若∠A=60°，AF=3cm ，CE=2cm ，求Y

ABCD 的周长．

例5、如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是 ．

练习1、如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15

2、如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ）A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 类型3 平行四边形的性质应用-------求角度

例6 已知: 如图平行四边形 ABCD 中,AE 、AF 分别是CD 、BC 边上的高, ∠EAF ＝135°,求∠C.

练习：1、如图，在平行四边形

ABCD

中，DB=DC 、

，CE BD 于E ，则

A

B

C

D

E C O

D

B

A

F C

D

A B

A

B

C

D

E

F

G

．

2、在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AB：BC=1：2，则∠AMD= ．

例7、如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB，现要截取一个直角三角形，使BC为斜边，且直角顶点E在AD上，则E为AD的．

练习：ABC

△与DEFG

Y如图放置，点D,G分别在边AB,AAC上，点E,F在边

BC上．已知BE-DE，CF=FG，则A

∠的度数等于（）度

A．80 B．90 C．100 D．条件不足，无法判断

例8如图，ACD

△和AEB

△都是等腰直角三角形，90

CAD EAB

∠=∠=o，

四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A．ACE

△以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90度后与ADB

△重合

B．ACB

△以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270度后与DAC

△重合

C．沿AE所在直线折叠后，ACE

△与ADE

△重合

D．沿AD所在直线折叠后，ADB

△与ADE

△重合

练习：（2010重庆綦江县）如图，在ABCD

Y中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是（）

①△CDF≌△EBC②∠CDF＝∠EAF③△ECF是等边三角形④CG⊥AE

A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④

类型4 平行四边形的面积问题

例9 平行四边形的面积为144㎝2，若相邻两边上的高分别为8cm和12cm，则这两个邻边的长分别是_______和

______，平行四边形的周长是_______．

G

F

E

D

C

B

A

A D

B C

E

练习：1、如图，平行四边形ABCD 的相邻边AD ：AB=5：4，过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AE=4cm ，求AF 的长．

2、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC 于E ，AF⊥CD 于F ，AE=2 cm ，AF=3 cm ，求平行四边形ABCD 的面积。

例10 右图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是（ ） Ａ．这两个四边形面积和周长都不相同 Ｂ．这两个四边形面积和周长都相同 Ｃ．这两个四边形有相同的面积，但I 的周长大于Ⅱ的周长 Ｄ．这两个四边形有相同的面积，但I 的周长小于Ⅱ的周长 练习：1、如图,在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 、F 分别为AC 、BC 、AB 的中点，若BC=13，AB=5，则△FBE 与△DEC 的面积和为 .

练习：1、如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点O 在BD 上，则图中面积相等的平行四边形有 ( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

2、如图，O 为□ABCD 的对角线交点，E 为AB 的中点，DE 交AC 于点F ，若S □ABCD ＝12，则S △DOE 的值为( ) A.1 B.32 C.2 D.9

4

3、如图所示，M 、N 分别为平行四边形ABCD 边BC 、CD 上的点，且MN ∥BD ，则?AND 的面积?ABM 的面积

怎样？请说明理由．

类型5 平行四边形的判定与证明 ★1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形

例1 如图，等腰△ABC 中，AB=AC, D 是BC 边上的一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，通过观察分析线段DE ，DF ，AB 三者之间有什么关系？试说明你的结论成立的理由。（不用全等，你可以做出来吗？试试看）

练习1：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且AE ∥CF ，AE 与CF 相等吗？说明理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看）

练习2 如图：?ABCD 中，MN ∥AC ，试说明MQ=NP ．

练习3：如图，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？

G C

O

D

B

A E H

F

N B

C A

D M

★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形

例2如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.

练习1．（2009?来宾）在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

练习2．（2010?恩施州）如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

练习3（2002?三明）如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．

★3.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形

例3如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=

2

1

AB，CF=

2

1

CD，试证明AECF为平行四边形.

A

D C

B

M

N

练习1：已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ在对角线ＡＣ上，且ＡＭ＝ＣＮ．求证：四边形ＢＭＤＮ是平行四边形．

练习2：（2011?徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

练习3：（2010?厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．

★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形 例4(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证明四边形DFBE 为平行四边形.

★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形

例5．已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB ，CD 相交于点E ，F ，点G ，H 分别为OA ，OC 的中点．求证：四边形EHFG 是平行四边形．

练习1．（2011?昭通）如图所示，?AECF 的对角线相交于点O ，DB 经过点O ，分别与AE ，CF 交于B ，D ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形．

练习2。 如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．

五、课堂检测

1.如图，E 是□ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长线交于点F ，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ） A 、AD=CF B 、BF=CF C 、AF=CD D 、DE=EF

2、平行四边形一组对角的平分线（ ）

A ．在同一条直线上．

B ．平行

C ．相交

D ．平行或在同一直线上

3.如图，在□ABCD 中，CE 是 ∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，EF 、FB 为多少？ 4、平行四边形ABCD 一个内角平分线把一条边分成cm 4和cm 5两段，则平行四边形ABCD 的周长为 ． 5.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交BC 的延长线于点E ，交CD 于点F ，AB=5，BC=2，求CF 的长。

6.已知：如图，□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 和AD 上的点，且B E D F 。 求证： AE=CF.

7.如图，在ABC

△中，点D E

，分别是AB AC

，边的中点，若把ADE

△绕着点E顺时针旋转180°得到CFE

△．（1）请指出图中哪些线段与线段CF相等；（2）试判断四边形DBCF是怎样的四边形？证明你的结论．

8、ΔABC中, ∠BAC＝90°, AD为BC边上的高, ∠1=∠2, EF//BC, 求证:AE=FC

六、课后作业

1、过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长是 .

边的转移2、如图：四边形ABCD 的周长为16cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,求三角形DCE的周长

3、如图,在ABC

?中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是( ) A.5 B.10 C.15 D.20

4、如图所示，平行四边形ABCD中，BC=2AB，AF=AB=BE，且点E、F在直线AB上，求∠EOF的度数．

5、如图，平行四边形ABCD中，AF＝CH，DE＝BG。求证：EG和HF互相平分。

6、在ABC

△中，AB AC

=，点P为ABC

△所在平面内一点，过点P分别作PE AC

∥交AB于点E，PF AB

∥交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时0

PD=，可得结论：PD PE PF AB

++=．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在ABC

△内（如图2），ABC

△外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD PE PF

，，与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

趣味题1、现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45○角的平行四边形，

请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由．

2、图1是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，BC=DA，BC∥DF，FD//BC．从B

A

B C

E F

D

图1

A

B C

E

F

()

P D

图2

A

B C

E

F

P

D

图3

A

B C

E

F

P

D