2020年高中数学 人教A版 必修5 同步作业本《等差、等比数列的综合应用》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本
《等差、等比数列的综合应用》
一、选择题
1.数列a n =，其前n 项之和为，则项数n 为( )1n （n ＋1）910
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
2.数列{a n }、{b n }满足a n b n =1，a n =n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( )
A. B. C. D.1351212712
3.数列{a n }的通项公式a n =，则该数列的前________项之和等于9.( )1
n ＋n ＋1
A ．99
B ．98
C ．97
D ．964.数列，，，…，，…的前n 项和为( )12×515×818×111（3n －1）·（3n ＋2）
A. B. C. D.n 3n ＋2n 6n ＋43n 6n ＋4n ＋1n ＋2
5.已知数列{a n }的通项公式a n =log 2(n∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的n ＋1n ＋2
正整数n( )
A ．有最大值63
B ．有最小值63
C ．有最大值31
D ．有最小值31
6.在数列{a n }中，a 1=2，a n ＋1=a n ＋ln ，则a n 等于( )(1＋1n
)
A ．2＋ln n
B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋nln n
D ．1＋n ＋ln n
二、填空题
7.已知数列{a n }的通项公式为a n =log 2(n 2＋3)－2，那么log 23是这个数列的第________项．8.下列命题中正确命题为________(填序号)．
①常数列一定是等比数列；
②等比数列前n 项和S n =(其中a 1为首项，q 为公比)；a1（1－qn ）1－q
③前n 项和S n 为n 的二次函数的数列一定是等差数列；
④0不可能是任何等比数列的一项．
9.数列{a n }中，a n =，则它的前n 项和S n =________．{2n －1（n 为正奇数）2n －1（n 为正偶数）)
10.在等比数列{a n }中，若a 1=，a 4=－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |=________．12
三、解答题
11.已知在等比数列{a n }中，a 1=1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n =a n (n∈N *)，求{b n }的通项公式b n .
12.已知数列{a n }的通项公式为a n =求S n .{6n －5（n 为奇数），4n （n 为偶数），)
13.已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n =b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n =.求数列{c n }的前n 项和T n .（an ＋1）n ＋1（bn ＋2）n
答案解析
1.答案为：D ；
2.答案为：B ；
解析：因为a n =(n ＋1)(n ＋2)，所以b n ===－，1an 1（n ＋1）（n ＋2）1n ＋11n ＋2
所以S 10==－=.(12×3＋13×4＋…＋111×12)
121125123.答案为：A ；
解析：a n ===－，1n ＋n ＋1n ＋1－n （n ＋1－n ）（n ＋1＋n ）
n ＋1n 所以S n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =(－)＋(－)＋…＋(－)=－1.2132n ＋1n n ＋1令－1=9⇒n ＋1=100，所以n=99.n ＋14.答案为：B ；解析：因为=，得前n 项和1（3n －1）·（3n ＋2）13(13n －1－13n ＋2
)S n =(－＋－＋－＋…＋－)==.13121515181811113n －113n ＋213(12－13n ＋2)
n 6n ＋45.答案为：B ；
解析：a n =log 2，所以S n =a 1＋…＋a n =log 2＋log 2＋…＋log 2n ＋1n ＋22334n ＋1n ＋2
=log 2=log 2，令S n <－5，则log 2<－5，(23·34·…·n ＋1n ＋2)
2n ＋22n ＋2
所以n ＋2>26=64，所以n>62，故n 的最小值为63.6.答案为：A ；
解析：因为a n ＋1=a n ＋ln ，所以a n ＋1－a n =ln =ln =ln(n ＋1)－ln n.(1＋1n )(1＋1n )
n ＋1n
又a 1=2，所以a n =a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)=2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]=2＋ln n －ln 1=2＋ln n.
7.答案为：3；
解析：令a n =log 23⇒log 2(n 2＋3)－2=log 23⇒n 2＋3=12，所以n 2=9，n=3.8.答案为：④；
9.答案为：；解析：易知数列{a n }的奇数项为以1为首项，4{2n ＋1－13＋n2－n 2（n 为奇数），2n －13＋n2＋n 2（n 为偶数）)
为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．
(1)当n 为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，n ＋12n －12
所以S n =＋＋·4=＋；1－4n ＋12 1－4（n －1）×32n －12·(n －12－1)2
2n ＋1－13n2－n 2(2)当n 为偶数时，奇数项、偶数项各有项，n 2
所以S n =＋×3＋×4=＋.1－4n 2 1－4n 2n 2(n 2－1)22n －13n2＋n 210.答案为：；2n －12
解析：因为{a n }为等比数列，且a 1=，a 4=－4，12
所以q 3==－8，所以q=－2，所以a n =(－2)n －1，a4a112
所以|a n |=2n －2，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |==.12（1－2n ）1－22n －12
11.解：
(1)由题意，得2a 2=a 1＋a 3－1，
即2a 1q=a 1＋a 1q 2－1，整理得2q=q 2.
又q≠0，解得q=2，所以a n =2n －1.
(2)当n=1时，b 1=a 1=1；
当n≥2时，nb n =a n －a n －1=2n －2，
即b n =，所以b n =2n －2n {1，n ＝1，2n －2n ，n ≥ 2.)
12.解：
①当n 为奇数时，
S n =[1＋13＋…＋(6n －5)]＋(42＋44＋…＋4n －1)=
·＋=（1＋6n －5）2n ＋1242（4n －1－1）42－1
＋=＋.（n ＋1）（6n －4）44n ＋1－1615（n ＋1）（3n －2）24n ＋1－1615②当n 为偶数时，
S n =[1＋13＋…＋(6n －11)]＋(42＋44＋…＋4n －1＋4n )=＋.n （3n －5）24n ＋2－161513.解：(1)由题意知当n≥2时，a n =S n －S n －1=6n ＋5，
当n=1时，a 1=S 1=11，所以a n =6n ＋5.
设数列{b n }的公差为d ，
由即{a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，){11＝2b1＋d ，17＝2b1＋3d ，)可解得b 1=4，d=3，所以b n =3n ＋1.
(2)由(1)知c n ==3(n ＋1)·2n ＋1，（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n
又T n =c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，得T n =3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n =3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，
得－T n =3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]
=3×=－3n·2n ＋2[4＋4（2n －1）2－1
－（n ＋1）×2n ＋2]所以T n =3n·2n ＋2。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：2.4.2 等比数列的性质 Word版
姓名，年级：时间：第14课时 等比数列的性质知识点一 等比数列的性质运用1．在等比数列{a n ｝中,a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10等于( ）A ．23B ．错误!C ．错误!或错误!D ．－错误!或－错误! 答案 C解析 在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6, ① 又a 4＋a 14＝5， ②由①，②组成方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或错误!∴错误!＝错误!＝错误!或错误!．故选C ．2．一个等比数列中，前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．10项B ．11项C ．12项D ．13项 答案 C解析 设该等比数列为｛a n }，由已知a 1a 2a 3＝2，a n －2a n －1a n ＝4及等比数列的性质,得（a 1a n )3＝8，所以a 1a n ＝2． 又因为a 1a 2a 3…a n ＝64＝26＝（a 1a n )6， 所以该数列有12项．故选C ．3．在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5＝( ） A ．27 B ．27或－27C ．81D ．81或－81 答案 B解析 ∵q 2＝a 3＋a 4a 2＋a 1＝9，∴q ＝±3，因此a 4＋a 5＝（a 3＋a 4)q ＝27或－27．故选B ．4．若数列a 1，a 2a 1，错误!,…，错误!，…是首项为1,公比为－错误!的等比数列,则a 5等于（ ）A ．－64B ．－32C ．32D ．64 答案 C解析 ∵数列a 1,a 2a 1，错误!，…，错误!，…是首项为1，公比为－错误!的等比数列，∴a 5＝a 1×错误!×错误!×错误!×错误!＝1×（－错误!）×(－错误!）2×（－错误!)3×（－错误!)4＝（－2）10＝32．知识点二 等比数列的综合问题5．已知{a n ｝为各项都是正数的等比数列,若a 4a 8＝4，则a 5a 6a 7＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．64 答案 B解析 由题意得a 4a 8＝a 错误!＝4,又因为数列｛a n }为正项等比数列，所以a 6＝2，则a 5a 6a 7＝a 3，6＝8,故选B ．6．设S n 为数列{a n ｝的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N ＊，其中k 是常数． (1）求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N ＊，a m ，a 2m ,a 4m 成等比数列，求k 的值． 解 （1）由S n ＝kn 2＋n ,得a 1＝S 1＝k ＋1． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1． 经验证，n ＝1时，上式也成立，∴a n ＝2kn －k ＋1．（2）∵a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列， ∴a 错误!＝a m ·a 4m ．即(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 整理，得mk （k －1)＝0． ∵对任意的m ∈N ＊成立, ∴k ＝0或k ＝1．7．设关于x 的一元二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0（n ＝1，2，3，…）有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．(1）试用a n 表示a n ＋1；（2)求证：数列a n －错误!是等比数列； （3)当a 1＝76时，求数列｛a n ｝的通项公式．解 (1）根据根与系数的关系，有错误!代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得错误!－错误!＝3， 所以a n ＋1＝错误!a n ＋错误!．(2）证明：因为a n ＋1＝错误!a n ＋错误!， 所以a n ＋1－错误!＝错误!a n －错误!．所以数列a n －错误!是以错误!为公比的等比数列． （3）当a 1＝错误!时，a 1－错误!＝错误!,故数列a n －错误!是首项为错误!，公比为错误!的等比数列， 所以a n ＝错误!＋错误!n (n ＝1，2，3，…）．知识点三 等差数列与等比数列的综合运用8．已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，则a ，b ，c ( )A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列答案A解析解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1,c＝log212＝log23＋2．∴b－a＝c－b．解法二：∵2a·2c＝36＝（2b)2，∴a＋c＝2b．∴选A．9．已知等差数列｛a n｝的公差为2,若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________．答案－6解析由题意，知a3＝a1＋4,a4＝a1＋6．∵a1,a3，a4成等比数列，∴a错误!＝a1a4，∴（a1＋4）2＝(a1＋6）a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6．易错点一忽略等比数列中的任何一项都不为零10．设等比数列｛a n｝的公比为q，k∈N*，b n＝a（n－1）k＋1＋a（n－1)k＋2＋…＋a nk(n＝1，2，…），试判断数列{b n}是否是等比数列？如果是，求出其公比；如果不是，请说明理由．易错分析本题易忽略q＝－1且k为偶数时b n＝0的情况而错判{b n}是等比数列．解由b n＝a1q(n－1）k(1＋q＋…＋q k－1)，得b n＋1＝a1q nk（1＋q＋…＋q k－1)．①当1＋q＋…＋q k－1＝0，即当q＝－1且k为偶数时，b n＝0，此时，数列{b n}不是等比数列．②当1＋q＋…＋q k－1≠0时，错误!＝错误!＝q k(q k为常数），此时，数列｛b n}是首项为b1＝a1，公比为q k的等比数列．易错点二对等比数列中项的符号变化规律弄不清导致错误11．已知－7,a1，a2,－1四个实数成等差数列，－4，b1,b2，b3，－1五个实数成等比数列，则错误!＝________．易错分析本题极易由b错误!＝（－4)×(－1）＝4，求得b2＝±2而致错．对于等比数列｛a n｝，若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数,则所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同．如本题中,无论公比是正数还是负数，b2与－4一定同号．解解法一：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有－7＋3d＝－1，－4×q4＝－1，解得d＝2,q2＝错误!，所以a2－a1＝d＝2，b2＝－4×q2＝－4×错误!＝－2，所以错误!＝错误!＝－1．解法二：因为－7,a1，a2，－1四个实数成等差数列，所以a2－a1＝错误![(－1）－(－7)]＝2，因为－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，所以－4,b2,－1成等比数列，所以b错误!＝(－4）×（－1)＝4，所以b2＝2或b2＝－2,由b错误!＝－4×b2＞0知b2＜0,所以b2＝－2，所以错误!＝错误!＝－1．一、选择题1．等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9，则a8a15等于( ) A．±2 B．±4 C．2 D．4答案C解析∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4，∵a10a13＝a11a12＝a8a15．∴（a8a15）2＝4,∴a8a15＝±2,又∵等比数列｛a n}是递减数列,∴q〉0,即a8a15＝2，故选C．2．在公差大于0的等差数列｛a n｝中，2a7－a13＝1，且a1,a3－1,a6＋5成等比数列,则数列{(－1）n－1a n｝的前21项和为( )A．21 B．－21 C．441 D．－441答案A解析公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7－a13＝1，可得2a1＋12d－(a1＋12d）＝1，即a1＝1,a1，a3－1，a6＋5成等比数列，可得(a3－1)2＝a1(a6＋5），即为（1＋2d－1)2＝1＋5d＋5，解得d＝2（负值舍去）则a n＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*，数列｛(－1）n－1a n｝的前21项和为a1－a2＋a3－a4＋…＋a19－a20＋a21＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21．故选A．3．定义在（－∞，0）∪（0，＋∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）｝仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0）∪(0,＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝错误!;④f(x）＝ln ｜x｜．则其中是“保等比数列函数"的f(x)的序号为（)A．①② B．③④ C．①③ D．②④答案C解析由等比数列性质知a n a n＋2＝a2n＋1，①f（a n)f（a n＋2)＝a2n a2＝n＋2（a错误!)2＝f2（a n＋1)，故正确；②f（a n)f(a n＋2）＝2a n2a n＋2＝2a n＋a n＋2≠22an＋1＝f2(a n＋1），故不正确；③f（a n)f(a n＋2)＝｜a n｜|a n＋2｜＝错误!＝f2（a n＋1），故正确；④f（a n)f(a n＋2）＝ln ｜a n｜ln ｜a n＋2|≠ln ｜a n＋1|2＝f2（a n＋1),故不正确．故选C．4．在数列｛a n｝中，a1＝2，当n为奇数时，a n＋1＝a n＋2;当n为偶数时，a n＋1＝2a n a12等于( )－1，则A．32 B．34 C．66 D．64答案C解析依题意，a1，a3,a5,a7，a9，a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66．故选C．5．给定正数p,q,a,b,c，其中p≠q，若p，a,q是等比数列，p，b，c，q是等差数列,则一元二次方程bx2－2ax＋c＝0( ）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根答案A解析∵p，a,q是等比数列，p,b，c,q是等差数列，∴a 2＝pq ,2b ＝p ＋c ,2c ＝b ＋q ，b ＋c ＝p ＋q ．解得b ＝错误!，c ＝错误!； ∴Δ＝(－2a )2－4bc ＝4a 2－4bc＝4pq －错误!(2p ＋q )（p ＋2q )＝－错误!p 2－错误!q 2＋错误!pq ＝－89（p 2－2pq ＋q 2）＝－错误!（p －q ）2．又∵p ≠q ,∴－错误!(p －q ）2＜0，即Δ＜0,原方程无实根． 故选A ． 二、填空题6．在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2．插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝（a 2a 7)·(a 3a 6）·(a 4a 5)＝（a 1a 8）3＝23＝8． 7．记等比数列｛a n }的前n 项积为T n (n ∈N *）,已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________．答案 4解析 ∵a m －1a m ＋1－2a m ＝0，由等比数列的性质可得，a 错误!－2a m ＝0， ∵a m ≠0，∴a m ＝2．∵T 2m －1＝a 1a 2…a 2m －1＝(a 1a 2m －1）(a 2a 2m －2）…a m ＝a 错误!a m ＝a 错误!＝22m －1＝128, ∴2m －1＝7，∴m ＝4．8．已知各项都为正数的等比数列｛a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14,则满足a n ·a n＋1·a n ＋2＞错误!的最大正整数n 的值为________． 答案 4解析 ∵a 2·a 4＝4＝a 23，且a 3＞0，∴a 3＝2．又a 1＋a 2＋a 3＝错误!＋错误!＋2＝14，∴错误!＝－3（舍去）或错误!＝2，即q ＝错误!，a 1＝8．又a n ＝a 1q n －1＝8×错误!n －1＝错误!n －4,∴a n ·a n ＋1·a n ＋2＝错误!3n －9＞错误!，即23n －9＜9，∴n 的最大值为4．三、解答题9．在正项等比数列{a n ｝中,a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列｛a n ｝的通项公式．解 原式可化为错误! ∴错误!或错误!∴a 3＝8,a 5＝2，q ＝错误!或a 5＝8，a 3＝2，q ＝2． ∴当q ＝错误!时，a 1＝32，a n ＝64×错误!n ＝26－n ． 当q ＝2时，a 1＝错误!，a n ＝2n －2．10．如图所示，在边长为1的等边三角形A 1B 1C 1中，连接各边中点得△A 2B 2C 2，再连接△A 2B 2C 2各边的中点得△A 3B 3C 3，…,如此继续下去，试证明数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2,S △A 3B 3C 3，…是等比数列．证明 由题意，得△A n B n C n （n ＝1，2,3…)的边长A n B n 是首项为1，公比为12的等比数列，故A n B n ＝错误!n －1．所以S △AnBnCn ＝错误!×错误!2n －2． 所以错误!＝错误!＝错误!．因此,数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．。
2020年高中数学 人教A版 必修5 同步作业本《等比数列前n项和》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本《等比数列前n 项和》一、选择题1.设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1=1，a 5=16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282.已知等比数列{a n }中，a n =2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n－1) C.9n －14 D.3（9n －1）43.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n =0，a 2=－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)5.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1=log 3a n ＋1(n∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6=9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.156.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n =2n －1(n∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n－1 D.13(4n －1)二、填空题7.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2=30，a 3＋a 4=60，则a 7＋a 8=________．8.设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|=________．9.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n ＋1=2S n ＋1，n ∈N *，则a 1=________，S 5=________．10.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．三、解答题11.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6＋a 8=－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．12.数列{a n }满足a 1=1，na n ＋1=(n ＋1)a n ＋n(n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n =3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .13.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n∈N *，点(n ，S n )均在函数y=b x＋r(b ＞0且b≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b=2时，记b n =n ＋14a n(n∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案解析1.答案为：C ；解析：设数列{a n }的公比为q(q ＞0)，则有a 5=a 1q 4=16，所以q=2，数列的前7项和为S 7=a 1（1－q 7）1－q =1－271－2=127.2.答案为：D ；解析：因为a n =2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， 由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n =6（1－9n ）1－9=3（9n－1）4.3.答案为：C ；解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q=12，n=7，解得a 1=192.4.答案为：C ；解析：因为3a n ＋1＋a n =0，a 2=－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n =－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2=－43，所以a 1=4，所以S 10=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13=3(1－3－10)．5.答案为：B ；解析：由log 3a n ＋1=log 3a n ＋1(n∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n =1且a n >0，即log 3a n ＋1a n=1，解得a n ＋1a n=3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9=(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9=9×33=35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)=log 1335=－log 335=－5.6.答案为：D ；解析：a 1＋a 2＋…＋a n =2n －1，即S n =2n －1，则S n －1=2n －1－1(n≥2)，则a n =2n －2n －1=2n －1(n≥2)，又a 1=1也符合上式，所以a n =2n －1，a 2n =4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n =13(4n－1)．一、填空题7.答案为：240；解析：因为a 1＋a 2=a 1(1＋q)=30，a 3＋a 4=a 1q 2(1＋q)=60，所以q 2=2，所以a 7＋a 8=a 1q 6(1＋q)=[a 1(1＋q)]·(q 2)3=30×8=240.8.答案为：15；解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|=1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|=15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|=|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2=15.9.答案为：1，121；解析：a 1＋a 2=4，a 2=2a 1＋1⇒a 1=1，a 2=3，再由a n ＋1=2S n ＋1，a n =2S n －1＋1(n≥2)⇒a n ＋1－a n =2a n ⇒a n ＋1=3a n (n≥2)，又a 2=3a 1，所以a n ＋1=3a n (n≥1)，S 5=1－351－3=121.10.答案为：－2；解析：由已知条件，得2S n =S n ＋1＋S n ＋2，即2S n =2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1=－2.11.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n =2－n.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n =a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1=1，S n 2=a 12＋a 24＋…＋a n2n .所以，当n ＞1时，S n 2=a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n =1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n =1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n =n 2n ，所以S n =n 2n －1， 综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n =n2n －1.12. (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1=a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn=1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a n n=1＋(n －1)·1=n，所以a n =n 2.从而b n =n·3n。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《等比数列的概念和通项公式》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《等比数列的概念和通项公式》一、选择题1.已知等比数列{a n }中，a 1=32，公比q=-12，则a 6等于( )A ．1B ．-1C ．2 D.122.已知数列a ，a(1-a)，a(1-a)2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a≠1B ．a≠0且a≠1C ．a≠0D ．a≠0或a≠13.在等比数列{a n }中，a 2 016=8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．84.已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2=3，a 2＋a 3=6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2435.等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5=( )A ．-5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．-5＋12或5－126.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．2157.已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1＋a 3＋a 5=21，则a 3＋a 5＋a 7=( )A ．21B ．42C ．63D ．84二、填空题8.首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n-3项是192，则n=________.9.数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5=16，a 4=8，则a n =________.10.若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．11.设{a n }为公比q>1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2-8x ＋3=0的两根， 则a 2 016＋a 2 017=________.12.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3=4，a 4a 5a 6=12，a n-1a n a n ＋1=324，则n=________.三、解答题13.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．14.在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n =3a n ＋1，且a 2·a 5=827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)-1681是否为该数列的项？若是，为第几项？15.有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为-8；后三个数依次成等差数列，它们的积为-80，求这四个数．16.已知a1=2，点(a n，a n＋1)在函数f(x)=x2＋2x的图象上，其中n=1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n)}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式．答案解析1.答案为：B ；解析：由题知a 6=a 1q 5=32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125=-1，故选B.2.答案为：B ；解析：由a 1≠0，q≠0，得a≠0,1-a≠0，所以a≠0且a≠1.3.答案为：A ；解析：q 3=a 2 016a 2 013=8，∴q=2.4.答案为：A ；解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2=q=2.又a 1＋a 2=3，∴a 1=1.故a 7=1×26=64.5.答案为：C ；解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3=a 1＋a 2，从而q 2=1＋q ，∵q>0，∴q=5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5=1q =5－12.6.答案为：B ；解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q=2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.7.答案为：B ；解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4=21，又因为a 1=3，所以q 4＋q 2-6=0，解得q 2=2，所以a 3＋a 5＋a 7=(a 1＋a 3＋a 5)q 2=42.8.答案为：5；解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2=4，得q=±2.由(±2)n-1=16，得n=5.9.答案为：2n-1解析：由a 1·a 5=16，a 4=8，得a 21q 4=16，a 1q 3=8，所以q 2=4，又a n >0，故q=2，a 1=1，a n =2n-1.10.答案为：- 272；解析：由题意，(2k ＋2)2=k(3k ＋3)，解得k=-4或k=-1， 又k=-1时，2k ＋2=3k ＋3=0，不符合等比数列的定义，所以k=-4，前3项为-4，-6，-9，第四项为-272.11.答案为：18；解析：4x 2-8x ＋3=0的两根分别为12和32，q>1，从而a 2 014=12，a 2 015=32，∴q=a 2 015a 2 014=3.a 2 016＋a 2 017=(a 2 014＋a 2 015)·q 2=2×32=18.12.答案为：14；解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3=4=a 31q 3与a 4a 5a 6=12=a 31q 12可得q 9=3，又a n-1a n a n ＋1=a 31q 3n-3=324，因此q 3n-6=81=34=q 36，所以n=14.13.证明：∵S n =2a n ＋1，∴S n ＋1=2a n ＋1＋1.∴S n ＋1-S n =a n ＋1=(2a n ＋1＋1)-(2a n ＋1)=2a n ＋1-2a n . ∴a n ＋1=2a n .①又∵S 1=a 1=2a 1＋1， ∴a 1=-1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n=2知{a n }是等比数列，a n =-2n-1.14.解：(1)∵2a n =3a n ＋1，∴a n ＋1a n =23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5=827，所以a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫235=⎝ ⎛⎭⎪⎫233，由于各项均为负，故a 1=-32，a n =-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n-2.(2)设a n =-1681，则-1681=-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n-2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n-2=⎝ ⎛⎭⎪⎫234，n=6，所以-1681是该数列的项，为第6项．15.解：由题意，设这四个数为bq，b ，bq ，a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，-2,4,10或-45，-2，-5，-8.16.解：(1)证明：由已知得a n ＋1=a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1=a 2n ＋2a n ＋1=(a n ＋1)2.∵a 1=2，∴a n ＋1＋1=(a n ＋1)2>0.∴lg(1＋a n ＋1)=2lg(1＋a n )，即lg 1＋a n ＋1lg 1＋a n=2，且lg(1＋a 1)=lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知，lg(1＋a n )=2n-1·lg 3=lg 312n －，∴1＋a n =312n －，∴a n =312n －-1.。
人教新课标版数学高二人教A版必修5同步学案 2.4(第2课时) 等比数列的应用
2.4第二课时 等比数列的应用一、课前准备1.课时目标 搞清等比数列的应用，利用等比数列的性质解决问题，搞清数列在实际问题中的应用，能解决与数列有关的应用问题，熟练掌握等比数列的性质解决问题2. 基础预测（1）对于正整数,m n ，,p q ，若满足m n p q +=+，则等比数列{}n a 中，满足_______. （2）等比数列{}n a 满足_______是单调递增数列，满足_______时，单调递减数列. （3）在等比数列{}n a 中满足n m >且（,*n m N ∈），则_______. （4）遇到等比数列问题，一般先求_______和_______. 二、 基本知识习题化1. 已知各项均为实数的数列{}n a 为等比数列，且满足122412,1a a a a +==，则1()a =. A.9或116 B. 19或16 C. 11916或 D.9或16 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则3132310log log log a a a +++的值为（）.A.12B.10C.8D. 32log 5+3. 在等比数列{}n a 中，已知7125,a a ⋅=则891011a a a a ⋅⋅⋅等于（）. A.10 B.25 C.50 D.754.已知数列121,,,4a a --成等差，数列1231,,,,4b b b --，成等比数列，则212a ab -的值为（） A.12 B. 12- C. 12-或12D. 14三、学法引领（1） 对于等比数列问题，搞清等比数列的通项公式，遇到等比数列问题，要先用等比数列的性质解题，能够用性质解题首先利用性质解题，不能用性质要通过计算求出首项与公比再求解.（2） 在等比数列的单调递增与递减问题，注意要由首项与公比同时确定数列是单调递增数列，即当11,0q a >>或101,0q a <<<是单调递增数列，当满足11,0q a ><或101,0q a <<>单调递减数列.（3） 利用等比数列解决应用问题，首先要确定公比，再确定首项 与项数进行求解.四、典例导析变式练习题型1 等比数列性质的应用例1 已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数. 思路导析：根据等比数列求出前三项，再求出第四项解方程求出四个数.解：依题意可设这四个数分别为:2(4)4d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,2(4)44194d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.规律总结：对于等比数列与等差数列，在设变量时越少越好，利用解方程求解.变式训练1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数题型2 等比数列的应用问题例2 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a 1=104，经过n 年后绿化的面积为a n +1，试用a n 表示a n +1；（2）求数列{a n }的第n +1项a n +1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771） 思路剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解：（1）设现有非绿化面积为b 1，经过n 年后非绿化面积为b n +1. 于是a 1+b 1=1，a n +b n =1.依题意，a n +1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a n 减去被非绿化部分1002a n 后剩余的面积10098a n ，另一部分是新绿化的面积1008b n ，于是 a n +1=10098a n +1008b n =10098a n +1008（1－a n ）=109a n +252.（2）a n +1=109a n +252，a n +1－54=109（a n －54）.数列{a n －54}是公比为109，首项a 1－54=104－54=－52的等比数列.∴a n +1=54+（－52）（109）n .（3）a n +1＞60%，54+（－52）（109）n ＞53，（109）n ＜21，n （lg9－1）＜－lg2，n ＞3lg 212lg -≈6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.规律总结：利用数列解应用问题，要首先审清题意，列出关系式，求出满足的关系式，如果有指数的问题可以求导解决. 变式训练2.某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是A.32S B.34S C.36S D.38S 题型3三 等差与 等比数列的应用例3 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《等差数列的性质》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《等差数列的性质》一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 6=( )A ．-1B ．0C ．1D ．62.已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n =-a nB ．b n =aC ．b n =D ．b n =2n an 1an3.在等差数列{a n }中，若a 2=1，a 6=-1，则a 4=( )A ．-1B ．1C ．0D ．-124.等差数列{a n }的公差d<0，且a 2·a 4=12，a 2＋a 4=8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n =2n-2(n ∈N *)B ．a n =2n ＋4(n ∈N *)C ．a n =-2n ＋12(n ∈N *)D ．a n =-2n ＋10(n ∈N *)5.如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8=a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8=a 4a 56.已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13=4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. B ．± C ．- D ．-333337.等差数列{a n }中，a 5＋a 6=4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25二、填空题8.等差数列{a n }中，a 15=33，a 25=66，则a 35=________.9.在等差数列{a n }中，a 3＋a 7=37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8=________.10.在等差数列{a n }中，若a 5=a ，a 10=b ，则a 15=________.11.数列{a n }满足递推关系a n =3a n-1＋3n -1(n ∈N *，n≥2)，a 1=5，则使得数列为等差数列{an ＋m 3n }的实数m 的值为________．12.若m≠n，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则的值d1d2为______．三、解答题13.梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14.若三个数a-4，a ＋2,26-2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15.两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16.已知数列{a n}的通项公式为a n=pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1-a n}都是等差数列．答案解析1.答案为：B ；解析：由等差数列的性质得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0，选B.2.答案为：A ；解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1-a n =d(常数)．对于A ，b n ＋1-b n =a n -a n ＋1=-d ，正确；对于B 不一定正确，如a n =n ，则b n =a =n 2，2n 显然不是等差数列；对于C 和D ，及不一定有意义，故选A.an 1an3.答案为：C ；解析：∵2a 4=a 2＋a 6=1-1=0，∴a 4=0.4.答案为：D ；解析：由Error!⇒Error!⇒Error!∴a n =a 1＋(n-1)d=8＋(n-1)·(-2)=-2n ＋10.5.答案为：B ；解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8=a 4＋a 5，故选B.6.答案为：D ；解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13=3a 7=4π，∴a 7=.∴tan(a 2＋a 12)=tan(2a 7)=tan =tan =-.4π38π32π337.答案为：B ；解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10=5(a 5＋a 6)=5×4=20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=log 2220=20.8.答案为：99；解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25=a 15＋a 35，∴a 35=2a 25-a 15=2×66-33=99.9.答案为：74；解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8=a 4＋a 6=a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8=37×2=74.10.答案为：2b-a ；解析：设数列{a n }的公差为d.法一：由题意知Error!解得Error!∴a 15=a 1＋14d=＋14×=2b-a.9a －4b 5b －a 5法二：d==，∴a 15=a 10＋5d=b ＋5×=2b-a.a10－a510－5b －a 5b －a 5法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15=2a 10.∴a 15=2a 10-a 5=2b-a.11.答案为：-；12解析：由题设知-=-==1-为常an ＋m 3n an －1＋m 3n －13an －1＋3n －1＋m 3n an －1＋m 3n －13n －1－2m 3n 1＋2m 3n数，则1＋2m=0，故m=-.1212.答案为：；43解析：n-m=3d 1，d 1=(n-m)．又n-m=4d 2，d 2=(n-m)．∴==.1314d1d213· n －m 14· n －m 4313.解：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12=33，由a 12=a 1＋(12-1)d ⇒33=110＋11d ，∴d=-7，∴a n =110＋(n-1)×(-7)，∴a 2=103，a 3=96，a 4=89，a 5=82，a 6=75，a 7=68，a 8=61，a 9=54，a 10=47，a 11=40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14.解：显然a-4<a ＋2，(1)若a-4，a ＋2,26-2a 成等差数列，则(a-4)＋(26-2a)=2(a ＋2)，∴a=6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a-4,26-2a ，a ＋2成等差数列，则 (a-4)＋(a ＋2)=2(26-2a)，∴a=9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26-2a ，a-4，a ＋2成等差数列，则(26-2a)＋(a ＋2)=2(a-4)，∴a=12，相应的等差数列为：2,8,14.15.解：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1=5，d 1=8-5=3，通项公式a n =5＋(n-1)·3=3n ＋2；b 1=3，d 2=7-3=4，通项公式b k =3＋(k-1)·4=4k-1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同，即a n =b k ，也就是3n ＋2=4k-1，∴n=k-1，而n ∈N *，k ∈N *，43∴k 必须为3的倍数，设k=3r(r ∈N *)，得n=4r-1.由条件知Error!解得≤r≤.121014又r ∈N *，∴1≤r≤25(r∈N *)．∴共有25个共同的项．16.解：(1)设数列{a n}是等差数列，则a n＋1-a n=[p(n＋1)2＋q(n＋1)]-(pn2＋qn)=2pn＋p＋q，若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，则2p=0，即p=0，q∈R.∴当p=0，q∈R时，数列{a n}是等差数列．(2)证明：∵a n＋1-a n=2pn＋p＋q，∴a n＋2-a n＋1=2p(n＋1)＋p＋q，∴(a n＋2-a n＋1)-(a n＋1-a n)=[2p(n＋1)＋p＋q]-(2pn＋p＋q)=2p(常数)．∴对任意的实数p和q，数列{a n＋1-a n}都是等差数列．。
2020年高中数学人教A版 必修5 同步作业本《正、余弦定理的综合应用》(含答案解析)
2020年高中数学人教A 版 必修5 同步作业本《正、余弦定理的综合应用》一、选择题1.已知三角形的三边长分别是a ，b ，，则此三角形中最大的角是( )a2＋b2＋ab A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°2.在△ABC 中，有下列关系式：①asin B=bsin A ；②a=bcos C ＋ccos B ；③a 2＋b 2－c 2=2abcos C ；④b=csin A ＋asin C.一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积为，则BC 的长为( )32A. B. C ．2 D ．232334.锐角三角形ABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是( )A ．sin A=cosB B ．sin A ＜cos BC ．sin A ＞cos BD ．不能确定5.在△ABC 中，b=8，c=3，A=60°，则此三角形外接圆面积为( )A. B. C. D.1963196π349349π36.在△ABC 中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin ∠BAC 等于( )π42A. B. C. D.10101053101055二、填空题7.若锐角△ABC 的面积为10，且AB=5，AC=8，则BC 等于________．38.在△ABC 中， a=4，b=5，c=6，则=________．sin 2A sin C9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=，cos C=，a=1，则b=_______.4551310.在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是________．三、解答题11.在△ABC 中，已知sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A=sin Asin C ．求B 的度数．312.在△ABC 中，BC=，AC=3，sin C=2sin A.5(1)求AB 的值；(2)求sin .(2A －π4)13.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C(acos B ＋bcos A)=c.(1)求C ；(2)若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．7332答案解析1.答案为：C ；解析：因为＞a ，＞b ，所以最大边是，a2＋b2＋ab a2＋b2＋ab a2＋b2＋ab 设其所对的角为θ，则cos θ==－，θ=120°.a2＋b2－（a2＋b2＋ab ）22ab122.答案为：C3.答案为：B ；解析：S=×AB·ACsin 60°=×2××AC=，所以AC=1，12123232所以BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 60°=3，所以BC=.34.答案为：C ；解析：在锐角三角形ABC 中，A ＋B ＞90°.所以A ＞90°－B ，所以sin A ＞sin (90°－B)=cos B.5.答案为：D ；解析：a 2=b 2＋c 2－2bccos A=82＋32－2×8×3=49，(12)所以a=7，所以2R===，所以R=，所以S=π=π.a sin A 73214373(73)2 4936.答案为：C ；解析：由余弦定理：AC==，9＋2－62×225由正弦定理：=，所以sin ∠CAB==AC sin π43sin ∠CAB 3×225310107.答案为：7；解析：试题分析：由已知得△ABC 的面积为AB·ACsinA=20sin A=10，123所以sin A=，A ∈(0，)，所以A=.32π2π3由余弦定理得BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·ACcos A=49，BC=7.8.答案为：1；解析：==·=·=1.sin 2A sin C 2sin Acos A sin C 2a c b2＋c2－a22bc 2×4625＋36－162×5×69.答案为：；201310.答案为：(－，＋)；6262解析：如下图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在△ADE 中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，所以设AD=x ，AE=x ，DE=x ，CD=m ，12226＋24因为BC=2，所以·sin 15°=1⇒x ＋m=＋，(6＋24x ＋m )6＋2462所以0＜x ＜4，而AB=x ＋m －x=x ＋m=＋－x ，6＋24226－246222所以AB 的取值范围是(－，＋)．626211.解：因为sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A=sin A·sin C.3由正弦定理得：b 2－c 2－a 2=ac ，3由余弦定理得：cos B==－.c2＋a2－b22ca32又0°＜B ＜180°，所以B=150°.12.解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理=，AB sin C BC sin A于是AB=·BC=2BC=2.sin C sin A5(2)在△ABC 中，根据余弦定理得cos A==，AB2＋AC2－BC22AB·AC 255于是sin A=，55由倍角公式得sin 2A=2sin Acos A=，cos 2A=2cos 2A －1=，4535所以sin =sin 2Acos －cos 2Asin =.(2A －π4)π4π421013.解：(1)由已知及正弦定理得：2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)=sin C ，即2cos Csin(A ＋B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=，所以C=.12π3(2)由已知，absin C=.12332又C=，所以ab=6.π3由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2abcos C=7.故a 2＋b 2=13，从而=25.(a ＋b )2所以△ABC 的周长为5＋.7。
高中数学 2.5.2等差、等比数列的综合应用练习 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题
【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.5.2等差、等比数列的综合应用练习 新人教A 版必修5►基础梳理1．(1)重要公式：1＋2＋3＋…＋n ＝____________； 12＋22＋32＋…＋n 2＝____________．(2)数列a n ＝n 2＋n 的前n 项和为：________________________________________________________________________.2．(1)裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．1n （n ＋1）＝__________________．(2)11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝______． 3．累加法求数列通项公式：数列的基本形式为a n ＋1－a n ＝f(n)(n∈N *)的解析式，而f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的和可求出．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n (n ∈N *)且a 1＝1，则其通项公式为________________．4．累乘法求数列通项公式：数列的基本形式为a n ＋1a n＝f (n )(n ∈N *)的解析式，而f (1)·f (2)·…·f (n )的积可求出．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋1n(n ∈N *)，a 1＝2，则其通项公式为__________(n ∈N *)．5．待定系数法：数列有形如a n ＋1＝ka n ＋b (k ≠1)的关系，可用待定系数法求得{a n ＋t }为等比数列，再求得a n .已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，a 1＝1，则{a n ＋1}是________．数列{a n }通项公式为________________________________________________________________________．6．分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但如果将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，那么就可以分别求和，再将其合并即可．数列113，219，3127，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋13n 的前n 项和S n ＝________________．7．倒序相加法：这是在推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n 个a 1＋a n .sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝____________．8．错位相减法：这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差和等比数列．基础梳理1．(1)n （n ＋1）2n （n ＋1）（2n ＋1）6(2)S n ＝n （n ＋1）（n ＋2）32．(1)1n －1n ＋1 (2)563．a n ＝n 2－n ＋224．a n ＝2n5．等比数列 a n ＝2n－16.12n (n ＋1)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 7.892►自测自评1．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.232．数列{(－1)nn }的前n 项和为S n ，则S 2 014等于( ) A ．1 007 B ．－1 007 C ．2 014 D ．－2 0143．(2014·安徽卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．自测自评1．解析：由S 10＝70，可以得到a 1＋a 10＝14，即 a 1＝4.所以d ＝a 10－a 19＝23. 答案：D2．解析：S 2 014＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 013＋2 014)＝1 007. 答案：A3．解析：设出等差数列的公差，根据等比中项性质列方程求解． 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：1►基础达标1．数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．91．D2. 已知等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A .1S nB ．S n q n －1C ．S n q 1－nD .q nS n2．解析：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的首项为1，公比为1q ，它的前n 项和为T n ＝1－1q n1－1q＝q n －1q n －1（q －1），又S n ＝1－q n1－q，∴T n ＝1qn －1·S n ＝q1－n·S n .故选C.答案：C3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前____项之和等于9.( )A ．99B ．98C ．97D ．963．解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（n ＋1－n ）（n ＋1＋n ）＝n ＋1－n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝9⇒n ＋1＝100，∴n ＝99.故选A. 答案：A4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比q 为________．4．解析：设{a n }的公比为q ，由题意知4S 2＝S 1＋3S 3，若q ＝1，则8a 1＝a 1＋9a 1，∴a 1＝0，不合题意；若q ≠1，则4(1－q 2)＝(1－q )＋3(1－q 3)，即(q －1)(3q －1)＝0，∴q ＝13.答案：135. 求和：112＋314＋518＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）＋12n ＋1＝____________________． 5．解析：S n ＋1＝[]1＋3＋…＋（2n ＋1）＋(12＋14＋…＋12n ＋1)＝n 2＋2n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.答案：n 2＋2n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1►巩固提高6．(2014·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．6．解析：依题意得S 22＝S 1S 4，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.答案：－127．(2014·大纲全国卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．37．解析：利用等比数列的性质及对数的运算法则求解．数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg (2×5)4＝4.答案：C8．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝________．8．解析：由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ⇒1＝1a n －1a n ＋1⇒1a n ＋1－1a n＝－1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，1a n＝－1＋(n －1)(－1)＝－n ，∴a n ＝－1n(n ∈N *)．答案：－1n(n ∈N *)9．(2014·江西卷)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .9．解析：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0，n ∈N *， 所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1， 于是数列{a n }前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －1)·3n，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)·3n，所以S n ＝(n －1)·3n＋1.10. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －5 ，n 为奇数，4n ，n 为偶数，求S n .10．解析：①当n 为奇数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －5)]＋(42＋44＋…＋4n －1) ＝（1＋6n －5）2·n ＋12＋42（4n －1－1）42－1 ＝（n ＋1）（6n －4）4＋4n ＋1－1615＝（n ＋1）（3n －2）2＋4n ＋1－1615.②当n 为偶数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －11)]＋(42＋44＋…＋4n －1＋4n)＝n （3n －5）2＋4n ＋2－1615.1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、a n 、n 、d (q )、S n “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、拆项法、裂项法、累加法、等价转化等．。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《等差数列的前n项和公式》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《等差数列的前n 项和公式》一、选择题1.等差数列{a n }中，d=2，a n =11，S n =35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或-1D ．3或-12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．23.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．234.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．155.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．66.S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )A ．S 17 B ．S 15 C ．S 13 D ．S 77.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m-1=-2，S m =0，S m ＋1=3，则m=( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题8.已知数列{a n }中，a 1=1，a n =a n-1＋(n≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．129.等差数列{a n }中，若a 10=10，a 19=100，前n 项和S n =0，则n=________.10.等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=________.11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则等于________．a5a359S9S512.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n=324(n>6)，则数列的项数n=________，a9＋a10=________.三、解答题13.在等差数列{a n}中：(1)已知a5＋a10=58，a4＋a9=50，求S10；(2)已知S7=42，S n=510，a n-3=45，求n.14.在等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=-15，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．15.等差数列{a n }的前n 项和S n =-n 2＋n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .32205216.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列的前n 项{Sn n}和，求T n .答案解析1.答案为：D ；解析：由题意，得Error!即Error!解得Error!或Error!2.答案为：C ；解析：由S 2=4，S 4=20，得2a 1＋d=4,4a 1＋6d=20，解得d=3.3.答案为：C ；解析：由a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，可知d=3，a 1=-4.∴S 10=-40＋×3=95.10×924.答案为：B ；解析：由S 5=5a 3=25，∴a 3=5.∴d=a 3-a 2=5-3=2.∴a 7=a 2＋5d=3＋10=13.5.答案为：B ；解析：当n=1时，a 1=S 1=-8；当n≥2时，a n =S n -S n-1=(n 2-9n)-[(n-1) 2-9(n-1)]=2n-10.综上可得数列{a n }的通项公式a n =2n-10.所以a k =2k-10.令5＜2k-10＜8，解得k=8.6.答案为：C ；解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12=3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13=13a 7，∴S 13为常数．7.答案为：C ；解析：a m =S m -S m-1=2，a m ＋1=S m ＋1-S m =3，∴d=a m ＋1-a m =1，由S m ==0，知a 1=-a m =-2，a m =-2＋(m-1)=2，解得m=5. a1＋am m 28.答案为：27；解析：∵n≥2时，a n =a n-1＋，且a 1=1，所以数列{a n }是以1为首项，12以为公差的等差数列，所以S 9=9×1＋×=9＋18=27.129×82129.答案为：17；解析：Error!，∴d=10，a 1=-80.∴S n =-80n ＋×10=0，n n －1 2∴-80n ＋5n(n-1)=0，n=17.10.答案为：104；解析：因为a 1＋a 13=a 2＋a 12=2a 7，又a 2＋a 7＋a 12=24，所以a 7=8.所以S 13==13×8=104.13 a1＋a13 211.答案为：1；解析：由等差数列的性质，===，∴==×=1.a5a32a52a3a1＋a9a1＋a559S9S592 a1＋a9 52a1＋a5 955912.答案为：18，36；解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6=36 ①，a n ＋a n-1＋a n-2＋…＋a n-5=180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n-1)＋…＋(a 6＋a n-5)=6(a 1＋a n )=216，∴a 1＋a n =36.又S n ==324，∴18n=324，∴n=18，∴a 1＋a 18=36，∴a 9＋a 10=a 1＋a 18=36.n a1＋an 213.解：(1)由已知条件得Error!解得Error!∴S 10=10a 1＋d=10×3＋×4=210.10× 10－1 210×92(2)S 7==7a 4=42，7 a1＋a7 2∴a 4=6.∴S n ====510.n a1＋an 2n a4＋an －3 2n 6＋45 2∴n=20.14.解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d.则Error!解得a 1=-9，d=3，∴a n =3n-12.(2)S n ==(3n 2-21n)=2-，n a1＋an 21232(n －72)1478∴当n=3或4时，前n 项的和取得最小值为-18.15.解：a 1=S 1=101，当n≥2时，a n =S n -S n-1=-n 2＋n-Error!Error!=-3n ＋104，a 1=S 1=101也适合上式，322052所以a n =-3n ＋104，令a n =0，n=34，故n≥35时，a n <0，n≤34时，a n >0，23所以对数列{|a n |}，n≤34时，T n =|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |=a 1＋a 2＋…＋a n =-n 2＋n ，322052当n≥35时，T n =|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |=a 1＋a 2＋…＋a 34-a 35-…-a n=2(a 1＋a 2＋…＋a 34)-(a 1＋a 2＋…＋a n )=2S 34-S n =n 2-n ＋3 502，322052所以T n =Error!16.解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1＋n(n-1)d ，12∵S 7=7，S 15=75，∴Error!即Error!解得Error!∴=a 1＋(n-1)d=-2＋(n-1)，Sn n 1212∵-=，Sn ＋1n ＋1Sn n 12∴数列是等差数列，其首项为-2，公差为，{Sn n }12∴T n =n×(-2)＋×=n 2-n.n· n －1 2121494。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《等比数列的前n项和公式的性质及应用》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《等比数列的前n 项和公式的性质及应用》一、选择题1.设首项为1，公比为的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )23A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2-a 5=0，则=( )S4S2A ．5B ．8C ．-8D ．153.已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4=18，a 2＋a 3=12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．5104.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4=1，S 3=7，则S 5=( )A. B. C. D.1523143341725.在等比数列{a n }中，公比q=2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 10=35，则S 10=( )A. B. C ．235 D.1 0232 1 0242 1 02226.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d>0，dS 4>0B ．a 1d<0，dS 4<0C ．a 1d>0，dS 4<0D ．a 1d<0，dS 4>0二、填空题7.在数列{a n }中，a 1=2，a n ＋1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n=________.8.等比数列{a n }的公比q>0，已知a 2=1，a n ＋2＋a n ＋1=6a n ，则{a n }的前4项和S 4=________.9.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n =________.10.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．11.设等比数列{a n }满足a 1＋a 3=10，a 2＋a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．三、解答题12.设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和，证明：log0.5S n＋log0.5S n＋2>2log0.5S n＋.113.设等比数列{a n}的公比q<1，前n项和为S n，已知a3=2，S4=5S2，求{a n}的通项公式．14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n.15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2(n∈N*)，数列{b n}中，b1=1，点P(b n，b n＋1)在直线x-y＋2=0上．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记T n=a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，求T n.答案解析1.答案为：D ；解析：S n ===3-2a n .a1 1－qn 1－q a1－anq 1－q2.答案为：A ；解析：∵8a 2-a 5=0，∴8a 1q=a 1q 4，∴q 3=8，∴q=2，∴==1＋q 2=5.S4S21－q41－q23.答案为：D ；解析：由已知得Error!解得q=2或q=.12∵q 为整数，∴q=2.∴a 1=2，∴S 8==29-2=510.2 1－28 1－24.答案为：B ；解析：由a 2a 4=1⇒a 1=，又S 3=a 1(1＋q ＋q 2)=7，1q2联立得：=0，∴q=，a 1=4，S 5==.(1q ＋3)(1q －2)124(1－125)1－123145.答案为：A ；解析：由题意知log 2(a 1·a 2·…·a 10)=35，∴a 1·a 2·a 3·…·a 10=235.∴a 1·(a 1q)·(a 1q 2)·…·(a 1q 9)=235.∴a q 1＋2＋3＋…＋9=235.101∴a ·245=235，即a =，∴a 1=.∴a 1＋a 2＋…＋a 10==.101101121012a1 1－q10 1－q 1 02326.答案为：B ；解析：因为{a n }是等差数列，a 3，a 4，a 8成等比数列，所以(a 1＋3d)2=(a 1＋2d)(a 1＋7d)⇒a 1=-d ，53所以S 4=2(a 1＋a 4)=2(a 1＋a 1＋3d)=-d ，所以a 1d=-d 2<0，dS 4=-d 2<0.2353237.答案为：6；解析：∵a 1=2，a n ＋1=2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴S n ==126，∴2n =64，∴n=6.2 1－2n 1－28.答案为：；152解析：由a n ＋2＋a n ＋1=6a n ，得q n ＋1＋q n =6q n-1，即q 2＋q-6=0，q>0，解得q=2，又∵a 2=1，∴a 1=，∴S 4==.1212· 1－24 1－21529.答案为：3n-1解析：设等比数列{a n }的公比为q(q≠0)，依题意得a 2=a 1·q=q ，a 3=a 1q 2=q 2，S 1=a 1=1，S 2=1＋q ，S 3=1＋q ＋q 2，又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2=3S 1＋S 3，即4(1＋q)=3＋1＋q ＋q 2，所以q=3(q=0舍去)．所以a n =a 1q n-1=3n-1.10.答案为：8；解析：由题意可知q=2，设该数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ，则a n ＋a n ＋1=24，又a 1=1，∴q n-1＋q n =24，即2n-1＋2n =24，解得n=4，∴项数为8项．11.答案为：64；解析：设{a n }的公比为q ，于是a 1(1＋q 2)=10，① a 1(q ＋q 3)=5，②联立①②得a 1=8，q=，∴a n =24-n ，∴a 1a 2…a n =23＋2＋1＋…＋(4-n)=2-n 2＋n=2-(n-)2＋1212721272498≤26=64.∴a 1a 2…a n 的最大值为64.12.证明：设{a n }的公比为q ，由已知得a 1>0，q>0.∵S n ＋1=a 1＋qS n ，S n ＋2=a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2-S =S n (a 1＋qS n ＋1)-(a 1＋qS n )S n ＋1=S n a 1＋qS n S n ＋1-a 1S n ＋1-qS n S n ＋1=a 1(S n -S n ＋1)=-2n ＋1a 1a n ＋1<0，∴S n ·S n ＋2<S .2n ＋1根据对数函数的单调性可以得到log 0.5(S n S n ＋2)>log 0.5S ，2n ＋1即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.13.解：由题设知a 1≠0，S n =，a1· 1－qn 1－q则Error!由②得1-q 4=5(1-q 2)，(q 2-4)(q 2-1)=0.(q-2)(q ＋2)(q-1)(q ＋1)=0，因为q<1，解得q=-1或q=-2.当q=-1时，代入①得a 1=2，通项公式a n =2×(-1)n-1；当q=-2时，代入①得a 1=；通项公式a n =×(-2)n-1.1212综上，当q=-1时，a n =2×(-1)n-1；当q=-2时，a n =×(-2)n-1.1214.解：(1)设{a n }的公差为d ，则Error!即Error!∴a 1=1，d=2.∴a n =1＋2(n-1)=2n-1，(n ∈N *)．(2)∵b n =2a n =22n-1，∴T n =21＋23＋25＋…＋22n-1==.2 1－4n 1－42 4n －1 315.解：(1)由S n =2a n -2得S n-1=2a n-1-2(n≥2)，两式相减得a n =2a n -2a n-1，即=2(n≥2)，an an －1又a 1=S 1=2a 1-2，∴a 1=2，∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列．∴a n =2n .∵点P(b n ，b n ＋1)在直线x-y ＋2=0上，∴b n -b n ＋1＋2=0，即b n ＋1-b n =2，∴{b n }是等差数列．又b 1=1，∴b n =2n-1.(2)∵T n =1×2＋3×22＋…＋(2n-3)2n-1＋(2n-1)·2n ，①∴2T n =1×22＋3×23＋…＋(2n-3)2n ＋(2n-1)2n ＋1.②①-②，得-T n =1×2＋2×(22＋23＋…＋2n )-(2n-1)·2n ＋1=2＋2·-(2n-1)2n ＋122－2n·21－2=2＋4·2n -8-(2n-1)2n ＋1=(3-2n)·2n ＋1-6.∴T n =(2n-3)·2n ＋1＋6.。
2020年高中数学 人教A版 必修5 同步作业本《等差数列的概念与通项公式》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本《等差数列的概念与通项公式》一、选择题1.有穷等差数列5，8，11，…，3n ＋11(n∈N *)的项数是( )A ．nB ．3n ＋11C ．n ＋4D ．n ＋32.若{a n }是等差数列，则由下列关系确定的数列{b n }也一定是等差数列的是( )A ．b n =aB ．b n =a n ＋n 2C ．b n =a n ＋a n ＋1D ．b n =na n 2n 3.数列{a n }中，a n ＋1=，a 1=2，则a 4为( )an 1＋3anA. B. C. D.87851652194.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=( )A ．100B ．99C ．98D ．975.若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( )A ．0B ．log 25C ．32D ．0或326.已知x≠y，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则等于( )a2－a1b2－b1A. B. C. D.m n m ＋1n ＋1n m n ＋1m ＋1二、填空题7.已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y=ax 2＋2bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴的交点有______个．8.若关于x 的方程x 2－x ＋m=0和x 2－x ＋n=0(m ，n ∈R ，且m≠n)的四个根组成首项为的等差14数列，则m ＋n 的值为________．9.数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n =b n ，则n 的值为________．10.在数列{a n }中，a 1=3，且对于任意大于1的正整数n ，点(，)都在直线x －y －an an －13=0上，则a n =________．三、解答题11.在等差数列{a n }中，(1)已知a 5=－1，a 8=2，求a 1与d ；(2)已知a 1＋a 6=12，a 4=7，求a 9.12.若等差数列{a n }的公差d≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4=0的两根，求数列{a n }的通项公式．13.已知函数f(x)=，数列{x n }的通项由x n =f(x n －1)(n≥2且x∈N *)确定．3x x ＋3(1)求证：是等差数列；{1xn}(2)当x 1=时，求x 2 015.12答案解析1.答案为：D ；解析：在3n ＋11中令n=1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n ＋3.2.答案为：C ；解析：{a n }是等差数列，设a n ＋1－a n =d ，则数列b n =a n ＋a n ＋1满足：b n ＋1－b n =(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)=a n ＋2－a n =2d.3.答案为：D ；解析：因为=，所以=＋3，所以－=3，1an ＋11＋3an an 1an ＋11an 1an ＋11an所以=＋3(n －1)，=＋3(4－1)=，所以a 4=.1an 121a4121922194.答案为：C ；解析：由已知，所以a 1=－1，d=1，a 100=a 1＋99d=－1＋99=98，故选C.{9a1＋36d ＝27，a1＋9d ＝8，)5.答案为：B ；解析：依题意得2lg(2x －1)=lg 2＋lg(2x ＋3)，所以(2x －1)2=2(2x ＋3)，所以(2x )2－4·2x －5=0，所以(2x －5)(2x ＋1)=0，所以2x =5或2x =－1(舍)，所以x=log 2 5.6.答案为：D ；解析：设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1=d 1，b 2－b 1=d 2，第一个数列共(m ＋2)项，所以d 1=；y －x m ＋1第二个数列共(n ＋2)项，所以d 2=，这样可求出==.y －x n ＋1a2－a1b2－b1d1d2n ＋1m ＋17.答案为：1或2；解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b=a ＋c ，又因为Δ=4b 2－4ac=(a ＋c)2－4ac=(a －c)2≥0所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．8.答案为：；3172解析：设x 2－x ＋m=0，x 2－x ＋n=0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2=x 3＋x 4=1.设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2，由题意知x 1=，14所以x 2=，数列的公差d==，所以数列的中间两项分别为＋=，＋=.3434－144－116141651251216712所以x 1·x 2=m=.x 3·x 4=n=×=.所以m ＋n=＋=.316512712351443163514431729.答案为：5；解析：a n =2＋(n －1)×3=3n －1，b n =－2＋(n －1)×4=4n －6，令a n =b n ，得3n －1=4n －6，所以n=5.10.答案为：3n 2解析：由题意得－=，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，an an －13an 33所以= n ，a n =3n 2.an 311.解：(1)因为a 5=－1，a 8=2，所以解得{a1＋4d ＝－1，a1＋7d ＝2，){a1＝－5，d ＝1.)(2)设数列{a n }的公差为d.由已知得，解得{a1＋a1＋5d ＝12，a1＋3d ＝7，){a1＝1，d ＝2.)所以a n =1＋(n －1)×2=2n －1，所以a 9=2×9－1=17.12.解：由题意知{a1＋a2＝a3，a1a2＝a4，)所以解得{2a1＋d ＝a1＋2d ，a1（a1＋d ）＝a1＋3d.){a1＝2，d ＝2，)所以a n =2＋(n －1)×2=2n.故数列{a n }的通项公式为a n =2n.13. (1)证明：因为f(x)=，数列{x n }的通项，x n =f(x n －1)，3x x ＋3所以x n =，所以=＋，所以－=，3xn －1xn －1＋31xn 1xn －1131xn 1xn －113所以是等差数列．{1xn}(2)解：x 1=时，=2，121x1所以=2＋(n －1)=，所以x n =，1xn 13n ＋533n ＋5所以x 2 015=.32 020。