空间向量及其运算的坐标表示_课件
数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____
(4,-8,3)，(－2,-3,7)
如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4, OD'=2 ，以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角 坐 标(1)系写O出xDyz'，. C，A', B'四点的坐 标;
解: (1) 点D'在z轴上，且OD'=2,所 以 坐标是(0, 0,
题型一 空间向量坐标的计算 已知向量a＝(4,-2,-4)，b＝(6,-3,2)，则(2a＋3b)·(a-2b)＝_______.
若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(ca)·(2b) ＝-2，则x＝____. 解析 由题意，得c－a＝(0,0,1-x)，2b＝(2,4,2)，故(c-a)·(2b) ＝ 2(1-x)＝-2，解得x＝2.
2同).理，点C的坐标是(0,4, 0点).A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O, D',它们在坐 标 点轴B上'在的x坐轴标、分y轴别、为z3轴,0上,2，的所射以影点分A别'的为坐A，标C是，(3D, '0,它, 2们).在坐 标 轴上的坐标分别为3,4,2,所以点B'的坐标是(3, 4, 2).
(2)写出点P(2, 3, 4)在三个坐标平面内的射影的坐标.
解:(1)因为三条坐标轴两两互相垂直，所以xOy平面与z轴垂直 ，
xOz平面与y轴垂直，yOz平面与x轴垂直 (2)过点 P作PP1⊥xOy平面，则点P1的坐标为(2,3,0)，同理 点P
在xOz平面上的射影坐标为(2,0,4)，点P在yOz平面上的 射影
空间向量的坐标混合运 算
理解并掌握空间向量的运 算
空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3) 模 |a|＝______
设空间直角坐标系中的点A(x1，y1，z1), B(x2，y2，z2), 则=（ x2-x1， y2- y1， z2- z1） 语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段 的终点坐标减去起点坐 标
作HK⊥CG于K, 由于H为C1G的中点, 故K为CG的 中
1.在空间直角坐标系中标出下列各点: A(0, 2, 4)，B(1, 0, 5)，C(0, 2, 0), D(1, 3,
4).如下图所示：
2.在空间直角坐标系Oxryz中, (1)哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个
坐 标平面与z轴垂直？
教学重点 空间向量运算的坐标表 示空间向量的坐标混合运 算利用空间向量的坐标运算来求空间向量的长度与夹 角利用空间向量的坐标来判断空间向量的共线与共 面
教学难点
利用空间向量的坐标运算来求空间向量的长度与夹 角利用空间向量的坐标来判断空间向量的共线与共 面
在平面向量向量中我们学习过用建立平面直角坐标系的方法解 决 问题， 上节课我们学习了正交分解的概念，那么建立坐标系的方法是 否 适用于空间向量中呢？如果适用，又是怎样应用的呢？
空间直角坐标系
单位正交基底：有公共起点O的三个两 垂直 的 单位 向量，
两记作{i，j，k}
空间直角坐标系定义：以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i
，
j建，系k的方方法向（为右x手轴直、角y轴坐、标z系轴）的：正右方手向拇建指立指空向间x直轴角的坐正标方系向O，xyz
食
卦指限向y：轴三正个方坐向标，平中面指把指空向间z分轴的八正方部向分，每一部分都称 卦限
精品 课件
高中数学选择性必修1
第一章 空间向量与立体几何
空间向量及其运算的坐标表示
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
掌握空间直角坐标系的建立方法和空间向量坐标的定 义 掌握空间向量运算的坐标表 示 掌握空间向量的坐标混合运 算 能够利用空间向量的坐标运算来求空间向量的长度与夹 角 能够利用空间向量的坐标来判断空间向量的共线与共 面
坐标为(0,3,4). (3)点P关于原点的对称点P' 的坐标为(-1,-3,-5).
3. 在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4, OD'=3， A'C'与
(B1')D写'相出交点于C，点BP'，, P建的立坐如标图所示的空间直角坐标系Oxyz. ;
空间直角坐标系
理解并掌握如何建立空间直角坐标 系 能够在空间直角坐标系中准确读出点的坐 标
题型二 空间向量的坐标计算 已知空间三点A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，C(-3,0,4).
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空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.
高中数学1-3空间向量及其运算的坐标表示1-3-1空间直角坐标系课件新人教A版选择性必修第一册
2．向量的坐标： 给定向量 a，若O→A＝a，a＝xi＋yj＋zk，有序实数组_(_x_，__y_，__z_) _叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，简记为 a＝_(_x_，__y_，__z)__．
【预习自测】
1．在空间直角坐标系中，点 P(1，2，3)到平面 Ozx 的距离是
()
A．1
【答案】(2，－3，1) 【解析】点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2， 3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关 于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
3．如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱 长为2，则图中的点M关于y轴对称的点的坐 标为________．
__x_轴__、__y_轴__、__z_轴___，它们都叫坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标
系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做_坐__标__向__量___，通过每两条坐标轴的
平面叫做__坐__标__平__面__，分别称为__O__x_y__平面，__O_y_z___平面，__O__z_x___ 平面，它们把空间分成__八__个__部__分__．
坐标互为相反数，所以点(2，3，2)关于平面Oxy的对称点的坐标为(2，
3，－2)．
探究 3 求关于点对称的点
点A(3，－2，4)关于点(0，1，－3)的对称点的坐标是
A．(－3，4，－10)
B．(－3，2，－4)
()
C．32，－21，21
D．(6，－5，11)
【答案】A
【解析】由线段中点坐标公式，则A(3，－2，4)关于点(0，1，－3)
在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一点 A，
空间向量运算的坐标表示 课件
是单位正交基底．
2．对空间两向量夹角与距离的四点说明： (1)范围：空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范 围不同，当所求两向量夹角为钝角时，两直线夹角是与此 钝角互补的锐角． (2)夹角公式的一致性：无论在平面还是空间，两向
量的夹角余弦值都是 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|，只是坐标运算
时空间向量多了一个竖坐标． (3)长度公式的类似性：空间向量的长度公式与平面
向量的长度公式形式一致，坐标运算时空间向量多了一个 竖坐标．
(4)空间两点间的距离公式是长度公式的推广，首先根 据向量的减法推出向量A→B(空间任意两点)的坐标表示，然 后再用长度公式推出 A、B 两点间的距离．
3．a∥b(b≠0)⇔aaa123＝ ＝＝λλλbb12b， ，3，这一形式不能等价于ab11＝ab22
在解题过程中，把向量的坐标相等转化为方程组，注 意对应坐标相等，此步是解题的基本功，是考试中不能失 分的步骤．
归纳升华 1．解题时注意进行等价转化． 2．对于公式中的一些特殊情形要记清，不要漏掉， 如 a，b 夹角为 180°时． 3．注意解答题的规范性，不要漏掉必要的步骤，保 证解答的完整，不失分．
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b12＋b22＋b23
.
温馨提示 1．空间向量坐标的本质：
a＝(x，y，z)的本质是 a＝xi＋yj＋zk，其中(i，j，k)
3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算 法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运 算律把它化成－2(a·b)，也可先求出 2a，－b 后，再求数 量积．
2．对空间两向量夹角与距离的四点说明： (1)范围：空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范 围不同，当所求两向量夹角为钝角时，两直线夹角是与此 钝角互补的锐角． (2)夹角公式的一致性：无论在平面还是空间，两向
量的夹角余弦值都是 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|，只是坐标运算
时空间向量多了一个竖坐标． (3)长度公式的类似性：空间向量的长度公式与平面
向量的长度公式形式一致，坐标运算时空间向量多了一个 竖坐标．
(4)空间两点间的距离公式是长度公式的推广，首先根 据向量的减法推出向量A→B(空间任意两点)的坐标表示，然 后再用长度公式推出 A、B 两点间的距离．
3．a∥b(b≠0)⇔aaa123＝ ＝＝λλλbb12b， ，3，这一形式不能等价于ab11＝ab22
在解题过程中，把向量的坐标相等转化为方程组，注 意对应坐标相等，此步是解题的基本功，是考试中不能失 分的步骤．
归纳升华 1．解题时注意进行等价转化． 2．对于公式中的一些特殊情形要记清，不要漏掉， 如 a，b 夹角为 180°时． 3．注意解答题的规范性，不要漏掉必要的步骤，保 证解答的完整，不失分．
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b12＋b22＋b23
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温馨提示 1．空间向量坐标的本质：
a＝(x，y，z)的本质是 a＝xi＋yj＋zk，其中(i，j，k)
3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算 法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运 算律把它化成－2(a·b)，也可先求出 2a，－b 后，再求数 量积．
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
深度探究
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
1.3.1-2空间向量及其运算的坐标表示(课件)
要点二 空间向量的坐标表示 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原 点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立 三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们叫做坐标轴．这时我们就建立了 一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k叫做_坐__标__向__量_，通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．在空间直角坐标系中，让
变式训练 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)， 设 a＝A→B，b＝A→C.
(1)设|c|＝3，c∥B→C，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.
解析：(1)因为B→C＝(－2，－1,2)，且c∥B→C 所以设c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ) 得|c|＝ －2λ2＋－λ2＋2λ2 ＝3|λ|＝3 解得λ＝±1，即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
解析：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原 点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，
z轴的正方向建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示． 则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1) ∴B→N＝(1，－1,1)，B→A1＝(1，－1,2)，A→1B＝(－1,1，－2)．
变式训练 3 在长方体 OABC－O1A1B1C1 中，OA＝2，AB＝3， AA1＝2，E 是 BC 的中点，
(1)求异面直线 AO1 与 B1E 所成角的余弦值； (2)过点 O1 作 O1D⊥AC 于点 D，求点 O1 到点 D 的距离．
解析：
由题意，以O为原点，分别以 O→A ， O→C ， O→O1 的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，