第五章 5.2.1三角函数的概念(一)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共52张PPT)
合集下载
三角函数的概念(性质) 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1 00 216 9 0 2700
( 5) İăÏ;íÙ120 ;Û&@; $íÏÅ;Û , @ @ton1120 0. ÍËl;íÙ269;Ñ&@; —$čÏÅ;Ñ ,
@ @sin1269 0. @ @ton120 sin269 > 0 .
规律总结 正弦、余弦函数值的正负规律
1 cos 9tr
sin(α＋k·2π)＝
，
cos(α＋k·2π)＝
，
tan(α＋k·2π)＝
，
其中k∈Z.
■微思考2 根据诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过 来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？
Q
P
B
A
二、新知探究
( 5) tonl20Osin2690 '
90°Y 120°Y 180º
一、新知初探
（一）三角函数值的符号
如图所示：
正弦：_一，二 象限正，_三，四象限负； 余弦：_一，四 象限正，_二，三象限负； 正切：_一，三 象限正，_二，四象限负．
简记口诀 一全正、二正弦、 三正切、四余弦．
（二）诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 相等 导公式一)：
，由此得到一组公式(诱
I èvI
í1) cos 9n 4 ——cos (4—-ł- 2x)
——COs ”—
4 JÑ 2
2 tan
11tr 6
( 2I ton 11a 6 - ton ( —2ø)
= ton — 6 «/Ñ 3
(3) sin810O -€ t o n l l 2 5 + cos420O
( 3 ) & S i i = sin(2 x 360° + 90°) + tnn(3 x 3600 + 450) + cos(3600 + 600)
( 5) İăÏ;íÙ120 ;Û&@; $íÏÅ;Û , @ @ton1120 0. ÍËl;íÙ269;Ñ&@; —$čÏÅ;Ñ ,
@ @sin1269 0. @ @ton120 sin269 > 0 .
规律总结 正弦、余弦函数值的正负规律
1 cos 9tr
sin(α＋k·2π)＝
，
cos(α＋k·2π)＝
，
tan(α＋k·2π)＝
，
其中k∈Z.
■微思考2 根据诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过 来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？
Q
P
B
A
二、新知探究
( 5) tonl20Osin2690 '
90°Y 120°Y 180º
一、新知初探
（一）三角函数值的符号
如图所示：
正弦：_一，二 象限正，_三，四象限负； 余弦：_一，四 象限正，_二，三象限负； 正切：_一，三 象限正，_二，四象限负．
简记口诀 一全正、二正弦、 三正切、四余弦．
（二）诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 相等 导公式一)：
，由此得到一组公式(诱
I èvI
í1) cos 9n 4 ——cos (4—-ł- 2x)
——COs ”—
4 JÑ 2
2 tan
11tr 6
( 2I ton 11a 6 - ton ( —2ø)
= ton — 6 «/Ñ 3
(3) sin810O -€ t o n l l 2 5 + cos420O
( 3 ) & S i i = sin(2 x 360° + 90°) + tnn(3 x 3600 + 450) + cos(3600 + 600)
最新人教版高中数学必修第一册第5章三角函数5.2.1 三角函数的概念
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
= ×
+× =
+=
+
.
(2)原式=sin - + +cos +
=sin +cos
·tan 0= .
·tan(4π+0)
提示:与点P的纵坐标和横坐标的符号有关.
？
(2)如何判断正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限
的符号?
提示:由三角函数的定义,可知sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).
当α为第一象限角时,y>0,x>0,故sin α>0,cos α>0,tan α>0;同理
可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.
？
5.2.1
三角函数的概念
？
课标定位
素养阐释
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)
的定义.
2.掌握三角函数在各象限的符号.
3.掌握诱导公式一,并会应用.
4.体会数学抽象的过程,提高逻辑推理和直观想
象素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
？
自主预习·新知导学
所以sin θ<0,cos θ<0.所以sin θcos θ>0.
？
反思感悟
判断三角函数值正负的两个步骤
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
= ×
+× =
+=
+
.
(2)原式=sin - + +cos +
=sin +cos
·tan 0= .
·tan(4π+0)
提示:与点P的纵坐标和横坐标的符号有关.
？
(2)如何判断正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限
的符号?
提示:由三角函数的定义,可知sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).
当α为第一象限角时,y>0,x>0,故sin α>0,cos α>0,tan α>0;同理
可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.
？
5.2.1
三角函数的概念
？
课标定位
素养阐释
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)
的定义.
2.掌握三角函数在各象限的符号.
3.掌握诱导公式一,并会应用.
4.体会数学抽象的过程,提高逻辑推理和直观想
象素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
？
自主预习·新知导学
所以sin θ<0,cos θ<0.所以sin θcos θ>0.
？
反思感悟
判断三角函数值正负的两个步骤
人教A版高中数学必修一《5.2.1三角函数的概念》精品课件(39页)
D．第四象限
解析：由sin α<0可知α在第三或第四象限，由tan α>0可知α在第一或第三象
限，综上，α在第三象限． 答案：C
3．已知角
α
的终边与单位圆的交点
P
55，－2
5Hale Waihona Puke 5，则sinα＋cos
α＝(
)
5 A. 5
B．－
5 5
25 C. 5
D．－2 5 5
解析：由三角函数的定义知 sin α＝－255，cos α＝ 55，所以 sin α＋cos α＝－255
所以 1100x＝
x x2＋9 .
又 x≠0，所以 x＝±1，所以 r＝ 10.又 y＝3＞0，
所以 θ 是第一或第二象限角．
当 θ 为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
＋
55＝－
5 5.
答案：B
知识点二 诱导公式一 (一)教材梳理填空 (1)终边相同的角的同一三角函数的值 _相__等___. (2)公式
[微思考] 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？ 提示：不一定，如 sin 30°＝sin 150°＝12.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.
3.三角函数值的符号： 如图所示：
正弦： 一二 象限正， 三四 象限负； 余弦： 一四 象限正， 二三 象限负； 正切： 一三 象限正， 二四 象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [微思考] 三角函数值在各象限的符号由什么决定？ 提示：由α的终边所在的象限决定．
三角函数的概念-课件 高一数学(人教A版2019必修第一册)
至于不是特殊角的三角函数值，需要计算器进行计算。
小结
1.任意角的三角函数的定义;
2.明确各种三角函数的定义域;
3.掌握各种三角函数在不同象限的正负情况.
cos ，
tan
r
r
x
根据勾股定理r x y
2
2
由此可知，只要知道∠α终边上
任意一点P的坐标，就可以求得
∠α的三个三角函数值。
α
M
M0
O
P0 x0 , y0
·
P x, y
x
新知探究
探究二：任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号
新知讲解
问题3 你能利用三角函数的定义，给出正弦函数、余弦函数以及正
如图，单位圆 上的点 以 为起点做逆时针方向旋转，
现在的任务是：建立一个数学函数模型，刻画点的位置
变化情况.
追问1 我们该如何将图像上的信息进行量化呢？
利用直角坐标系
如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的
非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y).
射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋
（3）思考：角确定时，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确
定吗？
新知讲解
过点向轴做垂线，得到直角三角形，可以用锐角
三角函数求点的坐标。
= = ;
= =
;
所以( , ).
其他类似...
y
=
6
P
M
一个角，就会确定唯一的一个坐标！
5.2三角函数的概念-人教A版高中数学必修第一册(2019版)教案
5.2 三角函数的概念-人教A版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.理解角的概念，熟练掌握角的度量方法。
2.理解三角形的概念，熟练掌握三角形的分类方法。
3.理解正弦、余弦、正切三角函数的定义，能够计算其在不同角度上的取值。
4.学会如何利用三角函数解决实际问题。
5.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点1.熟练掌握角度的度量方法。
2.理解三角函数的定义及其公式。
3.掌握三角函数在不同角度上的取值。
三、教学难点1.对于初学者，理解角的概念可能会较为抽象。
2.一些学生可能会较难掌握三角函数的各项公式。
四、教学过程1. 角的概念及度量方法教学内容1.角的概念。
2.角度的度量方法。
教学步骤1.引入角的概念，让学生理解角是由两条射线构成的形状。
2.解释角度的度量方法，包括角度的符号、大小和单位。
3.让学生进行角度的计算练习。
教学方法讲授与练习相结合的教学方法。
教学效果学生能够清晰地理解角的概念，并熟练掌握角度的度量方法。
2. 三角形的分类教学内容1.三角形的定义。
2.三角形的分类。
教学步骤1.引入三角形的定义，让学生明确三角形是由三条线段所围成的图形。
2.解释三角形的分类方法，包括按角度大小进行分类和按边长大小进行分类。
3.让学生进行三角形分类的练习。
教学方法讲授与练习相结合的教学方法。
教学效果学生能够清晰地理解三角形的定义，并熟练掌握三角形的分类方法。
3. 三角函数的定义及其公式教学内容1.正弦函数的定义及其公式。
2.余弦函数的定义及其公式。
3.正切函数的定义及其公式。
教学步骤1.引入三角函数的概念，让学生明确三角函数是由三角形的边长比值所确定的函数。
2.解释正弦、余弦、正切函数的定义及其公式。
3.让学生进行三角函数的计算练习。
教学方法讲授与练习相结合的教学方法。
教学效果学生能够掌握三角函数的定义及其公式，并能够熟练计算三角函数的取值。
4. 实际问题的解决教学内容1.利用三角函数解决实际问题的方法。
2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念
[思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．
[解] (1)因为 105°，230°分别为第二、三象限角，所以 sin105°>0，cos230°<0.
于是 sin105°·cos230°<0.
π
2π
(2)因为 2 <3<π，所以 3 是第二象限角，所以 cos3<0，又因为－ 3 是第三象限角，
( ) ( ) 2π
2π
－
－
所以 tan 3 >0，所以 cos3·tan 3 <0.
判断三角函数值正负的 2 个步骤 (1)定象限：确定角 α 所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来 判断． 注意：若 sinα>0，则 α 的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在 y 轴的非负半轴上．
[答案] D
( )π
－ 5．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cos 4 ；③tan2，其中符号为负的个数
为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°)
＝sin80°>0
( )π
－ ②cos 4 >0
π ③∵ 2 <2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选 B.
一、选择题
( ) 3 4
－， 1．已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 5 5 ，则
tanα 的值为( )
4 A．－3
3 B．－4
4 C．－5
3 D．－5
4 5 34 － [解析] 由正切函数的定义可得，tanα＝ 5＝－3.
(新教材)高中数学必修第一册第5章 5.2.1三角函数的概念
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝ 22× 23＋12×12＝ 46＋14＝1＋4
6 .
(2)sin－116π＋cos 125πtan 4π. 解 原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋25πtan(4π＋0) ＝sin π6＋cos 25π×0＝12.
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
点P的纵坐标 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝ y ；点P的横坐标 x 叫做α的余
弦函数，记作cos
α，即cos
α＝
x
；把点P的纵坐标与横坐标的比值
y x
叫做α的正切，
记作tan
α，即tan
α＝ y x
(x≠0).
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan
x，x≠
π 2
＋kπ(k∈Z).
思考 三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？ 答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只 与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
其中符号为负的有
A.1个
B.2个
C.3个
√D.4个
解析 －100°在第三象限，故sin(－100°)<0； －220°在第二象限，故cos(－220°)<0； －10∈－72π，－3π，在第二象限，故 tan(－10)<0，cos π＝－1<0.
反思
感悟 判断三角函数值正负的两个步骤
5.2.1三角函数的概念-(新教材)人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
x
y
o
P(a，b)
α
M
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，统称为三角函数.
三角函数的解析式： 正弦函数：y=sin x
余弦函数：y=cos x
正切函数：y=tan x
R
R
在弧度制下，三角函数的定义域：
试一试
注: P点的坐标可借助直角三角形来求.
1
M
P
如何求α角的三角函数值?
即求α终边与单位圆交点的横纵坐标或坐标的比值.
A(1,0)
思考：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？
思考:若α终边在y轴上呢?
+
+
-
-
+
-
+
-
+
-
-
+
三角函数值的符号决定于x、y值的正负
三角函数的符号:
解：由已知可得：
证明：
反过来请同学们自己证明.
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
练习 求下列三角函数值
感谢阅读
感谢阅读
感谢阅读
感谢阅读
感谢阅读
5.2.1 三角函数的概念
do
something
锐角的三角函数
锐角α的正弦、余弦和正切叫做角α的锐角三角函数，分别记作sinα，cosα，tanα.
回顾
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ它们的值分别等于什么？
y
o
P(a，b)
α
M
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，统称为三角函数.
三角函数的解析式： 正弦函数：y=sin x
余弦函数：y=cos x
正切函数：y=tan x
R
R
在弧度制下，三角函数的定义域：
试一试
注: P点的坐标可借助直角三角形来求.
1
M
P
如何求α角的三角函数值?
即求α终边与单位圆交点的横纵坐标或坐标的比值.
A(1,0)
思考：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？
思考:若α终边在y轴上呢?
+
+
-
-
+
-
+
-
+
-
-
+
三角函数值的符号决定于x、y值的正负
三角函数的符号:
解：由已知可得：
证明：
反过来请同学们自己证明.
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
练习 求下列三角函数值
感谢阅读
感谢阅读
感谢阅读
感谢阅读
感谢阅读
5.2.1 三角函数的概念
do
something
锐角的三角函数
锐角α的正弦、余弦和正切叫做角α的锐角三角函数，分别记作sinα，cosα，tanα.
回顾
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ它们的值分别等于什么？
高中数学5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念第2课时三角函数值的符号及公式一课件新人教A版必
π
3
3
2
3
2
π
6
＋tan
1
2
3
3
＝ ．
2
2
π
−4π +
4
5
4
＝sin cos ＋tan cos ＝ × ＋1× ＝ ．
cos 4π +
π
3
•
•
•
•
反思领悟 利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
• ＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°
• ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
• 3．化简下列各式：
• (2)sin
[解]
11π
−
6
sin
11
− π
6
＝sin −2π
＝sin
＋cos
π
+
6
π
1
＋0＝ ．
6
2
12
π·tan
5
＋cos
＋cos
4π．
12
π·tan
5
2
π·tan
5
0
4π
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
√
C．第三象限角
D．第四象限角
B
[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限
角．故选B．]
1
2
3
4
2．sin (－315°)的值是(
三角函数的概念课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
如如图图，，直直角角三如如三角图图角形，如，如形的直图直图的三角，角，三如如个三直三直个图图边角角角边，，分形三形三分直直别的角的角别角角为三形三形为三三个的x个的角x角，边三边三，形形分个分y个的y的别，边别边，三三为分r为分个r个，别x别，x边边，为，为显分分显yx然yx别别然，，r为为rryryx，x，，，，xr显rx2显y，2y，然然，，y显ry2显rr2，然，然，，则rr则x显x显有22有然然：：xyrxyr22，，y则y则x2x22有2，有，：则：则y
A．
A1．1 4
11 4
B.
11B. 4
11 4
C． C4． 4
D． 4D． 4
例题讲练
（2）若角 的终边在直线 y 2x 上，则 sin 2cos _______ .
例题讲练
练习 1 （1）已知角 终边上一点 P(x,
练习 练1 习（11）（已1知）角已知终角边上终一边点上P一(点x,3P)(x(x,3) 0(x) 且 0c)o且 scos10 x ，10求xs，in , tan 的值．
0．)
x
注：
①在正弦 sin 和余弦 cos 中，角 R ， sin [1,1] ， cos [1,1]； 而在正切 tan 中，由于横坐标 x 0 ，则 k ( k Z )， tan R ．
2
②正弦，余弦，正切都是以角 为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值
而而而一在在在正正．正切切切任tat意nan角中中的中，，，由三由于由于角横横于函坐坐横标数标坐x标定x义0，，0则则，则
2
k2
((kk
Z( k))，，tZan)， taRn．．
R
．
②②②正正正弦弦弦，，，余余余弦弦弦，，，正正正切切切都都都是是以是以角以角角为为自自为变变自量量变，，量以以，单单以位位单圆圆位上上点圆点的的上坐坐点标标的或或坐坐坐标标标或的的坐比比标值值的比值