第五章三角函数(
第五章 三角函数
圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
思考1：如何刻画点P的位置变化?
借助角ɑ的大小变化刻画点P的 位置变化. 思考2：初中学过角的范围00~3600， 点P旋转一周即为3600，再旋转所 得的角如何表示?
有必要扩充角的范围！
P
ɑ
O
A
我们生活中随处可见的角
体操动作“李小鹏跳”：2002年在匈 牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出 的“踺子后手翻转体180度接直体前 空翻转体900度”
在体操、花样滑冰、跳台跳水等比 赛中，常常听到“转体2周”、“转 体3周半”这些动作名词，你知道他 们转了多少角吗？
(1)时钟从12：00到12：15，分针转过了多少度？ (2)时钟从12：00到13：15，分针转过了多少度？
机械齿轮
生活中很多的角 并不是静态的
引入新的角的定义、分类:
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形.射线OA、OB分别是角的始边和终 边，端点O为角的顶点。
终边在y轴上:S={α|α=90°+k·180° ,k∈Z}. 终边在x轴上:S={α|α=0°+k·180° ,k∈Z}.
终边在坐标轴上:S={α|α=0°+k·90° ,k∈Z}.
例题讲解
例3 写出终边在y=x上的角的集合S,S中满足 不等式-360°≤β≤720°的元素β有哪些.
【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有： -315°，-135°,45°,225°,405°,585°.
角和终边的关系
一个角，对应一条终边； 一条终边，对应无数个角：终边相同的角
与α终边相同的角β可表示为：β=α+k·3600,k∈z, 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 整数个周角的和.
第5章三角函数5.2.1三角函数的概念
A．1
B．－1
C.
2 2
D．－
2 2
B [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]
2．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )
③yx叫做 α 的 正切 ，记作 tan α ，即 tan α＝xy(x≠0)．
(3)总结 yx＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标 的比值为函数值的函数，称为正切函数．我们将正弦函数、余弦函数、 正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字 母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
三角函数值符号的运用
【例2】 (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)确定下列三角函数值的符号：
①sin 156°；②cos156π；③cos(－450°)；④tan－187π； ⑤sin－34π；⑥tan 556°.
提示：(1)设 P(x，y)，根据三角函数的定义知 sin α＝yr，cos α＝xr， 则 P(rcos α，rsin α)．
(2)三角函数值是比值，与点 P(x，y)在终边上的位置无关，只与 角 α 的终边位置有关．
(3)由三角函数的定义知 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝xy，三角函数 在各象限的符号由角 α 终边上的点 P 的横坐标、纵坐标的正负确定．
提示：sin α，cos α，tan α 的值只与 α 的终边位置有关，不随 P 点在终边上的位置的改变而改变．
【例 1】 (1)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝
第五章 三角函数(C卷)--【中职数学】高三对口高考专项练习
K长中等职业学校对口升学专项练习测试卷(十三)第 5 章三角函数(C 卷)( 第 1 部分基础模块上：三角函数第2 部分拓展模块：三角公式及应用)(本卷满分120分，考试时间为60分钟)选择题(共30小题，每小题4分，满分120分。
在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的选项)1.与30°角终边相同的是A.60°B.120°C.390°2.角是A.第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角3.半径是3的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是A.πB.C.2π4.若角α的终边经过点P(-5,—12), 则sina 的值为B. C.5.已知,且a∈,则tanα的值为日6.△ABC中，已知,则sin(B+C)=A B C.7.sin75°cos75°的值为A()D.930°()D. 第四象限角()D.270()D.( )口()口()口8.已,则sin'θ-cos'θ的值为B.9.已知x ,则tan2x—A10.在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB, 则△ABC为A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.无法判定C.tan(a+p)等于A B.1 C.—113.设a∈,若4 )等于B. C.A.0B.-√2C.215.已知中均为锐角，则sin2α=A B. C. 口16.已知cosa=-5,sing=-号，a∈(,m),p∈(,2π),则sin(a+β)的值是A 日 C.()()()()()()()()()得分阅卷人姓名学校C.封:专业D.√212.若,则AAB口口口口B.D.C.口AAA C.C.B.·49··50·25.函数的最小正周期及最大值分别为A.2π,1B.2π,2C.π,1()()A.7 C.—727. 已知,则sin2α=A B. C.28.已知tana+tanβ+√3tanatanβ=√3且α,β∈(0,,则α+β=A.30°B.60°C.120°20.已知函数f(x)=Asin(ar+φ)(A>0,w>0,A.-4B.4C.—230.cos⁶15°+sin⁶15°=A B. C.21.√1+sin20°+√1—sin20°=A.2sin10°B.2cos10°C.—2sin10°A.√3 B C.-√323. 已知tana,tanβ是方程x²-4x+2=0 的两个根，则tan(a+β)=A.4B.—4C.224.已知α∈(0,π)且,则B.()D.—2cos10°()口()D.—2( )·52·A B. C.19.将函数f(x)=sinr 的横坐标缩短为原来的倍，再将横坐标上所有点向左平17.sin(5°—a)cos(25°+a)+cos(5°—a)cos(65°—a)=A B. C.在一个周期内最高点与最低点坐()标分别为),则函数解析式为()()()18.若,则cos20-sin20的值等于D.150°D.2度，得到的函数解析式为口个单位长··( )( )D.π,2(,)A()C51口口口口口。
中职数学第五章三角函数知识点
中职数学第五章三角函数知识点第五章三角函数角和任意三角函数的定义1.角：角是由两条射线共同确定的图形部分。
2.弧度制：半径长度的圆弧所对的圆心角为1弧度角。
180° = π rad180° = π rad ≈ 0. rad1 rad ≈ 57.3°3.终边相同的角的表示：β/β = k360° + α。
k∈Z} {β/β = 2kπ + α。
k∈Z}终边在坐标轴上的角的集合：x正半轴：{α/α = 2kπ。
k∈Z}y正半轴：{α/α = π + 2kπ。
k∈Z}x负半轴：{α/α = π + 2kπ。
k∈Z}y负半轴：{α/α = 3π + 2kπ。
k∈Z}x轴：{α/α = kπ。
k∈Z}y轴：{α/α = ±kπ。
k∈Z}第一象限角：0 < α < π/2第二象限角：π/2 < α < π第三象限角：π < α < 3π/2第四象限角：3π/2 < α < 2π4.任意角的三角函数：在角θ的终边上任取一点P(x。
y)。
r = √(x^2 + y^2) (r。
0)sinθ = y/rcosθ = x/rtanθ = y/x任意角三角函数符号：一全二正弦三切四余弦5.同角三角函数关系tanθ = sinθ/cosθ2sin^2θ + cos^2θ = 1sinα ± cosα)^2 = 1 ± 2sinαcosα特殊勾股数：3.4.5.6.8.10.5.12.13.8.15.17.7.24.25;诱导公式第一象限角正角α第二象限角第三象限角第四象限角2π - απ - απ + αsin(α+2kπ) = sinαcos(α+2kπ) = cosα___(α+2kπ) = tanαsin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan(-α) = -tanαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα___(π-α) = -tanαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαcos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，α-πsin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tanα，-αsin(α-π)=-sinα，cos(α-π)=-cosα，sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα，___(α-π)=tanα根据奇偶性和象限可得以上结论。
第五章：三角函数重点题型复习(解析版)
第五章：三角函数重点题型复习题型一任意角、角度制与弧度制的概念【例1】下列说法中错误的是（）A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系B．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关【答案】D【解析】依据弧度的意义可知A正确；1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，B正确；根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度，C正确；根据角度制与弧度制的定义可知，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误．故选：D．【变式1-1】下列说法正确的是（）A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【解析】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B 错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同C．小于90︒的角是锐角D．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于90︒的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．故选：B.【变式1-3】下列说法正确的是（）A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角【答案】A【解析】锐角大于0︒而小于90︒，是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，第二象限角不都是钝角，第四象限角有正角有负角．只有A 正确．故选：A ．题型二 求终边相同的角【例2】下列各角中，与425-终边相同的是（ ） A ．65 B ．115 C ．245 D ．295 【答案】D【解析】与425-终边相同的角为()360425Z k k ⋅-∈，当1k =时，36042536042565k ⋅-=-=-， 当2k =时，3604252360425295k ⋅-=⨯-=， 所以，295的终边与425-的终边相同．故选：D.【变式2-1】与525-角的终边相同的角可表示为（ ） A ．525360k k Z -⋅∈（） B ．185360k k Z +⋅∈（） C ．195360k k Z +⋅∈（） D ．195360k k Z -+⋅∈（） 【答案】C【解析】525=1952360--⨯，所以525-角的终边与195角的终边相同，所以与525-角的终边相同的角可表示为195360k k Z +⋅∈（）.故选：C【变式2-2】若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{|}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当k 取偶数时，2,k n n Z =∈，2π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈，故角的终边在第一象限. 当k 取奇数时，21,k n n Z =+∈，532π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈， 故角的终边在第三象限.故选：C.【变式2-3】如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.（1） （2）【答案】（1）322,Z 4k k k παπαππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）3,Z 44k k k ππβπβπ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为322,Z 4k k k παπαππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为35722,Z 22,Z 4444k k k k k k ππππβπβπβπβπ⎧⎫⎧⎫+≤<+∈⋃+≤<+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ 3,Z 44k k k ππβπβπ⎧⎫=+≤<+∈⎨⎬⎩⎭.题型三 确定n 分角与n 倍角的象限【例3】若α是第二象限的角，则2α是（ ） A ．第一或第三象限角 B ．第一或第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 【答案】A【解析】α是第二象限角，222k k παπππ∴∈++（，）k Z ∈，，422k k k Z αππππ∴∈++∈（，），， 当2,k n n =∈Z 时，42222n n n Z αππππ∴∈++∈（，），，2α在第一象限；当21,k n n Z =+∈时，5342222n n n Z παπππ∴∈++∈（，），，2α在第三象限； 2α∴是第一或三象限角．故选：A ．【变式3-1】若α是钝角，则2α-是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】D【解析】90180α︒<<︒，45902α︒<<︒，90452α-︒<-<-︒,2α-在第四象限.故选：D【变式3-2】（多选）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置可能是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】ABD【解析】α是第二象限的角，则222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，2236333k k ππαππ+<<<，k Z ∈， 当3,k n n Z =∈时，3α是第一象限角，当31,k n n Z =+∈时，3α是第二象限角，当32,k n n Z =+∈时，3α是第四象限角，故选：ABD ．【变式3-3】（多选）若α是第三象限的角，则1802α-可能是（ ）A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 【答案】AC【解析】由于α是第三象限的角，故180360270360,k k kZ α，所以90180135180,2k k k Z α+⋅<<+⋅∈，所以4518018090180,2k k k Z α-⋅<-<-⋅∈.当k 为偶数时，1802α-为第一象限角； 当k 为奇数时，1802α-为第三象限角.所以1802α-可能是第一象限角，也可能是第三象限角. 故选：AC.【变式3-4】2θ的终边在第三象限，则θ的终边可能在（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、四象限C ．第一、二象限或y 轴非负半轴D ．第三、四象限或y 轴非正半轴 【答案】C【解析】由于2θ的终边在第三象限，则()32222k k k Z θππππ+<<+∈， 所以，()2434k k k Z ππθππ+<<+∈，因此，θ的终边可能在第一、二象限或y 轴非负半轴.故选：C.题型四 扇形的弧长、面积计算【例4】已知弧长为3π的弧所对的圆心角为6π，则该弧所在的扇形面积为（ ）A 3πB ．1π3C ．2π3 D ．4π3【答案】B【解析】依题意，扇形的半径为π32π6=，所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B【变式4-1】已知某扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．1或5 【答案】C【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以26122r l rl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得22l r =⎧⎨=⎩或41l r =⎧⎨=⎩， 所以圆心角的弧度数是1lrα==或4.故选：C【变式4-2】如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122ll =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】设AOD θ∠=，1OAr =，2OB r =，∴11l r θ=⨯，22l r θ=⨯，而122l l =，∴122r r =，即B 是OA 的中点，()22211221322S r r r θθ=-=，22212S r θ=，123S S ∴=.故选：C【变式4-3】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． （1）已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【答案】（1）12；（2）S 取得最大值25，此时2α=【解析】（1）由题意得2210142R R R αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，解得18R α=⎧⎨=⎩(舍去)，412R α=⎧⎪⎨=⎪⎩． 所以扇形圆心角12． （2）由已知得，220l R +=．所以()2112021022S lR R R R R ==-=-()2525R =--+，所以当5R =时，S 取得最大值25，21252R α⨯⨯=,解得2α=. 当扇形的圆心角α为2多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.题型五 sina 、cosa 、tana 知一求二【例5】若α为第三象限角，且1sin 3α=-，则cos α=（ ） A 22 B ．2 C 2 D ．22【答案】D【解析】由题意，22122cos 1sin 13αα⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.故选：D【变式5-1】若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】由于12cos 13α=，且α为第四象限角， 所以25sin 1cos 13αα=-=-， sin 5tan cos 12ααα==-.故选：D【变式5-2】已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=（ ） A ．125-B ．512- C ．512 D ．125 【答案】A【解析】因为()7sin cos 0π13ααα+=<<，22sin cos 1αα+=， 则可解得125sin ,cos 1313αα==-，所以sin 12tan cos 5ααα==-.故选：A.【变式5-3】已知1tan 2θ=-，0θπ<<，则sin θ=（ ） A ．5 B 5 C ．25 D 25【答案】B 【解析】由sin 1tan cos 2θθθ==-，得cos 2sin θθ=-，结合22sin cos 1θθ+=可得21sin 5θ=，因为0θπ<<，所以5sin θ=.故选：B题型六 正、余弦齐次式的应用【例6】若tan 2θ=，则sin 2cos cos 3sin θθθθ+=-（ ）A ．45- B ．43- C ．45 D ．43【答案】A 【解析】sin 2cos tan 2224cos 3sin 13tan 1325θθθθθθ+++===----⨯，故选：A ．【变式6-1】已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ） A ．45 B ．45- C ．1 D ．35【答案】A【解析】因为tan 2θ=，则cos 0θ≠，原式2222222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos cos sin cos sin cos cos θθθθθθθθθθθθθθ+-+=+-+= 22tan tan 24224tan 1415θθθ+-+-===++.故选：A.【变式6-2】已知lgsin lgcos lg 2x x -=，则lgsin lgcos x x +=____________.（可用对数符号作答） 【答案】2lg 5【解析】∵lgsin lg cos lg tan lg 2cos x x x x-===，∴tan 2x =， 又222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15x x x x x x x x ===++，2lgsin lg cos lg(sin cos )lg 5x x x x +==.故答案为：2lg 5【变式6-3】已知,,3sin cos 522ππααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭tan α=__________．【答案】2【解析】因为3sin cos 50αα-=>，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为2(3sin cos )5αα-=， 所以229sin 6sin cos cos 5αααα-+=，所以22229sin 6sin cos cos 5cos sin αααααα-+=+， 所以229tan 6tan 151tan ααα-+=+，即22tan 3tan 20αα--=， 所以tan 2α=或1tan 2α=-（舍）． 故答案为：2.题型七 sinacosa 、sina ±cosa 知一求二【例7】已知1sin cos 3αα-=-，则sin cos αα=（ ） A ．49 B ．49- C ．23 D ．23- 【答案】A【解析】()21sin cos 12sin cos 9αααα-=-=，解得：4sin cos 9αα=.故选：A【变式7-1】设0πα<<，1sin cos 2αα+=，则cos sin αα-=（ ） A ．12 B ．12± C ．7 D ．7【答案】C【解析】因为1sin cos 2αα+=，所以()21sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα=-，sin α与cos α异号．而已知0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<．因为()237cos sin 12sin cos 144αααα-=-=+=，所以取7cos sin αα-=．故选：C.【变式7-2】已知α是三角形的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则这个三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】由α(0,)π∈，将2sin cos 3αα+=两边平方得42sin cos 109αα=-<，而sin 0cos 0αα>∴<，，故α为钝角.故选：B.【变式7-3】已知关于x 的方程)22310x x m -+=的两个根为sin θ，cos θ，()0,2θπ∈，求：（1）sin cos 11tan 1tan θθθθ+--的值；（2）方程的两根及此时θ的值． 【答案】（131+；（2312，6πθ=或3π【解析】（1）22sin cos sin cos 31sin cos 11tan sin cos sin cos 1tan θθθθθθθθθθθθ++=+=+---+-（2）由（1）得sin cos 2m θθ=， 所以()222423sin cos sin cos 2sin cos 1m θθθθθθ++=++=+=3m ， 所以方程23231)0x x -+=312， 又因为()0,2θπ∈，所以3sin 1cos 2θθ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时3πθ=；或1sin 23cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时6πθ=．题型八 利用诱导公式求值化简【例8】cos 225︒的值为（ ） A ．3B ．2C 2D 3【答案】B【解析】()2cos 225cos 18045cos 452︒=︒+︒=-︒=-．故选：B【变式8-1】若3cos 5α=，则3sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35 B ．35C ．45D ．45-【答案】B【解析】33sin cos 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B【变式8-2】已知()tan 2πα+=，则()()sin sin 23cos 2cos 2παπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭______． 【答案】34【解析】由题意得：∵()tan tan 2παα+==，∴()()sin sin cos sin tan 1323sin 2cos tan 24cos 2cos 2παπααααπααααπα⎛⎫++- ⎪++⎝⎭===++⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【变式8-3】已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -.（1）求cos()cos 2ππαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值；（2）求sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭⎛⎫-++- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）15-；（2）6427【解析】（1）∵角α的终边经过点()3,4P -，∴223cos 5(3)4α==--+，224sin 5(3)4α=-+， ∴341cos()cos cos sin 2555ππαααα⎛⎫-++=--=-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知：3cos 5α=-，4sin 5α， ∴4tan 3α=-，∴sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭⎛⎫-++- ⎪⎝⎭sin sin sin tan cos cos (cos )(tan )αααααααα-=-- 33464tan 327α⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭.题型九 解三角函数不等式【例9】试求关于x 的不等式13sin x <≤【答案】|2263x k x k ππππ⎧+<≤+⎨⎩或2522,36k x k k Z ππππ⎫+≤<+∈⎬⎭. 【解析】作出正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象，作出直线y ＝12和y 3如图所示．由图可知，在[0，2π]上当6π<x ≤3π或23π≤x <56π时，不等式12<sin x 3成立，所以原不等式的解集为|2263x k x k ππππ⎧+<≤+⎨⎩或2522,36k x k k Z ππππ⎫+≤<+∈⎬⎭.【变式9-1】求不等式2sin 1()12x -≤在[0,2]xπ的解集．【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因函数1()2xy =在R 上单调递减，则22sin sin 0221112()1()()sin 0222x x x -≤⇔≤⇔-≥， 即2sin x ≥作出函数sin y x =在区间[0,2]π上的图象，如图：观察图形知：[0,2]x π，由2sin x ≥344ππ≤≤x ，所以不等式2sin 1()12x ≤在[0,2]xπ的解集为3[,]44ππ.【变式9-2】函数 1tan y x =+ 的定义域是 . 【答案】[,),42k k k Z ππππ-+∈ 【解析】由函数 1tan y x =+，则1tan 0x +≥，即tan 1x ≥-，解得,42k x k k Z ππππ-≤<+∈，所以函数的定义域是[,),42k k k Z ππππ-+∈，故答案为：[,),42k k k Z ππππ-+∈【变式9-3】已知[0,π]α∈，若sin cos 0αα->，则α的取值范围是_______. 【答案】π3π(,)44【解析】由题，当π[0,]2α∈时，原不等式可化为sin cos αα>，解得ππ42α<≤，当ππ2α<≤时，由原不等式可得tan 1α<-，解得π3π24α<<， 综上π3π(,)44α∈.题型十 三角函数的性质及应用【例10】数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（ ）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈ B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈ C ．37[2,2],(Z)88k k k ππππ++∈ D ．37[,],(Z)88k k k ππππ++∈ 【答案】A【解析】sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要求函数sin(2)4y x π=-的单调减区间，即求函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间.令222,Z 242k x k k πππππ-+≤-≤+∈，所以3,Z 88k x k k ππππ-+≤≤+∈.故选：A.【变式10-1】设函数()sin 2f x x =，x ∈R ，若[)0,θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，则θ的值为（ ） A ．12π或1112π B ．6π或56π C ．4π或34π D ．3π或23π【答案】C【解析】因为()()sin 22f x x θθ+=+是偶函数，所以22k πθπ=+，k Z ∈.ππ,Z 4k k θ∴=+∈， 又[)0,θπ∈，所以4πθ=或34πθ=.故选：C.【变式10-2】已知函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()()f m x f m x +=-，34m ππ≤≤，则m =______．【答案】134π【解析】()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()42x k k πππ+=+∈Z ，得()4x k k ππ=+∈Z ， 又()()f m x f m x +=-，所以函数()f x 的图象关于直线x m =对称，即()4m k k ππ=+∈Z ．因为34m ππ≤≤，所以()344k k ππππ≤+≤∈Z ，()111544k k ≤≤∈Z ， 所以3k =，所以13344m πππ=+=． 故答案为：134π【变式10-3】若函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】1【解析】因为()()()tan tan 0f x x x πωωω=+=>，且函数()f x 的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，所以，函数()f x 的最小正周期3T ππω==，所以3ω=，则()tan3f x x =， 因此，tan 1124f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.题型十一 三角函数值域的求法【例11】函数1π()2sin()23f x x =+在区间[0,]π的值域为（ ） A ．[12，1] B ．[13 C ．[1，2] D ．32]【答案】C【解析】当[0,]x π∈时，1ππ5π,2336x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1π1sin(),1232x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，[]1,2y ∈，故选：C【变式11-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式11-2】函数ππ5πtan ,,6612y x x ⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．()3,1-B ．3⎛- ⎝⎭C ．(,3(1,)-∞-+∞D 3⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】设π6z x =-,因为π5π,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,34z ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 因为正切函数tan y z =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，且tan 3tan 134ππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，,所以()tan 3,1z ∈-．∴函数ππ5πtan ,,6612y x x ⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为()3,1-，故选：A ．【变式11-3】函数()22tan 5tan 2f x x x =-+-，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．【答案】[]9,1-【解析】因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]tan 1,1x ∈-，()2592tan 48f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则当tan 1x =时，()max 1f x =， 当tan 1x =-时，()min 9f x =-， 所以函数()f x 的值域为[]9,1-.故答案为：[]9,1-.题型十二 三角恒等变换求角与求值【例12】已知π2sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．19- B ．19C ．45D 45【答案】A【解析】因为π2sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以2ππππ81cos 2cos[2()π]cos[2()]2sin 11333399αααα⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选：A.【变式12-1】已知251cos tan()3ααβ-=-，,αβ均为锐角，则β=A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】C【解析】因为α为锐角，且25cos α=， 所以25sin 1cos αα=-=sin 1tan cos 2ααα==， 于是11()tan tan()23tan tan[()]1111tan tan()1()23ααββααβααβ----=--===+-+-，又β为锐角，所以4πβ=.故选：C.【变式12-2】求下列各式的值． （1）cos75︒； （2）7cos 12π； （3）()cos 165-︒； （4）61cos()12π-【答案】（162-（226-（3）62+；（4）26+【解析】（1）()232162cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302-︒=︒+︒=︒︒-︒︒==（2）7212326coscos cos cos sin sin 124343432πππππππ-⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（3）()()cos 165cos 18s 015co 15︒-︒-︒+︒==-()232162cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302+=-︒-︒=-︒︒-︒︒==（4）6161cos()cos cos(5)cos 12121212πππππ-==+=- 212326cos cos cos sin sin 344343222ππππππ+⎛⎫=--=--=--= ⎪⎝⎭【变式12-3】求下列各式的值： （1）234cos coscos cos 9999ππππ； （2）21sin 352cos10cos80︒-︒⋅︒；（3）()sin 5013︒︒. 【答案】（1）116；（2）1-；（3）1 【解析】（1）234124cos coscos cos cos cos cos 99992999πππππππ= 242248sincoscoscos 4sin cos cos119999999228sin 8sin99πππππππππ=⋅=⋅ 448sin 2sincos sin sin11111999992222168sin 8sin 8sin 8sin 9999ππππππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅=⋅=. （2）()()2211sin 352sin 35122cos10cos80cos10cos 9080︒-︒-=︒⋅︒︒⋅︒-︒()2112sin 352cos10sin10--︒=︒⋅︒()cos 7020cos 70sin 2012cos10sin10sin 20sin 20-︒-︒-︒-︒====-︒⋅︒︒︒（3）()sin10sin 5013sin 5013cos10︒⎛︒+︒=︒ ︒⎝132cos102cos103sin10sin 50sin 50cos10⎛⎫︒︒ ⎪︒+︒⎝⎭==︒⋅︒()2cos 60102sin 50cos50sin 50cos10cos10︒-︒︒︒=︒⋅=︒︒()sin 9010sin100cos101cos10cos10cos10︒+︒︒︒====︒︒︒题型十三 三角函数图象变换及应用【例13】要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度 D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度 【答案】D【解析】对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后， 得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，错误； 对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后， 得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D.【变式13-1】为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向右平移712π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长度 D ．向右平移724π个单位长度 【答案】D【解析】因为sin 2sin 2cos 24424y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将其图象上所有的点向右平移724π个单位长度， 得到函数7cos 2cos 22443πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x 的图象.A ，B ，C 都不满足.故选：D【变式13-2】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动π4个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）A ．πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．1πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动π4个单位长度，得sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式13-3】已知函数()()sin 20f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】()()sin 20f x x ωω=>,()f x ∴的周期为22T ππωω==,将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得图像与原图像重合，∴4π是周期的整数倍，∴Z 4k k πωπ=∈，，Z 4,k k ω=∈∴，0ω>，ω∴的最小值等于4.故选：B【变式13-4】已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间； （2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2]. 【解析】（1）根据函数()sin()(00||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>，，的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++，求得51212k x k ππππ-++，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(2)1,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．题型十四 三角函数实际应用【例14】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s （cm ）和时间t （s ）的函数关系式为()2sin s t ωϕ=+，其中0>ω，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为()0022s s -<<的时间分别为1t ，2t ，3t ，且312t t -=，则ω=（ ） A ．2π B ．π C ．32πD ．2π 【答案】B【解析】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以312T t t =-=，则22πω=，可得ωπ=.故选：B【变式14-1】某游乐场的摩天轮示意图如图所示，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24T =分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t 分钟，则1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系()h t 的解析式为___________；【答案】()()30sin32012h t t t π=+≥ 【解析】设函数解析式为：()sin()h t A t b ωϕ=++，因为最小正周期24T =，所以212T ππω==， h 的最大值为62，最小值为2，所以622302A -==， 摩天轮正中心离地面32米，所以32b =， 当0=t 时，32h =，所以30sin 3232+=ϕ，0ϕ=. 所以解析式为：()()30sin 32012h t t t π=+≥. 故答案为：()()30sin32012h t t t π=+≥.【变式14-2】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()[)()103sin,0,241212f t t t t ππ=-∈．（1）求实验室这一天上午8时的温度； （2）求实验室这一天的最大温差． 【答案】（1）10℃；；（2）4℃． 【解析】（1）()888103sin 1212f ππ=-22103sin 33ππ=-13103102⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故实验室上午8时的温度为10℃． （2）()103sin1212f t t t ππ=-31102sin 12212t t ππ⎫=-+⎪⎪⎝⎭102sin 123t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为024t ≤<，所以731233t ππππ≤+<，1sin 1123t ππ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭． 当=2t 时，sin 1123t ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当=14t 时，sin 1123t ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故()[]8,12f t ∈，于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8． 故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．【变式14-3】某港口的水深y (单位：m )是时间t (024t ≤≤，单位：h )的函数，下面是该港口的水深数据：/h t0 3 6 9 12 15 18 21 24/m y 10 13 9.9 7 10 13 9.9 710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m 时就是安全的． （1）若有以下几个函数模型：()sin y at b y A t K ωφ=+=++，，你认为哪个模型可以更好地刻画y 与t 之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【答案】（1）()sin y A t K ωφ=++函数模型更好，函数解析式为3sin10(024).6y t t π=+（2）当15t ≤≤与1317t ≤≤时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h .【解析】（1）()sin y A t K ωφ=++函数模型更好地刻画y 与t 之间的对应关系.根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数()sin y A t K ωφ=++的图像.从拟合曲线知，函数()sin y A t K ωφ=++在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12，因此212,6ππωω==.又当0=t 时，10y =；当3t =时max 13y =，10,13103,0K A φ∴==-==，∴所求函数的表达式为3sin10(024).6y t t π=+（2）由于船的吃水深度为7m ，船底与海底的距离不少于4.5m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7+4.5=11.5(m ).令3sin1011.56y t π=+,可得15sin ,22(),62666tk t k k ππππππ∴++∈Z 121125()k t k k ∴++∈Z取0k = ，则15t ≤≤ ；取1k =，则1317t ≤≤； 取2k =时，2529t ≤≤（不符合题意，舍去).∴ 当15t ≤≤与1317t ≤≤时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港， 而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h .。
第五章：三角函数知识点
第五章：三角函数知识点一、三角函数的概念及定义 1.正角、负角、零角2.与角α终边相同的所有角组成的集合：{β|β=α+k ²360º，k ∈Z}={β|β=α+2k π，k ∈Z} 能把任意角β写成以下形式：β=α+2k π 3.讨论各象限角α的范围及2α的范围。
（设角α为任意角，k ∈Z ）α是第一象限角：k ³360°＜α＜90°+k ³360°，2k π＜α＜2π+2k π，2α是第一、三象限角；α是第二象限角：90°+k ³360°＜α＜180°+k ³360°，2π+2k π＜α＜π+2k π，2α是第一、三象限角；α是第三象限角：180°+k ³360°＜α＜270°+k ³360°，π+2k π＜α＜23π+2k π，2α是第二、四象限角； α是第四象限角：270°+k ³360°＜α＜360°+k ³360°，23π+2k π＜α＜2π+2k π，2α是第二、四象限角；4.讨论终边在坐标轴上的角（界限角）。
角的终边（除顶点外）在x 轴的正半轴上：{2k π|k ∈Z} 角的终边（除顶点外）在x 轴的负半轴上：{π+2k π|k ∈Z} 角的终边（除顶点外）在y 轴的正半轴上：{ 2π+2k π|k ∈Z} 角的终边（除顶点外）在y 轴的负半轴上：{23π+2k π|k ∈Z}角的终边在x 轴的负半轴上：{ k π|k ∈Z} 角的终边在y 轴的负半轴上：{ 2π+k π|k ∈Z}角的终边在坐标轴上：{2πk |k ∈Z}5.注意：锐角： 0°<α<90°第一象限角： k ²360°<α<90°+k ²360° 小于90º的角： α<90°6.弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1。
第五章三角函数知识点总结
第五章三角函数知识点总结一、任意角和弧度制。
1. 任意角。
- 角的概念的推广：正角、负角和零角。
- 象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
- 终边相同的角：所有与角α终边相同的角（连同α在内），可构成一个集合S ={ββ=α + k·360^∘,k∈ Z}。
2. 弧度制。
- 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
- 角度与弧度的换算：180^∘=π rad，1^∘=(π)/(180)rad，1rad = ((180)/(π))^∘。
- 弧长公式：l =αr（α是圆心角弧度数，r为半径）。
- 扇形面积公式：S=(1)/(2)lr=(1)/(2)αr^2。
二、任意角的三角函数。
1. 定义。
- 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么sinα=y，cosα = x，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
- 对于角α终边上任意一点P(x,y)（除原点），r=√(x^2)+y^{2}，则sinα=(y)/(r)，cosα=(x)/(r)，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
2. 三角函数值在各象限的符号。
- 正弦：一、二象限为正，三、四象限为负。
- 余弦：一、四象限为正，二、三象限为负。
- 正切：一、三象限为正，二、四象限为负。
3. 同角三角函数的基本关系式。
- 平方关系：sin^2α+cos^2α = 1。
- 商数关系：tanα=(sinα)/(cosα)(cosα≠0)。
三、诱导公式。
1. 诱导公式（一）：sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α+ 2kπ)=cosα，tan(α + 2kπ)=tanα，k∈ Z。
2. 诱导公式（二）：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα。
3. 诱导公式（三）：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。
高中数学第五章三角函数重点知识点大全(带答案)
高中数学第五章三角函数重点知识点大全单选题1、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−12D ．12 答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3，于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.2、已知角α的终边经过点P (−3,4)，则sinα−cosα−11+tanα的值为（ ）A ．−65B ．1C ．2D ．3答案：A分析：由三角函数的定义可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将其代入即可求解.由√(−3)2+42=5，得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，代入原式得=45−(−35)−11+(−43)=−65．故选：A3、记函数f(x)=sin (ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f (π2)=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．3答案：A分析：由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 由函数的最小正周期T 满足2π3<T <π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k ∈Z ，且b =2，所以ω=−16+23k,k ∈Z ，所以ω=52，f(x)=sin (52x +π4)+2， 所以f (π2)=sin (54π+π4)+2=1. 故选：A4、已知tanα=cosα2−sinα，则sinα=（ ） A ．√154B ．12C ．√32D ．14答案：B分析：利用田家四季歌的基本关系得到sinαcosα=cosα2−sinα，整理可得2sinα=cos 2α+sin 2α，再根据平方关系计算可得；解：由tanα=cosα2−sinα，得sinαcosα=cosα2−sinα，即cos 2α=2sinα−sin 2α，∴2sinα=cos 2α+sin 2α=1， 解得sinα=12， 故选：B.5、已知sinαcosα=−16,π4<α<3π4，则sinα−cosα的值等于（ ）A ．2√33B ．−2√33C ．−√63D ．43答案：A分析：结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论. 由于sinαcosα=−16,π4<α<3π4，所以sinα>0,cosα<0，故sinα−cosα>0，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+13=2√33. 故选：A6、√3tan26∘tan34∘+tan26∘+tan34∘= （ ） A ．√33B ．−√3C ．√3D ．−√33答案：C解析：利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．解：√3tan26°tan34°+tan26°+tan34°=√3tan26°tan34°+tan(26°+34°)(1−tan26°tan34°)=√3tan26°tan34°+√3(1−tan26°tan34°) =√3tan26°tan34°+√3−√3tan26°tan34°=√3． 故选：C ．7、已知sinθ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=（ ） A ．12B ．√33C ．23D ．√22答案：B分析：将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 由题意可得：sinθ+12sinθ+√32cosθ=1，则：32sinθ+√32cosθ=1，√32sinθ+12cosθ=√33， 从而有：sinθcos π6+cosθsin π6=√33， 即sin (θ+π6)=√33. 故选：B.小提示：本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.8、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)，∵y=2sin(x+m+π3)图象关于原点对称，∴m+π3=kπ(k∈Z)，解得：m=−π3+kπ(k∈Z)，又m>0，∴当k=1时，m取得最小值2π3.故选：D.多选题9、已知tanθ=2，则下列结论正确的是（）A．tan(π−θ)=−2B．tan(π+θ)=−2C．sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=−17D．sin2θ=45答案：ACD分析：对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断. 对于A选项，tan(π−θ)=−tanθ=−2，故A选项正确；对于B选项，tan(π+θ)=tanθ=2，故B选项错误；对于C选项，sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=tanθ−32tanθ+3=2−34+3=−17，故C选项正确；对于D选项，sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=44+1=45，故D选项正确.故选：ACD10、下列选项中，与sin(−330∘)的值相等的是（）A．2cos215∘B．cos18∘cos42∘−sin18∘sin42∘C．2sin15∘sin75∘D．tan30∘+tan15∘+tan30∘tan15∘答案：BC分析：求出sin(−330∘)的值以及各选项中代数式的值，由此可得出合适的选项.sin(−330∘)=sin(360∘−330∘)=sin30∘=12.对于A选项，2cos215∘=2×1+cos30∘2=1+cos30∘=1+√32；对于B选项，cos18∘cos42∘−sin18∘sin42∘=cos(18∘+42∘)=cos60∘=12；对于C选项，2sin15∘sin75∘=2sin15∘sin(90∘−15∘)=2sin15∘cos15∘=sin30∘=12；对于D选项，∵tan45∘=tan(30∘+15∘)=tan30∘+tan15∘1−tan30∘tan15∘=1，化简可得tan30∘+tan15∘+tan30∘tan15∘=1.故选：BC.11、已知tanα=4，tanβ=−14，则（ ）A ．tan(−α)tanβ=1B ．α为锐角C ．tan(β+π4)=35D ．tan2α=tan2β 答案：ACD分析：由诱导公式可判断A ，由正切函数的定义可判断B ，由正切函数的两角和公式可判断C ，由二倍角公式可判断D.对于A ，∵tanα=4，tanβ=−14，∴tan(−α)tanβ=−tanαtanβ=1，故A 正确；对于B ，∵tanα=4>0，∴α为第一象限角或第三象限角，故B 错误； 对于C ，∵tanβ=−14，∴tan(β+π4)=1+tanβ1−tanβ=35，故C 正确；对于D ，∵tanα=4，tanβ=−14，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×41−42=−815,tan2β=2×(−14)1−(−14)2=−815，故D 正确.故选：ACD12、设α是第三象限角，则α2所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：BD解析：用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出α2满足的不等式，从而确定α2的终边所在的象限．∵α是第三象限角，∴k ⋅360°+180°<α<k ⋅360°+270°，k ∈Z ， 则k ⋅180°+90°<α2<k ⋅180°+135°，k ∈Z ，令k =2n ，n ∈Z 有n ⋅360°+90°<α2<n ⋅360°+135°，n ∈Z ；在二象限；k =2n +1，n ∈z ， 有n ⋅360°+270°<α2<n ⋅360°+315°，n ∈Z ；在四象限；故选：B D ．小提示：本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限,属于容易题.13、下列化简正确的是A．tan(π+1)=tan1B．sin(−α)tan(360∘−α)=cosαC．sin(π−α)cos(π+α)=tanαD．cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=1答案：AB解析：利用诱导公式，及tanα=sinαcosα，依次分析即得解利用诱导公式，及tanα=sinαcosαA选项：tan(π+1)=tan1，故A正确；B选项：sin(−α)tan(360o−α)=−sinα−tanα=sinαsinαcosα=cosα，故B正确；C选项：sin(π−α)cos(π+α)=sinα−cosα=−tanα，故C不正确；D选项：cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=−cosα⋅(−tanα)−sinα=−cosα⋅sinαcosαsinα=−1，故D不正确故选：AB小提示：本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.填空题14、已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0，π12)上单调递增，则ω的最大值是____.答案：4分析：根据正弦型函数的单调性即可求解.由函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(0，π12)上单调递增，可得ω⋅π12+π6≤π2，求得ω≤4，故ω的最大值为4，所以答案是：415、已知f(x)=2sin(2x+π3)，若∃x1,x2,x3[0,3π2]，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)，若x1+x2+x3的最大值为M，最小值为N，则M+N=___________.答案：23π6分析：作出f(x)在[0,3π2]上的图象，x1,x2,x3为f(x)的图象与直线y=m交点的横坐标，利用数形结合思想即可求得M和N﹒作出f(x)=2sin(2x+π3)在[0,3π2]上的图象（如图所示）因为f(0)=2sinπ3=√3，f(3π2)=2sin(π+π3)=−√3，所以当f(x)的图象与直线y=√3相交时，由函数图象可得，设前三个交点横坐标依次为x1、x2、x3，此时和最小为N，由2sin(2x+π3)=√3，得sin(2x+π3)=√32，则x1=0，x2=π6，x3=π，N=7π6；当f(x)的图象与直线y=−√3相交时，设三个交点横坐标依次为x1、x2、x3，此时和最大为M，由2sin(2x+π3)=−√3，得sin(2x+π3)=−√32，则x1+x2=7π6，x3=3π2，M=8π3；所以M+N=23π6.所以答案是：23π6.16、已知角α终边落在直线y=34x上，求值：sinα+1cosα=_______．答案：2或−12解析：由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，分类讨论，分别求得sinα和cosα的值，可得要求式子的值．解：当角α终边落在直线y =34x(x ⩾0)上，α为锐角，sinαcosα均为正值，且tanα=sinαcosα=34，再结合sin 2α+cos 2α=1，求得sinα=35，cosα=45， 则sinα+1cosα=35+145=2．当角α终边落在直线y =34x(x <0)上，α∈(π,3π2)，sinαcosα均为负值，且tanα=sinαcosα=34，再结合sin 2α+cos 2α=1，求得sinα=−35，cosα=−45， 则sinα+1cosα=−35+1−45=−12，所以答案是：2或−12．小提示：本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，考查运算能力，属于基础题． 解答题17、已知0<α<π2，cos (α+π4)=13．(1)求sinα的值；(2)若−π2<β<0，cos (β2−π4)=√33，求α−β的值．答案：(1)4−√26(2)α−β=π4分析：（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得sinα的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得sinβ的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出cos (α−β)的值，结合角α−β的取值范围可求得结果. （1）解：因为0<α<π2，∴π4<α+π4<3π4，又cos(α+π4)=13，所以sin(α+π4)=√1−(13)2=2√23，所以sinα=sin[(α+π4)−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)cosπ4=√22(2√23−13)=4−√26.（2）解：因为cos(β2−π4)=√33，sinβ=cos(β−π2)=cos[2(β2−π4)]=2cos2(β2−π4)−1=2×13−1=−13，又因为−π2<β<0，所以cosβ=√1−sin2β=2√23，由（1）知，cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=4+√26，所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=4+√26×2√23+4−√26×(−13)=√22．因为0<α<π2，−π2<β<0，则0<α−β<π，所以α−β=π4．18、已知函数f(x)=2sinxsin(π3−x)+2cos2x−12.（1）求函数f(x)的单调增区间；（2）当x∈(−π6,π4)时，函数g(x)=f2(x)−2mf(x)+m2−116有四个零点，求实数m的取值范围.答案：（1）[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z（2）2√3+14<m<4√3−14分析：（1）化简f(x)的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为ℎ(t)=t2−2mt+m2−116在(√32,√3)内有两个零点，根据二次函数列式可得结果.（1）f(x)=2sinxsin(π3−x)+2cos2x−12=2sinx(sinπ3cosx−cosπ3sinx)+1+cos2x−12 =√3sinxcosx−sin2x+1+cos2x−12=√32sin2x+cos2x+cos2x−12=√32sin2x+1+cos2x2+cos2x−12=√32sin2x+32cos2x=√3sin(2x +π3)，由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−512π≤x ≤kπ+π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z . （2）当x ∈(−π6,π4)时，2x +π3∈(0,5π6)，f(x)=√3sin(2x +π3)∈(0,√3]，因为函数g (x )=f 2(x )−2mf (x )+m 2−116有四个零点，令t =f(x)，则t ∈(0,√3)且ℎ(t)=t 2−2mt +m 2−116在(√32,√3)内有两个零点， 所以{Δ=4m 2−4(m 2−116)>0√32<m <√3ℎ(√32)>0ℎ(√3)>0，即{ √32<m <√334−√3m +m 2−16>03−2√3m +m 2−16>0，解得{√32<m <√3m 〈2√3−14或m 〉2√3+14m 〈4√3−14或m 〉4√3+14，解得2√3+14<m <4√3−14，所以实数m 的取值范围是2√3+14<m <4√3−14. 小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
高中数学第五章三角函数知识点归纳超级精简版(带答案)
高中数学第五章三角函数知识点归纳超级精简版单选题1、所有与角α的终边相同的角可以表示为k⋅360°+α(k∈Z)，其中角α（）A．一定是小于90°的角B．一定是第一象限的角C．一定是正角D．可以是任意角答案：D分析：由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.因为结论与角α的终边相同的角可以表示为k⋅360°+α(k∈Z)适用于任意角，所以D正确，故选：D.2、已知函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx−cos2x，x∈R，则（）A．f(x)的最大值为1B．f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C．f(x)的最小正周期为π2D．x=π3为f(x)图象的一条对称轴答案：D分析：首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；解：函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx−cos2x=√3sin2x−cos2x=2(√32sin2x−12cos2x)=2sin(2x−π6)，可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T=2π2=π，故A、C错误；由f(x)=0可得2x−π6=kπ,k∈Z，即x=kπ2+π12,k∈Z，可知f(x)在区间(0,π)上的零点为π12,7π12，故B错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可知x=π3为f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选：D3、某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732） A ．50B ．38C ．27D ．15 答案：C分析：作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.设走了3分钟到达B （如图所示），走过的圆心角为θ=2π×328=3π14，OE =Rcos 3π14=55cos 3π14， 因为π6<3π14<π4 ，所以√22<cos 3π14<√32， 所以38.885<55cos 3π14<47.63所以AE =55−55cos3π14∈(7.73,21.145)，所以建筑物的高度：55(1−cos 3π14)+10∈(17.73,31.145)故选：C4、三个数cos 32，sin 110，sin 74的大小关系是（ ） A ．cos 32>sin110>sin 74B ．cos 32>sin 74>sin 110C ．cos 32<sin 110<sin 74D ．sin 74>cos 32>sin 110 答案：C分析：诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．cos32=sin(π2−32)，sin74=sin(π−74)．∵π2−32≈0.07，110=0.1，π−74≈1.39，∴π2>π−74>π2−32>0．又∵y=sinx在(0,π2)上是增函数，∴cos32<sin110<sin74．故选：C．5、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（）A．4小时B．5小时C．6小时D．7小时答案：B分析：由已知表格中数据求得f(x)=2sinπ6x+5,根据驶入港口f(x)大于等于6,离开时f(x)大于等于5，分析即可得答案.由表格中的数据可知，f(x)max=7,f(x)min=3，则A=f(x)max−f(x)min2=7−32=2,B=f(x)max+f(x)min2=7+32=5.由T=12，∴ω=2πT =π6，故f(x)=2sin(π6x+φ)+5，当x=3时，f(x)=7，则2sin(π6x+φ)+5=7∴2cosφ=2，即cosφ=1，得.∴f(x)=2sinπ6x+5.由f(x)=2sinπ6x+5=6，得sinπ6x=12，ϕ=即π6x =π6+2kπ,k ∈Z 或π6x =5π6+2kπ,k ∈Z∴x =12k +1,k ∈Z 或x =12k +5,k ∈Z . 又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口， ∴k =1时，x =13，即该船应在13点入港并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m 的速度减小，4小时卸完，卸完后的吃水深度为4−0.25×4=3， 所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由f (x )=2sin π6x +5=5，得sin π6x =0，即π6x =0+2kπ,k ∈Z 或π6x =π+2kπ,k ∈Z∴x =12k,k ∈Z 或x =12k +6,k ∈Z .所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时. 故选：B6、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5， 所以r =5sin11+sin1，故选：C.7、已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B ．√55C ．√33D ．2√55答案：B分析：利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． ∵2sin2α=cos2α+1，∴4sinα⋅cosα=2cos 2α.∵α∈(0,π2),∴cosα>0．sinα>0,∴sinα=cosα，又sin 2α+cos 2α=1，∴5sin 2α=1,sin 2α=15，又sinα>0，∴sinα=√55，故选B ．小提示：本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 8、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−12D ．12 答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3，于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C. 多选题9、若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ） A ．tanα=−sinαcosαB ．√1−2sinαcosα=sinα−cosαC ．cosα=−√1−sin 2αD ．√1+2sinαcosα=sinα+cosαE ．sinα=−√1−cos 2α 答案：BC解析：利用sin 2α+cos 2α=1,tanα=sinαcosα，结合三角函数在各个象限的符号，代入每个式子进行化简、求值.对A ，由同角三角函数的基本关系式，知tanα=sinαcosα，所以A 错；对B ，C ，D ，E ，因为α是第二象限角，所以sinα>0,cosα<0，所以sinα−cosα>0,sinα+cosα的符号不确定，所以√1−2sinαcosα=√(sinα−cosα)2=sinα−cosα，所以B ，C 正确；D ，E 错． 故选：BC.小提示：本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限的符号，考查运算求解能力. 10、如图是函数y =Asin(ωx +φ)(x ∈R)在区间[−π6,5π6]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y =sinx(x ∈R)的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：AC分析：先根据图象求函数解析式，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求φ，再借助图象变换规则即可得出结果.由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+φ），将（−π6，0）代入得：sin(φ−π3)=0，所以φ−π3=kπ，k ∈z ，取φ=π3，得y=sin （2x+π3），y =sinx 向左平移π3，得y =sin (x +π3)．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得y =sin (2x +π3)．故A 正确． y =sinx 各点的横坐标缩短到原来的12，得y =sin2x ．然后向左平移π6个单位，得y =sin2(x +π6)=sin (2x +π3)．故C 正确．故选：AC小提示：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，图象的伸缩变换的规律：（1）把函数y =f (ωx )的图像向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度，则所得图像对应的解析式为y =f [ω(x +ℎ)]，遵循“左加右减”；（2）把函数y =f (x )图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的ω倍（ω>0），那么所得图像对应的解析式为y =f (1ωx)，属于中档题.11、（多选题）已知tan 2x −2tan 2y −1=0，则下列式子成立的是（ ）A ．sin 2y =2sin 2x +1B ．sin 2y =−2sin 2x −1C ．sin 2y =2sin 2x −1D ．sin 2y =1−2cos 2x 答案：CD解析：对原式进行切化弦，整理可得：sin 2x ⋅cos 2y −2sin 2y ⋅cos 2x =cos 2y ⋅cos 2x ，结合因式分解代数式变形可得选项.∵tan 2x −2tan 2y −1=0， sin 2xcos 2x −2⋅sin 2ycos 2y −1=0，整理得sin 2x ⋅cos 2y −2sin 2y ⋅cos 2x =cos 2y ⋅cos 2x ，∴(1−cos 2x )(1−sin 2y )−sin 2y ⋅cos 2x =(cos 2y +sin 2y )cos 2x ， 即1−cos 2x −sin 2y +sin 2y ⋅cos 2x −sin 2y ⋅cos 2x =cos 2x ， 即sin 2y =1−2cos 2x =2sin 2x −1，∴C 、D 正确. 故选：CD小提示：此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.12、下列化简正确的是（）A．tan(π+1)=tan1B．sin(−α)tan(360°−α)=cosαC．sin(π−α)cos(π+α)=tanαD．cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=1E．若θ∈(π2,π)，则√1−2sin(π+θ)sin(3π2−θ)=sinθ−cosθ答案：ABE解析：根据三角函数的诱导公式及同角三角函数关系，对A，B，C，D，E五个选项进行化简即可求出答案. 对于A，根据三角函数的诱导公式可知，故A正确；对于B，sin(−α)tan(360°−α)=−sinα−tanα=cosα，故B正确；对于C，sin(π−α)cos(π+α)=sinα−cosα=−tanα，故C错误；对于D，cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=(−cosα)(−tanα)−sinα=−1，故D错误；对于E，√1−2sin(π+θ)sin(3π2−θ)=√1−2sinθcosθ=√(sinθ−cosθ)2=|sinθ−cosθ|.∵θ∈(π2,π)∴sinθ>0,cosθ<0，∴√1−2sin(π+θ)sin(3π2−θ)=sinθ−cosθ，故E正确.故选：ABE.小提示：本题考查三角函数的诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数值的符号，熟练掌握诱导公式及同角三角函数关系是解答本题的关键.13、摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t=15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（）A．摩天轮离地面最近的距离为4米B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为ℎ米，则ℎ=−60cos(π15t)+68C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30D．∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米答案：BC分析：易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出t分钟后，转过的角度，即可求出ℎ关于t的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出t1+t2的最小值即可判断C；求出ℎ在t∈[0,20]上的单调性，结合当t=20时，ℎ=98>90即可判断D.解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128−120=8米，故A不正确；t分钟后，转过的角度为π15t，则ℎ=60−60cosπ15t+8=−60cosπ15t+68，B正确；ℎ=−60cosπ15t+68周期为2ππ15=30，由余弦型函数的性质可知，若t1+t2取最小值，则t1,t2∈[0,30]，又高度相等，则t1,t2关于t=15对称，则t1+t22=15，则t1+t2=30；令0≤π15t≤π，解得0≤t≤15，令π≤π15t≤2π，解得15≤t≤30，则ℎ在t∈[0,15]上单调递增，在t∈[15,20]上单调递减，当t=15时，ℎmax=128，当t=20时，ℎ=−60cosπ15×20+68=98>90，所以ℎ=90在t∈[0,20]只有一个解；故选:BC.小提示：关键点睛:本题的关键是求出ℎ关于t的表达式，结合三角函数的性质进行判断.填空题14、已知函数f (x )=Asinωx (A >0,ω>0)，若至少存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]，使得f (x 1)+f (x 2)=2A ，则实数ω的取值范围是________． 答案：[94,52]∪[134,+∞)分析：当π>2T 时，易知必满足题意；当π<2T 时，根据x ∈[π,2π]可得ωx ∈[πω,2πω]，由最大值点的个数可构造不等式组，结合ω>0确定具体范围.∵至少存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]，使得f (x 1)+f (x 2)=2A ， ∴当π>2T =4πω，即ω>4时，必存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]满足题意；当π<2T ，即0<ω<4时，ωx ∈[πω,2πω]， ∴{πω≤π2+2kπ2πω≥5π2+2kπ(k ∈Z )，∴{ω≤12+2kω≥54+k(k ∈Z )； 当k ≤0时，解集为∅，不合题意；令k =1，则94≤ω≤52；令k =2，则134≤ω<4； 综上所述：实数ω的取值范围为[94,52]∪[134,+∞).所以答案是：[94,52]∪[134,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据πω的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果. 15、若α∈(0,π2)，且cos 2α+cos (π2−2α)=710，则tan2α=____答案：−34分析：利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为1+2tanαtan 2α+1=710，结合角的范围求tanα值，再应用二倍角正切公式求tan2α即可.∵cos 2α+cos (π2−2α)=cos 2α+sin2α=cos 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+2tanαtan 2α+1=710，∴tanα=3或tanα=−17，又α∈(0,π2)， ∴tanα=3，则tan2α=2tanα1−tan 2α=−34． 所以答案是：−3416、若sinx =−23，则cos2x =__________． 答案：19 分析：直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.cos2x =1−2sin 2x =1−2×(−23)2=1−89=19. 所以答案是：19.小提示：本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.解答题17、（1）已知sinα+cosα=√2，求sinα⋅cosα及sin 4α+cos 4α的值；（2）已知sinα+cosα=15(0<α<π)，求tanα的值.答案：（1）sinα⋅cosα=12，sin 4α+cos 4α=12；（2）−43.分析：（1）把已知等式平方，结合平方关系可得sinαcosα，再把1=sin 2α+cos 2α平方可求得sin 4α+cos 2α；（2）已知等式平方求得sinαcosα确定出sinα,cosα的正负，求出sinα−cosα，与已知式联立求得sinα,cosα后可得tanα．解：（1）∵sinα+cosα=√2；1+2sinαcosα=2∴sinα⋅cosα=12sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2−2sin 2αcos 2α=1−2⋅(12)2=12（2）∵sinα+cosα=15，①∴(sinα+cosα)2+2sinαcosα=125∴2sinαcosα=−2425. ∵0<α<π，∴π2<α<π，∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0，∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=75.②由①，②得sinα=45,cosα=−35，∴tanα=−4318、已知函数f(x)=sin4x+cos4x+√32sin2xcos2x，f(x)的图像先向右平移π6，再纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图像.(1)求f(x)的对称中心；(2)当x∈[−π6,π3]时，求g(x)的取值范围答案：(1)(k4π−π24,34)(k∈Z)(2)[14,1]分析：（1）由f(x)=12sin(4x+π6)+34，令4x+π6=kπ,k∈Z求解；（2）由g(x)=12sin(2x−π2)+34=−12cos2x+34，利用余弦函数的性质求解.（1）解：f(x)=（sin2x+cos2x）2−2sin2xcos2x+√34sin4x，=1−12sin22x+√34sin4x=1−14（1−cos4x）+√34sin4x，=14cos4x+√34sin4x+34=12sin(4x+π6)+34，令4x+π6=kπ，x=k4π−π24(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为(k4π−π24,34)(k∈Z).（2）g(x)=12sin(2x−π2)+34=−12cos2x+34，因为x∈[−π6，π3]，所以2x∈[−π3，2π3]，故cos2x∈[−12,1]，g(x)的取值范围为[1,1].4。
高中数学第5章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时)两角差的余弦公式a
连接符号相反
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B [∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
→
求cos β＝ cos[α－α－β]
→
求β
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[解] 因为sin(π－α)＝473， 所以sin α＝473.因为0＜α＜π2， 所以cos α＝ 1－sin2α＝17. 因为cos(α－β)＝1134， 且0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，
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合作探究 提素养
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给角求值问题
【例1】 (1)cos1132π的值为( )
A.
6＋ 4
2
B.
6－ 4
2
C.
2－ 4
6
D．－
6＋ 4
Байду номын сангаас
2 ]
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(2)求下列各式的值： ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③12cos 15°＋ 23sin 15°.
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2．已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝ 1100，求α－β的值． [解] ∵α，β均为锐角， ∴sin α＝ 55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255× 1100＋ 55×31010＝ 22.