最新北师大版九年级数学上册第四章图形的相似小结与复习
在垂直的条件较多时，经常用到 同角或等角的余角相等。
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF .
D
C
解：由（1）△ ADE∽△BEF，
AD=4，BE=4-x，得
y 4x
F
∴
x y
1
(x2
4 4x)
1[(x 2)2
4]
1
A
(x 2)2
E
1
B
4
4
4
所以当x =2时， y 有最大值，
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
典例精、析
（-1，2）
1.如图,在边长为1的小正方形网格纸中
△OAB的顶点O、A、B均在格点上,且O
是直角坐标系的原点,点A在x轴上. （-2，0）
A（1 4，0）
(1)以O为位似中心,将△ OAB放大,使得 放大后的△ OA1B1与△ OAB的相似比为 2,画出△ OA1B1.(所画△ OA1B1与△
A．2
B．3
C．6
D．54
3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ B ）
A．
B．
C．
D．
巩固练习
4.如图，在Rt△ABC内有边长分别为
OAB在原点两侧). (2)写出A1、B1的坐标.
B（1 2，-4）
解题小结
位似中心在连接两个对应点的线段(或延长线)上.
任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似
比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k(在原点的同侧)或 -k(在原点的异侧).
β
8 cm 75°
B
85°
C
相似多边形的性质
E
16 cm
120°
F
α G
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
相似多边形对应边的比叫做相似比. （相似比与叙述的顺序有关）.
知识回顾
3.两个相似三角形的对应中线的比为1:2,则它们的周长 比为_1_:_2__,面积比为_1_:_4___.
相似三角形(多边形)的性质
D
C
2.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，
EF⊥DE交BC于点F．
求证: △ADE∽△BEF；
F
证明：（1）∵四边形ABCD是正
解A题小E结 B
方形，
证三角形相似的方法有多种,应根
∴∠DAE=∠FBE=90°， 据已知条件合理选用.
∴∠ADE+∠DEA=90°. 又EF⊥DE， ∴∠DEA+∠FEB=90°，
y的最大值为1.
解题小结
3.小明想利用影长测量树高.把长为2.4 m的标杆CD 直立在地面上，此时量出标杆的影长为1.6 m，树的影 长为2.8 m,求树高AB是多少？你能解决这个问题吗？
A
C
2.4
E 1.6 D
F 2.8 B
典例精析
解:太阳光是平行光线,因此
∠ CED=∠AFB,
C
又∠CDE=∠ABF=90°,
D
__△_E__A_F_∽__△__E__B_C__;_△__E_A__F_∽__△__C_D__F__;
__△_E__B_C_∽__△__C__D_F___.
B
C
相似三角形的判定
平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线) 相交,所构成的三角形与原三角形相似.
知识回顾
5.如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和 △ABC相似,则需添加一个条件:_∠__A__C_P_=_∠__B__; ___
A
解：作DE⊥AB于E,
∴△ADE∽△EGF.
？ D
E
∴ AE 15
64 12
E
1.5 1
解得AE=8.
B 6.4 C
F G ∴AB=8+1=9 m.
1.2
易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m， 其影长为1.2 m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1 m，那么这棵大树多高?
（1）相似三角形(多边形)周长的比等于相似比. （2）相似三角形(多边形)面积的比等于相似比的平方. （3）相似三角形(多边形)的对应边上的高、对应中线、 对应角平分线的比等于相似比.
知识回顾
4.如图，E是□ABCD的边BA延长线上
E
一点，连接EC，交AD于F．在不添加
辅助线的情况下，图中相似三角形有: A F
∴△CDE∽△ABF.
∴ CD DE AB BF
即 2 4 1 6 AB 2 8
解得AB=4.2 ,
因此树高4.2 m.
E DF
解题小结
实际 问题
建立相似三 角形模型
利用对应边的 比相等求解
A
B
数学 问题
典例精析
小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m， 其影长为1.2 m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1 m，那么这棵大树多高?
A
D
E
B
C
A
D E
B
C
点
E
重
移 到
合 A
与
C
点
D
B
△ADE绕点A 旋转
E A
B E A
B
∠ACB=Rt∠ CD⊥AB B
D C D C位似图形的是( D )
E
B
O
C
F
AA
D
B
C
D
位似图形的定义和性质
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互 相平行,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.
A
？
E
D 1
B 6.4 C H
1.5
FG 1.2
易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
巩固练习
1.图中的两个三角形是位似图形，它
们的位似中心是（ A ）
O
A．点P B．点O C．点M D.点N P M N
2．已知△ABC 与△DEF 相似比为3，且△ABC 的周长
为18，则△DEF 的周长为（ C ）
_或__∠__A_P_C_=__∠__A_C_B__; _或__A_P_:_A_C__=_A_C_:_A_B__(即__A__C_2_=_A_P__·A__B_).
A
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角形相似.
P
B
C
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三组对应成比例的两个三角形相似.
知识回顾 相似三角形基本图形
北师大版九年级数学上册
图形的相似
小结与复习
知识回顾
1. 下列各组图中的两个图形相似的是（ C ）
A
B
C
D
相似图形的定义
形状相同的图形叫做相似图形.
知识回顾
2.如图，四边形ABCD与EFGH相似，则∠α ＝
___8_5_°,∠β ＝___8_0_°,EH＝___2_0__cm_.
H
x
10 cm
D
A
北师大版九年级上第四章相似三角形复习课件
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？
北师版初三九年级数学(上册)第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） 基本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为m,n ，那么就说这两条线段的比是a bm n，或写 成a:bm:n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a,b,c,d 成比例，那么应得比例式为：a b = c d． ac②在比例式(：：)中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即a ：bb ：dabcdbd2那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有bad 。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排 列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条 线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：①a:b=c:d 则有ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；2②②a:bb:cbac ．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如adbc ，除了可化为a :bc :d ，还可化为a :cb :d ，c:d a:b ，b:da:c ，b :ad:c ，c:a d:b ，d:cb :a ，d:b c:a ． ab cd，(交换内项) （2）更比性质(交换比例的内项或外项)：a cdc bdba，(交换外项)db ca．(同时交换内外项)（3）合、分比性质：a cabcdbdbd．acem （4）等比性质：如果(bdfn0)bdfn注：，那么a b c d e fm na b． ①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a b cdefab2c2d3e3fab2c2d3e3fab；其中b2d3f0．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,A D BE可得ABDEABDEBCEFBCEFABBC或或或或等.BCEFACDFABDEACDFDEEFC F注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF的比例关系（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(ACBC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即512ACABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB2≈0.618AB．即51ACBCABAC2 简记为：长短＝＝全长512注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
北师版初三数学(上册)第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） 基本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
第四章 小结与复习课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册
A′ B′
C′ x
(3) 计算
y
△A′B′C′的面
积 S.
解：
S 1 48=16. 2 O
A′ B′
C′ x
当堂小结
定义
定义、判定、性质
相似
相似图形
相似多边形 相似三角形
平行线分线段 成比例
判定
性质
位似
性质 平面直角坐标系中的位似
应用
课后练习
见教材章末练习
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
A
D
F
BE
C
考点二 相似的应用
例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面 的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．
3. 相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方
4. 相似三角形的应用 (1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角 形求解.
∵ EF//BC，∴△AEF ∽ △ABC.
∴ EF AM . BC AD
又∵ AM＝AD－MD＝80－x，
则 x 80 x . 120 80
解得 x = 48.
B
A EM F
G DH C
新北师大数学九年级上册课件：第四章 图形的相似小结与复习
E
B
C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
你还有其他 方法吗？
针对训练 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m
远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设 球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
∴ BC EF ，即 BC 2 ， CD GE 3.6 1.2
∴ BC＝6m. 在 Rt△ABC 中， ∵ ∠A＝30°， ∴ AB＝2BC＝12 m， 即树长 AB 是 12 m.
3.6m
2m 1.2m
例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们 来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立 的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请 你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高 度 (画出示意图)，并说明理由．
A
M
E
D
∴CD＝2，AD＝4，
B
MD＝1.
CF
在 Rt△BDM 中，BM 62 32 3 3 ，
BD BM 2 MD2 2 7 ， 由(1) △ABD ∽△CED得，
BD AD，即 2 7 2，
ED CD
ED
∴ ED 7，BE BD E
CF
针对训练
1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判定
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元复习课件
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.
北师大版九年级上册 第四章 图形的相似 章节复习
图形的相似考点1：比例线段的概念 方法点拨 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
例1：下列四组线段中，不成比例线段的是（ ）A ．2cm ，5cm ，10cm ，25cmB ．4cm ，7cm ，4cm ，7cmC ．2cm ，cm ，cm ，4cmD ．cm ，cm ，2cm ，5cm变式1-1：下列a 、b 、c 、d 四条线段，成比例线段的是（ ）A ．a ＝12，b ＝4，c ＝5，d ＝12B ．a ＝15，b ＝3，c ＝5，d ＝1C ．a ＝13，b ＝2，c ＝8，d ＝12D ．a ＝5，b ＝0.02，c ＝0.7，d ＝0.3变式1-2：如果a ：b ＝3：2，且b 是a 、c 的比例中项，那么b ：c 等于（ ）A ．4：3B ．3：4C ．2：3D ．3：2变式1-3：甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）A ．0.8cmB ．8cmC ．80cmD ．800cm ．考点2：黄金分割方法点拨知识点梳理黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
北师大版九年级数学上册图形的相似小结与复习
？
E
D 1
B 6.4 C H
1.5
FG 1.2
易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
巩固练习
1.图中的两个三角形是位似图形，它 O
们的位似中心是（ A ） A．点P B．点O C．点M D.点N P M N
2．已知△ABC 与△DEF 相似比为3，且△ABC 的周长
为18，则△DEF 的周长为（ C ）
β
8 cm 75°
B
85°
C
相似多边形的性质
E
16 cm
120°
F
α G
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
相似多边形对应边的比叫做相似比. （相似比与叙述的顺序有关）.
知识回顾
3.两个相似三角形的对应中线的比为1:2,则它们的周长 比为_1_:_2__,面积比为_1_:_4___.
相似三角形(多边形)的性质
∴△CDE∽△ABF.
∴ CD DE AB BF
即 2 4 1 6 AB 2 8
解得AB=4.2 ,
因此树高4.2 m.
E DF
解题小结
实际 问题
建立相似三 角形模型
利用对应边的 比相等求解
A
B
数学 问题
典例精析
小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m， 其影长为1.2 m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1 m，那么这棵大树多高?
A
解：作DE⊥AB于E,
∴△ADE∽△EGF.
？ D
E
∴ AE 15
64 12
E