2019及以前年份高考文数真题分类汇编：专题十二推理与证明

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三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：推理与证明

推理与证明1.（2019全国II 文5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 4．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩5．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．6．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________．7．(2018江苏)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s t <时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求34(2),(2)f f 的值；(2)求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．8*．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 9*．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤；（Ⅲ）121122n n n x --≤≤．答案1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲>乙．乙：丙>乙且丙>甲．丙：丙>乙．因为只有一个人预测正确，如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙>乙，乙>甲，因为乙预测不正确，而丙>乙正确，所以只有丙>甲不正确，所以甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾．不符合题意．所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲>乙，乙>丙．故选A ．2．B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．D 【解析】解法一点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．4．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 5．27【解析】所有的正奇数和2n(*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．6．6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则①84a b >>>，所以max 6b =，②当min 1c =时，21a b >>>，a ，b ∈N ，a ，b 不存在，不符合题意；当min 2c =时，42a b >>>，a ，b ∈N ，a ，b 不存在，不符合题意；当min 3c =时，63a b >>>，此时5a =，4b =，满足题意．所以12a b c ++=．7．【解析】(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2)对一般的n (4)n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ⋅⋅⋅，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n ⋅⋅⋅中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， ,,a b c 2,,,c a b c a b c >>>∈N因此，5n ≥时，(2)n f =222n n --．8．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列．9．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．。

高考试题分类训练专题十二推理与证明第三十二讲推理与证明答案

专题十二推理与证明第三十二讲推理与证明答案部分2019年1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲乙．乙：丙乙且丙甲．丙：丙乙．因为只有一个人预测正确，如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙乙，乙甲，因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确，所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意．所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲乙，乙丙．故选A ．2010-2018年1．B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．D 【解析】解法一点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 4．A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．5．B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．6．A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．7．D 【解析】∵553125=，6515625=，7578125=，85390625=，951953125=，1059765625=，⋅⋅⋅，∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n ，则(2011)(50147)f f =⨯+(7)f =，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选D ．8．D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D 。

2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题12 推理与证明

专题十二推理与证明（2019·全国Ⅱ文科）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙【答案】A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．（2019·全国Ⅲ文科）记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是（） A. ①③ B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由得即A （2，4），直线与直线均过区域D ，则p 真q 假，有假真，所以①③真②④假．故选A ．620x y x y +⎧⎨-≥⎩…D :(,),29p x y D x y ∃∈+…:(,),212q x y D x y ∀∈+…p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝p q ⌝∧⌝2,6y x x y =⎧⎨+=⎩2,4x y =⎧⎨=⎩29x y +=212x y +=p ⌝q ⌝【点睛】本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度．不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假．（2019·北京文科）已知l ，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥；③l ⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. （2017山东）已知命题p ：；命题q ：若，则．下列命题为真命题的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】取，知成立；若，得，为假，所以为真，选B ．ααα,x ∃∈R 210x x -+≥22a b <a b <p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∧p q ⌝⌝∧0x =1p 22a b <||||a b =q p q ⌝∧(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】解法一因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比．若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，，所以，，故选B ．解法二因为，，所以，则，又，所以等比数列的公比．若，则，而，所以与矛盾，所以，所以，，所以，，故选B ．(2018北京)设集合则 A ．对任意实数，B ．对任意实数，1a 2a 3a 4a 1234123ln()a a a a a a a +++=++11a >13a a <24a a <13a a >24a a <13a a <24a a >13a a >24a a >ln 1x x -≤0x >1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤41a -≤11a >0q <1q -≤212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤12311a a a a ++>≥123ln()0a a a ++>1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤10q -<<2131(1)0a a a q -=->2241(1)0a a a q q -=-<13a a >24a a <1xe x +≥1234123ln()a a a a a a a +++=++123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥41a -≤11a >0q <1q -≤212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤12311a a a a ++>≥123ln()0a a a ++>1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤10q -<<2131(1)0a a a q -=->2241(1)0a a a q q -=-<13a a >24a a <{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤a (2,1)A ∈a (2,1)A ∉C ．当且仅当时，D ．当且仅当时，【答案】D【解析】解法一点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A ；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B ；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C ，故选D ．解法二若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D ．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为．【答案】27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，0a <(2,1)A ∉32a ≤(2,1)A ∉(2,1)1x y -=4ax y +=(0,4)a -0a ≠2x ay -=(2,0)1a2x ay -≤4ax y +>4ax y +=2x ay -=4ax y +=0a ->4ax y +>(2,1)(2,1)(0,4)32-32a -<-32a >4ax y +>(2,1)2x ay -<(2,1)4ax y +=32a -=-32a =4ax y +>(2,1)(2,1)A ∈21422a a +>⎧⎨-⎩≤32a >32a ≤(2,1)A ∉*{|21,}A x x n n ==-∈N *{|2,}n B x x n ==∈N A B {}n a n S {}n a n 112n n S a +>n 2n*n ∈N {}n a {}n a 525212a =6382a =1n =1211224S a =<=2n =2331236S a =<=3n =3461248S a =<=4n =45101260S a =<=26n == 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．(2018江苏)设，对1，2，···，n 的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为的全部排列的个数． (1)求的值；(2)求的表达式(用表示)．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以．逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．为计算，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．当时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-2712516a =27n =52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-2812a 112n n S a +>n *n ∈N 12n i i i s t <s t i i >(,)s t i i 12n i i i 12n i i i ()n f k k 34(2),(2)f f (2)(5)n f n ≥n ()abc τabc (123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，333(0)1(1)(2)2f f f ===，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=n (4)n ≥12n ⋅⋅⋅(0)1n f =12n ⋅⋅⋅(1)1n f n =-1(2)n f +1n +1n +1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+5n ≥112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…，因此，时，．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________．【答案】6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 ①，所以，②当时，，，，，不存在，不符合题意；当时，，，，，不存在，不符合题意；当时，，此时，，满足题意．所以．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D （2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=5n ≥(2)n f =222n n --,,a b c 2,,,c a b c a b c >>>∈N 84a b >>>max 6b =min 1c =21a b >>>a b ∈N a b min 2c =42a b >>>a b ∈N a b min 3c =63a b >>>5a =4b =12a b c ++=k {}n a 11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=n ()n k >{}n a ()P k（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，，①当时，.② 由①知，，③，④将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列．（2017浙江）已知数列满足：，．证明：当时（Ⅰ）；（Ⅱ）； {}n a (3)P {}n a (2)P (3)P {}n a {}n a d 1(1)n a a n d =+-n 4≥n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=1,2,3,k =n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6{}n a (3)P {}n a (2)P (3)P 3n ≥n n n n n a a a a a --+++++=211244n ≥n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+n n n a a a -++=1124n ≥345,,,a a a d'4n =235644a a a a a +++=23a a d'=-3n =124534a a a a a +++=122a a d'=-{}n a {}n x 11x =11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N n ∈*N 10n n x x +<<1122n n n n x x x x ++-≤（Ⅲ）． *根据亲们所在地区选作，新课标地区（文科）不要求．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故（Ⅲ）因为所以得由得 121122n n n x --≤≤0n x >1n =110x =>n k =0k x >1n k =+10k x +≤110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤10k x +>0n x >()n ∈*N 111ln(1)n n n n x x x x +++=++>10n n x x +<<()n ∈*N 111ln(1)n n n n x x x x +++=++>2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥()f x [0,)+∞()(0)f x f ≥2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤112n n x -≥1122n n n n x x x x ++-≥111112()022n n x x +-->≥所以故综上，．12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥212n n x -≤1211(N )22n n n x n *--∈≤≤。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编考点01 数列的增减性1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是．3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．（2020∙北京∙高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项考点02 递推数列及数列的通项公式1．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（） A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立 B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立 C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立 D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是．3．（2022∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（）A ．100521002a <<B ．100510032a << C ．100731002a <<D ．100710042a << 4．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 5．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是．6．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = .7．（2019∙浙江∙高考真题）设,a b R ∈，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->考点03 等差数列及其前n 项和一、单选题 1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（） A ．72B ．73 C ．13-D ．711-2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（） A ．2-B ．73C ．1D ．293．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（） A ．25B ．22C ．20D ．154．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．125．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2020∙浙江∙高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =8．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-二、填空题 15．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d = ． 17．（2020∙山东∙高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为．18．（2020∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S = ．19．（2019∙江苏∙高考真题）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .20．（2019∙北京∙高考真题）设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5= ，Sn 的最小值为．21．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S = . 22．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S = .考点04 等比数列及其前n 项和一、单选题 1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（） A ．158B ．658C ．15D ．402．（2023∙天津∙高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()112,22N n n a a S n *+==+∈，则4a =（）A ．16B ．32C ．54D ．1623．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）． A ．120B ．85C ．85-D ．120-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（） A ．14B ．12C ．6D ．35．（2021∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（） A ．7B ．8C ．9D ．106．（2020∙全国∙高考真题）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（） A ．12B ．24C ．30D ．327．（2020∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则n nS a =（）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –18．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=- ，则 k =（） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 11．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为． 12．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a = . 13．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4= ． 14．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5= ．考点05 数列中的数学文化1．（2023∙北京∙高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a = ；数列{}n a 所有项的和为．2．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么1nk k S ==∑ 2dm .4．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是．5．（2020∙全国∙高考真题）0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0‐1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0‐1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0‐1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（） A ．11010B ．11011C ．10001D ．110016．（2020∙全国∙高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块考点06 数列求和1．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nn ω-=3．（2020∙江苏∙高考真题）设{an }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已知数列{an +bn }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是．参考答案考点01 数列的增减性1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（） A ．15b b +，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.[方法二]：特值法不妨设1,n a =则1234567835813213455b 2,b b ,b b ,b b ,b 2358132134========，，，47b b <故D 正确.2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④ 【详细分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【答案详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n nS a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得2332a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错；当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=，所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.【名师点评】关键点名师点评：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2020∙北京∙高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【详细分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【答案详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【名师点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.考点02 递推数列及数列的通项公式1．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（） A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立 B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立 C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立 D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立【答案】B【详细分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD 正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B 的正误. 法2：构造()()31664x f x x =-+-，利用导数求得()f x 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间，从而判断{}n a 的单调性；对于A ，构造()()32192647342h x x x x x =-+-≤，判断得11n n a a +<-，进而取[]4m M =-+推得n a M >不恒成立；对于B ，证明n a 所在区间同时证得后续结论；对于C ，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+推得n a M >不恒成立；对于D ，构造()()32192649942g x x x x x =-+-≥，判断得11n n a a +>+，进而取[]1m M =+推得n a M <不恒成立. 【答案详解】法1：因为()311664n n a a +=-+，故()311646n n a a +=--，对于A ，若13a =，可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤，证明：当1n =时，1363a -=≤--，此时不等关系3n a ≤成立；设当n k =时，63k a -≤-成立，则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭，故136k a +≤--成立，由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦， ()20144651149n a --=-≥>，60n a -<，故10n n a a +-<，故1n n a a +<，故{}n a 为减数列，注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--，结合160n a +-<，所以()16694n n a a +--≥，故19634n n a +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故19634nn a +⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，若存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，则9634nM ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故6934nM -⎛⎫> ⎪⎝⎭，故946log 3M n -<，故n a M >恒成立仅对部分n 成立，故A 不成立.对于B ，若15,a =可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<，证明：当1n =时，10611a ---≤≤=，此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时，56k a ≤<成立，则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-，故1106k a +--≤<成立即由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦， ()201416n a --<，60n a -<，故10n n a a +->，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列，若6M =，则6n a <恒成立，故B 正确.对于C ，当17a =时，可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤，证明：当1n =时，1061a <-≤，此时不等关系成立；设当n k =时，67k a <≤成立，则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-，故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +<，故{}n a 为减数列，又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-，结合160n a +->可得：()111664n n a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若存在常数6M >，使得n a M >恒成立，则164nM ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，故()14log 6n M ≤-，n 的个数有限，矛盾，故C 错误.对于D ，当19a =时，可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥，证明：当1n =时，1633a -=≥，此时不等关系成立；设当n k =时，9k a ≥成立，则()3162764143k k a a +-≥=>-，故19k a +≥成立由数学归纳法可得9n a ≥成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列，又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--，结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ，所以114963n n a -+⎛⎫⎪⎭≥+⎝，若存在常数0M >，使得n a M <恒成立，则19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭，故19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭，故946log 13M n -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误.故选：B.法2：因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-+-，令()3219264842f x x x x =-+-，则()239264f x x x =-+'，令()0f x ¢>，得06x <<6x >+；令()0f x '<，得66x << 所以()f x在,6⎛-∞ ⎝⎭和63⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在633⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，令()0f x =，则32192648042x x x -+-=，即()()()146804x x x ---=，解得4x =或6x =或8x =，注意到465<<，768<<，所以结合()f x 的单调性可知在(),4-∞和()6,8上()0f x <，在()4,6和()8,+∞上()0f x >，对于A ，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，当1n =时，13a =，()32116643a a =--<-，则23a <，假设当n k =时，3k a <，当1n k =+时，()()331311646364k k a a +<---<-=，则13k a +<，综上：3n a ≤，即(),4n a ∈-∞，因为在(),4-∞上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列，因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +-+=-+-+=-+-，令()()32192647342h x x x x x =-+-≤，则()239264h x x x '=-+，因为()h x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯，所以()h x '在(],3-∞上单调递减，故()()2333932604h x h ''≥=⨯-⨯+>，所以()h x 在(],3-∞上单调递增，故()()321933326347042h x h ≤=⨯-⨯+⨯-<，故110n n a a +-+<，即11n n a a +<-，假设存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，取[]14m M =-+，其中[]1M M M -<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +<-，所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a -+-+<-<-<- ，上式相加得，[][]()14333M a a M M M -+<--+≤+-=，则[]14m M a a M +=<，与n a M >恒成立矛盾，故A 错误；对于B ，因为15a =，当1n =时，156a =<，()()33211166566644a a =-+=⨯-+<，假设当n k =时，6k a <，当1n k =+时，因为6k a <，所以60k a -<，则()360k a -<，所以()3116664k k a a +=-+<，又当1n =时，()()332111615610445a a =-+=⨯+-->，即25a >，假设当n k =时，5k a ≥，当1n k =+时，因为5k a ≥，所以61k a -≥-，则()361k a -≥-，所以()3116654k k a a +=-+≥，综上：56n a ≤<，因为在()4,6上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，此时，取6M =，满足题意，故B 正确；对于C ，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，注意到当17a =时，()3216617644a =-+=+，3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+-⎭⎭⎛= ⎝，143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时，)1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当2n =与3n =时，2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()1312164nn a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，假设当n k =时，)1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当1n k =+时，所以()())13113131122311666116664444k k k k a a +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=+=，综上：()()13121624n n a n - =⎛⎫+≥⎪⎝⎭，易知310n->，则)13121014n -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故()()()1312166,724n n a n -⎛⎪=⎫+∈≥ ⎝⎭，所以(],67n a ∈，因为在()6,8上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列，假设存在常数6M >，使得n a M >恒成立，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+，其中[]*00001,N m m m m -<≤∈，则()0142log 6133m mM ->=+，故()()14log 61312m M ->-，所以()1312614m M -⎛⎫ ⎪<⎝-⎭，即)1312164m M -⎛⎫+ ⎪⎭<⎝，所以m a M <，故n a M >不恒成立，故C 错误；对于D ，因为19a =，当1n =时，()32116427634a a ==->-，则29a >，假设当n k =时，3k a ≥，当1n k =+时，()()331116936644k k a a +≥=-->-，则19k a +>，综上：9n a ≥，因为在()8,+∞上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +--=-+--=-+-，令()()32192649942g x x x x x =-+-≥，则()239264g x x x '=-+，因为()g x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯，所以()g x '在[)9,+∞上单调递增，故()()2399992604g x g ≥=⨯-⨯+'>'，所以()()321999926949042g x g ≥=⨯-⨯+⨯->，故110n n a a +-->，即11n n a a +>+，假设存在常数0M >，使得n a M <恒成立，取[]21m M =+，其中[]1M M M -<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +>+，所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+ ，上式相加得，[][]1191M a a M M M +>+>+->，则[]21m M a a M +=>，与n a M <恒成立矛盾，故D 错误. 故选：B.【名师点评】关键名师点评：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④ 【详细分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【答案详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得2332a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错；当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=，所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.【名师点评】关键点名师点评：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.3．（2022∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（）A ．100521002a <-，累加可求出11(2)3n n a >+，得出1001003a <，再利用11111111333132n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+ ⎪-+⎝⎭-+，累加可求出()111111113323nn a n ⎛⎫-<-++++ ⎪⎝⎭ ，再次放缩可得出10051002a >．【答案详解】∵11a =，易得()220,13a =∈，依次类推可得()0,1n a ∈ 由题意，1113n n n a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()1131133n n n n na a a a a +==+--，∴1111133n n n a a a +-=>-，即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->≥，累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+≥， ∴()3,22n a n n <≥+，即100134a <，100100100334a <<, 又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+≥ ⎪-+⎝⎭-+， ∴211111132a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，321111133a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，431111134a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，…，111111,(3)3n n n a a n -⎛⎫-<+≥ ⎪⎝⎭，累加可得()11111111,(3)3323n n n a n ⎛⎫-<-++++≥ ⎪⎝⎭ ，∴100111111111333349639323100326a ⎛⎫⎛⎫-<++++<+⨯+⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即100140a <，∴100140a >，即10051002a >；综上：100510032a <<．故选：B ．【名师点评】关键点名师点评：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩. 4．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S <，利用倒数法得到21111124n n a a +⎛⎫==+-⎪⎪⎭，再放缩可得12<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由1n a +=113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【答案详解】因为)111,N n a a n *+==∈，所以0n a >，10032S >．由211111124n n n a a a ++⎛⎫=⇒=+=+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<⇒<⎪⎪⎭12<()111,222n n n -+<+=≥，当1n =112+=，12n +≤，当且仅当1n =时等号成立，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++ 113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得()6,2(1)(2)n a n n n ≤≥++，且16(11)(12)a =++，则6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<．故选：A ．【名师点评】的不等关系，再由累加法可求得24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．5．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是．【答案】10【详细分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出．【答案详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===．即312313610S a a a =++=++=．故答案为：10.【名师点评】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = .【答案】7【详细分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【答案详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++135********()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.【名师点评】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.7．（2019∙浙江∙高考真题）设,a b R ∈，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【答案】A【解析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确.【答案详解】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥ ，且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确；选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =，即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =，则101102a =<，故选项B 错误；选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为=1x -或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为12x =，同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >，则选项D 错误. 故选：A.【名师点评】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.考点03 等差数列及其前n 项和一、单选题 1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（） A ．72B ．73 C ．13-D ．711-【答案】B【详细分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【答案详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（） A ．2-B ．73C ．1D ．29【答案】D【详细分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【答案详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=. 故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（） A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【详细分析】方法一：根据题意直接求出等差数列{}n a 的公差和首项，再根据前n 项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式的性质即可解出．【答案详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选：C.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（） A ．－1B ．12-C ．0D ．12【答案】B【详细分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素详细分析、推理作答.【答案详解】依题意，等差数列{}n a 中，112π2π2π(1)()333n a a n n a =+-⋅=+-，显然函数12π2πcos[()]33y n a =+-的周期为3，而N n *∈，即cos n a 最多3个不同取值，又{cos |N }{,}n a n a b *∈=，则在123cos ,cos ,cos a a a 中，123cos cos cos a a a =≠或123cos cos cos a a a ≠=，于是有2πcos cos()3θθ=+，即有2π()2π,Z 3k k θθ++=∈，解得ππ,Z 3k k θ=-∈，所以Z k ∈，2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-.故选：B5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a nn n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件. 故选：C6．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.7．（2020∙浙江∙高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D【详细分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【答案详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++， ()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.【名师点评】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．8．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则。

2019年高考数学文科复习第十二章推理与证明

理进行的,只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确
的,其结论一定是正确的,一定要注意推理过程的正确性与完备性.
例1 (2017河南郑州二模,6)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5 条对角线,以此类推,凸13边形对角线的条数为 ( B ) A.42 C.143 解题导引 B.65 D.169
综合法又叫顺推证法,或者由因导果法,是数学中最常用的证明方法. 2.分析法.在证明过程中,从结论出发的每一步所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已知或已被证明了的事实,这个倒推的
证明方法就是分析法.
例2 (2016浙江,20,15分)设函数f(x)=x3+ ,x∈[0,1].证明:
1 1 x
(1)f(x)≥1-x+x2;
(2) < f (x )≤ .
3 4 3 2
证明
1 ( x) 4 1 x 4 (1)因为1-x+x -x = = , 1 ( x) 1 x
2 3
1 x4 1 1 由于x∈[0,1],有 ≤ ,即1-x+x2-x3≤ , 1 x x 1 x 1
题设矛盾(或与已知的定义、公理或定理相矛盾,或自相矛盾),得出原结
论的反面不正确,从而肯定原结论是正确的,这种间接证明的方法叫做反证法.
方法 1合情推理与演绎推理
方法技巧
1.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时, 要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质. 3.演绎推理是由一般到特殊的推理,数学的证明过程主要是通过演绎推

高考数学推理与证明

1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b，欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2，即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2，化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2，那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案 C解析演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案 B解析如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。

2019年人教A版高考数学(理)一轮真题训练第十二章推理与证明、算法、复数 12-2及答案

真题演练集训1．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的字不是1”，丙说：“我的卡片上的字之和不是5”，则甲的卡片上的字是________．答案：1和3解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．2．已知q和n均为给定的大于1的自然．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.(1)解：当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1,2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝q－－q n－11－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.课外拓展阅读反证法应用举例反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，考查方向主要有以下几个方面：一证明否定性命题已知列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求列{a n }的通项公式；(2)求证：列{a n }中不存在三项按原顺序成等差列．(1) 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比列，所以a n ＝12n －1.(2) 假设存在三项按原顺序成等差列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*)又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶，右边是奇，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．用反证法证明问题的一般步骤二证明存在性问题若f (x )的定义域为，值域为(a －2)，使函h (x )＝1x ＋2是区间上的“四维光军”函？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明由． (1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间在对称轴的右边，所以函在区间上单调递增．由“四维光军”函的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3.(2)假设函h (x )＝1x ＋2在区间(a >－2)上是“四维光军”函，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝b hb ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b 1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．利用反证法进行证明时，一定要对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．三证明唯一性命题已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1. (1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明由．(1) 由已知，得SA 2＋AD 2＝SD 2， ∴SA ⊥AD .同SA ⊥AB . 又AB ∩AD ＝A ， ∴SA ⊥平面ABCD .(2) 假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD ， ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法证，反证法关键是在正确的推下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公、定矛盾，与事实矛盾等．。

2019年高考数学文真题分类解析(共16部分,138页)

第一章集合与常用逻辑用语1.【2019高考新课标Ⅰ，文2】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A IA. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2.【2019高考新课标Ⅱ，文1】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A. (–1，+∞) B. (–∞，2) C. (–1，2) D. ∅【答案】C 【解析】【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．【详解】由题知，(1,2)A B =-I ，故选C ．【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．3.【2019高考新课标Ⅲ，文1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =I （）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】21,x ≤∴Q 11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-I ，故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4.【2019高考北京卷，文1】已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A. （–1，1） B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)A B ⋃=+∞ ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.5.【2019高考天津卷，文1】设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =I UA. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D 【解析】【分析】先求A C I ，再求()A C B I U 。

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(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合)，若 dn = AnBn ， Sn 为 △An Bn Bn+1 的面积，则
A.{Sn} 是等差数列
{ } B. Sn2 是等差数列
C.{dn} 是等差数列
{ } D.
d
2 n
是等差数列
2 读万卷书行万里路
旗开得胜
5．（2014 北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有
B．对任意实数 a ， (2,1) ∉ A
C．当且仅当 a < 0 时， (2,1) ∉ A
D．当且仅当 a ≤ 3 时， (2,1) ∉ A 2
3．（2017 新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
2010-2018 年
一、选择题
1．(2018 浙江)已知 a1 ，a2 ，a3 ，a4 成等比数列，且 a1 + a2 + a3 + a4 = ln(a1 + a2 + a3 ) ．若 a1 > 1，则
1 读万卷书行万里路
A． a1 < a3 ， a2 < a4
②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于 x 轴对称，则它们的“伴随点”关于 y 轴对称；
2n +1
2n +1
2n +1
2n +1
12．（2016 年四川）在平面直角坐标系中，当 P( x, y) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为
P′(
x2
y +
y2
,
−x x2 + y2
)
，当
P
是原点时，定义
P
的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点 A 的“伴随点”是点 A′ ，则点 A′ 的“伴随点”是点 A ；
Sn > 12an+1 成立的 n 的最小值为
．
10．（2017 北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
A． f (x)
B． − f 读万卷书行万里路
二、填空题
旗开得胜
9．(2018 江苏)已知集合 A = {x | x = 2n −1, n ∈ N*} ， B = {x | x = 2n , n ∈ N*} ．将 A U B 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列 {an} ．记 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，则使得
7
7
7
73
(sin π )−2 + (sin 2π )−2 + (sin 3π )−2 + ⋅⋅⋅ + (sin 8π )−2 = 4 × 4 × 5 ；
9
9
9
93
4 读万卷书行万里路
旗开得胜 ……
照此规律，
(sin π )−2 + (sin 2π )−2 + (sin 3π )−2 + ⋅⋅⋅ + (sin 2nπ )−2 = _______．
11．（2016 年山东）观察下列等式：
(sin π )−2 + (sin 2π )−2 = 4 ×1× 2 ；
3
33
(sin π )−2 + (sin 2π )−2 + (sin 3π )−2 + (sin 4π )−2 = 4 × 2 × 3 ；
5
5
5
53
(sin π )−2 + (sin 2π )−2 + (sin 3π )−2 + ⋅⋅⋅ + (sin 6π )−2 = 4 × 3× 4 ；
A． 2 人
B． 3 人
C． 4 人
D． 5 人
6．（2014 山东）用反证法证明命题“设 a,b 为实数，则方程 x3 + ax + b = 0 至少有一个实
根”时，要做的假设是
A．方程 x3 + ax + b = 0 没有实根
B．方程 x3 + ax + b = 0 至多有一个实根
C．方程 x3 + ax + b = 0 至多有两个实根 D．方程 x3 + ax + b = 0 恰好有两个实根
7．（2011 江西）观察下列各式: 55 = 3125 ， 56 = 15 625 ， 57 = 78 125 ， ⋅⋅⋅ ，则 52011 的
末四位数字为
A．3125
B．5625
C．0625
D．8125
8．（2010 山东）观察 (x2 )′ = 2x ， (x4 )′ = 4x3 ， (cos x)' = − sin x ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (−x) = f (x) ，记 g(x) 为 f (x) 的导函数，则 g(−x) =
B． a1 > a3 ， a2 < a4
旗开得胜
C． a1 < a3 ， a2 > a4
D． a1 > a3 ， a2 > a4
2．(2018 北京)设集合 A = {(x, y) | x − y ≥1, ax + y > 4, x − ay ≤ 2}, 则
A．对任意实数 a ， (2,1) ∈ A
专题十二推理与证明
旗开得胜
第三十二讲推理与证明
2019 年
1.（2019 全国 II 文 5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．乙可以知道两人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
4．（2016 年浙江）如图，点列{An},{Bn} 分别在某锐角的两边上，
且 An An+1 = An+1 An+2 , An ≠ An+2 , n ∈ N* ， Bn Bn+1 = Bn+1Bn+2 , Bn ≠ Bn+2 , n ∈ N* ．