解析几何范围最值问题(教师)解答

讲 解析几何范围最值问题

解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、 范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适 变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据 问题的实际情况灵活处理 一、几何法求最值

【例1】 抛物线的顶点 0在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上，过点 M(0，- 2)作直线I 与抛物线相交于 A , B 两点，且满足+=

(— 4,— 12).

(1)求直线I 和抛物线的方程;

(2)当抛物线上一动点 P 从点A 运动到点B 时，求△ ABP 面积的最大值.

［满分解答］(1)根据题意可设直线I 的方程为y = kx —2，抛物线方程为x 2= — 2py(p > 0).

y = kx — 2, 2

由 5 2

得 X + 2pkx — 4p = 0

X = —

2P y ,

设点 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),贝 U X 1 + X 2= — 2pk ,力十 y 2= k(x 1 + X 2) — 4 =— 2p k 2— 4. 所以+= (— 4,— 12),所以—2Pk =

—4,

-2p k 2— 4 =— 12,

解得P = 1 , 故直线I 的方程为y = 2x — 2,抛物线方程为x 2=— 2y.

k = 2. ⑵设P (X 0, y o )，依题意，知当抛物线过点

P 的切线与I 平行时，△ ABP 的面积最大.

对 y = — 1x 2 求导，得 y '=— X ，所以一X o = 2, 即卩 X o =— 2, y o = — ^x 0=— 2,即 P( — 2,— 2). 此时点P 到直线I 的距离d =書+简口峙=呼 [y = 2x — 2, 2

由 b 一 2y ,得 x + 4x -4= 0，则 x1 + x2=- 4, x1x2=-

4,

|AB|=(1 + k 2 ? p (X 1 + X zf — 4X 1X 2 = 5 + 22 ?寸(—钉-4 ?(-4尸 4^10. 于是，△ ABP 面积的最大值为2x 4 锁 X 4-^5= 8返.

二、函数法求最值

2 2

【示例】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C :字+器=1(a >b >0)的离心率e = 点Q(0,2)的距离的最大值为 3.

(1)求椭圆C 的方程;

n)，使得直线I : mx + ny = 1与圆0: x 2+ y 2= 1相交于不同的两点 A 、B , M 的坐标及对应的^ OAB 的面积；若不存在，请说明理由.

2 2

a={3b ,椭圆 C :和 + 器=1,即卩 X 2+ 3y 2= 3b 2,

(2)在椭圆C 上，是否存在点 M(m , <△ OAB 的面积最大？若存在，求出点

a

^=

(1)由 e = a =

，且椭圆C 上的点到

设P （x , y ）为C 上任意一点，贝y PQ|=

+ (y - 2 2 = 7 — 2(y + 1 行 3b 2 + 6,

—b w y w b.

2

1，即n 2= 1— y ，—肩w mw J 3.由题意可得S

⑵法一 假设存在这样的点 M （m , n ）满足题意，则有 y + n 2

= △ AOB = 1|OA| ? |OB|sin /AOB =茹n /AOB w 2,

当/AOB = 90。时取等号，这时△ AOB 为等腰直角三角形, 此时圆心（0,0）到直线mx + ny = 1的距离为弩,

警，得m 2 + n 2= 2,又y + n 2= 1,解得m 2 = 3 n 2 = 1,即存点M 的坐标为徑，警）徑，—普）

丿「普,—￥）满足题意，且△ AOB 的最大面积为1.（12分）

此时? = X 1X 2 + y 1y 2= 0,又 y 1y 2=1—

2

1 — mx 2= 3 — 3m(X 1 + X

2 + 3m X 1X 2 n 3— m

2

3— 3m(x 1 + X 2)+ (3 + 2m ) ? X 1X 2= 0,

m =±当n =± =±￥，- M 点的坐标为俘,豹俘,-密「当,密（-当，-豹

使得S ^AOB 取得最大值2

老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用 函数方法求

出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法.函数法是研究数学问题

2

3— 3mfx 1 + X 2 + 3m X 1X 2 _ 卄

? X 1X 2 + ---- X -------- 2 ----------- = 0，即

法二 假设存在这样的点 2 2 M （m , n ）满足题意，则有 号+ n 2= 1,即n 2= 1 —号, —V 3w m W 頁，又设 A （x 1，y”、 B(X 2, y 2),

[mx + ny = 1

由[X 2+ y 2

= 1

2 消去 y 得(m 2+ n 2)x 2 — 2mx + 1 — n 2= 0,①把 n 2= 1—号代入①整理得(

3 + 2m 2)x 2 — 6mx 3 + m 2 = 0, 贝y A = 8m 2(3 — m 2

) >0, f _ 6m G + X2 = 3+ 2m 2,

1 2

I m

L 3+ 2m 1 1

②而 S AAOB = 2|OA|- |OB|sin / AOB = ^sin / AOB ,

1

当/AOB = 90 ° , $△ AOB 取得最大值2，

把②代入上式整理得 2m 4— 9 m 2 + 9= 0, 解得m 2= 3或m 2

= 3（舍

去）,

若b V 1,则— b >— 1,当 y =— b 时, b W - 1,当 y =— 1 时, 2

???椭圆C 的方程为X + y 2 3= 1.

3

若b > 1,则―

|P Q|max =寸—2( — b + 1f + 3b 2+ 6 = 3, |PQ|max = Q -2( - 1 + 1 行 3b 2 + 6 = 3,

又b >0，得b = 1（舍去）,

得 b = 1.

m 2 贝贝

1

则 -並迓（ .2 , 2

的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切 注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关 注.

三. 定义法求最值

在求解有关圆锥曲线的最值问题时

，通常是利用函数的观点，建立函数表达式进行求解。 但是，一味的强

调函数观点，有时会使思维陷入僵局。这时，若能考虑用圆锥曲线的定义来求解 ，问题就显得特别的简单。

例1、如图，M 是以A B 为焦点的双曲线x 2 -y 2 =2右支上任一点，若点 M 到点C (3, 1)与点B 的距离之和

[\/26-272,726 +272)

为S,则 S 的取值范围是(

)

(726+血, +oC

、卜26-2血，咼

分析：此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。解法如下: 连结MA 由双曲线的第一定义可得：

|MB |+|MC | =|MA |-2a +|MC |

MC |-2J 5 >|AC | -2J 2 = J 26-2J 2当且仅当A 、M C 三点共线时取得最小值。如果此题就到

此为止，未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究：

(1)如果M 点在左支上，则点 M 到点C ( 3, 1)与点B 的距离之和为 S,贝y S 的取值范围是多少?

2 2

<1 、

⑵如果M 是以A 、B 为焦点的椭圆Vi-上任一点，若点M 到点%，1〕与点B 的距离之差为

S,则

的最大值是多少?

X 2 y 2 (3)如果M 是以A B 为焦点的椭圆

丄

4 3

=1上任一点，若点M 到点C ^-，/|与点B 的距离之和为

12丿

S,则

的取值范围是多少?

，当且仅当 A 、M C 三点共线时取得最大、最小值，如 对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了。

2 2

1、如图，椭圆C 的方程为丫^+爲=1(a>b>o )，A 是椭圆C

的短轴左顶点，过 A 点作斜率为一1的直线交

a b

9

椭圆于B 点，点P ( 1, 0),且BP// y 轴，△APB 的面积为工.

2

C 的方程；(2)在直线AB 上求一点M 使得以椭圆C 的焦点为焦点，且过 M 的双曲线E 的实轴最 E 的方程.

此题若采用函数观点，问题(2)将变得复杂化！若能利用双曲

线的第一定义，则解答就容解易

2

得亠12，所求椭圆方程为12+24“

(2)设椭圆C 的焦点为F 1,

F 2,则易知F i

(0, -

242 ) F 2 (0, 242 ),

直线AB 的方程为：x +y +2= 0,因为M 在双曲线E 上，要双曲线E 的实轴最大, 只须II MF I - I MF II 最大，设F 1 (0,- 2^2 )关于直线 AB 的对称点为

F 1' ( 2^2 — 2，- 2)，则直线F 2 F 1'与直线的交点为所求 M 因为F 2F 1'的方程为：y+(3 + 2丿2) x-2丿2 = 0 ,

联立卩+(3+2血)x-2应=0得M ( 1T ) X + y + 2=0

上图所示。

(1)求椭圆 长，并求此双曲线 分析：同样, 得多了。

简解：(1) AN PB 故 ??? P ( 1,0 ),

1

9

S 必pB = —AP ”PB

,又/ PAB= 45°，

AP = BP = 3. A (-2,0 )，B (1, -3)

b=2，将B (1 , - 3)代入椭圆得:

p b =2 &詈1

又 2a = II MF I - I MF II = I I M F 1 ' |-| MF 2 || <| F 2F 1 '| =J （2V 2—2-o ）2+（—2—2逅）2 = 276，故 a max

=

2 2

故所求双曲线方程为：_ L = 1

6 2

2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线

2

2

其一个焦点，以双曲线 1_二=1的焦点Q 为顶点。

16 9

(1)求椭圆的标准方程；

丁 AM =（x o +1,y o ） , BM =（x o —1,y o ），二 AM

上x 2』Xo+8上（X o 』）2+型 25

5 25 34 34 ----- ------ -------------------------- ------- 191

寫o

/. AM ■丽的取值范围是I 191,24］。

34

3、一动圆与圆

：(x —1)2 + y 2 =1 外切，与圆 O 2 ：(X +1)2 + y 2 =9 内切.

(I)求动圆圆心 M 的轨迹L 的方程.

(n )设过圆心O 的直线l ：x= my +1与轨迹L 相交于A 、B 两点，请问 MBO 2 (O 为圆O 的圆心)的内切圆 N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 不存在，请说明理由.

解：(1)设动圆圆心为 M(x , y)，半径为R.

由题意，得 I MO ,戶 R +1,1 MO 2 1= 3 - R, /MO , n MO 2 卜 4 由椭圆定义知 M 在以O1, O2为焦点的椭圆上，且 a=2, c=1,

y 2 =16x 的焦点p 为

⑵ 已知点A(—1,0), B(1,0)，且

C, D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点

M 是线段CD 上的动点，求 AM ” BM 的取

值范围。

解：(1)抛物线y 2 =16x 的焦点

2 2

P 为(4 , o)，双曲线冷—羡=1的焦点Q 为(5 , o)

16 9

???可设椭圆的标准方程为

2

b ^ =1，由已知有a>b>o ,且a=5, c=4「. b 2 = 25 - 16 = 9，?椭圆的标准方程

2 2

为务+訂

⑵设M (X o ，y o )，线段

点M 是线段CD 上，二y o = x y

CD 方程为一+工=1，即y

5 3

-3X o +3（o

5

3

=-上 x + 3（o

5

3

将 y o = —xo

5 + 3（o

=AM EM

l 的方程，若

2

「.b 2二4—1-3. ???动圆圆心M 的轨迹L 的方程为宁+存J ⑵如图，设AABO 2内切圆N 的半径为r ，与直线I 的切点为C,则三角形AAB02的面积

1 1

S 辱=2(|AB|+|AO 2|+|BO 2|)r =2[(|AO 1 I+IAO 2 |)+(| BO 1 I+IBO 2 |)]r =2ar=4r

当S 缈°2最大时，r 也最大， MBO 2内切圆的面积也最大, 设 A(x i ,y i )、B(X 2,y 2)(y i >0,y 2 cO),

1 1

则 S 缈02 HjOQi Wi l+2l°i °2l 'Iy 2l=y i —y 2，

『X = my +1

，得(3m 2 +4)y 2 +6my-9 = 0, =1

12 f(t)在［1

，?上单调递增，有f ⑴“1'4，W O '!-3，

3

即当t=1 , m=0时，4r 有最大值3,得r ma ^-，这时所求内切圆的面积为

4 _

9 ???存在直线I : X =1, AABO ?的内切圆M 的面积最大值为一兀.

16

3 — m

解得

yi=-3m +6j 齐

3m 2

+4

-3m -6 J m ^M

,y2 =

3m 2+4

S 必B°

2

12J m 2 +1 3m 2+4

令 t = J m 2 +1，贝y t > 1,且 2.2

m=t -1 ,

有S 必BO 2

12t

12t

3(t 2 -1)+4

3t

+1

3t J

t

12 1

，令 f (t) =3t +[，则

f'(t)=3—令，

(8 分)

当 t > 1 时，f'(t )AO , 9

一兀,

16