推荐2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(222)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(203)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（203）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.平面上m 个点无三点共线，其凸包为n 边形，适当连线可得一个由三角形组成的网格区域，记其中不重叠的三角形个数为(,),(2016,30)f m n f =则 。
2.任取平面区域D ：121,21x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩内一点(,)A x y ，定点(,)B a b 满足1OA OB ≤，则a b +的最大值为 。
3.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点F 作直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且090QBF ∠=。
则AF BF -= .4.如图1，在正方体''''ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为线段''BB AB AC 、、上的动点，给出以下四个命题：①对任意点E ，存在点F ，使得'D F CE ⊥;②对任意点F ，存在点E ，使得'CE D F ⊥③对任意点E ，存在点G ，使得'D G CE ⊥④对任意点G ，存在点E ，使得'CE D G ⊥，从中任选两个命题，其中恰有一真一假的概率P= 。
5.任取203παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，，均有 224cos 2cos cos 4cos 3cos 3cos 0k ααββαβ++---<，则k 的最小值为 。
6.不等式65432353210x x x x x +++--<的解集为 。
7.实数x y z 、、满足1x y z ++=，且2223x y z ++=.则xyz 的取值范围是 。
8.在平面区域02,(,)02y x M x y x ⎧≤≤-⎧⎫⎪=⎨⎨⎬≤≤⎩⎭⎪⎩内任取k 个点，均能将这个k 个点分成A 、B 两组，使得A 组所有的横坐标之和不大于6，而B 组所有点的纵坐标之和不大于6，则正整数k 的最大值为 。
高中数学奥林匹克竞赛训练题
数学奥林匹克高中训练题（27）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题57)若()f x 是R 上的减函数，且()f x 图像经过点(0,3)A 和点(3,1)B -，则不等式(1)12f x +-<的解集为(D)．(A)(,3)-∞ (B)(,2)-∞ (C)(0,3) (D) (1,2)-2．(训练题57)若函数2()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线8x π=-对称，则a 的值等于(C)．或 (B)1或1- (C)1或2- (D)1-或2 3．(训练题57)设椭圆的方程为221,(0,1)3x y A +=-为短轴的一个端点，,M N 为椭圆上相异两点，若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是(C)．(A)(1,0]- (B)[0,1] (C)(1,1)- (D)[1,1]-4．(训练题57)()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x 满足(1)()f x f x +=-．已知当(2,3]x ∈时，()f x x =．那么，当(2,0]x ∈-时，()f x 的表达式为(C)．(A)()4f x x =+ (B)4,(2,1]()2,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨-+∈-⎩(C)4,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨--∈-⎩ (D)1,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x --∈--⎧=⎨--∈-⎩ 5．(训练题57)已知1111ABCD A B C D -是边长为１的正方体，P 为线段1AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上动点．则1PC PQ +的最小值为(A)．(A)12+ (C)2 (D)122+ 6．(训练题57)已知在数列{}n a 中，11,n a S =为前n 项的和，且满足2(1,2,)n n S n a n ==．则n a 的表达式为(D)．(A)1(2)2n n ≥+ (B)1(3)(1)n n n ≥- (C)1(4)2(1)n n ≥+ (D)2(1)n n + 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题57)在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，且13AD BC =．则AC AB AB AC +的最大值为2．(训练题57)已知函数1a x y x a -=--的反函数图像关于点(1,4)-成中心对称．则实数a 的值 3 ．3．(训练题57)集合11{(1)},{|}22A x a xB x x =>+=-<，当A B ⊆时，a4．(训练题57)已知线段//AD 平面α，且到平面α的距离等于８，点B 是平面α内的一动点，且满足10AB =．若21AD =，则点D 与B 距离的最小值为 17 ．5．(训练题57)已知多项式21x x --整除多项式541ax bx ++．则实数a = 3 ，b =5-．6．(训练题57)设[2002]S =++++，其中整数。
推荐-数学奥林匹克高中训练题(2018) 精品
数学奥林匹克高中训练题（18）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题18)函数arccos (11)y x x =-≤≤的图像关于y 轴的对称图形记为1c ，而1c 关于直线x y =对称的图形记为2c ，则2c 的解析式是(C)．(A)cos (0)y x x π=≤≤ (B)arcsin (11)y x x =-≤≤(C)cos (0)y x x π=-≤≤ (D)以上答案都不对2．(训练题18)使得方程ab k b a ⋅=+22有正整数解),(b a 的正整数k 的个数是(B)．(A)0个 (B)1 个 (C)不止1个，但只有有限多个 (D)无穷多个3．(训练题18) 如图，在竖直坐标平面xoy 中，直线l 过坐标原点O ，且l 在第Ⅰ和第Ⅲ象限内，l 与x 轴的夹角为α)900( <<α．有一质点(不计质点的大小)在y轴上O 点正上方的位置A 处，该质点从静止状态开始在重力的作用下，径滑行到l 上的B 点处终止，记θ=∠BAO ，则当质点下滑到l 短时，θ等于(C)．(A) 0 (B)4α (C)2α (D)α 4．(训练题18)设21243(1,2,3,)n n n a n ++=+= ，P 是能整除 321,,a a a 中无穷多项的最小素数，q 是能整除 321,,a a a 中每一项的最小素数，则q p ⋅是(D)．(A)75⨯ (B)137⨯ (C)1313⨯ (D)以上答案都不对5．(训练题18)在复平面上，曲线14=+z z 与圆周1=z 的交点的个数是(A)．(A)0 (B)1 (C)2 (D)36．(训练题18)如图，半径为1的半圆周以O 为圆心，以AB 为直径，动点C 在整个圆周上移动，延长AC 到D ，使得),0(为常数k k k CBCD >=．则D 点所描出的曲线的长度是(D)． (A)π⋅+)1(k (B) π⋅+)1(k (C) π⋅+)1(2k (D) π⋅+)1(2k二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题18)方程x x cos sin =在闭区间[]10,10ππ-内的解的个数是 20 ．2．(训练题18)[]x 是表示不超过x的最大整数，则991k =∑= 615 ．3．(训练题18)两个半径为1的球面相外切，且它们都与半径为1的圆柱面相内切，另一小球面与这两个球面都相外切，且与圆柱面相内切.过小球的球心和一个大球的球心的平面与圆柱面相交成一个椭圆，则该椭圆的离心率e 的最大可能值是 45 ． 4．(训练题18)在1~1000范围内有 500 个正整数n ，使得11993+n 与11994+n 互素．5．(训练题18)集合C B A ,,(不必两两相异)的并集{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A B C = ，则在此条件下集合的有序三元组),,(C B A 的个数是 107 (答案写成b a 的形式)．6．(训练题18)动点),(y x P 从坐标原点O 出发沿着抛物线2x y =移动到点)49,23(A ，则在移动过程中PA PO +最大时，P 点的横坐标x = 12． 三、(训练题18)(本题满分20分)计算：11(1)2lim 24(1)21i in i i i n i -→∞=-⨯+--∑． (13) 四、(训练题18)(本题满分20分)已知n a a a a 321,,是n 个正实数，b a 和是正实数，满足12n n a a a a = ． 求证：n n b a b a b a b a )()()()(21+≥+⋅⋅+⋅+ ．五、(训练题18)(本题满分20分)如图，在竖直坐标平面xoy 中，从坐标原点O 出发以同一初速度0v 和不同的发射角(即发射方向与x 轴的正向之间的夹角))2,0(παπαα≠≤≤射出的质点(不计质点的大小)，在重力(设重力加速度为g )的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族(即抛物线的集合)．若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点．证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求出这个椭圆弧的方程(包括变量的取值范围)，再画出它的草图. 注：抛物线)0(2≠++=c c bx ax y 在其上的点),(y x 处的切线的斜率为b ax +2． 第二试y x0v v O α0v一、(训练题18)(本题满分35分)已知凸四边形ABCD 内接于圆O ，对角线BD AC ,相交于P ，过P 分别作直线DA CD BC AB ,,,的垂线，垂足分别是,,,E F G H .求证：FG BD EH ,,三直线共点或互相平行．二、(训练题18)(本题满分35分)设集合},3,2,1{n S =，若S 的非空子集X 中奇数的个数大于偶数的个数，则称X 是“好的”.试求S 的所有“好的”子集的个数（答案写成最简结果）．三、(训练题18)(本题满分35分)设集合}1000,999,102,101,100{ =S ，1231123{,,,,,n n n A a a a a a a a a a -= 是正数，且321211}n a a a q a a a ====> ．试求交集S A 的元素个数的最大可能值．。
【拔高教育】2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(174)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（174）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为4，P Q R 、、分别是棱1AB AD AA 、、上的点，1,2,3AP AQ AR ===.则四面体1C PQR 的体积为.2. 从1,2,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种.3. 已知集合，{}230123777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯其中，{}1,2,,6(0,1,2,3)i a i ∈=.若正整数M n A ∈、，且2014()m n m n +=>则符合条件的正整数数对(,)m n 有个.4. 如图2，设P Q 、分别是两个同心圆（半径分别为6、4）上的动点.当P Q 、分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为.5. 函数442222(,)2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为. 6. 计算：999999100x y x x y z x x y x y z C C C ------===⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑.7. 在三棱锥中O ABC -，已知2OA OB OC AC AB =====，且OB AC ⊥.以O 为球心、1为半径作一个球.则三棱锥O ABC -不在球内部的部分体积为.8. 抛一颗色子三次，所得点数分别为m n p 、、.则函数322132n y mx x px =--+上(]1,+∞为增函数的概率为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知椭圆221364x y +=.试求实数数对(,)a b ，满足对任意斜率为a 的直线a l 与椭圆的交点A B 、及直线x b =与椭圆上半部分的交点P 可组成PAB ∆，均有PAB ∆的内心在直线x b =上.10.（20分）黑板上写有1,2,,2014这2014个正整数.现进行如下操作：第一步划去最前面的两个数12、，并在2014后面写上这两数的和3；第二步划去最前面的三个数345、、，并在最后面写上这三数的和12；如此继续下去.当t 第步时，黑板上的数不够1t +个，停止操作.求在黑板上出现过的不同数的个数及这些不同数的和（若一个数多次出现，只计算一次）.11.（20分）擎天柱为了防止魔方落入霸天虎手中，打算用激光刀将其销毁.擎天柱使用的方法是：每次切割可将魔方分成两个体积之比为2:7的六面体，每个六面体恰包含魔方的一个面，且任两次操作得到的截面在魔方中均有交点.而魔方的属性决定每次切割只能暂时将它割开，而无法分离，且只要它有18的小正方体区域始终未被割到，就无法被销毁.证明：无论擎天柱切割多少次，均无法销毁魔方.加试⊥，AB与O的半径OC交于一、（40分）如图3，AB为O的一条切线，满足BD AO∥与CK交于点L.证明：当且仅当CK与O相切点E，K为线段AE上一点，作AL OK=.时，CK KL二、（40分）已知}1(1,2,,2013)i x i ∈=，令 122320122013S x x x x x x =+++.求S 能取到的不同的整数值的个数.三、（50分）已知正整数n 满足2014,(,2014)1n n >=.令{}{}{}1,(,)1,1,1n n n n n n n A k k n n k B k A k A C k A k A =∈≤≤==∈+∉=∈-∉N .对任意的n k A ∈，记n k k A S n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，A 表示集合中元素的个数.证明：（1）()()n nk n k k n k k B k C S S S S --∈∈-=--∏∏； （2）()(mod )n n B k n k n k C S S A n -∈-≡∏.四、（50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（编号依次为1,2,,2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第1站（对应2014年）.为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠.出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠一次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点.试求不同的停靠方式的种数.。
江西省上饶县中学2017_2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)(无答案)第一试一、填空题1函数f(x}=(兀-兀3)(1-6〒+〒)的值域为。
(1 + x2)4 ------------------2.设复数ZH1,Z“ =1,则z + z3 + z4 + z5 + z9= _____________________ o3.设x、y、z 为正整数，集合A=^3(x- y)(y- z)(z- 2 2 * , B={(x-刃‘+(y-z)‘+(z-x)',x+y + + z*。
若A二B,则x3 4-y3 4-z3 = _______2 24.设P为椭圆缶+ * = l(a〉b〉O)上任意一点，两焦点为斤(一。
,0),恥,0),卩片、PF/*别与椭圆交于点A、B,若/、戻、疋成等差数列，则旦1 + 竺.=AF}\ \BF25.有六根细棒，长度依次为3、2血、2、2、2、2,用它们搭成三棱锥。
则其屮两根较长的棱所在的直线所成角的余弦值为_________ 。
6.设兀、ywR+，则函数/(x, y) = yjx2 -xy + y2 + \/x2 -9x + 27 + ^/y2 -15^ + 75 的最小值为__________ 。
7.设UD，…,D“为RtAABC的斜边BC ±的2/? /(> 个点，记ADt = at(z = 1,2,• • •, In +1),满足= £>£>+1(z = 1,2,• • •, 2n, D o =B, D2z/+1 = C),则sine sin6Z3---sin6Z2/;+1_________________ Qsincr2 sin 也…sin 纭8. _________________________________________________________ 三位数dbc满足ahc = a + h2+c3,则满足条件的三位数dbc共有___________________________ 个。
【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】
奥林匹克数学竞赛高中训练题集
目 录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） .............................................................................................. 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ...................................................................................................
推荐2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(175)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（175）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知I 是ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===.若AI xAB yAC =+，则x y +=.2. 已知函数2()23f x x x =-+.若当12x <<时，不等式()2f x a -≥的解集是空集，则实数a 的取值范围是.3. 若a b c 、、成等比数列，log log log c b a a c b 、、成等差数列，则该等差数列的公差为.4. 已知双曲线22221(0)x y a b x b-=>、的两个焦点分别为(1,0),(1,0)A B -，过点B 的直线l 与该双曲线的右去交于M N 、两点，且AMN ∆是以N 为直角顶点的等腰直角三角形.则该双曲线的实轴长为.5. 已知函数()(sin cos )x f x e x x =+，其中，20112013,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线，令各切点点的横坐标构成数列{}n x .则数列{}n x 的所有项之和S 的值为.6. 如图1，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在R t A B C ∆中，1,2,BC AC AB ===该直角三角形的空间做符合以下条件的自由运动：①A l ∈，②C α∈.则B O 、两点间的最大距离为.7. 集合{}2,4,,2014A =，B 是集合A 的任意非空子集，i j a a 、是集合B 中任意两个元素，以i j a a 、为边长的等腰三角形有且只有一个.则集合B 中元素个数的最大值为.8.已知实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根.则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为.二、解答题（共56分）9.（16分）当0x ≥时，求函数2()2(1)f x x x a =+--的最小值()g a 的表达式.10. （20分）已知数列{}n a 满足1241411,,0,1()n n n n a a a a a n -++====∈Z .（1）是否存在正整数T ，使得对任意的n +∈Z ，有n T n a a +=？（2）设122101010n n a a a S =++++，问：S 是否为有理数？说明理由.11. （20分）设点(2,0)A -和22:4O x y +=，AB 是O 的直径，从左到右M O N 、、依次是AB 的四等分点，P （异于A B 、）是O 上的动点，PD AB ⊥于点D ，PE ED λ=，直线PA 与BE 交于点C ，CM CN +为定值.（1）求λ的值及点C 的轨迹曲线E 的方程；（2）若点Q R 、是曲线E 上不同的两点，且PQ PR 、与曲线E 相切，求OQR ∆面。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(212)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（212）（无答案）第一试一、填空题1.已知圆心均在直线1y x =-上的两圆12O O 、交于A 、B 两点，(7,9)A -，则点B 的坐标为 。
2.方程组2220,2240x y x y xy x y -+-=⎧⎨++-=⎩①②的实数解(,)x y 为 。
3.已知点集{}(,)123x y x y T =++-≤，数集{}2(,)M x y x y =+∈T ，则集合M 中最大元素与最小元素之和为 。
4.当n 为正整数时，函数f 满足()1(3),(1)0,(1)1()1f n f n f f f n -+=≠≠±+且。
则(1)(202f f = 。
5.在直角坐标系xOy 中，有50条不同抛物线2y ax bx c =++和另50条不同抛物线2111x a y b y c =++，这100条抛物线把坐标平面最多分成 个部分。
6.已知三内角成等差数列的三角形的最长、最短两边之差为第三边上的最高的4倍，则最大内角比最小内角大 （用反三角函数表示）。
7.滨螺最初位于点（0，1），每天其从点(,)x y 爬到点（2，1），则第2017天其位于 。
8.如图1，P 为ABC ∆内一点，ABC ∆的周长、面积分别为l s 、，点P 到AB 、BC 、CA 的垂线段分别为PD 、PE 、PF ，且22AB BC CA l PD PE PF s++≤，则P 为ABC ∆的“五心”中的 心。
二、解答题9.已知x 为实数，求函数32()4sin sin 4sin 8f x x x x =+-+的值域。
10.已知P 过点(3,1)A ，且与22:(2)4M x y +-=及直线311:44l y x =--均相切。
求P 的半径。
11.设2018个实数122018,,,a a a …满足201820182110,2018i i i i aa ====∑∑。
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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（222）（无答案）
第一试
一、填空题
1.用{}x 表示实数x
的小数部分，已知20177)a =，则{}a a = 。
2.一个盒中有12件正品和3件次品，每次不放回地取出一件产品，在取得正品前已取出的次品数ξ的数学期望E ξ= 。
3.函数sin 22(sin cos )y x x x =-+的最大值为 。
4.若数字(1,2,,9)i a i =…满足985a a a <<<…且541a a a >>>…，则九位正整数981a a a …为一个“九位峰数”，例如134698752，那么，所有的九位峰数的个数为 。
5.已知方程20171x =的2017个根为1，201612201611,,,1k k
x x x x =+∑…，则= 。
6.
已知()f x =b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则满足条件的实数a 的值为 。
7.已知抛物线24y x =，其焦点为F ，一条过焦点F 、倾斜角为02πθθ⎛⎫<<
⎪⎝⎭的直线与抛物线交于A 、B 两点，AO （O 为坐标原点）与准线交于点'B ，BO 与准线交于点'A ，则四边形''ABB A
的面积为 。
8.对一个边长互不相等的凸2017边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝、紫四种颜色中的一种，但不允许相邻的边同色，则共有 种不同的染色方法。
二、解答题
9.已知数列{}n a
的通项公式为11()22n n an n Z +⎛⎫⎛⎛⎪=-∈ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭。
记1212n n n n n Sn C a C a C a =+++…，求所有的正整数n ，使得7n S
10.已知集合{}1,2,,13S =…，集合12,,,K A A A …为S 的子集，满足：
（1）6(1,2,,)i A i k ==… （2）2(1)i j A A i j k ≤≤<≤
11.如图1，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线21:(0)C y ax a =>和圆222:(1)5C x y ++=均相切，F 为抛物线C 1的焦点
（1）设A 为抛物线C 1上的一动点，以A 为切点作抛物线C 1的切线，与y 轴交于点B ，以FA 、FB 为邻边作FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；
（2）在（1）条件下，记点M 所在的定直线为2l ，直线2l 与y 轴交于点N ，MF 与抛物线C 1交
于P 、Q 两点,求NPQ ∆的面积S 的取值范围。
加试
一、定义数列{}n a ：21121,(1,2,)222
n n n n a a a n a a +===-+…证明：对每一个正整数(2)n n ≥均有12121111112222
n n n n n a a a a ----+
+++<…
二、已知n 为正整数，证明：21n
+不存在模8余7的素因子。
的内切圆I与边AB、BC切于D、E两点，DE与I的另一个交点为F，三、如图2，ABC
CF与AB交于点G，点H在线段CG上，且HG=CF，证明：若A、H、E三点共线，则AB=AC.
⊆，四、已知集合X为平面α内的一个有限点集，T为平面α内的一个正三角形，集合S X
S≤，若对任意满足条件的集合S，均可以被正三角形T的两个平移图形覆盖，证明：集且9
合X可以被正三角形T的两个平移图形覆盖。