运筹学08整数规划
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《运筹学》之整数规划
…
Bn
…
X1n
…
X2n
……
…
Xnn
指派问题：分配要求
分配 B1 B2 … Bn 工作数
A1
X11
X12
… X1n
∑X1j
A2
X21
X22
… X2n
∑X2j
…
…
…
……
…
An 人数 要求
Xn1 ∑Xi1 1
Xn2 ∑Xi2 1
… Xnn … ∑Xin …1
∑Xnj
要求 1 1
… 1
指派问题：模型
n n
X1 1
P1:(1,9/10 X2 2 X2 3 P12: (0,3) Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10。
指派问题
设有n 个人A1, A2, …An,要分派去做n件事B1, B2… Bn,要求每一件事都 必须有一个人去做,而 且不同的事由不同的人去做.已知每个人Ai做每 件事Bj的效率(如劳动工时或成本,或创造的价值 等)为Cij,问应如何进行指派(哪个人做哪件事),才 能使 工作效益最好(如工时最少,或成本最低,或 创造的价值最大)?
乙
19 23 22 18
丙
26 17 16 19
丁
19 21 23 17
指派问题：思考问题
1、人数比工作数多怎么处理？ 2、人数比工作数少，模型会怎
样变化? 3、计算机求解方法？
特殊约束的处理
➢互斥约束 ➢矛盾约束 在建立数学模型时，有时会遇到相 互矛盾的约束，模型只要求其中的 一个约束起作用。
12 8
x5
6 相机
2 4
x6
7 设备
4 10
x7
运筹学 整数规划
该问题的图解如下所示，
x2 4x1+40x2=140
(2.44,3.26)
2x1+3x2=14.66
3
2 (4,2)
1 2x1+3x2=14
0
1
2
3
4
x1
2x1+3x2=6
性质:
任何求最大目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最大目标函数值小 于或等于相应的线性规划的最大目标函 数值；
任何求最小目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最小目标函数值大 于或等于相应的线性规划的最小目标函 数值。
L2 : max z 3x1 2x2 2x1 3x2 14
s.t. x1 0.5x2 4.5 x2 3 x1 0
求得L1的最优解为（3.5，2），z=14.5。L2 的最优解为（2.5，3），z=13.5。均非原问题的
最优解，选取边界较大的子问题L1继续分枝。
L11 : max z 3x1 2x2
试确定集装箱中托运甲、乙货物的件数，使托运利润最大。
例2.某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量，可获利润以及托 运所受限制入下表所示。甲种货物至多托运4件， 问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 （立方英尺）
195 273 1365
每件重量 （百千克）
如果所有子问题的最优解均非原问题的可行 解，则选取其边界值最大（求极大时）或最小 （求极小时）的子问题进一步再细分成子问题求 解。
本例中L0的最优解均不是整数，从中任选一 个，设选x2进行分枝，分成两个子问题L1和L2：
L1 : max z 3x1 2x2 2x1 3x2 14
管理运筹学-整数规划
§3整数规划的应用(5)
五、投资问题 例8．某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%，但要求第一年投资最低金额 为4万元，第二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年未能回收本利128％，但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5 万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6 万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额 为最大? 解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额； 设yiA， yiB，是0—1变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、B投资，否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。 设yiC 是非负整数变量，并规定：2年投资C项目8万元时，取值为4； 2年投资C项目6万元时，取值为3； 2年投资C项目4万元时，取值为2； 2年投资C项目2万元时，取值为1； 2年不投资C项目时， 取值为0； 这样我们建立如下的决策变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xj ≥ 0 xj 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
运筹学答案_第_8_章__整数规划
3 3
*=1,
或 x11 *=0,x1 *=1,x1 *=0,x14 *=0, x 2 3 x 34 *=0, x
41 21
*=0,x 2 *=0,x 2 *=0,x 2 *=1,x 3 *=0, 2 3 4 1 x
32
*=0, x
3 3
*=1,
*=1,x 42 *=0, x
4 3
*=0,x 44 *=0,z*=71
b.该目标函数的数学模型为： minz=100y1+300y2 +200y3 +7x1+2x2 +5x3 s.t. x1+x2 +x3 =2000， 0.5x1+1.8x2 +1.0x3 ≤ 2500， x1 ≤ 800， x2 ≤ 1200， x3 ≤ 1400， x ≤ yM，
1 1
x2 ≤ y2M， x3 ≤ y3M ， x1，x2，x3 ≥ 0，且为整数，y1，y2，y3 为 0-1 变量。 目标函数最优解为 : x1*=0,x2*=625,x3*=1375,y1=0,y 2 =1,y3=1,z*=8625
1, 当 第 i 项 工 程 被 选 定 时， xi = 0，当第 i 项工程没被选定时。 根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为： maxz = 20x 1 + 40x2 + 20x3 +15x 4 + 30x 5 s.t. 5x +4x +3x +7x +8x ≤ 25，
1 2 3 4 5
max z=7x1+9x2 +3x3 -x1 +3x2 +x3 ≤ 7, 7x1+x2 +x3 ≤ 38, x1,x2,x3 ≥ 0,且 x1 为整数，x3 为 0-1 变量。
管理运筹学讲义：整数规划
3
福建师范大学经济学院
第一节
• 步骤：
整数规划问题
二、 整数规划的图解法
在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值， 求出这些变量所有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的 解就是整数规划的最优解。 x2
• 实用性：
只有两个决策变量， 可行的整数解较少。
x2
5
4
3 2 1
•
• • •
1
• • •
2
x2=3
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35 2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
10
福建师范大学经济学院
第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
11
福建师范大学经济学院
第二节
问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
分枝定界法
问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
第6章
整数规划
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多
实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人 数等，分数或小数解显然是不合理的。
福建师范大学经济学院
第一节
• 步骤：
整数规划问题
二、 整数规划的图解法
在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值， 求出这些变量所有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的 解就是整数规划的最优解。 x2
• 实用性：
只有两个决策变量， 可行的整数解较少。
x2
5
4
3 2 1
•
• • •
1
• • •
2
x2=3
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35 2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
10
福建师范大学经济学院
第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
11
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第二节
问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
分枝定界法
问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
第6章
整数规划
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多
实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人 数等，分数或小数解显然是不合理的。
运筹学整数规划
实验报告课程名称：___ 运筹学 ____ 项目名称：整数规划问题_ 姓名：__专业：、班级：1班学号：同组成员：_ __1注：1、实验准备部分包括实验环境准备和实验所需知识点准备。
2、若是单人单组实验，同组成员填无。
例4.5设某部队为了完成某项特殊任务，需要昼夜24小时不间断值班，但每天不同时段所需要的人数不同，具体情况如表4-4所示。
假设值班人员分别在各时间段开时上班，并连续工作8h。
现在的问题是该部队要完成这项任务至少需要配备多少名班人员？解：根据题意，假设用i x（i=1,2,3,4,5,6）分别表示第i个班次开始上班的人数，每个人都要连续值班8h，于是根据问题的要求可归结为如下的整数规划模型：目标函数：iixz61min=∑=约束条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥）且为整数（6...1,0x30>=x6+x520>=x5+x450>=x4+x360>=x3+x270>=x2+x160>=x6+x1iimodel:sets:num/1,2,3,4,5,6/:b,x;endsetsdata:b=60,70,60,50,20,30;enddata[obj]min=@sum(num(i):x(i));x(1)+x(6)>=60;x(1)+x(2)>=70;x(2)+x(3)>=60;x(3)+x(4)>=50;2注：实验过程记录要包含实验目的、实验原理、实验步骤，页码不够可自行添加。
解：目标函数：y3*2000-y2*2000-y1*5000-x3*200)-(300+x2*30)-(40+x1*280)-(400=z max约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧y3*300<=x3*2y2*300<=x2*0.5y1*300<=x1*32000<=x3*4+x2+x1*5 model :sets :num/1,2,3/:x,y;endsets[obj]max =(400-280)*x(1)+(40-30)*x(2)+(300-200)*x(3)-5000*y(1)-2000*y(2)-2000*y(3);5*x(1)+x(2)+4*x(3)<=2000;3*x(1)<=300*y(1);0.5*x(2)<=300*y(2);2*x(3)<=300*y(3);@for (num(i):x(i)>=0;@bin (y(i)););end实验报告成绩（百分制）__________ 实验指导教师签字：__________。
运筹学导论第八版8整数线性规划
c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n ,其 中 c j 0 ,j 1 ,2 , n .
上例中，对所有的 j，cj=1. 如果 cj 表示位置 j 安装 的费 用，那么这些系数就是这些费用值而不再是1.
习题
MobileCo公司拿出1500万美元，最多建造7个发射台来覆盖15个 相邻社区中尽可能多的人口。下表给出了每个发射台可以覆盖 的社区以及建造这个发射台的费用以及社区人口。确定出需要 建设哪几个发射台。
由上例看出，
将其相应的线性规划的最优解“化整”来解原整数线 性规划，虽是最容易想到的，但往往不可行。
化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但不一定是 最优解。
因此有必要对整数线性规划的解法进行专门研究。
此类问题为整数线性规划(Integer Linear Programming ， ILP)，整数线性规划是最近几十年来发展起来的规划论 中的一个分支。
有部分变量取小数，这不符合实际，若采用舍入方法，则 x1= x5=1，这意味着5个项目都要选择，显然是不可行解，
对于采用“是否”决策问题，舍入法不可行。
习题
某唱片公司与一位新的歌手签约录制8首歌曲，这8首歌曲 的时间长度分别为8,3,5,5,9,6,7,12分钟，公司希望将所有的 歌曲分配在磁带的两面，使得两面的歌曲时间长度尽量相 同。请建立整数规划模型，求出最优解。
发射台
覆盖社区
1
1，2
2
2，3，5
3
1，7，9，10
4
4，6，8，9
5
6，7，9，11
6
5，7，10，12，14
7
12，13，14，15
各个社区人口数目
建造费用(百万) 3.6 2.3 4.1 3.15 2.8 2.65 3.1
上例中，对所有的 j，cj=1. 如果 cj 表示位置 j 安装 的费 用，那么这些系数就是这些费用值而不再是1.
习题
MobileCo公司拿出1500万美元，最多建造7个发射台来覆盖15个 相邻社区中尽可能多的人口。下表给出了每个发射台可以覆盖 的社区以及建造这个发射台的费用以及社区人口。确定出需要 建设哪几个发射台。
由上例看出，
将其相应的线性规划的最优解“化整”来解原整数线 性规划，虽是最容易想到的，但往往不可行。
化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但不一定是 最优解。
因此有必要对整数线性规划的解法进行专门研究。
此类问题为整数线性规划(Integer Linear Programming ， ILP)，整数线性规划是最近几十年来发展起来的规划论 中的一个分支。
有部分变量取小数，这不符合实际，若采用舍入方法，则 x1= x5=1，这意味着5个项目都要选择，显然是不可行解，
对于采用“是否”决策问题，舍入法不可行。
习题
某唱片公司与一位新的歌手签约录制8首歌曲，这8首歌曲 的时间长度分别为8,3,5,5,9,6,7,12分钟，公司希望将所有的 歌曲分配在磁带的两面，使得两面的歌曲时间长度尽量相 同。请建立整数规划模型，求出最优解。
发射台
覆盖社区
1
1，2
2
2，3，5
3
1，7，9，10
4
4，6，8，9
5
6，7，9，11
6
5，7，10，12，14
7
12，13，14，15
各个社区人口数目
建造费用(百万) 3.6 2.3 4.1 3.15 2.8 2.65 3.1
第八章 运筹学课件整数规划
n
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
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xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大
xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
8.2 整数规划的应用
三、指派问题
有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特 长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人 去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务 的总的效率最高，这就是指派问题。
Minz=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+ 16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44
s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干)
四、整数规划的数学模型
Ma(xMin)
n
Z cjxj
j1
s.t
n
aijxj
bi
j1
i 1,2,,m
xj 0,j 1,2,,n且部分或全部为整数
纯整数规划：所有决策变量为非负整数； 全整数规划：所有变量、系数和常数均为整数； 混合整数规划：只有一部分决策变量为非负整数，其余变量可
为非负实数； 0-1整数规划：所有决策变量只能取0获1两个整数。
8.2 整数规划的应用
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2
整数规划（Integer Programming）。简称IP。 线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，
称为整数线性规划。
8.1 整数规划问题及其数学模型
三、建模中常用的处理方法：
1、资本预算问题：
设有n个投资方案，cj为
第j个投资方案的收益。投 资过程共分为m个阶段，bi 为第i个阶段的投资总量，
第八章 整数规划
8.1 整数规划问题及其数学模型 8.2 整数规划的应用 8.3 整数规划与线性规划的关系 8.4 分支定界法 8.5 指派问题与匈牙利算法
8.1 整数规划问题及其数学模型
一、整数规划问题的特征：
变量取值范围是离散的，经典连续数学中的理论 和方法一般无法直接用来求解整数规划问题。
二、整数规划问题的定义： 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为
例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项 工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗 时间为最少。
工人
工作
甲 乙 丙 丁
A
B
C
D
15
18
21
24
19
23
22
18
26
17
16
19
19
21
23
17
8.2 整数规划的应用
解：引入0—1变量 xij，并令xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0 （当不指派第 i人去完成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1整数规划 问题：
aij为第i阶段第j项投资方案
所需要的资金。目标是在 各阶段资金限制下使整个 投资的总收益最大。
设决策变量 得到模型：
1, 对第 j项投资
xj
0，否则
n
Max z c j x j
j 1
s
.t
.
n
a ij x j b i
i 1,2, , m
j 1
x j 0或1
j 1,2, , n
xj ≥ 0 且xj 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
8.2 整数规划的应用
二、固定成本问题
例5．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为 金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表 所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5 万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有 100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的 费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定 一个生产计划，使获得的利润为最大。
8.2 整数规划的应用
一、投资场所的选择
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市， 拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民 的消费水平及居民居住密集度，规定：
在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 投资额 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180
利润 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测 情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪 几个销售点，可使年利润为最大?
引入约束 =0。
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
资源
小号容器 中号容器大号容器
金属板（吨） 2
4
8
劳动力（人月） 2
3
4
机器设备（台月） 1
2
3
8.2 整数规划的应用
解：这是一个整数规划 分费别用为只小有号在容生器产、该中种号容容器器时和才大投号入容，器为的了生说产明数固量定。费 用 产的第这i种种容性器质即，x设i =y0i =时1）(当。生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生
xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
8.2 整数规划的应用
三、指派问题
有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特 长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人 去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务 的总的效率最高，这就是指派问题。
Minz=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+ 16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44
s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干)
四、整数规划的数学模型
Ma(xMin)
n
Z cjxj
j1
s.t
n
aijxj
bi
j1
i 1,2,,m
xj 0,j 1,2,,n且部分或全部为整数
纯整数规划：所有决策变量为非负整数； 全整数规划：所有变量、系数和常数均为整数； 混合整数规划：只有一部分决策变量为非负整数，其余变量可
为非负实数； 0-1整数规划：所有决策变量只能取0获1两个整数。
8.2 整数规划的应用
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2
整数规划（Integer Programming）。简称IP。 线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，
称为整数线性规划。
8.1 整数规划问题及其数学模型
三、建模中常用的处理方法：
1、资本预算问题：
设有n个投资方案，cj为
第j个投资方案的收益。投 资过程共分为m个阶段，bi 为第i个阶段的投资总量，
第八章 整数规划
8.1 整数规划问题及其数学模型 8.2 整数规划的应用 8.3 整数规划与线性规划的关系 8.4 分支定界法 8.5 指派问题与匈牙利算法
8.1 整数规划问题及其数学模型
一、整数规划问题的特征：
变量取值范围是离散的，经典连续数学中的理论 和方法一般无法直接用来求解整数规划问题。
二、整数规划问题的定义： 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为
例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项 工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗 时间为最少。
工人
工作
甲 乙 丙 丁
A
B
C
D
15
18
21
24
19
23
22
18
26
17
16
19
19
21
23
17
8.2 整数规划的应用
解：引入0—1变量 xij，并令xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0 （当不指派第 i人去完成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1整数规划 问题：
aij为第i阶段第j项投资方案
所需要的资金。目标是在 各阶段资金限制下使整个 投资的总收益最大。
设决策变量 得到模型：
1, 对第 j项投资
xj
0，否则
n
Max z c j x j
j 1
s
.t
.
n
a ij x j b i
i 1,2, , m
j 1
x j 0或1
j 1,2, , n
xj ≥ 0 且xj 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
8.2 整数规划的应用
二、固定成本问题
例5．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为 金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表 所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5 万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有 100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的 费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定 一个生产计划，使获得的利润为最大。
8.2 整数规划的应用
一、投资场所的选择
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市， 拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民 的消费水平及居民居住密集度，规定：
在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 投资额 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180
利润 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测 情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪 几个销售点，可使年利润为最大?
引入约束 =0。
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
资源
小号容器 中号容器大号容器
金属板（吨） 2
4
8
劳动力（人月） 2
3
4
机器设备（台月） 1
2
3
8.2 整数规划的应用
解：这是一个整数规划 分费别用为只小有号在容生器产、该中种号容容器器时和才大投号入容，器为的了生说产明数固量定。费 用 产的第这i种种容性器质即，x设i =y0i =时1）(当。生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生