3.1.2空间向量共面定理
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理4121数学
A1
B1
C1
长方体AC1中，
AB, AD, AC在同一
D
A
平面内
C
A1B1 A B
B
A1D1 A D
此时我们称 A1B1,A1D 1,AC是共面向量.
12/12/2021
第八页，共二十三页。
追踪(zhuīzōng)训练1(P86
1)
D
M N
A B
如图，在四面体PABC中， 点M，N分别(fēnbié)为PA，PB 的中点，问：
p
p 与 a， b共 面
pxayb
a
α
b Ma
xa
p
A
yb
P
平面向量 基 (xià nglià ng)
本定理
(
） 12/12/202x1iàn)
a , b 不共线(ɡònɡ
第十一页，共二十三页。
互动 探 (hù dònɡ)
究
b
p
pxayb
p与a， b共面
a
α
b Ma
xa
A
yb
C M N 和 B C ，A C
是否共面？
12/12/2021
第九页，共二十三页。
由此及彼(yóu cǐ
jí bǐ)
问题1：空间任意一个向量 p 与两 个不共线向量 a , b 共面时，它们之
间存在怎样的关系呢？
b
p
a
12/12/2021
第十页，共二十三页。
互动 探 (hù dònɡ)
究
b
12/12/2021
第二十页，共二十三页。
柳暗花明(liǔ àn huā
míng)
平面向量基本定理：
3.1.2空间向量基本定理【2014年】
2. 已知 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， OM xOA ＋ 1 OB ＋ 1 OC ,则x的值为： D
C OG 1 a b 1 c 2 2
4：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M 和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使 MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG
解：在△OMG中，
O
M A
G
OG OM MG
1 2 OA MN 2 3 1 2 OA (ON OM ) 2 3
间的一个基底.如： a , b, c
看书P84
空间向量基本定理:（又称空间向量分解定理） 如果三个向量 e1, e2 , e3 不共面,那么对空间任一向 量 p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得 p xe1 ye2 ze3
证明:（1）先证存在性
设e1， e2， e3是 三 个 不 共 面 的 向 量 过 ，空 间 一 点 O作OA e1， OB e2， OC e3， OP p， P 过点P作直线PP’∥OC，交平面 C OAB于点P’； O B B’ 在平面OAB内，过点P’作直线 A P’A’∥OB，P’B’∥OA，分别 A’ P’ 交直线OA，OB于点A’，B’. 存在实数则(x,y,z),使 OA, xOA xe1 OB , yOB ye2 OC , zOC ze3 p xe1 ye2 ze3
高中数学人教B版选修2-1第三章《3.1.2 空间向量的基本定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教B版选修2－1第三章《3.1.2 空间向量的基本定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能
通过本节学习理解向量共线的条件,共面向量定理和空间向量基本定理.
能够判定空间向量是否共面.
了解基向量、基底的概念、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
2.过程与方法
通过对空间向量基本定理的学习,让学生体验数学定理的产生、形成过程,体验定理所蕴含的数学思想.
3.情感态度与价值观
事物之间可以相互转化,渗透由特殊到一般的思想,通过对空间向量基本定理的运用,增强学生的应用意识.
2学情分析
立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上,发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
立体几何是中学数学的一个难点,学生普遍反映“几何比代数难学”。
但很多学好这部分的同学,又觉得这部分很简单。
立体几何中抓住向量这个重要工具
如点到直线的距离,抓住直线的方向向量;找二面角的平面角而不是二面角,二面角的平面角等于二面角的大小.具体你可以,比如先求平面的法向量,那么两个平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。
求角先定平面角、三角形去解决,正余弦定理、三角定义常用,若是余弦值为负值,异面、线面取锐角。
对距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,经常用正余弦定理、勾股定理,若是垂线难做出,用等积等高来转换。
不断总结,才能不断高。
3重点难点
重点:共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理.
难点:空间向量分解定理.。
3.1.2共线与共面
OP xOA yOB zOC （其中x+y+z=1）
作 业： 教辅第23页~第26页,活页课时作业十一
教材31页练习:
1. 空间四边形ABCD中,连结AC、BD， M、G分别是BC、CD边的中点,化简：
A
（） AB BC CD AD 1
A1
A2
A3 An
An1
A4
4. 平行六面体： 平行四边形ABCD(包括它的内部)平移向量 a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体.
D1 A1 a A B1 C1 A1 D A B
D1
B1
C1
D
B
C
C
AB AD AA1 AC1
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边 形，每个面的边叫做平行六面体的棱.
于是点 P在平面MAB内，向量p // 平面MAB .
即向量 p 与 a 、 共面 . b
(3)共面向量定理: 如果两个向量a、b 不共线，则向量p与 向量a、b共面的充 要条件是存在实数 对x、y，使 B b p A A'
P
M
a
p = xa + yb.
ห้องสมุดไป่ตู้.O
推论:空间一点P 位于平面MAB内的充分必要条件是存在 有序实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. 即 OP (1 x y )OM xOA yOB （平面MAB的向量表达式）
证明：( 2) EF OF OE
k (OB OA)
k AB
课件1：3.1.2 空间向量的数乘运算（共线与共面向量）
∴EH ∥FG且|EH |＝43|FG |≠|FG |.
又 F 不在直线 EH 上， ∴四边形 EFGH 是梯形．
规律方法 判断向量 a，b 共线的方法有两种： (1)定义法 即证明 a，b 所在基线平行或重合． (2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断 a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质， 结合具体图形，化简得出 a＝xb，从而得 a∥b，即 a 与 b 共 线．
存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc
.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性表
达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记 作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
互动探究
题型一：共线向量的判定 例 1 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F， G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
图 3－1－11
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？ (2)|E→H|与|F→G|相等吗？ 【自主解答】 ∵E，H 分别是 AB、AD 的中点， ∴A→E＝21A→B，A→H＝12A→D， 则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D ＝21(C→D－C→B)＝12(32C→G－32C→F) ＝43(C→G－C→F)＝34F→G，
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又 过同一点 M，
∴M、A、B、C 四点共面， ∴M 在面 ABC 内．
规律方法 1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序 实数对(x，y)，使 MP xMA yMB.满足这个关系式的点 P 都 在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个 关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
3.1.2空间向量
A
O
a
l
BP
注:非零向量 a 叫做 方向向量. 直线 l 的方向向量.
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t ∈ R ,使 AP = t a . ∴ 点 P 在直线 l 上 唯一实数 t ∈ R, 使 AP = t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP = OP OA , 则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t ∈ R, 使 OP = OA + t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB = a
一平面内的任一向量 a , 存在唯一的一对实数 t1 , t 2 使
a = t1 e1 + t 2 e2 .
a
e2
M
C
e2
e1
O
a
N
e1
进行分解, 对向量 a 进行分解, OC = OM + ON = t 1 e 1 + t 2 e 2
12
类似地, 空间向量基本定理 向量基本定理: 类似地,有空间向量基本定理:
∴ OP OA = y (OB OA) + z (OC OA) ∴ AP = y AB + z AC B C 共面. ∴点 P 与 A , , 共面
10
试证明:对于不共线的三点 B C 试证明:对于不共线的三点 A, , 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP = xOA+ yOB + zOC ,则 充要条件是 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x + y + z = 1 . 证明: 证明:⑴充分性
上一节,我们发现: 上一节,我们发现: 1.空间一 空间一点 1.空间一点 P 在直线 AB 上的充要条件是 ________________________________. 唯一实数 t ∈ R, 使 AP = t AB
第3章 3.1.2 共面向量定理
→ → ②若AB＝CD，则 A，B，C，D 四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R). 解析 当a，b中有零向量时，①不正确；
→ → AB＝CD时，A，B，C，D 四点共面不一定共线，故②不正确；
由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确.
→ → 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA，MB实质 就是平面 MAB 内平面向量的一组基底.
D四点共面.
[思考辨析
判断正误] ) )
1.实数与向量之间可进行加法、减法运算 × .( 2.空间中任意三个向量一定是共面向量.( ×
→ → → 3.若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB.( × )
题型探究
类型一 向量共面的判 定 例1 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则 这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分
要条件是 存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb
_____________________________________，即向量p可以由 两个不共线的向量a，b线性表示.
知识点三 空间四点共面的 条件
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 使 → → → → 得OA＝xOB＋yOC＋zOD，且 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，则 A，B，C，
解答
反思与感悟
利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的
进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程 中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.
跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1 ― → ― → → 和 A1D1 的中点.证明：向量 A1B ， B1C ，EF是共面向量.
3.1.2空间向量的共线与共面
例. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外
一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
H
G
E
F
C
p
P
b
A aB
对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
C
p
P
b
A aB
O 填空：OP (1__-_x_-_y)OA (_x___)OB (__y__)OC
③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意 平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
AP xAB yAC
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB zOC 0(x y z 1)
练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有 OP xOA yOB zOC(x, y, z R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ C ）
A.必要不充分条件 C.充要条件
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 平面向量中有关结论仍适用于它们.
1、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量
叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
思考:空间向量的平行满足传递性吗?
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b 0), a // b的充要条件是存在实数 使
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.2空间向量共面定理
教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 教学过程： （一）复习：
1．空间向量的概念及表示:
(二)阅读课本P 74～P 75，
⑴怎样的向量叫做共线，共面向量？
⑵两个向量共线，共面的充要条件是什么？
1．共线（平行）向量：
2．共线向量定理：
推论：
问题思考
3．向量与平面平行：
4．共面向量定理：
如何证明？
推论：
()()1=020?
a λ≠当实数时，表示什么意思？
充要条件中，为什么规定
（三）预习练习
1、下列说法正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
E.在平面内,任意两个向量一定共线
2已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面？
3下列命题中正确的有______
4.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线又不共面向量
5.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ， ,则x
的值为:_____
（四）典型例题
例1、已知A 、B 、P 三点共线，O 为空间任意一点，且 ，求 的
值.
αβ=+OP OA OB
αβ+(1)
3=＋－OB OM OP OA (2)4=--OP OA OB OM
(1)=+⇒ 与、共面;p xa yb p a b (2)⇒=+与、
共面 ；p a b p xa yb (3)=+⇒、、、共面；
MP xMA yMB P M A B (4)⇒=+、、、共面；
P M A B MP xMA yMB 2、、－MA MB MA MB
=11
＋＋33OM xOA OB OC (1)
λλ=≠-AP PB
变式、设点P 在直线AB 上并且 ，O 为空间任意一点， 求证：
方法一：
方法二：
11111111,,,1,,,ABCD AC O OA kOA OB kOB OC kOC OD kOD
A B C D ====11变式：如图平行四边形，从平面外一点引向量求证：（）四点共面 (2)A C ||平面
D'
B'
C'
D A
B
C
1λλ
+=
+OA OB
OP 1,11,,,33ABCD ADEF M N BD AE BM BD AN AE MN CED ==例、如图，已知矩形与所在平面相互垂直，点分别在对角线上，且求证：平面
五：课堂小结
六，课后作业 P76
1,2,3
强化训练：
1.若对任意一点O ， ，则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的： ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-，
求证：,,,A B C D 共面．
3．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值。
4．如图，,,,E F G H 分别为正方体1AC 的棱11111111,,,A B A D B C D C 的中点， 求证：（1）,,,E F D B 四点共面；（2）平面AEF //平面BDHG ．
5．已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 边,,,AB BC CD DA 的中点， （1）用向量法证明：,,,E F G H 四点共面；
D 1C 1
B 1A 1
H
G F E
D C
B
A
A B
C
D F
E G H
=+OP
xOA y AB
BD平面EFGH．（2）用向量法证明：//。