4、指数函数与对数函数、比较大小
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章-《指数函数与对数函数》本章教材分析【2024版】
可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
对数指数幂函数比大小技巧
对数指数幂函数比大小技巧1. 定义对数指数幂函数是由幂函数、指数函数和对数函数组合而成的一类特殊函数。
它们在数学中具有重要的应用，尤其在比较大小时，可以通过一些技巧简化计算。
常见的对数指数幂函数包括：•幂函数y=ax b，其中a和b是常数，x是变量。
•指数函数y=a x，其中a是常数，x是变量。
•对数函数y=log a(x)，其中a是底数，x是变量。
2. 用途对数指数幂函数比大小技巧主要用于比较各种复杂的函数关系。
通过转换为对数或指数形式，可以简化计算过程，并更容易理解和分析问题。
这些技巧在实际应用中具有广泛的应用场景，例如：•经济学中的边际效益分析：通过比较两个变量之间的增长率来确定最优决策。
•物理学中的衰减和增长模型：通过比较指数衰减或增长速度来预测系统行为。
•生物学中的生长模型：通过比较不同生物体的增长率来研究种群动态。
3. 工作方式对数指数幂函数比大小技巧的工作方式主要包括以下几个步骤：步骤1：转换为对数或指数形式首先，将需要比较的函数转换为对数或指数形式。
这可以通过以下公式实现：•对数形式：y=log a(f(x))•指数形式：y=a f(x)其中，f(x)是原始函数。
步骤2：确定底数和指数根据具体情况，确定底数和指数的取值。
通常情况下，选择底数和指数使得计算更加简单，并且能够满足问题的要求。
步骤3：比较大小通过比较转换后的对数或指数形式，确定原始函数之间的大小关系。
•对于两个对数形式y1=log a(f(x1))和y2=log a(f(x2))，若x1<x2，则y1<y2。
•对于两个指数形式y1=a f(x1)和y2=a f(x2)，若x1<x2，则y1<y2。
步骤4：反向转换根据比较结果，可以将对数或指数形式重新转换为原始函数形式，得到最终的大小关系。
4. 示例以下是一些常见的对数指数幂函数比大小技巧的示例：示例1：比较幂函数和指数函数考虑两个函数y1=2x和y2=3x2，我们想要比较它们之间的大小关系。
指数函数对数函数幂函数比较大小
指数函数对数函数幂函数比较大小
1.指数函数比对数函数大：
指数函数 y=2^x （x 是正实数）增长速度非常快，因为它主要是在
增加底数，例如 2 的 x 次方在 x=10 时是 1024，而在 x=20 时是
1,048,576。
相反，对数函数 y=log2(x) 的增长速度非常缓慢，它只是寻
找 x 的幂次，使得给定底数 2 的该幂次等于 x。
因此，当 x 趋近于无
穷大时，指数函数比对数函数大得多。
2.幂函数与指数函数比对数函数大：
幂函数y=x^n（n是正整数）增长速度会随着n增大而变得非常快。
但是，它在不同的x值上增长的速度可能会有所不同。
相反，指数函数
y=b^x的增长速度只与指数的大小有关，而与底数b或x的值无关。
因此，在x趋近于无穷大时，指数函数比幂函数大。
综上所述，在大多数情况下，指数函数比对数函数和幂函数都要大。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
10.2 1 ，c＝23，则( a＝log1 3 ， b ＝ 2 3
)
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在什么条件下是增函数？y＝2x 与 y＝3x 哪个增 长的速度更快？指数函数增长速度的快慢由什么决定呢？ 2．幂函数 y＝xn，当 x>0，n>1 时是增函数吗？当 x>1 时，其增长的快慢与 n 有什么关系？
3．对数函数y＝logax，当a>1时是增函数，那么随着a的增大，函数值的增
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
y4 2 4.322 5.322
关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
[思路探究] 利用表格中数据增长速度的快慢来判断，指数型函数增长速度是越来越快．
3．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
4．比较y＝4x，y＝x4与y＝log4x增长情况．
三种函数图像的比较 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
[自主练习] 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( A．y＝100 x C．y＝x100 B．y＝100ln x D．y＝100· 2x )
2．我国工农业总产值从 1990 年到 2010 年的 20 年间翻两番，设平均每年的 增长率为 x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
指数式和对数式比较大小
指数式和对数式比较大小五法方法一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读：1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数xy a =的单调性.2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性.3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性.例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3（2）2log 0.8,2log 8.8（3）0.30.3,0.33[解]（1）利用函数0.3x y =的单调性.因为函数0.3x y =在R 上单调递减,0.3<3,所以0.30.3>30.3.（2）利用函数2log y x =的单调性.因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,0.8<8.8,所以2log 0.8<2log 8.8.（3）利用函数0.3y x=的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,0.3<3,所以0.30.3<0.33.方法二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =)（2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题.例2：比较下列各组数的大小（1）0.41.9, 2.40.9（2）124()5,139()10[解]（1）取中间值1.因为0.401.91.91>=,2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>.（2）取中间值129()10. 利用函数910x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>124()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）方法三：特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.例3：（2008年全国卷理4文5）若1(,1)x e -∈,ln a x =,2ln b x =,3ln c x =,则（）.A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<a<c [解]在区间1(,1)e -上取12x e -=,通过计算知：121ln 2a e -==-,122ln 1b e -==-,313211ln ()28c e -==-=-,故b<a<c,选C. 方法四：估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例4：（2007年全国卷理4文4）下列四个数中最大的是（）.A.2(ln 2)B.ln(ln 2)C.ln 2[解]因为lg 20.3010ln 20.7lg 0.4343e =≈≈,所以2(ln 2)0.49≈,ln(ln 2)ln 0.70≈<,1ln 20.352=≈,故四个数中最大的是ln 2,选D. [点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五：数形结合法画出指数函数、对数函数和幂函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法.例5：（2009年全国卷理7）设3log a π=,2log b =3log c =则（）.A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a[解]在同一直角坐标系内画出对数函数3log y x =和2log y x =的图像,如下图所示： 由图像观察得a>b>c,故选A.[点评]本题也可以利用比较法求解.因为322log log log <<所以b>c,因为2233log log 21log 3log π<==<,所以a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
指数函数,幂函数,对数函数增长的比较
y y=x4
(1,0)
x
O 1
2
3
x
对于上述三种增加的函数,它们的函数值 的增长快慢有何差别呢? 对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取 近似值)比较
借 助 计 算 器 完 成 右 表
y=2x · · · · · · 1 2 1.007 004 4 2.009 733 8 10 1 024 100 1.27×1030 300 2.04×1090 500 3.27×10150 700 5.26×10210 900 8.45×10270 996 6.70×10299 1 000 1.07×10301 1 100 1.36×10331 1 200 1.72×10361 · · · · · ·
指数函数、幂函数、对 数函数增长的比较
指数函数
1.当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，并 且对于x＞0，当a越大时，其函数值的增 长就越快。
y 3x
y 2x
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数， 并且对于x＞1，当a越小时，其函数值的 增长就越快。 y
y=log2x y=log3x y=log5x O
10100－1
10200
3.321 928 1
3.321 928 1
5.15×10247 1.584 962 5
3.27×10150 7.89×10269 0.736 965 6
5.26×10210 3.23×10284 0.485 426 8
8.45×10270 2.66×10295 0.362 570 1 1.07×10301 10300 0.152 003 1
(1,0)
x
幂函数
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04
高中数学-娟老师
2020.3
0,0,0a b c ⇒>>>"同正异负"第一步：判正负31,1,log 41,,,a b c A B C
±±⇒<>=>第二步：与1，排除2比较大小1、
2、
第一步：判正负
⇒>>>
0,0,0
a b c
0.21,1
c a b C
2,
-
小
=>
±±⇒<<第二步：与1，2比较大选
3、
0,,0,0a b c A D
⇒>><排第一步：判除正负，1122311,log 1log 102B
a b ⎛⎫
±±⇒<=> ⎪⎝⎭第二步：与1，2比较大，
排除小
1136
log 3339x x ⇒===16
log 767
y y ⇒==x y z ⇒>>4、
445566log (43)1log 3,
log (53)1log 3,
log (63)1log 3
a b c =⋅=+=⋅=+=⋅=+a b c
⇒>>5、
()()0,1f x ⇒+∞、单在调性：单减
0.3222log 5
2x ⇒<<、比的大小：3a b c
⇒>>、比函数值的大小：1、
221()((log 5)(lo )g 5)a x f x f f f ⇒=-⇒=-=、奇偶性：偶函数
()0.522log 5log 4.1220,0⇒>+>>∞、单调性：
单增3a b c
⇒>>、比大小：2、
1,()2()x f x x f
x -=-⋅=-⇒判奇偶：奇函数
(2,()2)2,x x x f x x f x x x ∈∞=⋅↑↑⇒=⋅↑∈∞判单调性：(0,+)，(0,+时)33333,(log 5),(log 2),(ln 3)log 2log 5ln 3
a f
b f
c f c a b ===⇒<<⇒>>比大小：3、
1,()()()()g x xf x xf x g x ⇒-=--==判奇偶：偶函数
2,()()()(),g x x g x x f xf x x x ↑↑⇒=∈∈∞=↑∞判单调性：(0,+)时(0,+，).80.8
2023,(log 5.1),(2),3log 5).12
(3a g c a b b g c g ⇒>>⇒>=>==比大小：4、
1,(1)(1)
f x f x ⇒+=-+奇偶:偶函数1(1,[)22x
x f x ⎛⎫⇒=- ⎪∞⎝⎭
∈↓判单调性：1,+)时，333333,(2log 2)(log 4.5),(log 4)log 4log 4.53
,(3)a f f b f c f b a c ⇒=-===<<⇒>>比大小:
11(1)1f x x ⎧-−−−−−→⎨=−−−−−→⎩
左移个单位左移个单位1,判奇偶：关于对称()f x y ⎧⎨⎩关于轴对称()f x ⇒是偶函数2,()x f x ∈∞判单调性：(0,+)时，单调递减1.36612.3
23,(log 3),(2),(0.70.7log 32
)a f b f c f c a b ⇒<<=>=⇒>=比大小：
11、
12、
13、
14、。