华东师大初中数学九年级上册直角三角形(基础)知识讲解(精选)

直角三角形（基础）
【学习目标】
1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．
2．掌握直角三角形的性质定理,并能灵活的应用性质定理解答和证明相关问题.
3. 掌握直角三角形的判定定理，并能灵活应用.
【要点梳理】
要点一、直角三角形的概念
有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
要点二、直角三角形的性质定理
定理1：直角三角形的两个锐角互余.
要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
定理3：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则
证明：取AB中点D，连接CD
则CD=BD=AD=，
∵在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠B=60°，
∴△BCD为等边三角形
∴
要点三、直角三角形的判定定理
定理1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
定理2：在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD=CD，
∴∠A=∠1．
同理∠2=∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，
即2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【典型例题】
类型一、直角三角形两锐角互余性质的应用
1、（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
求证：CD⊥AB．
【思路点拨】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案．
【解析】证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB．
【总结升华】此题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出∠A+∠B=90°．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C.
类型二、含有30°角的直角三角形
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，求AB的长．
【思路点拨】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC 的数量关系．
【答案与解析】
解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12．
【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形．含30°的直角三角形中，斜边等于30°角的对边的2倍.
3、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．
【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【答案与解析】
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠A=30°，求△ABC的面积．
【答案】
类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、（2016•丰台区二模）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE=DC．
【思路点拨】根据等边三角形的性质得到AC=BC，CD=AC，∠BDC=90°，根据直角三角形
的性质得到DE=BC，于是得到结论．
【答案与解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵BD⊥AC于点D，
∴CD=AC，∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BC，
∴DE=DC．
【总结升华】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．
求证：EC∥AB．
【答案】
证明：∵CD是AB边上的中线，且∠ACB=90°，
∴CD=AD．
∴∠CAD=∠ACD．
又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，
∴∠ECA=∠ACD．
∴∠ECA=∠CAD．
∴EC∥AB．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB．求证：∠B=30°．
请填空完成下列证明．
证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，
则 CD=AB=AD （）．
∵A C=AB，
∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形．
∴∠A=°．
∴∠B=90°﹣∠A=30°．
【答案】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；60；
证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，
则CD=AB=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∵AC=AB，
∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形．
∴∠A=60°．
∴∠B=90°﹣∠A=30°．
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；60．
类型四、直角三角形的判定
5、一个三角形，它的一个内角占内角和的，其余两个角按剩下的度数2：3来分配，这个三角形是什么三角形？
【思路点拨】三角形的内角度数和是180°，用“180°×”求出三角形一个内角的度数，然后求出另两个内角度数和，进而根据三角形的分类判断三角形的类别．
【答案与解析】
解：180×=30°，
180°﹣30°=150°，
150°×=60°，
150°×=90°，
答：该三角形是直角三角形．
【总结升华】此题考查了三角形的内角和定理，按比例分配应用题和三角形的分类的方法．举一反三：
【变式】等腰三角形的一个底角与顶角度数之比是1：2，这个三角形是三角形．【答案】等腰直角；
等腰三角形中，一个底角与顶角度数的比是1：2，即三个角的比为2：1：1；进而根据按比例分配知识分别求出最大角为：80°×=90°，得出该三角形为等腰直角三角形．。