江苏省泰州市高一下学期数学第一次在线月考试卷
2021-2022年高一下学期第一次月考 数学理 含答案
2021年高一下学期第一次月考 数学理 含答案一、选择题（12×5分）1．在△ABC 中，若,, ,则角的大小为（ ） A. B ． C ．或 D ．或 2．如果等差数列中，++=12，那么+++ +=（ ） A ．35 B ．28 C ．21 D ．143．在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于（ ）A ．B ．4C ．D ．4．等比数列的各项均为正数，且，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．5 B ．9 C ． D ．105．已知中，分别是角所对的边，且60°，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、6．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为（ ） A ．m B ．m C ．m D ．m7．设等差数列的前n 项和为,若,,则当取最小值时, 等于（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、98．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝，＝2，且S △ABC ＝， 则b 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．19．若把正整数按图所示的规律排序，则从xx 到xx 年的箭头方向依次为（ ）145891223671011→→↓↑↓↑↓↑→→→A ．B ．C ．D ．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形11．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为，若2330aGA bGB cGC ++=，则（ ） A.1：1:1 B. C. D. 二、填空题（4×5分）13、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为14．中，分别是的对边，下列条件①；② ；③；④能唯一确定的有____________________（写出所有正确答案的序号）15．已知在数列中，，且，则16．右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为.则表中的数52共出现次．xx高一年级第五次月考数学（理科）试卷答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案13、14、15、16、三、解答题17．(10分)已知的内角的对边分别为，．（1）若，，求的值；（2）若，求的值．18．(12分)已知数列满足（）且（1）求的值（2）求的通项公式（3）令，求的最小值及此时的值19．(12分)在中，角所对的边分别为，且满足，．（1）求的面积；（2）若，求的值．20、(12分)等差数列{a n}的前n项的和为S n，且已知S n的最大值为S99，且|a99|〈|a100| 求使S n〉0的n的最大值。
(数学)江苏省泰州中学2015-2016学年高一下学期第一次月考数学试卷-Word版含解析
(数学)江苏省泰州中学2015-2016学年高一下学期第一次月考数学试卷-Word版含解析2015-2016学年江苏省泰州中学高一（下）第一次月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．求：sin15°sin30°sin75°=．2．在△ABC中，若A=，a=，则=．3．在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则∠C的大小为．4．数列{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d=．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=．6．在等比数列{a n}中，a1＜0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5=．7．在△ABC中，已知a=4，b=4，B=45°，则∠A=．8．已知θ为锐角，sin（θ+15°）=，则cos （2θ﹣15°）=．9．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别做钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，当第三边AC最短时，边AB的长为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16 （1）求{a n}的通项；（2）数列{a n}从哪一项开始小于0；（3）求a1+a3+a5+…+a19值．16．在△ABC中，已知，，B=45°，求b及A．17．已知α，β∈（0，），且sin（α+2β）=sinα．（1）求tan（α+β）﹣6tanβ的值；（2）若tanα=3tanβ，求α的值．18．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin 2ωx的最小正周期为3π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，AB=2，2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求BC的长．19．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案？（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？20．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．2015-2016学年江苏省泰州中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．求：sin15°sin30°sin75°=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】注意到题中角15°、75°的互余关系，利用同角公式化成同一个角的三角函数，再反用二倍角公式求解即可．【解答】解：sin15°sin30°sin75°=sin15°××cos15°=××2sin15°cos15°=sin30°=．故填：．2．在△ABC中，若A=，a=，则=2．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用正弦定理求得=的值．【解答】解：△ABC中，若A=，a=，则由正弦定理可得===2，故答案为：2．3．在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则∠C的大小为．【考点】余弦定理．【分析】由题中等式，化简出a2+b2﹣c2=ab，再根据余弦定理算出cosC=的值，结合三角形内角的范围即可算出角C的大小．【解答】解：∵在△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，∴（a+b）2﹣c2=ab，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理，得cosC==﹣，结合C∈（0，π），可得C=；故答案为：．4．数列{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d=1．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意和等差中项可得a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得答案．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得a3﹣a1=2d=4﹣2，解得d=1，故答案为：1．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=49．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n 项和公式求得．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是496．在等比数列{a n}中，a1＜0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5=﹣6．．【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质进行配方即可．【解答】解：在等比数列{a n}中，a2a4+2a3a5+a4a6=36，∴（a3）2+2a3a5+（a5）2=36，即（a3+a5）2=36，∵a1＜0，∴a3=a1q2＜0，a5=a1q4＜0，即a3+a5＜0，则a3+a5=﹣6，故答案为：﹣67．在△ABC中，已知a=4，b=4，B=45°，则∠A=30°．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理，解得sinB．再由b＜a，可得B＜A=45°，由此可得B的值．【解答】解：在△ABC中，∠A=45°，a=4，b=4，则由正弦定理可得，解得sinA=．再由b＞a，可得B＞A，故A为锐角，故A=30°，故答案为：30°．8．已知θ为锐角，sin（θ+15°）=，则cos （2θ﹣15°）=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由二倍角公式可得cos（2θ+30°）的值，由sin（θ+15°）=＜，进一步缩小角的范围，由平方关系可得sin（2θ+30°）的值，可得cos（2θ﹣15°）=cos（2θ+30°﹣45°），由两角差的余弦公式展开，代入数据解得可得．【解答】解：由二倍角公式可得cos（2θ+30°）=1﹣2sin2（θ+15°）=1﹣2×=，又∵θ为锐角，sin（θ+15°）=＜，∴θ+15°＜60°，即θ＜45°，∴2θ+30°＜120°，∴sin（2θ+30°）==，由两角差的余弦公式可得cos（2θ﹣15°）=cos（2θ+30°﹣45°）==故答案为：9．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别做钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，当第三边AC最短时，边AB的长为15cm．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意设AB=xcm，利用余弦定理列出关系式，利用二次函数性质即可得到AC取得最小值时x的值，从而得出结论．【解答】解：如图所示，设AB=xcm，则BC=（30﹣x）cm，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=x2+（30﹣x）2+x（30﹣x）=（x﹣15）2+675，∴当x=15cm时，AC取得最小值为=15cm，即当AB=BC=15cm时，第三边AC的长最短为15cm．故答案为：15cm．10．在等比数列{a n}中，a5•a11=4，a3+a13=5，则= 4或．【考点】等比数列的性质．【分析】先用a1，q表示出a5、a11、a3、a13，然后代入关系式a5•a11=4，a3+a13=5可得a5•a11=a12q14=4、a3+a13=a1（q2+q12）=5，然后对a1（q2+q12）=5两边平方后与a12q14相比即可得到答案．【解答】解：∵=q10a5•a11=a12q14=4 ①a3+a13=a1（q2+q12）=5然后两边平方：a12（q4+q24+2q14）=25 ②===所以或4故答案为：4或11．在△ABC中，已知b=1，c=2，AD是∠A 的平分线，AD=，则∠C=90°．【考点】余弦定理的应用．【分析】根据角平线的性质，可设BD=2x，CD=x，然后结合余弦定理列方程解x，然后利用余弦定理求解C即可．【解答】解：因为AD是∠A的平分线，所以=，不妨设BD=2x，CD=x，结合已知得cos∠BAD=cos∠CAD，在△ABD中由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，即：4x2=4+﹣2×cos∠BAD，…①在△ACD中，由余弦定理可得CD2=AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠CAD，即：x2=1+﹣2×cos∠BAD…②，①﹣②×2，可得：2x2=2﹣=，解得：x2=．在△ADC则，cosC===0．∠C=90°．故答案为：90°．12．S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式推导出a1=d，由此能求出的值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，，∴===，∴3a1=2a1+d，∴a1=d，∴===．故答案为：．13．在锐角△ABC中，已知∠A，∠B，∠C成等差数列，设y=sinA﹣cos（A﹣C+2B），则y 的取值范围是（﹣1，2）．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得2∠B=∠A+∠C，再化简y=sinA﹣cos2A=2﹣，根据sinA∈（0，1），利用二次函数的性质求得y的取值范围．【解答】解：锐角△ABC中，∵∠A，∠B，∠C成等差数列，∴2∠B=∠A+∠C，∴∠B=．设y=sinA﹣cos（A﹣C+2B）=sinA﹣cos2A=sinA ﹣1+2sin2A=2﹣，∵sinA∈（0，1），∴y∈（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．14．已知a n=2n，把数列{a n}的各项排成如图三角形状，记A（i，j）表示第i行中第j个数，则结论①A（2，3）=16；②A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；③[A（i，i）]2=A（i，1）•A（i，2i﹣1），（i≥1）；④A（i+1，1）=A（i，1）•22i﹣1，（i≥1）；其中正确的是①②③④（写出所有正确结论的序号）．【考点】数列的应用．【分析】观察三角形中第i行最后一个数的下脚标，得知下脚标值是该行的行数的平方，从而得到A（i，j）的表达式，再依次分析①②③④，可判断其正确性．【解答】解：依题意知，①A（2，3）=a4=24=16；即①正确；由图可知，第i行最后一个数是，∴②A（i，3）==，A（i，2）==∴A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；即②正确；③[A（i，i）]2==A（i，1）•A（i，2i﹣1）=•===[A（i，i）]2，即③正确；④A（i+1，1）==，A（i，1）•22i﹣1=•22i ﹣1=∴A（i+1，1）=A（i，1）•22i﹣1，即④正确；故答案为：①②③④．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16 （1）求{a n}的通项；（2）数列{a n}从哪一项开始小于0；（3）求a1+a3+a5+…+a19值．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】（1）由{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16，利用等差数列通项公式能求出公差d，由此能求出a n=28﹣3n．（2）由a n=28﹣3n＜0，得到n＞，由此能求出数列{a n}从第几项开始小于0．（3）a1+a3+a5+…+a19是首项为25，公差为﹣6的等差数列，共有10项，由等差数列的前n项和公式能求出其结果．【解答】解：（1）∵a4=a1+3d=25+3d=16，∴d=﹣3，∴a n=28﹣3n…（2）∵∴数列{a n}从第10项开始小于0 …（3）a1+a3+a5+…+a19是首项为25，公差为﹣6的等差数列，共有10项其和…16．在△ABC中，已知，，B=45°，求b及A．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）直接利用余弦定理，由b2=a2+c2﹣2accosB 求得结果．（2）由余弦定理可得cos，求得角A 的值．【解答】解（1）∵b2=a2+c2﹣2accosB=cos45°==8，∴．（2）∵cos，∴A=60°．17．已知α，β∈（0，），且sin（α+2β）=sinα．（1）求tan（α+β）﹣6tanβ的值；（2）若tanα=3tanβ，求α的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【分析】（1）把已知等式变形，展开两角和与差的正弦，在转化为正切求得tan（α+β）﹣6tanβ的值；（2）由（1）求出的tan（α+β）﹣6tanβ的值，展开两角和的正切，结合tanα=3tanβ求α的值．【解答】解：（1）由sin（α+2β）=sinα，得sin[（α+β）+β]=sin[（α+β）﹣β]，∴5sin（α+β）cosβ+5cos（α+β）sinβ=7sin （α+β）cosβ﹣7cos（α+β）sinβ，得2sin（α+β）cosβ﹣12cos（α+β）sinβ=0，即tan（α+β）﹣6tanβ=0；（2）由tan（α+β）﹣6tanβ=0，得，又tanα=3tanβ，∴tan，代入上式得：，解得：tanα=1，∵α∈（0，），∴．18．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin 2ωx的最小正周期为3π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，AB=2，2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求BC的长．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换得f（x）=2sin（2ωx+）﹣1，根据周期公式即可解得ω，可求当解析式；（2）根据（1）的表达式，解关于C的方程f（C）=1，结合C为三角形的内角算出C=，因此将等式2sin2B=cosB+cos（A﹣C）化成关于A的方程，整理得sin2A+sinA﹣1=0，解之即得sinA的值，利用正弦定理即可得解BC 的长．【解答】（本题满分为14分）解：∵f（x）=sin2ωx﹣2sin 2ωx=sin2ωx﹣（1﹣cos2ωx）=2sin（2ωx+）﹣1，…∴依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即=3π，解得ω=，所以f（x）=2sin（x+）﹣1．…（2）∵f（C）=2sin（+）﹣1=1，∴sin（+）=1，∵C∈（0，π），可得+∈（，），∴+=，可得C=．…∵在Rt△ABC中，A+B=，有2sin2B=cosB+cos （A﹣C），∴2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，即sin2A+sinA﹣1=0，解之得sinA=．…∵0＜sinA＜1，∴sinA=．…∵AB=2，∴由正弦定理可得：BC===﹣1．…19．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案？（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？【考点】数列的应用．【分析】（1）根据题意列出前n层可以堆积的圆钢的总数，列出不等式解不等式可得出答案；（2）（Ⅰ）根据题中要求的堆积方式写出堆积的总圆钢数关于层数n的关系式，再根据n与2x+n ﹣1的奇偶性不同讨论可能的堆积方案；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得的四种堆积方案以及题中圆钢的直径和堆积要求分别讨论符合条件的堆积方案，便可求出选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地【解答】解：（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，…第n层放n 根，∴n层一共放了S n=根圆钢，由题意可知S n=≤2000，解不等式得当n=62时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；（2）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而nx+n（n﹣1）=2009，即n（2x+n﹣1）=2×2009=2×7×7×41，因n﹣1与n的奇偶性不同，所以2x+n﹣1与n的奇偶性也不同，且n＜2x+n﹣1，从而由上述等式得：或或或，所以共有4种方案可供选择．（3）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为200cm，而200+10+10＜400，所以符合条件；若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为240cm，显然大于4m，不合条件，舍去；综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地．20．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和．【分析】（1）令n=1，即可求a1；（2）根据等差数列的定义即可证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程组进行求解即可得到结论．【解答】解：（1）令n=1，则a1=S1==0 （2）由，即，①得．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1=na n．③于是，na n+2=（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n=n﹣1（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列，于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列。
江苏省高一下学期数学第一次月考试卷
江苏省高一下学期数学第一次月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2015 高一上·福建期末) 已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的 平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（ ）A . 以上四个图形都是正确的 B . 只有（2）（4）是正确的 C . 只有（4）是错误的 D . 只有（1）（2）是正确的 2. （2 分） (2018 高二上·杭州期中) 直线的倾斜角是（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2017 高二下·淄川开学考) 在△ABC 中，AB=2BC=2，第 1 页 共 21 页，则△ABC 的面积为（ ）A.B. C.1D.4. （2 分） 设 a,b,c 为三角形 ABC 三边，且 的形状为（ ）,若 logc+ba+logc-ba=2logc+balogc-ba，则三角形 ABCA . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法确定5.（2 分）(2020·湛江模拟) 在三棱柱中，平面，，则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（ ）A.B.C.D. 6. （2 分） (2016 高二上·河北期中) 设 b、c 表示两条直线，α，β 表示两个平面，则下列命题是真命题的 是（ ） A . 若 b⊂ α，c∥α，则 b∥c B . 若 b⊂ α，b∥c，则 c∥α C . 若 c∥α，α⊥β，则 c⊥β第 2 页 共 21 页D . 若 c∥α，c⊥β，则 α⊥β7. （2 分） (2019 高二下·上海月考) 已知 题中正确的是（ ）A.若且则B.若在 上,且则C.若 D.若且 在 上,则 且 在 外,则为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列四个命8. （2 分） (2020 高三上·昆明月考) 在正三棱锥 ，则侧棱与底面所成的角为（ ）A . 60° B . 45° C . 30° D . 75°二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)中，底面是边长等于的等边三角形，侧棱9. （3 分） (2020·海南模拟) 如图，在正四棱柱，的中点，异面直与所成角的余弦值为中， ，则（ ）， ， 分别为A. B . 直线与直线共面第 3 页 共 21 页C. D . 直线与直线异面10. （3 分） (2020 高二上·福建期中) 已知直线 l 经过点 相等，则直线 l 的方程可能为（ ），且点到直线 l 的距离A.B.C.D.11. （3 分） (2020 高三上·张家口月考) 在 面四个结论正确的是（ ）中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下A.，，则的外接圆半径是 4B.若，则C.若，则一定是钝角三角形D.若，则12. （3 分） (2020 高一下·宝应期中) 在 件解三角形，其中有两解的是（ ）中，内角所对的边分别为.根据下列条A.B.C.D.三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高二下·温州期末) △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2+ac=a2+c2 ，则∠B 的大小为________．第 4 页 共 21 页14. （1 分） (2020 高二上·湖州期末) 在三棱锥，则三棱锥的体积是________.中，，，15. （1 分） (2018 高二上·牡丹江期中) 直线过点 ________，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程：16. （1 分） 如图所示，空间四边形 ABCD 中，AB=CD，AB⊥CD，E、F 分别为 BC、AD 的中点，则 EF 和 AB 所成 的角为________四、 解答题 (共 6 题；共 57 分)17. （15 分） (2017 高一上·淄博期末) 已知△ABC 的顶点 A（5，1），AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x ﹣y﹣5=0，∠B 的平分线 BN 所在直线方程为 x﹣2y﹣5=0．求：（1） 顶点 B 的坐标； （2） 直线 BC 的方程． 18. （10 分） (2019·武汉模拟) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AB=2AD=2，∠DAB=60°， PA=PC=2，且平面 ACP⊥平面 ABCD．（Ⅰ）求证：CB⊥PD；第 5 页 共 21 页（Ⅱ）求二面角 C-PB-A 的余弦值．19. （10 分） (2019 高一下·黄山期中) 如图，在凸四边形中， ， 为定点，，， 为动点，满足．（1） 求证：（2） 设和； 的面积分别为 和 ，求的最大值．20. （10 分） (2017·长宁模拟) 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 8sin2．（1） 求角 A 的大小；（2） 若 a= ，b+c=3，求 b 和 c 的值．21. （2 分） (2020 高二上·盘锦月考) 如图，在三棱锥为等边三角形，，且，是中，平面 的中点， 是平面，三角形的中点.（1） 求证：平面；（2） 求证：平面平面；（3） 求三棱锥的体积.第 6 页 共 21 页22. （10 分） (2019·乌鲁木齐模拟) 在，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求 的值.中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且，第 7 页 共 21 页一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析：第 8 页 共 21 页答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点： 解析：第 9 页 共 21 页答案：6-1、 考点： 解析：第 10 页 共 21 页答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共57分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：第21 页共21 页。
高一数学下学期第一次月考试题含解析_1_1
柘皋中学2021-2021第二学期高一数学第一次月考试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，那么5是这个数列的A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第25项【答案】B【解析】【分析】根据的数列通项公式，列方程求出项数.【详解】数列的通项公式为，由，解得，应选B.【点睛】此题考察数列通项公式的应用，属于根底题.2.中，，那么B等于A. B. 或者 C. D. 或者【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理计算，注意有两个解.【详解】由正弦定理得，故，所以，又，故或者.所以选D.【点睛】三角形中一共有七个几何量〔三边三角以及外接圆的半径〕，一般地，知道其中的三个量〔除三个角外〕，可以求得其余的四个量.〔1〕假如知道三边或者两边及其夹角，用余弦定理；〔2〕假如知道两边即一边所对的角，用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三条边〕；〔3〕假如知道两角及一边，用正弦定理.，假设，那么等于A. 13B. 15C. 17D. 48【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质，直接求解即可.【详解】等差数列，，所以应选D.【点睛】此题考察等差数列性质的应用，属于根底题.4.在中，假设，，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：在三角形中运用余弦定理建立关于的方程，然后解方程可得所求．详解：在中由余弦定理得，即，整理得，解得或者应选A．点睛：解答此题的关键是根据余弦定理建立起关于的方程，表达了灵敏应用定理解题，也表达了方程思想在解三角形中的应用．中，：：：7：8，那么的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得，再利用余弦定理即可求解.【详解】在中，：：：7：8，由正弦定理，.设，由余弦定理得，.，.应选B.【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的应用，属于三角形三边的关系求角的问题，比拟根底.满足：，那么等于A. 98B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由数列为首项为3、公差等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求出结果.【详解】数列的通项公式.应选B.【点睛】此题考察等差数列的判断和通项公式，根据条件判断数列为等差数列是解题关键，属于根底题.中，角所对应的边分别是，假设，那么三角形一定是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理边化角得，再由三角形内角和关系得，转化为；结合的范围，可得.【详解】，由正弦定理为的内角，，，，整理得，即.故一定是等腰三角形.【点睛】此题主要考察正弦定理的应用，考察正弦定理边化角及三角形内角和的应用，解题的关键是的正确解读.的前n项和为，那么A. 7B. 9C. 11D. 12【答案】B【解析】【分析】利用数列的前n项和的定义，得，求解即可.【详解】数列的前n项和为,.应选B.【点睛】此题考察数列前nn项和与通项公式之间关系的灵敏运用.中，三边长，那么等于A. 19B.C. 18D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求得，再利用数量积公式，即可求出结果.【详解】三边长，.【点睛】此题考察平面向量数量积的运算，考察余弦定理，解题关键是明确数量积中两个向量的夹角与三角形内角的关系.的前n项和为，那么A. 140B. 70C. 154D. 77【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.【详解】等差数列的前n项和为，.应选D.【点睛】此题考察等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于根底题.11.如下图，三点在地面的同一直线上，，从两点测得A的仰角分别是，那么点A离地面的高AB等于A. B.C. D.【答案】D【解析】先分别在直角三角形中表示出DB和CB，再根据列等式，求得AB.【详解】依题意可知，，.应选D.【点睛】此题考察解三角形的实际应用，考察转化思想和分析问题、解决问题的才能.中，，那么A. B. C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意可知为周期为2的数列，即，即可求出结果.【详解】，即，那么数列为周期为2的周期数列又，那么应选B.【点睛】此题考察根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考察转换思想和计算才能. 二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，那么角A的大小为______ ．【解析】【分析】根据条件和余弦定理，即可求出角A的大小.【详解】，由余弦定理得，A为的内角，.故答案为.【点睛】此题考察给出三角形的边角关系求角的问题，着重考察余弦定理，属于根底题.中，，面积，那么 ______ ．【答案】【解析】【分析】利用三角形的面积计算公式，求出，再利用余弦定理即可得出结果.【详解】，面积，又有，解得；由余弦定理.故答案为.【点睛】此题考察三角形的面积计算公式和余弦定理，属于根底题.中，假设，那么 ______ ．【解析】【分析】根据条件，确定数列为常数数列，即可求出结果.【详解】，那么.故答案为.【点睛】此题考察根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考察转换思想和计算才能. 16.如图，一辆汽车在一条程度的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，那么此山的高度 ______【答案】【解析】【分析】先根据条件得，在中利用正弦定理计算，再由为等腰直角三角形，即可求出结果.【详解】由题意可知，，，为等腰直角三角形，在中，，由正弦定理.故答案为.【点睛】此题考察解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕ABC中，分别是角的对边，且．求的大小；假设，求三角形ABC的面积和b的值．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理边化角和角B的范围，即可求出角B的大小.〔2〕利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求出结果.【详解】解：锐角中，，由正弦定理，，角A为的内角，；又B为锐角，；由，．，；【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于根底题.三角形中求值问题，需要结合条件选取正、余弦定理，灵敏转化边和角之间的关系，到达解决问题的目的．其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化；第三步：求结果，即根据条件计算并断定结果.的前n项和求数列的通项公式；求证：数列是等差数列．【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕当时，类比写出，两式相减整理得；当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式.〔2〕根据〔1〕求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可.【详解】解：当时，，当时，，满足，即数列的通项公式．证明：，当时，为常数，那么数列是等差数列．【点睛】此题主要考察数列的前项和求数列的通项公式的方法，考察等差数列的判断方法.数列的前项和求数列的通项公式，求解过程分为三步：〔1〕当时，用交换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；〔2〕当时，求出；〔3〕对时的结果进展检验，看是否符合时的表达式，假如符合，那么可以把数列的通项公式合写；假如不符合，那么应该分与两段来写．中，BC边上的中线AD长为3，且．求的值；求AC边的长．【答案】〔1〕；〔2〕4【解析】【分析】〔1〕由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出.〔2〕在中，利用正弦定理得，在中利用余弦定理即可求出.【详解】解：因为，所以．又，所以，所以．在中，由得，解得．故，在中，由余弦定理得，得．【点睛】此题考察两角差的正弦公式，考察正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题.满足．证明数列为等差数列；求数列的通项公式．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.〔2〕由〔1〕可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【详解】证明：，且有，，又，，即，且，是首项为1，公差为的等差数列．解：由知，即，所以．【点睛】此题考察数列递推关系、等差数列的判断方法，考察了运用取倒数法求数列的通项公式，考察了推理才能和计算才能，属于中档题.中，三个内角所对的边分别为，且满足．求角C的大小；假设的面积为，求边c的长．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用余弦定理得和，代入条件，即可求出角C的大小；〔2〕利用三角形面积公式得，再利用余弦定理，即可求出边c的长．【详解】解：由余弦定理可得：，，又，又，，【点睛】此题考察了余弦定理，三角形面积公式，特殊角函数值的应用，属于根底知识考察. 解三角形问题，需要根据三角形边角关系和正、余弦定理，结合条件灵敏转化和化简条件，从而到达解决问题的目的．根本步骤是：〔1〕观察条件和所求问题，确定转化的方向；〔2〕根据条件与所求的关系选择适当的工具，转化问题；〔3〕求结果满足，且且求证：数列是等差数列；求数列的通项公式．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用，两边同除，结合等差数列的定义，即可证明数列是等差数列；〔2〕求出数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【详解】〔1〕证明：，两边同时除以，可得，又数列是以为首项，以1为公差的等差数列；解：由可知.【点睛】此题考察数列递推关系、等差数列的判断方法，考察了运用构造法求数列的通项公式，考察了推理才能和计算才能，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2021-2022学年江苏省泰州中学高一下学期第一次月度检测数学试题(含答案解析)
2021-2022学年江苏省泰州中学高一下学期第一次月度检测数学试题1. sin15∘cos75∘+cos15∘sin75∘等于( ) A. 0B. 12 C. √32 D. 12. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，则a ⃗ ⋅(2a ⃗ −b⃗ )=( ) A. 4 B. 3C. 2D. 03. 若sin(α+π4)=13，则sin2α=( ) A. 89B. 79C. −79D. −894. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80∘,sin80∘)，B(cos20∘,sin20∘)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是( ) A. 12B. √22C. √32D. 15. 已知α∈(0,π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=( ) A. 15B. √55C. √33D.2√556. 如图所示，在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，M 为AD的中点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 53B. −12C. 12D. 237. 如图，梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB//CD ，AB =BC =2，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，若点M 为边AB 上的动点，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是( )A. 1B. 54C. 73D. 748. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为√2，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，设点 P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 24B. 24+4√6C. 30+2√3D. 489. 下列等式成立的是( ) A. sin 275∘−cos 275∘=√32 B. 12sin15∘+√32cos15∘=√22C. sin75∘cos75∘=14D. tan165∘=2−√310. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则( ) A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C. |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3 D. ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为76BC |BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 下列四个等式中正确的是( ) A. tan25∘+tan35∘+√3tan25∘tan35∘=√3B. sin 50∘(1+√3tan 10∘)=1C. 已知函数f(x)=|sinx|+√3|cosx|，则f(x)的最小正周期是π2D. 已知α,β∈(0,π2)，2sin(α+β)=sinαsinβ，则cos(α+β)sinαsinβ+sin(α+β)cosαcosβ的最小值为√2−1 12. 下列说法中，错误的有( )A. 若向量a ⃗ //b ⃗ ，则存在实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗B. 非零向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ ,d ⃗ ，若满足d ⃗ =(a ⃗ ⋅c ⃗ )b ⃗ −(a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ ，则a ⃗ ⊥d ⃗C. 与向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,1)夹角相等的单位向量c ⃗ =(√22,√22)D. 已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 一定为锐角三角形 13. 已知sinα−3cosα=0，则sin 2α+sin2α=__________.14. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为2π3的两个单位向量，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ .若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则实数k 的值为__________15. 当x =x 0时，函数f (x )=sinx −2cosx 取得最大值，则tan (x 0+3π4)=__________.16. 在平面四边形ABCD 中，AB =1，DA =DB ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为__________.17. 已知k ∈R ，向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2).(1)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，求k 的值；(2)若向量2a ⃗ −b⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，求k 的取值范围. 18. 已知α，β为锐角，tanα=12，cos(α+β)=−√210.(1)求tan2α的值； (2)求α−β的值．19. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6米，最低点B 处离地面3米．若从离地高2米的C 处观赏它，视角为θ.(1)若tanθ=34时，求C 点到墙壁的距离． (2)当C 点离墙壁多远时，视角θ最大？20. 如图，M 为ΔABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交AB,AC 两边于点P,Q ，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，请求出x 、y 的关系式，并记y =f(x)；(1)求函数y =f(x)的表达式；(2)设ΔAPQ 的面积为S 1，ΔABC 的面积为S 2，且S 1=kS 2，求实数k 的取值范围． (参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．)21. 扇形AOB 的中心角为60∘，所在圆半径为√3，它按如图(Ⅰ)(Ⅰ)两种方式有内接矩形CDEF.(Ⅰ)矩形CDEF 的顶点C 、D 在扇形的半径OB 上，顶点E 在圆弧AB ⌢上，顶点F 在半径OA 上，设∠EOB =θ；(Ⅰ)点M 是圆弧AB ⌢的中点，矩形CDEF 的顶点D 、E 在圆弧AB ⌢上，且关于直线OM 对称，顶点C 、F 分别在半径OB 、OA 上，设∠EOM =φ；试研究(Ⅰ)(Ⅰ)两种方式下矩形面积的最大值，并说明：两种方式中哪一种矩形面积的最大值更大？22. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(−1,0)，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且∠AOC =θ，其中点O 为坐标原点.(1)若θ=3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值； (2)若θ∈[0,π2]，向量m ⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ =(1−cosθ,sinθ−2cosθ)，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最小值及对应的θ值.答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查两角和与差的正弦公式，属于基础题. 利用两角和的正弦公式即可求出答案. 【解答】解：sin15∘cos75∘+cos15∘sin75∘=sin (15∘+75∘)=sin90∘=1. 故选：D.2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题. 由平面向量的运算法则求解即可. 【解答】解：a ⃗ ⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =2−(−1)=3.故选B.3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式及其应用，属于基础题. 直接根据二倍角公式化简sin(α+π4)再平方即可得出答案. 【解答】解：∵sin(α+π4)=sinαcos π4+cosαsin π4=√22(sinα+cosα)=13， 即√22(sinα+cosα)=13，两边平方可得(√22)2(sinα2+2sinαcosα+cos 2α)=19，整理可得 1+2sinαcosα=29，得2sinαcosα=−79，即sin2α=−79， 故答案选C.4.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量模的坐标运算，两角和与差的余弦公式进行化简求值，属于基础题.根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．【解答】解：∵A(cos80∘,sin80∘)，B(cos20∘,sin20∘)，⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cos20∘−cos80∘)2+(sin20∘−sin80∘)2∴|AB=√2−2cos60∘=1.故选D.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角公式及同角三角函数关系式，考查推理能力和计算能力，属于基础题.解法一：利用二倍角公式及同角三角函数关系式即可求解；，再通过构造直角三角形，结合三解法二：利用二倍角公式及同角三角函数关系式得到tanα=12角函数的定义即可求解.【解答】解：解法一：∵2sin2α=cos2α+1，∴4sinαcosα=2cos2α−1+1，∴4sinαcosα=2cos2α.)，∵α∈(0,π2∴cosα≠0且sinα>0，∴2sinα=cosα.又∵sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1.∴sinα=√5(负值舍去).5故选B.解法二：∵2sin2α=cos2α+1，∴4sinαcosα=2cos2α.又∵α∈(0,π2)， ∴cosα≠0， ∴2sinα=cosα，∴tanα=12.如图，构造直角三角形，易知sinα=1√5=√55.故选B.6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量的三角形法则、平面向量的基本定理，属于中档题.通过解直角三角形得到BD =13BC ，利用向量的三角形法则表示出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理即可求出λ，μ值． 【解答】解：因为在ΔABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘， AD 为BC 边上的高，所以在ΔABD 中，BD =12AB =1， 又BC =3 所以BD =13BC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵M 为AD 的中点，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=12,μ=16，∴λ+μ=23.故选D.7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查平面向量在几何中的应用，向量数量积的坐标运算，属于中档题. 建立平面直角坐标系，根据题设条件，并求出MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式即可求解. 【解答】解：以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，设D(2,n)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,n)， 因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 所以4−2n =−2，解得n =3，即D(2,3)，设M(0,y)，y ∈[0,2]，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−y)，MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3−y)， 所以MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4−y(3−y)=(y −32)2+74≥74，当且仅当y =32时等号成立， 所以MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为74. 故选D.8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查向量的数量积和平面向量的坐标运算，三角函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题.以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，过A 且垂直于AD 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2√3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6+√2cosθ,−2√3+√2sinθ)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =24+4√6sin (θ+φ)，其中tanφ=√22√6=√3，即可求解.【解答】解：如图，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，过A 且垂直于AD 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,2√3), C(6,2√3)，设P(8+√2cosθ,√2sinθ)， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2√3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6+√2cosθ,−2√3+√2sinθ)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =36+6√2cosθ−12+2√6sinθ=24+4√6sin (θ+φ)，其中tanφ=√22√6=√3，当sin (θ+φ)=1时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为24+4√6. 故选B.9.【答案】AC【解析】 【分析】本题重点考查三角恒等变换，属于基础题.利用二倍角公式，诱导公式和两角和的正弦公式即可判断. 【解答】解：对于A 、sin 275∘−cos 275∘=−cos150∘=√32，正确； 对于B 、12sin15∘+√32cos15∘=sin(15∘+60∘)=sin75∘≠√22，故错误；对于C 、sin75∘cos75∘=12sin150∘=14，正确； 对于D 、因为tan165∘=−tan15∘<0，故错误； 故本题选AC.10.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查了向量线性运算的坐标表示，向量数量积的坐标运算，涉及等边三角形的性质，属于常考题．以AB 的中点E 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则可得A ，B ，C ，E ，D 的坐标，设出点O 的坐标，利用向量共线求出点O 的坐标，然后再针对各个选项求出对应的坐标，利用平面向量的相关知识即可求解． 【解答】解：如图所示，以AB 的中点E 为坐标原点建立平面直角坐标系，因为AB =2，可得A(−1,0)，B(1,0)，C(0,√3)，E(0,0)，D(−13,2√33)， 设O(0,y)，其中y ∈(0,√3)，因为B ，O ，D 三点共线，则BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又由BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,y),DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,y −2√33)，所以13×y =−1×(y −2√33)，解得y =√32， 即O 是CE 的中点，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 A 错误；在△ABC 中，由点E 是AB 的中点，可得CE ⊥AB ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以B 正确； 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)+(1,−√32)+(0,√3−√32)+(−13,2√33−√32)=(−13,−√33)， 所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(−13)+(−√33)=23，所以C 错误； 因为ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，可得ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量的模为ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为76BC|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以D 正确.故选：BD.11.【答案】AB【解析】 【分析】本题主要考查两角和与差的三角函数，需要学生具有较强的综合能力，属于中档题.对于A ，结合两角和的正切函数公式，即可求解，对于B ，利用正切化正弦、余弦，然后通分，利用两角和的正弦函数公式、二倍角公式化简，最后利用诱导公式求出结果，即可求解；对于C ，验证知f(x +π2)≠f(x)，即可求解；对于D ，将，2sin(α+β)=sinαsinβ整理可得 2tanα+2tanβ=tanαtanβ，将cos(α+β)sinαsinβ+sin(α+β)cosαcosβ整理为1tanαtanβ+12tanαtanβ−1，应用均值不等式，验证知等号成立的条件不成立，即可求解. 【解答】解：对于A ，tan60∘=tan(25∘+35∘)=tan 25∘+tan 35∘1−tan 25∘⋅tan 35∘=√3，则tan25∘+tan35∘+√3tan25∘tan35∘=√3，故A 正确； 对于B ，sin50∘(1+√3tan10∘)=sin50∘(cos10∘+√3sin10∘)cos10∘=sin50∘⋅2(sin10∘cos30∘+cos10∘sin30∘)cos10∘=sin50∘⋅2sin40∘cos10∘=2sin50∘cos50∘cos10∘=sin100∘cos10∘=cos10∘cos10∘=1，故B 正确； 对于C ，f(x +π2)=|sin(x +π2)|+√3|cos(x +π2)|=|cosx|+√3|sinx|≠f(x)，故C 错误；对于D ，2sin(α+β)=2sinαcosβ+2cosαsinβ=sinαsinβ，即2tanα+2tanβ=tanαtanβ，cos(α+β)sinαsinβ+sin(α+β)cosαcosβ=cosαcosβ−sinαsinβsinαsinβ+sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ=1tanαtanβ−1+tanα+tanβ=1tanαtanβ+12tanαtanβ−1≥2√12−1=√2−1， 当且仅当1tanαtanβ=12tanαtanβ时，等号成立，但此时tanαtanβ=√2，tanα+tanβ=√22，两式联立的方程组无解，故等号无法取得，故D 错误. 故选AB.12.【答案】ACD【解析】 【分析】本题综合考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、向量的夹角等基础知识与基本技能方法，属于中档题．对于A ，a ⃗ 为非零向量，b ⃗ 为零向量时结论不成立；对于B ，a ⃗ ⋅d ⃗ =(a ⃗ ⋅c ⃗ )(a ⃗ ⋅b ⃗ )−(a ⃗ ⋅b ⃗ )(a ⃗ ⋅c ⃗ )=0，即可得出；对于C ，与向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,1)夹角相等的单位向量c ⃗ =(√22,√22)或c ⃗ =(−√22,−√22)；对于D ，由|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(t −1)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(t −1)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，结合向量的几何意义可判断出∠C 为直角. 【解答】解：对于A ，若a ⃗ 为非零向量，b⃗ 为零向量时，这样的λ不存在，故A 不正确； 对于B ，非零向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ ,d ⃗ ，若满足d ⃗ =(a ⃗ ⋅c ⃗ )b ⃗ −(a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ ，则a ⃗ ⋅d ⃗ =(a ⃗ ⋅c ⃗ )(a ⃗ ⋅b ⃗ )−(a ⃗ ⋅b ⃗ )(a ⃗ ⋅c ⃗ )=0，∴a ⃗ ⊥d⃗ ，B 正确； 对于C ，与向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,1)夹角相等的单位向量c ⃗ =(√22,√22)或c ⃗ =(−√22,−√22)，因此C不正确；对于D ，∵|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(t −1)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(t −1)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |对任意t ∈R 成立， 结合向量的几何意义知，只有CA ⊥CB 时才能满足条件，即△ABC 一定是直角三角形，D 选项错误. 综上，错误的选项是ACD.13.【答案】32【解析】 【分析】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.首先根据同角三角函数的基本关系求出tanα，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【解答】解：因为sinα−3cosα=0，所以tanα=sinαcosα=3，所以sin 2α+sin2α=sin 2α+2sinαcosα=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α =tan 2α+2tanαtan 2α+1=32+2×332+1=32故答案为：32.14.【答案】54【解析】 【分析】本题考查向量的数量积公式、向量的运算律、向量模的平方等于向量的平方，属于基础题.利用向量的数量积公式求出e 1→⋅e 2→，利用向量的运算律求出a→⋅b →，列出方程求出k.【解答】解：∵e 1→，e 2→是夹角为2π3的两个单位向量， ∴e 1→⋅e 2→=|e 1→||e 2→|cos2π3=−12，∴a →⋅b →=(e 1→−2e 2→)⋅(ke 1→+e 2→)=ke 1→2−2ke 1→⋅e 2→+e 1→⋅e 2→−2e 2→2=2k −52.∵a →⋅b →=0，∴2k −52=0解得k =54. 故答案为54.15.【答案】−3【解析】 【分析】本题主要考查了辅助角公式，诱导公式，两角和与差的三角函数公式的应用，属于中档题. 利用辅助角公式得出f(x)=√5sin(x −φ)，分析可得出x 0=φ+π2+2kπ(k ∈Z)，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解. 【解答】解：利用辅助角公式得f(x)=sinx −2cosx =√5(√55sinx −2√55cosx)=√5sin(x −φ)， 其中tanφ=2，当x =x 0时，函数f(x)取得最大值，则x 0−φ=π2+2kπ(k ∈Z)， 所以x 0=φ+π2+2kπ(k ∈Z)，所以tan(x 0+3π4)=tan(φ+π2+2kπ+3π4)=tan(φ+3π4+π2)=sin (φ+3π4+π2)cos (φ+3π4+π2)=cos(φ+3π4)−sin(φ+3π4)=−1tan(φ+3π4)又tan(φ+3π4)=tanφ−11+tanφ=2−11+2=13， 所以tan(x 0+3π4)=−3 故答案为：−3.16.【答案】2√5【解析】【分析】本题考查平面向量的几何运用.以点A 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，得到点A ，B 的坐标，设出点C ，D 坐标，根据条件找到点的坐标之间的关系式，再根据向量模的坐标运算以及基本不等式，即可求得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值． 【解答】解：以点A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(1,0)，由DA =DB ，可知D 在线段AB 的中垂线上，设D(12,t)，C(m,n)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,n)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12 ,t)， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，可以得到{m =3,12m +nt =2,所以nt =12，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(m,n)+2(12,t)|=|(4,n +2t)|=√16+(n +2t)2， 而(n +2t)2=n 2+4t 2+4nt ≥4nt +4nt =8nt =4，当且仅当n =2t 时取得等号， 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√16+4=2√5， 故答案为2√5.17.【答案】解：(1)依题意，a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)，则2a ⃗ −b ⃗ =(2−k,2k)，又(2a ⃗ −b ⃗ )//b ⃗ ，得2(2−k)=2k 2，即k 2+k −2=0， 解得k =−2或1；(2)2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则(2a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ >0且2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 不平行， 即(2−k)k +4k >0，即k 2−6k <0，解得0<k <6， 由(1)知，当k =1时，2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，∴k ≠1， 综上k 的取值范围是(0,1)∪(1,6).【解析】本题考查向量的运算，考查平面向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)先求出2a ⃗ −b ⃗ =(2−k,2k)，再由(2a ⃗ −b ⃗ )//b ⃗ ，得k 2+k −2=0，由此能求出k ； (2)2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则(2a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ >0且2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 不平行，由此能求出结果．18.【答案】解：(1)因为tan α=12，所以tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×121−(12)2=43.(2)因为α，β为锐角，且tan α=12，可得sin α=√55,cos α=2√55， 所以sin 2α=2sin αcos α=2×√55×2√55=45， cos 2α=1−2sin 2α=1−2×(√55)2=35，又由0<α+β<π且cos (α+β)=−√210，可得sin (α+β)=7√210， sin (α−β)=sin [2α−(α+β)]=sin 2αcos (α+β)−cos 2αsin (α+β) =45×(−√210)−35×7√210=−√22，因为α，β为锐角，可得α−β∈(−π2,π2)， 所以α−β=−π4.【解析】本题考查同角三角函数关系、两角和(差)的正弦公式及二倍角公式，考查运算求解能力，属于中档题．(1)利用二倍角的正切公式求解，即可得；(2)利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及两角差的正弦公式求解，即可得．19.【答案】解：(1)设C 点到墙壁的距离CD =x 米(x >0)，在Rt △BCD 中，BD =3−2=1米，则tan∠BCD =BD CD =1x， 在Rt △ACD 中，AD =6−2=4米，则tan∠ACD =AD CD=4x，所以tanθ=tan(∠ACD −∠BCD)=tan∠ACD−tan∠BCD 1+tan∠ACDtan∠BCD=4x −1x 1+4x2=3xx 2+4(x >0)，因为tanθ=34，所以3xx 2+4=34，解得x =2， 所以当tanθ=34时，C 点到墙壁的距离为2米． (2)由(1)知tanθ=3xx 2+4(x >0)，所以tanθ=3x+4x≤2√x⋅4x=34，当且仅当x =4x ，即x =2时取等号， 所以tanθ的最大值为34，所以当C 点离墙壁为2米时，视角θ最大．【解析】本题考查两角差的正切公式以及由基本不等式求最值，属于中档题．(1)设C 点到墙壁的距离CD =x(x >0)，由题意解直角三角形求出tan∠BCD 、tan∠ACD 关于x 的表达式，由两角差的正切公式求出tanθ=3xx 2+4，结合tanθ=34求出x 的值．(2)由(1)知tanθ=3x+4x，利用基本不等式求出tanθ的最大值，从而确定C 点距离墙壁的距离多远时视角最大．20.【答案】解：(1)∵D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵P,Q,M 三点共线，∴AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λx AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故{λx =14(1−λ)y =14，消去λ得：14x +14y=1， 当Q 与C 重合时，y =1，此时x =13，∴y =f (x )=x 4x −1(13≤x ≤1). (2)设ΔABC 的面积为S 2=1， 则ΔAPQ 的面积S 1=xy =x 24x−1(13≤x ≤1)，令t =4x −1，则t ∈[13,3] ， ∴S 1=(t+1)216t=116(t +1t+2)， ∴k =S1S 2=116(t +1t +2)，t ∈[13,3]，当t =1时，k min =14； 当t =13或3时，k max =13，∴k ∈[14,13].【解析】本题考查平面向量基本定理的应用、函数解析式和值域的求解问题，及到平面向量基本定理的应用、对勾函数的性质的应用，属于中档题.(1)利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；由P,Q,M 三点共线可知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此得到AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而构造方程消掉变量λ即可得到所求函数表达式；(2)设S 2=1，则S 1=xy ，由(1)中结论可表示为关于x 的函数；利用k =S1S 2，结合换元法可将问题转化为对号函数值域的求解问题，通过参数t的范围，结合对勾函数单调性可确定最值，进而得到所求范围.21.【答案】解：(Ⅰ)如图所示，在直角△OED中，∠EOD=θ，则OD=√3cosθ，ED=√3sinθ，又由CD=OD−OC=√3cosθ−CFtan60∘=√3cosθ−sinθ，所以S CDEF=ED⋅CD=√3sinθ(√3cosθ−sinθ)=3sinθcosθ−√3sin2θ=32sin2θ−√32(1−cos2θ)=√3sin(2θ+π6)−√32.当2θ+π6=π2，即θ=π6时，矩形CDEF的面积最大，最大值为S max=√32.(Ⅰ)如图所示，令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，则EN=√3sinφ，于是ED=2√3sinφ，又由CD=PN=ON−OP=√3cosφ−FPtan30∘=√3cosφ−3sinφ，所以S CDEF=ED⋅CD=2√3sinφ(√3cosφ−3sinφ)=3sin2φ−3√3(1−cos2φ)=6sin(2φ+π3)−3√3，当2φ+π3=π2时，即φ=π12时，矩形CDEF的面积最大，最大值为6−3√3，因为√32>6−3√3，所以(Ⅰ)(Ⅰ)两种方式下矩形面积的最大值为√32，方式(Ⅰ)中矩形面积的最大值更大..【解析】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的三角恒等变换公式进行化简，属于中档题．(Ⅰ)用所给的角得到矩形的面积S CDEF=√3sin(2θ+π6)−√32，结合三角函数的性质，求得最大值；(Ⅰ)用所给的角得到矩形的面积S CDEF=6sin(2φ+π3)−3√3，结合三角函数的性质，求得最大值，然后比较两个面积的最大值，即可得到结果.22.【答案】解：(1)设点D(t,0)(0≤t ≤1)，则OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)， 因为|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∠AOC =3π4，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos 3π4,sin 3π4)=(−√22,√22)，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22+t,√22)， 所以|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(t −√22)+12， 所以当t =√22时，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值√22. (2)因为点B(−1,0)、C(cosθ,sinθ)， 所以m ⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1,sinθ)， 又n ⃗ =(1−cosθ,sinθ−2cosθ)，所以m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =1−cos 2θ+sin 2θ−2sinθcosθ=1−cos2θ−sin2θ=1−√2sin(2θ+π4)， 因为θ∈[0,π2]，所以π4≤2θ+π4≤5π4，所以当2θ+π4=π2，即θ=π8时，sin(2θ+π4)取得最大值1，即m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 取得最小值1−√2. 所以m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最小值为1−√2，此时θ=π8.【解析】本题考查求正弦型函数的最值、向量模的坐标表示、任意角的三角函数的定义、向量数量积的坐标运算、三角恒等变换的综合应用、二次函数的最值，属于中档题.(1)设点D(t,0)(0≤t ≤1)，由向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示求出|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |关于t 的表达式，利用二次函数的性质求出其最小值.(2)由向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算求出m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 关于θ的表达式，利用二倍角正弦和余弦公式和辅助角公式化简m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的表达式，根据正弦型函数的值域求出m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最小值以及θ的值.。
2020-2021学年江苏省泰州中学高一下学期第一次月度检测数学试题
2020-2021学年江苏省泰州中学高一下学期第一次月度检测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则BC =（） A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--2．已知角α的终边经过点(3,4)P -，则tan2α=（） A ．247-B ．83C ．83-D ．2473．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 4．若α为第三象限角，则等于1cos 21cos 2cos sin αααα+--=（）A ．0B ．1C ．1-D ．25．在ABC △中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 点D ，则AC CD ⋅=（）A ．1-B ．2-C ．3D ．3-6．已知在ABC △中，1cos 63A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，那么sin cos 6A A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（） A ．3B 3C ．23D 237．若O 是ABC △所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △一定是（） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形8．如图，在ABC △中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AB y AC +=+，则14x y+的最小值为（）A ．32B ．2C ．52D ．92二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---，若ABC ∠为锐角，则实数m 可能的取值是（） A ．12-B ．0C ．12D ．110．已知函数33()sin 222f x x x =+，则下列选项正确的有（） A ．()f x 的最小周期为πB ．曲线()y f x =关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．()f x 3 D ．曲线()y f x =关于直线6x π=对称11．若a ，b ，c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则||a b c +-的值可能为（） A 21-B ．1C 2D ．212．点O 在ABC △所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．已知平面向量OA 、OB 、OC 满足||||||OA OB OC ==，且0OA OB OC ++=，则ABC △是等边三角形B ．若||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭0||||BC BA OB BC BA ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，则点O 为ABC △的垂心C ．若()OA OB AB +⋅=()0CB OC BC +⋅=，则点O 为ABC △的外心D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC △的内心三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．已知向量(2,1)a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，若()a b //c +，则m = ． 14．若两个向量a 与b 的夹角为3π，且a 是单位向量，向量||2b =，2c a b =+，则向量c 与b 的夹角为 ．15．sin15cos75︒︒= ．16．正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知||2a =，||3b =，a 与b 的夹角为60︒，53c a b =+，3d a kb =+，当实数k 为何值时． （1）c //d ； （2）c d ⊥．18．已知ABC △中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE ； （2）当2AE EB =时，试求AD CE ⋅．19．已知函数()23cos f x x x =22cos 1()x x +-∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值． 20．如图所示，OBC △中，点A 为BC 中点，点D 是线段OB 上靠近点B 的一个三等分点，CD ，OA 相交于点E ，设OA a =，OB b =．（1）用a ，b 表示OC ，DC ；（2）若OE OA λ=，CE DC μ=，求λ和μ． 21．已知函数3()sin 2f x a b x ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭13cos 2a b x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，且(0)1f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的解析式；（2）已知2()23g x x x m =-+-，若对任意的1[0,]x π∈，总存在2[2,]x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围．22．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的图像如下图所示，点B ，D ，F 为()f x 与x 轴的交点，点C ，E 分别为()f x 的最高点和最低点，若将其图像向右平移12个单位后得到函数()g x 的图像，而函数()g x 的最小正周期为4，且在0x =处取得最小值．（1）求参数ω和ϕ的值；（2）若1A =，求向量2BC CD -与向量3BC CD +之间夹角的余弦值；（3）若点P 为()f x 函数图像上的动点，当点P 在C ，E 之间运动时，1BP PF ⋅≥恒成立，求A 的取值范围．江苏省泰州中学高一第二学期第一次月度质量检测数学试卷参考答案一、单项选择题1．答案：A2．答案：D因为4tan3a=-，所以2tantan21tan2aαα==-2422437413⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭．3．解析：选A．如图所示，1122EB ED DB AD CB=+=+=111()()222AB AC AB AC⨯++-3144AB AC=-，故选A．4．解析：选A．因为α为第三象限角，所以sin,cos0αα<，则1cos21cos2cos sinαααα+--1(12sin2)12cos21cosααα--+-=-cos sin20cos sinαααα--⎫=-=⎪⎭．5．答案：D6．答案：选A．因为cos sin626A Aπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin33Aπ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以3sin cos62A A Aπ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭133sin22A A⎫=+=⎪⎪⎭33sin33Aπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭．7．答案：选B．8．答案：D解：如图可知x，y均为正，设B，D，E，C共线，1m n∴+=，1λμ+=，则2x y m nλμ+=+++=，14114()2x y x y x y ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭1452y x x y ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭1495222y x x y ⎛+⋅= ⎝， 则14x y +的最小值为92，故选D ． 二、多项选择题 9．解答：ABD由题意可知，(3,1)BA =--，(1,)BC m m =---， 因为ABC ∠为锐角所以330BA BC m m ⋅=++> 可得34m >- 当12m =时，BA//BC ，0ABC ∠=︒ 所以，当ABC ∠为锐角时实数m 的取值范围是311,,422⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：311,,422⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 10．答案：ACD 解析：函数()326f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由于()f x 的最小正周期22T ππ==，故正确； 对于B ，由于33sin 20336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误； 对于C ，由于max ()3f x =，故正确； 对于D ，323666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭D 正确；故选ACD ．11．答案：AB解析：因为a ，b ，c 均为单位向量，0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，所以2()0a b c a b c ⋅-⋅++≤，所以()1c a b ⋅+≥， 而2||()a b c a b c +-=+-=222222b c a b a c b c a +++⋅-⋅-⋅32()321c a b =-⋅+≤-=，所以选项C ，D 不正确．故选AB ．12．解：选项A ，平面向量OA 、OB 、OC 满足||||(0)OA OB OCr r ===>∣， 且0OA OB OC ++=，OA OB OC ∴+=-，222||2||||OA OA OB OB OC ∴+⋅+=，即22222cos(,)r r OA OB r r +⋅+=，1cos(,)2OA OB ∴=-，OA ∴，OB 的夹角为120︒，同理OA 、OC 的夹角也为120︒，ABC ∴△是等边三角形，故A正确；选项B ，向量||AC AC ，||ABAB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量， 设为AC '和AB '，则它们的差是向量B C ''，则当||||0AC AB AC AB ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即OA B C ''⊥时，点O 在BAC ∠的平分线上，同理由|0|||BC BA OB BC BA ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，知点O 在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC △的内心而不一定是垂心，故B 错误；选项C ，OA OB +是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的一条对角线， 而||AB 是该平行四边形的另一条对角线，()0AB OA OB ⋅+=表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即||||OA OB =，同理有||||OB OC =，于是O 为ABC △的外心，故C 正确； 选项D ，由OA OB OB OC ⋅=⋅得0OA OB OB OC ⋅-⋅=，()0OB OA OC ∴⋅-=，即0OB CA ⋅=，OB CA ∴⊥，同理可证OA CB ⊥，OC AB ⊥，OB CA ∴⊥，OA CB ⊥，OC AB ⊥，即点O 是ABC △的垂心而不一定时内心，故D 错误．故选：AC ． 三、填空题 13．答案：1-解析：(21,1)(1,1)a b m m +=--+=-，由()a b //c +，得12(1)(1)0m ⨯--⨯-=，即1m =-． 14．答案：3π15．答案：24- 16．以AB ，AC 为x ，y 轴建立直角坐标系则(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，设(,)(01)P x y x ≤≤，则(,),AP x x =，(1,)PB x x =--，(,1)PD x x =--， ()2(12)AP PB PD x x ∴⋅+=-2114(01)44x x ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭，∴当14x =时，函数有最大值为14； 当1x =时，函数有最小值为2-，()AP PB PD ∴⋅+的取值范围是12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．综上所述，答案是：12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．四、解答题 17．答案：（1）c //d∴存在实数λ，使得d c λ=3(53)a kb a b λ∴+=+353k λλ=⎧∴⎨=⎩，解得95k = （2）23cos603a b ⋅=⨯⨯︒=c d ⊥(3)(53)c d a kb a b ∴⋅=+⋅+ 22153(59)a kb k a b =+++⋅22152333(59)0k k =⨯+⨯++=解得2914k =-18．答案：（1）CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点，2CB b ∴=，2AB CB CA b a ∴=-=-，12CE CA AE a AB =+=+11(2)22a b a a b =+-=+． （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设(0,)A a ，B ∴点坐标为(,0)a ，另设点E 坐标为(,)x y ，点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，又2AE EB =，(,)2(,)x y a a x y ∴-=--，23a x ∴=，3ay =， 所以,2a AD a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2()0233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=． 19．解：（1）()32cos 2f x x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以T π= 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 由函数图像知()[1,2]f x ∈-．（2）解：由题意03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 而0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以0cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2041sin 265x π⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭所以00cos2cos 266x x ππ⎤⎡⎫=+-⎪⎥⎢⎣⎭⎦4331343525210-=-⨯+⨯=． 20．解：解：（1）2OC OB OA +=，22OC OA OB a b ∴=-=-，DC OC OD =-=252233a b b a b --=-． （2）CE OE OC a λ=-=-(2)(2)a b a b λ-=-+，又由E 在CD 上，CE 与DC 共线，∴存在实数μ，使CE DC μ=，即5(2)23a b a b λμ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 解方程组，得45λ=，35μ=-． 21．解：（1）因为(0)1f=-，13fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1(0)1211132222f a f a b a π⎧=-=-⎪⎪⎨⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 解得1a =，b = 13()sin cos 2222f x x x ⎛⎛⎫=++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． （2）因为[0,]x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[1,2]f x ∈-． ()g x 的图象的对称轴是1x =．①当21m -<<时，2min ()()3g x g m m m ==--，max ()(2)5g x g m =-=+，则2213152m m m m -<<⎧⎪--≤-⎨⎪+≥⎩，解得11m -≤<，符合题意；②当14m ≤≤时，min ()(1)4g x g m ==-，max ()(2)5g x g m =-=+，则144152m m m ≤≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得13m ≤≤，符合题意； ③当4m >时，min ()(1)4g x g m ==-， 2max ()()3g x g m m m ==--，则244132m m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪--≥⎩，不等式组无解．综上，m 的取值范围是[1,3]-．22．解：（1）1()sin sin 22g x A x =A x ωωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-++- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 242T =πωωπ∴=⇒=()sin 24g x A x ππϕ⎡⎤∴=+-⎢⎥⎣⎦ 又0x =时，()g x 取最小值 则242k ππϕπ-=-+，k ∈Z24k πϕπ∴=-，k ∈Z 又||ϕπ<则04k πϕ=⇒=-（2）()sin 24f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则2(1,3)BC CD -=3(4,2)BC CD +=-则(2)(3)cos 10|2||3|BC CD BC CD BC CD BC CD θ-⋅+==--⋅+ （3）P 是()f x 上动点，2()sin 4f x A x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭102,B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，902,F ⎛⎫ ⎪⎝⎭又1BP PF ⋅≥恒成立 设,sin 42P x A x ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1,sin 224BP x A x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9,sin 224PF x A x ππ⎛⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎝ 9221BP PF x x ⎛⎫⎛⎫⋅=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 4224A x A x ππππ⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2229sin 2454A x x x ππ=-+---⎛⎫ ⎪⎝⎭ 32x =或72x =时，上式有最小值 即当P 在C 活E 时，BP PF ⋅有最小值3,2P A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,2P A ⎛⎫ ⎪⎝⎭P 为3,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，(1,)BP A =，(3,)PF A =-231BP PF A ⋅=-≥，得A ≤≤又0A >，则0A <≤P 为7,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，(3,)BP A =，(1,)PF A =-231BP PF A ∴⋅=-≥同时，0A <≤综上， A ∈。
江苏省泰州市智堡中学2021年高一数学理月考试卷含解析
江苏省泰州市智堡中学2021年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是R上的增函数，则的范围是( ) A．B．C．D．参考答案：C2. 函数y = sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称,则a的值为（）A．1 B．－C．－1 D．参考答案：C3. （5分）样本4，2，1，0，﹣2的标准差是（）A． 1 B． 2 C． 4 D．2参考答案：B考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，把方差开算术平方数就得到这组数据的标准差．解答：这组数据的平均数是，∴这组数据的方差是，∴这组数据的标准差是故选B．点评：本题考查一组数据标准差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．4. 在ABC所在平面内有一点P，如果，那么PBC的面积与ABC的面积比为（）A．B．C．D．参考答案：D5. 下列图象中表示函数图象的是（）参考答案：C根据函数的定义可知对于定义域内任意一个x值，都有唯一的y值与其对应，故只有C是函数的图像.A，B，D一个x对应多个y值6. 设直线a、b是空间中两条不同的直线，平面是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A. 若∥，∥，则∥B. 若∥，∥，则∥C. 若∥，∥，则∥D. 若∥，，则∥参考答案：D【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若∥，∥，则与平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若∥，∥，则∥或，所以该选项不正确；C. 若∥，∥，则∥或，所以该选项不正确；D. 若∥，，则∥，所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7. 函数（，）的部分图像可能是（）A．B．C. D．参考答案：D对于A，B：当a>1时，,显然A，B都不符合；对于C，D：当0<a<1时，,显然D符合.8. 设a，b为正实数，下列结论正确的是①若a－b=1，则a－b<1；②若，则a－b<1；③若，则|a－b|<1；④若|a－b|=1，则|a－b|<1.A. ①②B. ②④C. ①③D. ①④参考答案：D9. 已知集合M={0，1}，集合N={x|x2+x=0），则集合M∪N等于（）A．0 B．{0} C．? D．{﹣1，0，1}参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合N中的元素，再求出其和M的交集即可．【解答】解：∵集合M={0，1}，集合N={x|x2+x=0）}={0，﹣1}，则集合M∪N={﹣1，0，1}．故选：D．10. 已知集合，则（）A. [1,2]B. (0,2)C. {1,2}D. {1}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）将半径为6的圆形铁皮减去面积为原来的的扇形，余下的部分卷成一个圆锥的侧面，则其体积为．参考答案：π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可得剩下的扇形是整个圆的，设卷成的圆锥的底面半径为r，利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长求得r的值，可得圆锥的高，从而求得圆锥的体积．解答：由题意可得剩下的扇形是整个圆的，设卷成的圆锥的底面半径为r，根据2πr=×2π×6，求得r=5，则圆锥的高为h==，故圆锥的体积为?πr2?h=×π×25?=，故答案为：π．点评：本题主要考查求圆锥的体积，注意利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长，属于基础题．12. 设实数，如果函数y=xα是定义域为R的奇函数，则α的值的集合为．参考答案：{1，3}【考点】幂函数的性质．【专题】计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】讨论α的取值，得出函数y=xα是定义域R上的奇函数时α的取值范围．【解答】解：∵实数α∈{﹣2，﹣1，，1，3}，∴当α=﹣1时，函数y=x﹣1是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，不满足题意；当α=1时，函数y=x是定义域R上的奇函数，满足题意；当α=3时，函数y=x3是定义域R上的奇函数，满足题意；∴α的取值集合为{1，3}．【点评】本题考查了幂函数的定义与单调性质的应用问题，是基础题目．13. 已知定义域为[a﹣4，2a﹣2]的奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2，则f（a）+f（b）的值为．参考答案：0【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据定义域关于原点对称，求得a=2，再根据f（x）为奇函数，求得b=﹣2，再利用奇函数的性质求得f（a）+f（b）的值．【解答】解：根据奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2得定义域为[a﹣4，2a﹣2]，可得a﹣4+（2a﹣2）=0，求得a=2，故条件为奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2得定义域为[﹣2，2]，∴f（0）=b+2=0，求得b=﹣2，∴f（x）=2016x3﹣5x，∴f（a）+f（b）=f（2）+f（﹣2）=f（2）﹣f（2）=0，故答案为：0．14. （5分）已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（3）= ．参考答案：38考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）﹣3x=t，得f（t）=3t+t，结合函数的单调性，得到方程3t+t=4只有一个解1，从而求出函数的解析式，将x=3代入求出即可．解答：令f（x）﹣3x=t，则f（x）=3x+t，f（t）=4，又f（t）=3t+t，故3t+t=4，显然t=1为方程3t+t=4一个解，又易知函数y=3x+x是R上的增函数，所以方程3t+t=4只有一个解1，故f（x）=3x+1，从而f（3）=28，故答案为：38．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了复合函数的性质，是一道中档题．15. 在一个数列中，如果对任意的，都有（为常数）,那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{a n}是等积数列，且，公积为8，则.参考答案：28由题意得，数列是等积为8的等积数列，且，∴，即，∴．同理可得，……∴数列是周期为3的数列，∴．16. 对于实数a ，b，c ，有下列命题：①若a ＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则；⑤若a＞b，，则a＞0，b＞0其中真命题为（填写序号）．参考答案：②③④【考点】不等式的基本性质．【分析】①，若a＞b，则ac与bc大小关系不定；②，若ac2＞bc2，则a＞b；③，若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，则a2＞ab＞b2；④，若c＞a＞b＞0，则0＜c﹣a＜c﹣b，??则；⑤，若a＞b，，则a＞0，b＜0．【解答】解：对于①，若a＞b，则ac与bc大小关系不定，故①是假命题；对于②，若ac2＞bc2，则a＞b，故②是真命题；对于③，若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，则a2＞ab＞b2，故③是真命题；对于④，若c＞a＞b＞0，则0＜c﹣a＜c﹣b，??则，故④是真命题；对于⑤，若a＞b，，则a＞0，b＜0，故⑤是假命题；故答案为：②③④【点评】本题考查了不等式的性质，属于中档题．17. 已知不共线，有两个不等向量，，且有当实数时，向量，共线。
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。
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江苏省泰州市高一下学期数学第一次在线月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一上·辽宁期中) 设P={质数}，Q={偶数}，则P∩Q等于（）
A . {2}
B . 2
C . N
D . ∅
2. （2分）已知是定义在R上不恒为零的偶函数，且对任意，都有，则的值是（）
A . 0
B .
C . 1
D .
3. （2分）函数y=log3（3﹣x）的定义域为（）
A . （﹣∞，3]
B . （﹣∞，3）
C . （3，+∞）
D . [3，+∞）
4. （2分） (2017高一上·红桥期末) sin 的值为（）
A .
B .
C . ﹣
D . ﹣
5. （2分）若函数与的图象关于轴对称，则满足的的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高一上·广州期末) 已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（）
A .
B . 3
C . 或3
D . 1或
7. （2分） (2020高二下·连云港期末) 已知函数 (a R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A . ( ， )
B . ( ， )
C . ( ， )
D . ( ， )
8. （2分） (2020高一下·海淀期中) 若，则下列不等式错误的是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）若函数，则是（）
A . 最小正周期为的奇函数
B . 最小正周期为的奇函数
C . 最小正周期为的偶函数
D . 最小正周期为的偶函数
10. （2分）对于函数若则（）
A . 2
B .
C .
D . 5
11. （2分） (2019高一下·南宁期中) （）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2019高一上·成都月考) 已知定义在上的函数满足，且当
时，，则（）
A . 0
B . -6
C . 18
D . -18
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·遂宁期末) 不等式的解集为________.
14. （1分） (2019高一上·丰台期中) 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为________元．
15. （1分）(2020·江西模拟) 若为定义在上的奇函数，当时，，则
________.
16. （1分） (2019高三上·镇江期中) 函数的零点个数为________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （5分） (2019高一上·四川期中) 计算： .
18. （10分） (2020高一下·江西期中) 若角的终边上有一点，且 .
（1）求m的值；
（2）求的值.
19. （10分） (2018高一上·漳平月考) 若集合， .
（1）若 ,求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
20. （15分） (2019高一上·淄博期中) 要制作一个体积为，高为的长方体纸盒，怎样设计用纸最少？
21. （5分）(2018高一下·台州期中) 已知向量 , ,函数
.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间;
（2）当时,求的值域.
22. （10分） (2019高三上·济南期中) 已知二次函数 .
（1）若是的两个不同零点,是否存在实数 ,使成立?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
（2）设 ,函数 ,存在个零点.
(i)求的取值范围;
(ii)设分别是这个零点中的最小值与最大值,求的最大值.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、21-2、
22-1、
22-2、。