2020江西省高三数学(理)第一学期三校联考.
江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题及答案
江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|A y y ==，{}|2,x B y y x A ==∈，则A B 等于（ ） A ．[1,)+∞ B ．R C ．[1,2] D ．[0,4] 2．已知i 为虚数单位2020202111i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3．α、β为不重合的平面，a 、b 为两条直线，下列命题正确的为（ ） A ．若a α⊂，b β⊂，//αβ，则//a bB ．若//a b ，b β⊂，则//a βC ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥D ．若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ⊥4．若实数x ，y 满足约束条件2302302250x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值（ ）A ．5B ．112C ．7D ．1325．若曲线x y e m =-的一条切线为1y x n e =+（e 为自然对数的底数），其中m ，n 为正实数，则m n +的值是（ ）A ．eB ．1eC ．2eD ．2e 6．设函数tan (),,00,22x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且存在0x 使得()01f x ≤ B ．奇函数，且对任意0x ≠都有|()|1f x >C ．偶函数，且存在0x 使得()01f x ≤D ．偶函数，且对任意0x ≠都有|()|1f x >7．设双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的渐近线在第一象限交于点B ，连接1BF 交双曲线的左支于A 点，则2ABF 的周长为（ ）A．2++B2 C．2+D2 8．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心．已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π 9．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于89，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）参考数据：（lg 20.3010,lg30.4771==）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知抛物线24y x =上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点为F ，则111FA FB +=是“直线AB 经过焦点F ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 11．设函数,(),x x x a f x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．1a e ≤D ．1a e< 12．若等差数列{}n a 满足22132a a +=，且11a ≥，求2312a a a a ++的取值范围（ ） A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞二、填空题13．已知向量,a b 满足||3b =，||4a b +=，||5a b -=，则向量a 在向量b 上的投影为______．14．()321212x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______．15．已知D ABC -是球O 的内接三棱锥，2,4AB BC CA BD DA =====．二面角D AB C --为120，则球O 的半径为________．16．已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．三、解答题17．如图，在ABC 中，2AB =，3B π∠=，点D 在线段BC 上．（1）若4BAD π∠=，求AD 的长；（2）若3BD DC =，且ABC S =sin sin BAD CAD ∠∠的值． 18．如图，AB 是O 的直径，动点P 在O 所在平面上的射影恰是O 上的动点C ，2PC AB ==，D 是PA 的中点，PO 与BD 交于点E ，F 是PC 上的一个动点．（1）若//CO 平面BEF ，求PC FC的值； （2）若F 为PC 的中点，BC AC =，求直线CD 与平面BEF 所成角的余弦值． 19．李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为12P P ⎛⎫> ⎪⎝⎭，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58． （1）求P 的值； （2）设ξ表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅． （1）求椭圆的标准方程．（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记ABE △与ABH 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．21．已知函数2(),()2ln x f x x e g x x -=⋅=-．（1）求函数()y f x =的单调区间．（2）()()()h x xf x g x =+，若0x 为2()y x h x '=极值点，其中()h x '为函数()h x 的导函数．证明：()042ln292ln2h x -<<-．22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121t x t t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，且1t ≠-）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点A 的极坐标为（1,0），直线:()l R θαρ=∈与1C 交于点B ，其中(0,)2πα∈过点A 的直线n 与2C 交于M ，N 两点，若n l ⊥，且2||||16,||AM AN OB ⋅=，求α的取值 23．已知函数()|1||21|f x x x =+--．（1）求()3f x ≥-的解集． （2）若存在a ，b ，关于x 的不等式|||2|||(|1||2|)(0)b a b a a x x m a +--≥++-≠有解，求实数m 的取值范围．参考答案1．C【分析】化简集合,A B ，根据交集运算的概念可求得结果.【详解】由2044x ≤-≤可得02≤≤，所以[0,2]A =，因为指数函数2x y =在[0,2]上为增函数，所以14y ≤≤，所以[1,4]B =，∴[1,2]A B =．故选：C2．B【分析】先由i 的n 次幂的性质化简，然后由复数除法法则计算出z ，再得其共轭复数后可得结论．【详解】∵20200202111,i i i i i ====，∴22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴1z i =-，虚部为1-． 故选：B3．D【分析】根据选项直接判断直线a 、b 的位置关系，可判断A 选项的正误；根据已知条件判断a 与β的位置关系，可判断BC 选项的正误；利用空间向量法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若a α⊂，b β⊂，//αβ，则a 与b 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//a b ，b β⊂，则a β⊂或//a β，B 选项错误；对于C 选项，若αβ⊥，a α⊂，则//a β、a β⊂、a β⊥或a 与β斜交，C 选项错误；对于D 选项，设直线a 、b 的方向向量分别为m 、n ，由于a α⊥，则平面α的一个法向量为m ，b β⊥，则平面β的一个法向量为n ，因为a b ⊥，则m n ⊥，因此，αβ⊥，D 选项正确.故选：D.4．B【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线32z x y =+后可得z 的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由2250230x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩可得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故1,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合可行域，平移动直线32z x y =+至A 时，z 取最小值为11132222⨯+⨯=. 故选：B.5．C【分析】设切点坐标()00,x y ，则根据导数的几何意义可求0x 的值，从而可求,m n 的关系.【详解】 e x y '=，设切点坐标为()00,x y ，∴001,1x e x e ==-，∴11m n e e-=-+，∴2m n e+=， 故选：C.6．D【分析】 先判断函数的奇偶性，可排除A ，B ，构造函数()tan h x x x =-可得()h x 的单调递性可得答案.【详解】 因为tan (),,00,22x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以tan ()()x f x f x x --==-， 所以()f x 是偶函数，故AB 错误；令()tan h x x x =-， 则22sin sin cos sin ()cos 1cos c 111os cos x x x x x x x x h x '==-'''-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 20cos 1x <<，211cos x>， 所以()0h x '>，()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增函数， ()(0)tan 0h x h x x >=-=，即tan x x >，有tan 1x x >， 由偶函数的对称性可得,00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan 1x x >. 故选：D.【点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性，解题关键点是构造函数利用导数研究函数的单调性，属于中档题.7．A【分析】根据双曲线方程求出,,a b c ，利用双曲线的定义将2AF 化为12a AF +，可求出2ABF 的周长.【详解】由221x y -=得1,1a b ==，所以c ===2F ，双曲线经过点B 的渐近线为y x =，所以B ，所以2BF =122F F c ==所以1BF ===，所以221212222AB AF BF AB a AF BF BF BF ++=+++=++=，所以2ABF 的周长为2+故选：A【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义将2AF 化为12a AF +是解题关键. 8．A【分析】取AB 的中点D ，则CO BA ⋅1()()2CA CB CA CB =+⋅-可得a ，由余弦定理和基本不等式可得答案.【详解】取AB 的中点D ，则()CO BA CD DO BA CD BA ⋅=+⋅=⋅， ()211()()16622CA CB CA CB a =+⋅-=-=，∴2a =，又∵222cos 2c b a A bc212112882c c c c +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当c =时等号成立，∴06A π<≤.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9．C 【分析】归纳出第n 次去掉的线段的长度n a ，然后求得和n S ，解不等式89n S ≥可得． 【详解】记n a 为第n 次去掉的长度，113a =，剩下两条长度为13的线段，第二次去掉的线段长为22212233a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 第1n -次操作后有12n -条线段，每条线段长度为113n -，因此第n 次去掉的线段长度为1111122333n n n n n a ---=⨯⨯=， 所以2281391133213n nn S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎦⎛⎫=-≥ -⎪⎥⎭⎭⎢⎣=⎝，2139n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，(lg 2lg3)2lg3n -≤-，2lg 35.42lg 3lg 2n ≥≈-．n 的最小值为6．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查归纳照理，考查对数的运算．解题关键是归纳出第n 次所去掉的线段长度，计算时要先得出第n 次去掉的线段条数，即第1n -次剩下的线段条数，同时得出此时每条线段长度，从而可得第n 次所去掉的线段总长度，求和后列不等式求解． 10．B 【分析】设出直线方程与抛物线方程联解，利用焦半径公式得解. 【详解】设直线AB 为24,y x x my n x my n⎧==+⎨=+⎩消x 得方程2440y my n --=，∴12124,4y y m y y n +=⋅=-．当111FA FB+=时，则1211111x x +=++，∴121x x ⋅= ∵()221212116y y x x n ⋅⋅===，∴1n =±，显然当直线过焦点时有111FA FB+= 故选：B【点睛】利用焦半径及根与系数关系是解题关键. 11．C 【分析】x a <时，()f x a <无最大值，因此x a ≥时，()x x f x e=有最大值，利用导数求解．【详解】显然x a <时，()f x a <无最大值，x a ≥时，()x x f x e =存在最大值，1()xx f x e -'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x =时，()f x 取得极大值也是最大值．1(1)f e=，因此()f x 要有最大值，必须满足11a a e ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1a e ≤．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意()f x 的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在x a ≥时求得最大值1(1)f e =，除这个最大值取得到，即1a ≥以外还有必须满足1a e≤，否则函数无最大值． 12．B 【分析】设13a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-，根据11a ≥求出θ的范围，利用等差中项的性质得到2a ，再利用同角公式可求得结果. 【详解】设13a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-， 又∵11a ≥，1θ≥，即cos ,1]2θ∈，∴,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1322a a a θθ+==+，∴2312cos sin 3sin cos 3tan 183sin 3cos tan 3tan 3a a a a θθθθθθθθθθ++++====-++++，又∵,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以tan [1,1]θ∈-，所以83[1,1]tan 3θ-∈-+， ∴2312[1,1]a a a a +∈-+． 故选：B【点睛】关键点点睛：利用三角换元化为三角函数求解是解题关键. 13．34-【分析】把模用数量积表示后求得a b ⋅，再根据投影的定义计算． 【详解】∵||4a b +=，∴22216a b a b ++⋅=，||4a b -=，∴22225a b a b +-⋅=， ∴94a b ⋅=-，则向量a 在向量b 的投影为34||a b b ⋅=- 故答案为：34-． 14．-26 【分析】首先原式展开，再按照生成法求展开式中的常数项. 【详解】原式33321112222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，展开式中的常数项是： 2121122333112(2)2(1)226x C x C x x ⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅⋅+-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-2615 【分析】取AB 的中点E ，设ABC 的外心1O 和DAB 的外心2O ，求出121O E O E ==，连OE ，1OO ，2OO ，则12120O EO ∠=，求出OE ，再根据勾股定理可求出OA ，即为球O 的半径.【详解】2112O E BD == 【点睛】关键点点睛：利用ABC 的外心和DAB 的外心以及球的性质求解是解题关键.163 【分析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立， 24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦，∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．（1）AD =；（2）sin sin BADCAD∠∠=【分析】（1）利用正弦定理求解即可.（2）用余弦定理求出AC =sin 3sin 2BAD ACCAD ∠=∠，代入AC 值求解即可. 【详解】解：（1）∵sin sin AD AB B ADB=∠，且75ADB ︒∠==，∴AD = （2）∵1sin 23ABCA SB BC π==⋅⋅， 故算得4,3,1BC BD DC ===，在ABD △中，利用正弦定理有32sin sin BAD ADB=∠∠，在ADC 中，有1sin sin ACDAC ADC=∠∠ ∴sin 3sin 2BAD ACCAD ∠=∠，∵21416224122AC =+-⨯⨯⨯=，∴AC =∴sin sin BADCAD∠∠=18．（1）31PC FC =；（2）3. 【分析】（1）由线面平行得出线线平行，从而将PC FC转化为POEO ，再借助三角形的重心即可求解；（2）建立空间直角坐标系，分别求得11,,122CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和平面BEF 的法向量，结合夹角公式即可求解． 【详解】解：（1）因为//CO 平面BEF ，所以//EF OC ， 所以PC POFC EO=．因为D ，O 分别为,PA AB 的中点， 所以点E 为PAB △的重心，所以31PO EO =，即31PC FC = （2）如图所示建立空间直角坐标系．∴(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0),(0,0,0),(0,1,0)C P A O B -． ∵1211(1,0,1),,0,,,,13322F E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴112112,,1,,0,,,1,223333CD EF BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =00EF n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴2103312033x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩令1x =，∴(1,1,2)n =-1111(1)(2)22cos ,3||||1CD n CD n CD n ⎛⎫⨯+-⨯+-⨯- ⎪⋅〈〉===⋅直线CD 与平面BEF 【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． （2）、用空间向量坐标公式求解. 19．（1）34p =；（2）分布列见解析，3316. 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止等价于李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局，由此列式可解得结果；（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，求出ξ的每个取值的概率可得分布列，根据期望公式可得所求期望值. 【详解】（1）依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束， ∴有225(1)8p p +-=，解得34p =或14p =，∵12p >，∴34p =（2）依题意知，ξ的所有可能值为0，1，2，3， ∴111(0)4416P ξ==⨯= ∴1213116(1)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯= ∴112233131345(2)44444464P C C ξ==⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=∴12133354(3)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴随机变量ξ的分布列为：故6455433232566425616E ξ=+⨯+⨯=． 【点睛】关键点点睛：求出随机变量ξ的所有可能取值的概率是解题关键.20．（1）22143x y +=；（2【分析】（1）把已知离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅用,,a b c 表示后可解得,a b ，得椭圆方程；（2）当直线l 无斜率时，120S S -=，当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，1221212||||2S S y y y y -=-=+‖，代入12x x +转化为k 的函数，由基本不等式可得最大值． 【详解】（1）有条件可知24()()(2)a c a c b +=-，∴2131a c e b a c e++===--，又12c a =，22134a a -=，∴24a =，∴椭圆方程为22143x y +=．（2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，此时12331,,1,,022D C S S ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y联立得22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得()22223484120k x k x k +++-=， 显然0∆>，方程有根，221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++． 此时()()1221212112212||2||||22112(2)34k S S y y y y k x k x k x x k-=-=+=+++=++=+‖． 因为0k ≠，所以121234||||S S k k -=≤==+，（k =±时等号成立），所以12S S -【点睛】方法点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中面积问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元应用韦达定理，把此结果代入题中其他条件，其他量得与参数有关的式子，然后求解．21．（1）单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞；函数的单调减区间(0,2)；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求出函数()f x 的定义域，求出()'f x ，令()0f x '>和()0f x '<可得答案.(2)设2()()x x h x ϕ'=，求出其导函数，得出其单调区间，得出极值点0x 满足的条件002x x e =，利用对数可得00ln ln 2x x +=，再代入可得到()0020222ln 2h x x x =+-，然后由导数得到单调性，从而证明结论. 【详解】（1）2()xe f x x=，∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠．∴3(2)()x e x f x x'-=，由()0f x '>可得2x >或0x <，由()0f x '<可得02x << 所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞．单调减区间为(0,2)（2）∵()()2ln 0x e h x x x x=->，∴22()x x xe e xh x x --='， 令2()()2xxx x h x xe e x ϕ=-'=-,，则()2x x xe ϕ=-'又()10()xx x e ϕ'=+>' 在0x >时恒成立，所以()x ϕ'在()0+∞，是单调增函数 又∵10,(1)02ϕϕ⎛⎫<''>⎪⎝⎭，则存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0x ϕ=， 所以在()00,x 上()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，在()0,x +∞上()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增.所以0x 为()ϕx 的极值点，则002x x e =两边取对数可得()00ln ln 2x x e=，即00ln ln 2xx +=∴()()0000022000222ln 2ln 222ln 2x e h x x x x x x x =-=--=+- 令22()22ln 2x x x φ=+-，∴333424()20x x x xφ-=-='+<在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立 ∴()x φ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()0142ln 2192ln 22h h x h ⎛⎫-=<<=- ⎪⎝⎭∴()042ln292ln2h x -<<- 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间和讨论函数的极值以及证明不等式，解答本题的关键是分析出极值点0x 满足的条件01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和002xx e =，以及由此得到00ln ln 2x x +=，对隐零点的整体代换，由此得出()0020222ln 2h x x x =+-，属于中档题. 22．（1）1(sin cos ρρθθ=≠+，24y x =；（2）4πα=.【分析】（1）1C 参数方程化为211221x t y t ⎧=-+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，消去参数可得普通方程，再化为极坐标方程即可，2C 的极坐标方程化为22sin 4cos ρθρθ=，再利用转换公式求解即可.（2）根据极径的几何性质求得1||sin cos OB αα=+，求出直线n 的参数方程，再根据参数的几何意义，结合韦达定理可得24||||cos AM AN α⋅=，进而解方程可得答案.【详解】（1）1121t x t t y t -⎧=⎪⎪+⇒⎨⎪=⎪+⎩211221x t y t ⎧=-+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ∴1(1)x y x +=≠-．∴1(sin cos ρρθθ=≠+，∵22224cos sin 4cos sin 4cos sin θρρθθρθρθθ=⇒=⇒=， ∴24y x =（2）直线:()l R θαρ=∈与1C：1(sin cos ρρθθ=≠+交于点B ，所以1||sin cos OB αα=+，点A 的极坐标为（1,0），则直角坐标也是（1,0）， 因为n l ⊥，所以直线n 的倾斜角2πα+，其参数方程可以设为1cos 2sin 2x t y t παπα⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，化为1sin cos x t y t αα=-⎧⎨=⎩，代入抛物线方程有22cos 4sin 40t t αα⋅+⋅-=， ∴1224cos t t α⋅=-，可得24||||cos AM AN α⋅=，则2224||||cos 16||1sin cos AM AN OB ααα⋅==⎛⎫⎪+⎝⎭∴tan 1,tan 3αα==-（舍去）， ∴4πα=【点睛】方法点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 23．（1）{|15}x x -≤≤；（2）5144m -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法，分1x ≤-，112x -<≤，12x >三段去绝对值解不等式；（2）不等式转化为121|1||2|b bx x m a a+--≥++-，将不等式能成立转化为()min max12121b b x x m a a ⎛⎫++-≤+-- ⎪⎝⎭，分别求不等式两边的最值，求得m 的取值范围. 【详解】（1）当1x ≤-时，()2f x x =-，∴23,1x x -≥-≥-，∴1x =-． 当112x -<≤时，()3f x x =，∴33,1x x ≥-≥-，∴112x -<≤．当12x >时，2()f x x =-+，∴23,5x x -+≥-≤，∴152x <≤． 综上所述：解集为{|15}x x -≤≤（2）|||2||1||2|||||b a b a x x m a a +--≥++- ∴121|1||2|b bx x m a a+--≥++-若存在a ，b ，关于x 的不等式有解， 则()minmax12121b b x x ma a ⎛⎫++-≤+-- ⎪⎝⎭()()121221x x m x x m m ++-≥+--=+，设b t a =，则()1113121112222t t t t t t t ⎛⎫+--=+----≤+--= ⎪⎝⎭，∴3|21|2m ≥+，∴5144m -≤≤ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。
2020届江西省盟校第一次联考理科数学试题(答案)
第6小题图江西省重点中学盟校2020届高三第一次联考试卷 理科数学主命题：余江一中 严银斌 辅命题：景德镇一中 方哲 临川二中: 王晶第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1.已知集合}02|{2>--=x x x A ，集合}1)21(|{>=xx B ，则=B A IA ．(－∞,0)B ．),2(+∞C ．)1,(--∞D ．),0(+∞2．i 为虚数单位，a 为正实数，若复数21-+-=i a i a z 为纯虚数，则=a A.1B.2C.3D.23.已知实数，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110，120]内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．45. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图1、 图2、图3,则至少存在．．．．一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的编号是A. ① ②B. ① ③C.① ② ③D.② ③ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A. 0B. 2C. 4D. 2-7.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给 5个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的 一份面包个数为A. 46B. 12C. 11D. 28.已知F 1、F 2为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，直线3y x =与双曲线C 的一个交点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为A. 31+B.525+C. 423+D.32+ 9.函数()ϕ+=x y 2cos 的图像左移4π个单位后关于直线34π=x 对称，则ϕ的最小值为 A.3πB.4πC.6π D.2π 10.在下列选项中，选出一个“对于R ∈∀x ，都有012≥+-x ax 恒成立”的充分不必要条件A.41≤aB.1≥aC.41≥aD.0≥a11.在平面区域2200x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩内任取一点(),Px y ，则存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos +sin 20x y αα--=的概率为A ．316π B ．3116π- C ．434π- D ．116π-12.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为π44，则球O 的表面积为 A. 72πB. 86πC. 112πD. 128π第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知向量，的夹角为，且，，则_______．14.在二项式的展开式中，其常数项是15，如图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为______．15.过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|=m , |AF|=n ,则nm等于________． 16.已知数列{}n a 满足：1321===a a a ，2111--++=n n n n a a a a （n ≥3，*n ∈N ）,数列{}n b 满足： 12+++=n n n n a a a b （*n ∈N ）．则nn b b -+1的取值范围是__________．三．解答题：(本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 1A B a b c+=． 第14小题图（1）证明：,,a c b 成等比数列 （2）若3=c ，且4sin()cos 16C C π-=，求ABC ∆的周长。
2020届江西省名校联盟高三第三次联考数学(理)试题
2020届江西省名校联盟高三第三次联考数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()U C B A（ ）A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞-C ．(]0,3D ．()0,32．设，则｜z ｜＝（ ）A ．5B ．C ．5D ．53．已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A.7B.8C.9D.104．设2018log a =2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．c b a >>5．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x 万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x 为（ ） A.20 B.23 C.25 D.28 6．已知()()21πsin ,42f x x x f x ⎛⎫=++ ⎪'⎝⎭为()f x 的导函数,则()f x '的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900-8．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．159．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π-C ．4πD ．1610．曲线1y =:(2)4l y k x =-+有两个不同的交点，实数k 的范围是（ ） A ．(512，+∞） B ．(512，3]4C ．(0，512) D ．(13，3]411．已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ） AB ．2C ．3D ．412．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-第II 卷（非选择题; 共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．已知函数f (x )＝22,010x x log x x ⎧≤⎨->⎩，，则f (f (－2))＝________.14．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n *∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b =_________.15．给出下列四个命题：①“若0x 为()=y f x 的极值点，则()0'0f x =”的逆命题为真命题； ②“平面向量a ,b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是•0a b <； ③若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-； ④命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++≥”. 其中正确的是_________.16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．三、解答题（共70分，第17-21题为必考题，每题12分，第22、23题为选考题） （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值.18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对,,A B C 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍,,A B C 的概率分别为311,,423,乙同学购买书籍,,A B C 的概率分别为211,,322,假设甲、乙是否购买,,A B C 三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为X ,求X 的概率分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为，，，，.（1）求证：直线平面； （2）点在线段上，且23=CG ，求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (1)令21()()(03)2aF x f x ax bx x x=+++<≤其图象上任意一点P(x 0，y 0)处切线的斜率18≤k 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当0a b ==时，令1()(),()H x f x G x mx x=-=，若()H x 与()G x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ,求证：2122x x e >.21．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭，满足0m ≠且m ≠（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求实数m 的值. （二）选考题：共10分，请在第22、23题中任选一题作答22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值. 23．设函数()=2.f x x a a -+(1) 若不等式()2f x ≤解集为{}80x x -≤≤,求实数a 的值;(2)在(1)的条件下,若不等式2()(1)3f x k x ≤--解集非空,求实数k 的取值范围.。
江西省2020届高三第一次大联考数学(理)试题(解析版)
江西省2020届高三第一次大联考数学（理）试题一、单选题1．设全集I R =，集合{}2|log ,1A y y x x ==>，{|B x y ==，则（ ）A.A B ⊆B.A B A ⋃=C.AB =∅D.I A C B ⋂=∅【答案】B【解析】通过函数的值域以及函数的定义域可得{}0A y y =>，{}|1B x x =≥，B A ⊆，然后对逐个选项判断即可.【详解】∵{}{}2log ,10A y y x x y y ===>，{{}|1|B x y x x ==≥=，由此可知B A ⊆，A B A ⋃=，A B B =，()I A C B ⋂≠∅，故选：B. 【点睛】本题主要考查以函数的值域和定义域为背景，考查了集合间的运算，属于基础题. 2．已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A.()2,+∞ B.[)2,+∞C.(),1-∞-D.(],1-∞-【答案】B【解析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解. 【详解】已知{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，且M N ⊆， 所以2a ≥.故实数a 的取值范围为[)2,+∞，故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题. 3．下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若，则”的否命题 B.命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题C.命题“若x ＝1，则”的否命题D.命题“已知，若，则a ＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】根据否命题的定义写出A ，C 的否命题，用特殊法判断其是否为真命题； 根据逆命题的定义写出B 中命题的逆命题，判断真假; 根据D 命题是假命题可知D 的逆否命题为假命题. 【详解】A ．命题“若x ＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则”假命题；B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|，则x ＞y”真命题．C ．命题“若x ＝1，则”的否命题为“若x≠1，则”假命题．D ．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题． 【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用． 4．已知函数()222f x x ax =++在区间(),4-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A.[)4,+∞ B.(],4-∞C.(),4-∞-D.(],4-∞-【答案】D【解析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数()222f x x ax =++的二次项系数为正数，对称轴为直线x a =-，其对称轴左侧的图像是下降的，∴4a -≥，故4a ≤-， 因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题. 5．函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】取特殊值排除选项得到答案. 【详解】排除BD排除C故答案选A 【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.6．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是 A ．等于12.5 B ．12.5到12.6之间 C ．等于12.6 D ．大于12.6【答案】D【解析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，可得41000.12640000.125516.650016.6⨯-⨯=-=，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 7．三个数0.23，30.2，0.2log 3的大小顺序是（ ） A.0.230.230.2log 3<<B.0.230.23log 30.2<<C.0.230.2log 330.2<<D.30.20.2log 30.23<<【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1的大小即可. 【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：0.231>，300.21<<，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.8．对于实数x ，y ，若p ：4x ≠或1y ≠，q ：5x y +≠，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取特殊值6x =，1y =-,可知p ¿q ，利用逆否命题与原命题等价，可确定q ⇒p ,即可得出结论. 【详解】取6x =，1y =-，满足条件p ,此时5x y +=，即p ¿q ，故p 是q 的不充分条件，q ：5x y +≠⇒p ：4x ≠或1y ≠等价于4x =且15y x y =⇒+=，易知成立，所以p 是q 的必要条件. 故答案选B. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.9．已知函数()()2ln 1f x m x x mx =++-在()1,+∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ） A.()4,+∞ B.(],4-∞C.(),0-∞D.()0,∞+【答案】B【解析】对函数求导可得()2221m x x f x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭'=+，根据函数的单调性可得()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，等价于2102m --≥，解出即可. 【详解】()()222'211x m x m f x x m x x +-=+-=++2221m x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+. 因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()1,+∞上恒成立， 即202m x --≥在()1,+∞上恒成立，等价于2102m --≥4m ⇒≤， 故选B. 【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数问题，等价转化为恒成立问题是解题的关键，属于中档题.10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当120x x >>时，都有()()1212f x f x x x -<-成立，设tan 4a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.2c f π-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c << B.c a b << C.b c a <<D.b a c <<【答案】D【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()2212log 3log 3log 3b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，分析可得()f x 在()0+∞，上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】由于当120x x >>时，都有()()12120f x f x x x -<-成立，故()f x 在0x >上为减函数，()tan 14a f f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而0.22log 310π->>>，所以()()()0.12log 31f f f π-<<，即b a c <<.故答案为D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题．11．已知函数()22,0511,04x x x x f x a x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为[]15,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B.[)2,0-C.[]2,1--D.{}2-【答案】B【解析】分段研究，当05x ≤≤时,可得()151f x -≤≤，所以只需0a x ≤<时，114x⎛⎫- ⎪⎝⎭取值为[]15,1-的子集即可. 【详解】当05x ≤≤时，()()22211f x x x x =-+=--+，所以()151f x -≤≤；当0a x ≤<时，()114x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递增函数，所以()1104af x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭， 因为()f x 的值域为[]15,1-，所以111540aa ⎧⎛⎫-≥-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩，故20a -≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题. 12．不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A.()ln3,2 B.[)2ln3,2-C.(]0,2ln3-D.()0,2ln3-【答案】C【解析】设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，通过导数判断()g x 的单调性，结合直线()2h x ax a =-恒过定点()2,0，得到两函数的图象，结合题意得不等式组()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解出即可. 【详解】由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-. 可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x ，2x ，使得()10f x >，且()20f x >，则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．二、填空题 13．函数3()ln 4f x x =的单调递减区间是_________【答案】90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦或90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】求出导函数'()f x ，然后在定义域内解不等式'()0f x <得减区间．【详解】33'()44f x x x =-=，由3'()04f x x=<，又0x >得904x <<．∴减区间为9(0,)4，答9(0,]4也对． 故答案为9(0,)4或9(0,]4． 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间． 14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______. 【答案】10x y --=【解析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 15．以下说法中正确的是______. ①函数()1f x x=在区间()(),00,-∞⋃+∞上单调递减； ②函数11x y a +=+的图象过定点()1,2-；③若1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，则()()0f m f n ⋅<； ④方程3log 124x=的解是19x =； ⑤命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =+”的否定是()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠+. 【答案】②④⑤【解析】对于①，举出反例()1f 和()1f -；对于②，将点()1,2-代入即可得结果；对于③，()f m ，()f n 中也有可能存在一个为零；对于④，根据指数与对数的运算性质解方程即可；对于⑤，由特称命题的否定为全称命题可得结果. 【详解】说法①：函数()1f x x=在(),0-∞、()0,∞+每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：11>-，而()()11f f >-，不具有单调递减的性质； 说法②：当1x =-时，2y =，所以函数()111x y a a +=+>的图象过定点()1,2-是正确的；说法③：如果()f m ，()f n 中也存在一个为零时，就不符合()()0f m f n ⋅<，故本说法不正确； 说法④：33log l 23og 12log 491222xx x x -==-⇒⇒=⇒=，故本说法④正确； 说法⑤：命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =+”的否定是()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠+.故⑤是正确的.综上，本题的答案为②④⑤. 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，函数单调性，函数零点的性质，特称命题的否定，属于中档题.16．已知函数()cos 3sin 2f x x x =--，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小值为______.【答案】 【解析】对函数进行求导得()()()3sin 24sin 3f x x x '=-+，令sin x t =，()()g t f x '=，根据()g t 的符号以及复合函数的单调性得到()f x 的单调性，进而可得函数的最值. 【详解】因为()cos 3sin 2f x x x =--，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()2sin 6cos 2sin 612sin f x x x x x '=-=--212sin sin 6x x =+-()()3sin 24sin 3x x =-+，令sin x t =，∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()sin 0,1t x =∈， 令()()g t f x '=，则()()()3243g t t t =-+， ∴令()0g t =，则23t =，02sin 3x =， ∴当203t <<时，()0g t <，当213t <<时，()0g t >，∵函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数()f x 在区间()00,x 上递减，在区间0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，∴当23t =，即02sin 3x =，0cos 3x =时，()min 6sin cos cos f x x x x =--=∴函数()f x 的最小值为，故答案为【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，准确求导得到函数的单调性是解题的关键，考查了学生的计算能力，属于中档题.三、解答题17．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13m ≤≤；（2）1m <或23m <≤.【解析】（1）p 为真命题时，任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定p ，q 一真一假，结合（1），再化简命题q ,即可求出m 的取值范围. 【详解】对于p ：()2min 234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-，∴234m m -≥-，∴13m ≤≤.q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min210x x m -+-≤，而()2min212x x m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；（1）若p 为真，则13m ≤≤；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p ，q 一真一假. 若q 为假命题，p 为真命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；若p 为假命题，q 为真命题，则132m m m ⎧⎨≤⎩或，所以1m <.综上，1m <或23m <≤. 【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题. 18．已知函数()xf x e =.（1）若()24f a =，求实数a 的值； （2）设函数()()2xg x e kxk R =-∈，若()g x 在()0,∞+上没有零点，求k 的取值范围.【答案】（1）ln 2a =；（2）24e k <. 【解析】（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，求()()20xe h x x x=>的值域即可得到k 的范围.【详解】（1）因为()224af a e ==，即：2a e =，所以ln 2a =.（2）由题意可知，()2xg x e kx =-，函数()g x 在()0,∞+上没有零点等价于方程2xe k x=在()0,∞+上无实数解，设()()20xe h x x x =>，则()()()32'0x e x h x x x-=>， ∴()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴()h x 在2x =上取得极小值，也是最小值，∴()()224e h x h ≥=，∴24e k <.【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题. 19．设函数()()1xf x aex =+（其中 2.71828e =⋅⋅⋅），()22g x x bx =++，已知它们在0x =处有相同的切线.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式； （2）若函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e-，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）()()21xf x ex =+，()242g x x x =++；（2）32t -≤≤-. 【解析】（1）两函数在0x =处有相同的切线可知()()''00f g =，()()002f a g ===，联立求解即可（2）利用导数可求出()f x 的唯一极小值，也就是最小值()222f e-=-，转化为[]2,1t t -∈+即可求t 范围. 【详解】 （1）()()'2xf x aex =+，()'2g x x b =+，由题意，两函数在0x =处有相同的切线， ∴()'02f a =，()'0g b =， ∴2a b =，()()002f a g ===， ∴2a =，4b =， ∴()()21xf x ex =+，()242g x x x =++.（2）由（1）得()()'22xf x e x =+.当2x >-时，则()'0f x >，所以()f x 在()2,-+∞上单调递增，当2x <-时，则()'0f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递减， 而函数()()2min 22f x f e=-=-，∴[]2,1t t -∈+， 即32t -≤≤-.故实数t 的取值范围是32t -≤≤-. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.20．已知函数()221f x x ax =-+在区间[]2,3上的最小值为1.（1）求a 的值； （2）若存在0x 使得不等式()333x xxf k <⋅在[]1,1x ∈-成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）()0,∞+.【解析】（1）二次函数写出对称轴，分2a <，23a ≤≤，3a >三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出a （2）分离参数可得2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭，令13x t =，换元后求最小值，只需k 大于最小值即可. 【详解】（1）()()221f x x a a =-+-.当2a <时，()()min 2541f x f a ==-=，解得1a =；当23a ≤≤时，()()2min 11f x f a a ==-=，解得0a =不符合题意；当3a >时，()()min 31061f x f a ==-=，解得32a =，不符合题意. 综上所述，1a =. （2）因为()2332313333x x x xx xxf k k -⋅+<⋅⇒<⋅， 可化为2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭， 令13x t =，则221k t t >-+. 因[]1,1x ∈-，故1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故不等式221k t t >-+在1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解.记()()22211h t t t t =-+=-，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()min 10h t h ==， 所以k 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题. 21．已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数，的值； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）M 点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值. （2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解. 【详解】（1）的图象经过点,①,因为，则, 由条件，即②，由①②解得.（2）， 令得或，函数在区间上单调递增，,或，或【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.22．已知函数()()224ln f x x ax x -=，a R ∈.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()2g x f x x =+，求证：当1a >时，在[)1,x ∈+∞上恒有()2332g x a a >-成立.【答案】（1）()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】（1）当0a =时，对函数()f x 求导可得()()()22ln 1,0,f x x x x '=+∈+∞，解不等式得单调性；（2）对函数()g x 求导可得()()()4ln 1g x x a x '=-+，求出()g x 的最小值为()222ln g a a a a =-，将()()g x g a ≥与()222ln 21a a aa ->--相结合可证得不等式. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，当0a =时，()22ln f x x x =，()()4ln 222ln 1f x x x x x x =+=+'，令()0f x '>，即2ln 10x +>，解得12x e ->， 令()0f x '<，即2ln 10x +<，解得120x e -<<，∴函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2224ln x a g x x x x -=+，()()44ln 242g x x a x x a x '=-+-+()()4ln 1x a x =-+，由[)1,x ∈+∞得，ln 10x +>，当()1,x a ∈时，()0g x '<，当(),x a ∈+∞时，()0g x '>， ∴函数()g x 在()1,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，()()()22min 2ln g x g x g a a a a ===-极小值，∵1x >时，ln 1x x <-，∴()222ln 21a a a a ->--，即()()()22222ln 21g x g a a a a a aa ≥=->--2332a a =-.∴()2332g x a a >-成立.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，解决第二问的难点在于得到在给出的范围内得到()222ln 21a a a a ->--，属于难题.。
高三数学2024年东北三省三校联考一模数学答案
2024年高三第一次联合模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题12. 3274四.解答题15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'（2）22()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'()0f x '<则22(2sin sin 1)0x x −+−< 10'即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<即1sin 2x >解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66k k k Z ππππ++∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥4'111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又平面平面且11DB ADD A ∴⊥平面6' 111AA ADD A ⊂又平面1DB AA ∴⊥7'（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为2833111111111()3ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++1111111112831()33DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴=++ 1283128333DD ∴=,解得：11DD = 9'如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−11'设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则有140230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩所以(0,1,23)n =13'平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|1313m n m n m nθ⋅=<>=== 15'17.解：（1）由图估计甲班平均分较高3'（2）由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分； 乙班中有34的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则1113(),(),(),(),2224P A P A P B A P B A ==== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅1131522428=⨯+⨯=7'11()()()222()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯==== 8'13()()()324()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====9'所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23,55(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,310'30643101(0)6C C P X C === 11'21643101(1)2C C P X C === 12'12643103(2)10C C P X C ===13'03643101(4)30C C P X C ===14'所以X 的分布列为:15'18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=,M N 两点在双曲线C 上22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a+−∴=+− 2'22OQ MNb k k a∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=又21,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2213y x −=4'（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+联立22222470,1656720330y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则121272,2x x x x +==− 8'11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++72()2502=⨯−++=EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−45334533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨−=−+⎩⎪=⎪+⎩点P 在双曲线C 上， 22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+22222244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③又2222445530,30x y x y −=−=，245452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，245453(1)32x x y y λλ+∴−=④ 联立2222230(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨=+⎩2222231033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩245452263,3131mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥14',A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<由④式得：245453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=22245453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ+∴−+++=⑦将⑤⑥代入⑦得：222222363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ−+∴−++=−− 22263(1)312n m λλ−+∴=−121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=⋅⋅∠=221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭15'令11(),[,2]3h λλλλ=+∈ 221(1)(1)1()1,[,2]3h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫'∴∈<⎪⎢⎣⎭，()h λ单调递减(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增10()[2,]3h λ∴∈， 16'3AOB S ∆∴∈⎦17'19.（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+6' (83)(43)S n S n ∴+=+7'（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=(60)2I ∴= 10'（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，……，I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511n=1=9×20+C 92×21+C 93×22+⋯C 99×2813'=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×292=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1216'=(1+2)9−12=984117'。
2020年高考理科数学模拟考(一)
模拟考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西模拟]设集合M ＝{x ||x －1|≤1}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，则M ∩∁R N ＝( )A ．[1,2]B ．[0,1]C ．(－1,0)D ．(0,2) 答案：B解析：M ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}＝{x |x ＞1或x ＜－1}，∴M ∩∁R N ＝{x |0≤x ≤1}，故选B.2．[2019·陕西模拟]已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.12B.22C. 2 D ．1 答案：B解析：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i(1－i )2＝1＋i－2i＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B.3．要计算1＋12＋13＋…＋12 017的结果，如图所示的程序框图的判断框内可以填( )A ．n <2 017B ．n ≤2 017C ．n ＞2 017D ．n ≥2 017sin x ＋cos x ≤2”是真命题，所以綈p 是假命题，故D 错误．故选A.6．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3 答案：C解析：如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵ AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴ ∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴ ∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 2 1－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴ V 长方体＝AB ×BC ×CC 1 ＝2×2×22＝8 2.故选C.7．[2019·江西联考]已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋m 2≥0，x ＋y －1≥0，若目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[0，3]C ．[－3，0]D ．[－3，3] 答案：D解析：将z ＝－2x ＋y 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和目标函数在z ＝0时的直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向左上方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 增大，由图象可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A 时，z取得最大值，联立⎩⎨⎧x －y ＋m 2＝0，x ＋y －1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－m 22，1＋m 22，则－2×1－m 22＋1＋m 22≤4，解得－3≤m ≤3，故选D.8．已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n ＝( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1) C.83(4n －1) D.43(3n －1) 答案：C解析：设数列{a n }的公差为d (d ∈Z )，由题意，得a n ＝3＋(n －1)d ，由a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5可得⎩⎨⎧2d >3，2d <5，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋1.因为a n ＝log 2b n ，即2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1＝8×4n －1，所以数列{b n }是以8为首项，4为公比的等比数列，所以S n ＝8(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选C.9．[2019·河南开封模拟]函数f (x )＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案：D解析：由解析式可知函数为偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝1＋ln x ，即0<x <1e 时，函数f (x )单调递减；当x >1e ，函数f (x )单调递增．故选D.10．[2019·四川绵阳南山中学诊断]若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3] 答案：B解析：圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，得圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|－2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4·a b ≤0，由直线l 的斜率k ＝－a b ，则上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.故选B.11．[2019·广西两校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2 答案：A解析：解法一 由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A＝－b2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C＝21tan C ＋3tan C，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法二 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.12．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝x 2e x ，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2＋e 24，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4e 2＋e 24 答案：B解析：f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2.∴当x <－2或x >0时，f ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝4e 2， 当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝0.∵f (x )＝x 2e x ≥0，∴作出f (x )的大致图象如右图所示．令f (x )＝t ，则当t ＝0或t >4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 只有1个解；当t ＝4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有2个解；当0<t <4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有3个解．∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞∪{0}上有1解，显然t ＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞上各有1个解，∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·郑州测试]在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32：1，则x 2的系数为________．答案：90解析：令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x 35-r2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.14．在△ABC 中，若(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC的形状为________．答案：等边三角形解析：(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →，即(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC→＝0，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝423，∴b ＝423.18．(本小题满分12分)[2019·云南昆明一中模拟]某校为了解本校2万名学生的汉字书写水平，在全校范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N (69,49)，现从该校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)估算该校50名学生成绩的平均值x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全市前26名的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解析：(1)x －＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2.(2)(0.008＋0.012)×10×50＝10(名)． (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4， 则P (X ≥90)＝1－0.997 42＝0.001 3. 0．001 3×20 000＝26，所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上．上述50名考生成绩中90分以上的有0.08×50＝4人． 随机变量X ＝0,1,2.于是P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝1)＝C 16·C 14C 210＝815，P (X ＝2)＝C 24C 210＝25.所以X 的分布列为X0 1 2 P13815215数学期望E (X )＝0×13＋1×815＋2×225＝45. 19．(本小题满分12分)[2019·合肥市质检]如图所示，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，连接AC ，如图，则△ACD 为等边三角形，又M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得，AM ⊥AB ，∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ，∴AM ⊥平面AA 1B 1B .。
2020江西省高三数学(理)第一学期三校联考.
2020 江西省（南昌一中、十中、新建二中）高三数学（理）第一学期三校联考考试时间： 120 分钟试卷总分： 150 分一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .请将答案填写在第II卷相应的表格内）1．会合 A= 1 ,2 ,3，则知足A B=1, 2, 3, 4 的会合B的个数是（）A ． 8B ．9C． 10D． 112．等式 sin()=sin2建立是,,成等差数列的什么条件（）A ．充足不用要B ．必需不充足C．充要D．既不充足也不用要3．在等比数列a n中， a1=2，前n项和 S n，若a n m m R ,也是等比数列，则S n等于（）A ．2n1B ．3n1C． 2n D． 3n4．已知函数 f x 在定义域 R 上为增函数，且 f x0，则 g x x 2f x 的单一状况必定是（）A ．在（,0 ）上递减B．在（, 0）递加C．在 R 上递减D．在 R 上递加5．已知 tan,tan() 是方程x2mx n 0 的两根，则 m n 的值为（）4C．1D．2A ． 1B ．26．设a n是公差为正数的等差数列，且a1a2a315， a1a2a3 80则 a11a12a13等于（）A．120 B ．105C． 90D． 757．已知函数 f x A sin x ,（A>0,>0）在区间,4上的最小值为 A ,则的最小值为3（）23C． 2D． 3A ．B ．328．已知 a,b ,a+b 成等差数列 ,a ,b, ab 成等比数列 ,且0log m ab1，则m的取值范围是（）A．(0 1)B．( 1)C． (0 8)D．(8)9．实数x, y知足4x25xy 4y 2 5 ,设S= x 2y2,则 S 最大值的倒数与S 最小值的倒数的和为（）53C．88A ．B ．D．883510．已知函数 f x sin 2x a cos2 x 的图象对于直线x对称，则函数 y asin 2x cos 2x 的一个对6称点是（）A．（, 0）B．（, 0）C．（, 0 ）D．（, 0 ）336611．设函数 f x是R 上的偶函数，对随意的x R 都有 f ( x6) f ( x) f ( 3) ，且f ( 2) 3 ，则f (2006) f ( 2007) 等于A ．3B ．3 12．已知 f ( x)3x m（ 2x 4,（）C． 2020D． 2020m 为常数）的图象经过点（ 2 ， 1），其反函数为 f 1 ( x) ，则F (x) f2f 1 (x2 ) 的值域为1 ( x)（）A．2 5 B ．1C．2 10D．23二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分，请将答案填在第II 卷相应的横线上）13．在等比数列a n中， a5 a63，则 sin(2 a4a7 )=__________________ 214．有以下两个命题：①不等式|x|+|x-1|>m 的解集为 R,②函数f ( x)(7 3m) x是减函数,这两个命题中有且只有一个是真命题,则实数 m 的取值范围为n (n1,2,3)则 a2006 15．已知数列a n知足a n(n 4 , n N _______________a n 3)16．设f x log 3 ( x 6) 的反函数为f 1 x，若f1 m 6 f1 n 6 27 则f m n =______________________________三、解答题（共 74 分）17．数列a n2n 2nsin a n sin a n 1 sin a n 2的值。
2020—2021年最新高考总复习数学(文)三校联考模拟试题及答案解析.docx
2019年高三校际联合检测文科数学本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。
满分150分。
考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：=V Sh柱体(S是柱体的底面积，h是柱体的高)；34=3V Rπ球(R是球的半径)第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若复数z满足11zi=+(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z的模为(A)0 (B)1 (C) 2(D)2(2)已知命题:,sin 1p x R ∀∈≤，则p ⌝是 (A),sin 1x R x ∀∈≥(B) ,sin 1x R x ∀∈> (C),sin 1x R ∃∈≥(D),sin 1x R x ∃∈>(3)若集合{}21x A x =>，集合{}ln B x x =>0，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是 (A) 3k ≥- (B) 2k ≥- (C) 3k <-(D) 3k ≤-(5)函数()cos x y e x ππ=-≤≤ (其中e 为自然对数的底数)的大致图象为(6)某几何体的三视图如图所不，则该几何体的体积是 (A)43π (B)243π+(C)223π+(D)53π(7)函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位后，所得图象与y 轴距离最近的对称轴方程为 (A) 3x π=(B) 6x π=- (C)24x π=-(D)1124x π=(8) ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边分别为,,,120a b c A =o ，则()sin 30a C b c--o 的值为(A)12(B)12-(C)32(D)32-(9)已知函数()2016112,01,2log , 1.x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是(A)(1，2016) (B)[1，2016] (C)(2，2017) (D)[2，2017](10)如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q两点，若60,3PAQ OQ OP ∠==ou u u r u u u r 且,则双曲线C 的离心率为 (A) 233(B)72(C)396(D) 3第II 卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．(11)将某班参加社会实践的48名学生编号为：l ，2，3，…，48，采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是____________．(12)设不等式组0,4,1x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线():2l y k x =+上存在区域M 内的点，则实数k 的取值范围是___________．(13)若,a b R ∈，且满足条件()()22111a b ++-<，则函数()log a b y x +=是增函数的概率是____________．(14)在计算“()12231n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+”时，某同学发现了如下一种方法： 先改写第k 项：()()()()()111211,3k k k k k k k k +=++--+⎡⎤⎣⎦由此得()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯，()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯， ……()()()()()1112113n n n n n n n n +=++--+⎡⎤⎣⎦相加，得()()()112231123n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++.类比上述方法，()()12323412n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++=_______________________． (结果写成关于n 的一次因式的积．．．．．．的形式) (15)已知不等式()[]22222201,22x xxxa x --+-+≥∈在时恒成立，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分． (16)(本小题满分12分)2016年“五一”期间，高速公路某服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽查一辆进行询问调查．共询问调查40名驾驶员．将他们在某段高速公路的车速(km ／h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，得到如图所示的频率分布直方图．(I)求这40辆小型车辆的平均车速(各组数据平均值可用其中间数值代替)； (II)若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，求其中车速在[65，70)的车辆中至少有一辆的概率．(17)(本小题满分12分)已知函数()()2cos 23sin cos sin f x x x x a x =-+的一个零点是12π．(I)求函数()f x 的最小正周期；(II)令,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求此时()f x 的最大值和最小值． (18)(本小题满分12分)等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，数列{}n b 是等比数列，且满足11223,1,10a b b S ==+=，5232a b a -=．(I)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(II)令2,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，，为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .(19)(本小题满分12分)如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 是等腰梯形，其中AB//EF ，AB=2AF ，∠BAF=60°，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为△OBF 的重心．(I)求证：平面ADF ⊥平面CBF ； (II)求证：PM ／／平面AFC ．(20)(本小题满分13分)已知函数()()212ln 21xf x f x x+'=+． (I)求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(II)若关于x 的方程()()121,f x a f x e e⎡⎤'=+⎢⎥⎣⎦在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若存在120x x >>，使()()1122ln ln f x k x f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．(21)(本小题满分14分)如图，A(2，0)是椭圆()222210x y a a a b +=>>长轴右端点，点B ，C 在椭圆上，BC过椭圆O ，0,,,AC BC OC AC M N ⋅==u u u u r u u u u r u u u r u u u r为椭圆上异于A ，B 的不同两点，MCN∠的角平分线垂直于x 轴． (I)求椭圆方程；(II)问是否存在实数λ，使得MN BA λ=u u u u r u u u r，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
江西省六校2020届高三联考理科数学参考答案
设平面 ADF 和平面 BEC1 所成锐二面角为θ，
则 cos
aa
D1E D1E
4
53 3 3
5 2 , 28
3
故平面
ADF
和平面
BEC1
所成锐二面角的余弦值为
5
2 8
.
-------------------------------------------12 分
19．解（1）
x 120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.04 17.40（千元） ---------------3 分
3 3x y 0且 3x 1 y z 0,
3
取 x 1, y
3, z 2
3
,
a
(1,
3, 2 3),
3
3
-------------------------------------------9 分
由（1）可知 D1E 为平面 BEC1 的一个法向量，且 D1E (0,1, 1) ----------------------------------------10 分
则 B(1000, p), p 0.9773,
于是恰好有
k
个农民的年收入不少于
12.14
千元的事件概率是
P(
k)
CK 1000
p
k
(1
p)1000k ,
从而由
P( P( k
k) 1)
(1001 k) k(1 p)
p
1,
得到
k<1001p=978.2773,
所以当 0 k 978, P( k 1) P( k), 当 979 k 1000, P( k 1) P( k),
【数学】江西省临川2020届高三上学期第一次联考 理科数学试题(扫描版含答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）二、填空题13．－221 14．2315．16．2三、解答题17．解（1）∵a cos B ＝(4c －b )cos A ，由正弦定理得：sin A cos B ＝(4sin C －sin B )cos A ，…………2分即sin A cos B ＋cos A sin B ＝4sin C cos A ，即sin C ＝4 cos A sin C ，…………4分在中，，所以cos A ＝41…………………………5分（2）→AB ＋→AC ＝2→AM，两边平方得：……6分由b ＝4，|→AM |＝，cos A ＝41得c 2＋b 2＋2×c ×b ×41＝4×10， (8)分可得c 2＋16＋2c ＝40……………………10分解得：c ＝4或c ＝－6（舍） ………………11分所以△ABC 的面积s ＝21bc sin A ＝2 ………………12分18．解：(1)证明：∵AC ＝2，BC ＝2，AB ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝63＝33.又易知BD ＝2， ∴CD 2＝22＋(2)2－2×2×2cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝2，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC .……………………5分 (2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直， ∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，∵直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，即∠PAD ＝45°， ∴PD ＝AD ＝4，则A (0，－4,0)，C (2，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴―→CB ＝(－2，2,0)，―→AC ＝(2，4,0)，―→PA＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ， ∴DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ， ∴CB ⊥平面PDE ，∴―→CB＝(－2，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则―→AC ―→PA ＝0，PA 即－4y －4z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，得x ＝，y ＝－1， ∴n ＝(，－1,1)为平面PAC 的一个法向量． ∴cos<n ，―→CB >＝12－4－2＝－23，∴平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为23，故平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.……………………12分19．解：由e ＝a c ＝23，又由于a ＞b ＞0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，可得：a ＝2，c ＝，b ＝1（1）故此椭圆的方程为4x2＋y 2＝1………………5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得： (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0由△＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)( 4m 2－4)＞0，可得m 2＜4k 2＋1则x 1＋x 2＝－4k2＋18km ，x 1·x 2＝4k2＋14m2－4|PQ |＝·|x 1－x 2|＝·＝4·4k2＋14k2－m2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝k2＋1|m|S △OPQ ＝21·d ·|PQ |＝2|m |·4k2＋14k2－m2＋1由于k 1·k 2＝x1x2y1y2＝x1x2x1＋x2＋m2＝－ 41，可得：4k 2＝2m 2－1 故S △OPQ ＝2|m |·2m22m2－1－m2＋1＝1当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1故△OPQ 的面积为定值1……………………12分20．（1）X 可能取值为3，4，5，6P (X ＝3)＝(31)3 ＝271P (X ＝4)＝C 31 (32)(31)2＝276…………1分 P (X ＝5)＝C 32 (32)2(31) ＝2712 P (X ＝6)＝ (32)3 ＝278…………2分E (X )＝5………………4分（2）①总分恰为m 的概率A m ＝(31)m ……………………6分 故S 6＝31＝729364……………………8分②已调查过的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得n －1分，再得2分，概率为32B n －1，而B 1＝31…………9分 故1－B n ＝32B n －1，即B n ＝－32B n －1＋1…………10分 可得B n －53＝－32( B n －1－53)，B 1－53＝－154…………11分可得B n ＝53＋52·(－32)n ……………………12分21．解：（1）f / (x )＝x ln x －a ln x ＋a －x ＝(x －a )(ln x －1)，x ∈(0，＋∞)………………1分 ①当a ＝e 时，f / (x ) ＝(x －e )(ln x －1)≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增…………2分②当a ≤0时，x －a ＞0，f (x )在(0，e ) 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增…………3分 ③当0＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增…………4分 ④当a ＞e 时， f (x )在(e ，a ) 上单调递减，在(0，e )，(e ，＋∞)上单调递增…………6分（2）假设存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x )＞3＋41sin 4aπ对任意x ∈[1，＋∞)恒成立 则f (1)＝2a －43＞3＋41sin 4aπ，即8a －sin 4aπ－15＞0…………7分 设g (x )＝8x －sin 4πx －15，g / (x )＝8－4πcos 4πx＞0，则g (x )单调递增由于g (2)＝0，所以a ＞2①当a ＝e 时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)，所以a ＞2， 从而a ＝e 满足题意…………8分②当2＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增所以414aπ414aπ4aπ，可4aπ－e2－12＞0aπ（1）…………9分设h (x )＝4ex －sin 4πx －e 2－12，h /(x )＝4e －4πcos 4πx＞0，则h (x )是单调递增函数…………10分由于h (2)＝8e －e 2－13＞0可得h (x )的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以2＜a ＜e …………11分综上，存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x ) ＞3＋41sin 4aπ对x ∈[1，＋∞]恒成立，且a 的取值范围是(2，e ] …………12分 22．(1)C ：x 2＋y 2＝1，曲线C 1：y/＝sinαx/＝2cosα，得x /2＋4y /2＝4…………2分即ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4………………5分（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4θ＝β，有ρ21＝4cos2θ＋sin 2θ…………7分 ∴|OA|21＝4cos2θ＋sin 2θ，…………8分同理|OB|21＝2＋sin 2(θ＋2π)＝4sin2θ＋cos 2θ…………9分故|OA|21＋|OB|21＝45………………10分23．（1）f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥5可解得x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5他（2）由|x －a a2＋1|＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1，2]上恒成立，由于a ＞0，可得a a2＋1≥2…………6分等价于a a2＋1－x ＋x －1≤4－x －1在[1，2]上恒成立…………7分即a a2＋1≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8分 即a a2＋1≤2，可得a ＝1，…………9分故a 的取值集合为{1}…………10分。
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2020江西省（南昌一中、十中、新建二中）高三数学（理）第一学期三校联考考试时间：120分钟 试卷总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请将答案填写在第II 卷相应的表格内）1．集合A ={},3 ,2 1， 则满足A B ={}4 3, 2, ,1的集合B 的个数是 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．等式sin(γα+)=sin2β成立是γβα, , 成等差数列的什么条件 （ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．在等比数列{}n a 中，1a =2，前n 项和n S ，若{}n a m + m R ∈,也是等比数列，则S n 等于（ ）A ．12-nB ．13-nC ．2nD ．3n4．已知函数()x f 在定义域R 上为增函数，且()0<x f ，则()()x f x x g 2=的单调情况一定是（ ） A ．在（,0 ∞-）上递减 B ．在（0 ,∞-）递增C ．在R 上递减D ．在R 上递增5．已知tan θ ,tan(θπ-4)是方程02=++n mx x 的两根，则n m -的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-6．设{}n a 是公差为正数的等差数列，且15321=++a a a ，80321=a a a 则131211a a a ++ 等于（ ） A ．120B ．105C ．90D ．757．已知函数()x A x f ωsin =,（A>0,ω>0）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4, 3ππ上的最小值为A -,则ω的最小值为（ ）A ．32B ．23 C ．2 D ．38．已知a ,b ,a +b 成等差数列,a ,b , ab 成等比数列,且1log 0<<ab m ，则m 的取值范围是（ ）A ．(0 1)B ．( 1 ∞+)C ．(0 8)D ．(8 ∞+)9．实数y x ,满足545422=+-y xy x ,设S=22y x +,则S 最大值的倒数与S 最小值的倒数的和为（ ）A ．85 B ．83 C ．38 D ．5810．已知函数()x a x x f 2cos 2sin +=的图象关于直线6π-=x 对称，则函数x x a y 2cos 2sin -=的一个对称点是（ ）A ．（0 ,3π-）B ．（0 ,3π） C ．（0 ,6π-）D ．（0 ,6π）11．设函数()x f 是R 上的偶函数，对任意的x R ∈都有)3()()6(f x f x f +=+，且3)2(=f ，则)2007()2006(f f +等于（ ）A ．3B ．3-C ．2020D ．202012．已知mx x f -=3)( （ ,42≤≤x m 为常数）的图象经过点（2 ，1），其反函数为)(1x f-，则[])()()(2121x f x f x F ---=的值域为（ ）A ．[]5 2B ．[)∞+ 1C ．[]10 2D ．[]3 2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在第II 卷相应的横线上） 13．在等比数列{}n a 中，2365π=a a ，则sin(274a a )=__________________ 14．有以下两个命题：①不等式 |x |+|x -1|>m 的解集为R ,②函数xm x f )37()(--=是减函数,这两个命题中有且只有一个是真命题,则实数m 的取值范围为15．已知数列{}n a 满足=n a ⎩⎨⎧∈≥-=+-)N n , 4(n 1,2,3)(n3n a n 则=2006a _______________ 16．设())6(log 3+=x x f 的反函数为()x f1-，若()()()()276611=++--n f m f 则()n m f +=______________________________三、解答题（共74分） 17．数列{}n a 的前项和n S =()222n n +π，求21sin sin sin ++=n n n n a a a b 的值。
18．已知()x x a x x f cos sin 34cos 42+-=，将()x f 的图象向左平移4π，再向上平移2个单位后图象关于12π=x 对称，（1） 求实数a ,并求出)(x f 取得最大值时x 的集合（2）求()x f 的单调递增区间19．已知()x f 对一切实数x ，y 都有()()()12++=-+y x x y f y x f 成立，且()1f =0， （1）求()0f ；（2）求()x f 的解析式，（3）若()()()()[]x x f a x f x x g -+-+=11在区间)2,1(-是减函数，求实数a 的取值范围。
20．在数列{}n a 中，11=a ，当n 2≥时，其前n 项和n S 满足)21(2-=n n n S a S（1）求n a （2）设12+=n S b nn ,求n b 的前项和n T21．设()b x a ax x x f +-+-=2233231，()1 0∈a （1） 求()x f 的单调区间和极值，（2）若当[]2,1++∈a a x 时，恒有()x f '≤a ，试确定a 的取值范围。
22．函数()()1a 0,a log ≠>=x x f a , 若数列：2, 42n ),(),( ),(21+n a f a f a f 成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项；（2）若2=a ,令)(n n n a f a b =对任意+∈N n 都有)(1t fb n ->,求t 的取值范围；（3）记n m S →表示数列{}n a 的第n 项到第m 项共m －n +1项的和，已知：n m n S +→, m p p S +→, m r r S +→（m ,n ,p ,r 都是正整数）成等比，求n ，p ，r 满足的关系式。
参考答案一、选择题：（5分⨯12=60分）二、填空题（4分4=16分）13．0 ; 14．[)2 ,1； 15．2 ; 16．2 . 三、解答题（共74分） 17．解：222)2(2πππ-=⇒+=n a n n S n n (8)∴b n (12)18．解：（1）x x a x x f cos sin 34cos 4)(2+-=平移以后得x a x x g cos 322sin 2)(+=又)(x g 关于12π=x 对称 ⇒)6()0(πg g =1 3332 =⇒+=⇒a a a∴ 2)62sin(4)(--=πx x f当且仅当z k k x k x ∈+=⇒+=-32262πππππ时取最大值所以，取得最大值时的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z k k x x 3ππ （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3 6ππππk k 。
19．解：（1）令0y 1==x 代入等式中可得：2)0(-=f （2）令2)( )1()0()(02-+=⇒+=-⇒=x x x f x x f x f y （3）由（2）2)12()2()( 23-+--+=⇒x a x a x x g根据题意可得619 0)2(0)1(''≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-a g g20．解：（1）111==S a1 2--=≥n n n S S a n 时））（（21 S 1n --=⇒-n n n S S S112 --=-⇒n n n n S S S S 2111=-⇒-n nS S121-=⇒n S n ⎪⎩⎪⎨⎧≥---=⇒2)32)(12(11n n n a n （2）)121121(2112+--=+=n n n S b n n 12)1211(21+=+-=⇒n nn T n 21．解：（1）a a x a ax x x f 3 ,034)(22=⇒=-+-=0a a a 31 ⇒b a a f x f b a f x f +-====∴3max 34min 3 ）（）（）（）（ （2）'()()(3)f x x a x a a =--≤ 又0<a<112,23a a a a ⇒+>+>所以'(1),f a a +≥- '(2)f a a +≤所以4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．解：（1）2n +2=2+(n +2-1)d 可得d =222()2(11)22n n n f a n d n a a +=++-=+⇒=（2）22()(22)22n t n n n b a f a n +==+>222log (22)2n t n +⇒<+6t ⇒<（3）令 2a q =则12(1)n m n n mS q q q q +→+=++++12(1)p m p p m S q q q q +→+=++++ 12(1)r m r r m S q q q q +→+=++++又p p m p n n n ms q S →+-→+=，r p r r mp p mS q S -→+→+=根据题意得：2p ny p qq p n r p p r n --=⇒-=-⇒=+。