12.3主要线段
八年级数学上册 第十二章 三角形 12.3 三角形中的主要线段课件
第三页，共十八页。
自主学习检测
5．如图，AE是△ABC的中线(zhōngxiàn)．已知EC＝8，DE＝3，则BD的长为D( ) A．2 B．3 C．4 D．5
第四页，共十八页。
自主学习检测
6、如图，在ΔABC中，AE是中线(zhōngxiàn)，AD是角平分线，AF是高。填空： （1）BE=H,那么线段
A
(xiànduàn)AH是△ABC的高，所以有
∠AHB=∠AHC=90°.
B
H
C
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探索
形状不同的三角形中，垂足(chuí zú)H的位置有什么不同？
A
A
A
B
CB
C
B
C
第十二页，共十八页。
探索
三角形的三条(sān tiáo)高(或所在的直线)交于一点吗？ 锐角三角形的三条高交于一点，交点( jiāodiǎn)在三角形的内部；
12.3 三角形中的主要(zhǔyào)线
段
八年级上册
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学习目标
了解三角形的高、中线、角平分线等有关(yǒuguān)概念。
2 会用工具(gōngjù)准确画出三角形的高线、中线与角平分线。
第二页，共十八页。
自主学习检测
1、由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的______，
解：如图，(1)线段AD即为所求； (2)CE即为∠ACB的平分线； (3)中线BF将△ABC分成面积(miàn jī)相等的两部分(此问答案不唯一).
第十六页，共十八页。
课堂小结
三角形的 重要线段
三角形 的高线
三角形 的中线
三角形的 角平分线
北京课改初中数学八年级上册《12.3三角形中的主要线段》课堂教学课件 (2)
在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一
B
H
C
条在三角形的内部,另外两条
在三角形的边上. (3)钝角三角形的三条高,有
一条在三角形的内部,另外
两条在三角形的外部.
三角形有三条高,且它们(或它们
的延长线)相交于一点,这个交点
叫做三角形的垂心.
如图三,根角据形具几体情何况语使言用以的下使任用何一种方法表示: A
相邻两边所组成的角叫做三角形的 内角(角) 2.三角形的表示:
用“△”加上三个顶点的字母表示,例如: 三角形ABC表示为“△ABC”,读做“三角形
ABC”.
三角形的主要线段
A
1．三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角
形的
．
三角形有三条角角平平分分线线,都在三B角形的内部E,且它 C
们相交于一点,这个交点叫做三角形的内心.
2．在三角形中，连结一个顶 A
点和它的 对边中点 的线段叫
做三角形的中线．
三角形有三条角中线,都在三
角形的内部,且它们相交于一 B
C
点,这个交点叫做三角形的重心.
F
3.从三角形的一个顶点向它的 A
对边画垂线， 顶点与垂足 之
间的线段叫三角形的高．
(1)锐角三角形的三条高,都
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13.3三角形中的主要线段
复习
三角形的概念
A
1.三角形:
由不在同一条直线上
的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形. B
C
组成三角形的线段叫做三角形的 边
及反思人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质优秀教学案例
在总结归纳环节，我会邀请几名学生代表分享他们小组的讨论成果，通过学生的讲解，总结出角的平分线的性质以及应用方法。我还会对学生的讲解进行点评，补充和强调重点知识点，确保每位学生都能对角的平分线有清晰的认识。
（五）作业小结
为了巩固学生对本节课知识的学习，我会布置以下作业：
1.完成课本上的练习题，巩固角的平分线的性质。
（二）过程与方法
1.采用自主探究、小组合作的学习方式，引导学生主动发现角的平分线的性质，培养他们的观察、分析、归纳能力。
2.通过问题引导，让学生在解决具体几何问题时，学会运用角的平分线性质，提高解题效率。
3.设计丰富的教学活动，如讨论、展示、练习等，让学生在实践中掌握角的平分线相关知识，提高他们的实际操作能力。
4.注重数学方法的传授，让学生在学习过程中掌握几何图形的基本分析方法，培养他们的几何思维。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学几何学科的兴趣，使他们感受到数学学习的乐趣，培养他们的学习自信心。
2.培养学生面对几何问题时，勇于挑战、积极思考的良好品质，使他们养成独立解决问题的习惯。
3.通过对角的平分线的学习，让学生认识到几何知识在实际生活中的广泛应用，增强他们的学习责任感。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向的教学方法，引导学生主动探究角的平分线性质。设计一系列具有启发性的问题，如：“角的平分线是什么？”“角的平分线有什么性质？”“如何运用角的平分线性质解决实际问题？”等。通过这些问题，激发学生的好奇心，让他们在解决问题的过程中，掌握角的平分线相关知识。
（三）小组合作
（二）问题导向，激发学生思维
本案例采用问题导向的教学方法，引导学生主动探究角的平分线性质。设计具有启发性的问题，激发学生的好奇心，培养他们的逻辑思维和几何直观。在解决问题的过程中，学生能够逐步掌握角的平分线相关知识，提高解决问题的能力。
人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质教案
12.3角平分线的性质教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重点难点1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？12,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】 如课本图11．3─6，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P•到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ．∴BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P50练习1、2．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破课本P51习题12．3第1、2、3题．板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．。
12.3三角形中的主要线段-北京版八年级数学上册教案
12.3 三角形中的主要线段-北京版八年级数学上册教案一、知识点概述本节课主要学习以下知识点：1.三角形中心：重心、垂心、外心、内心2.边上的中线、角上的平分线理解这些概念和线段的作用，可以使我们更好地解决三角形相关的数学问题。
二、教学目标1.能够说明三角形中心（重心、垂心、外心、内心）的含义和作用。
2.能够说明边上的中线、角上的平分线的定义和作用。
3.能够应用所学知识解决实际问题。
三、教学重难点1.掌握三角形中心和线段的概念和意义。
2.能够灵活应用所学知识解决难点问题。
四、教学过程1. 温故知新通过复习，让学生回顾已经学习的三角形知识，并引出本节课要讲的内容。
2. 新知板块A. 三角形中心1.什么是三角形中心？四种中心有什么作用？–三角形的内部有四条特殊的线段，分别将三角形分割成六个小三角形。
这四条线段相交的点分别是三角形的重心、垂心、外心和内心。
–重心：三角形边的中线与重心相交。
重心是三角形三个垂线的交点，也是三角形内部到各边距离之和最小的点。
–垂心：三角形的三条边分别在垂线上的交点称为垂足，三角形内部的三个垂足构成的点称为垂心。
垂心到三角形三个角的距离相等，是三角形内心所在直线的垂足点。
–外心：三角形三边的垂直平分线的交点，称为外心。
外心是三角形内接圆的圆心，同时它也是三角形外接圆的圆心。
–内心：三角形三条边上的角平分线的交点，称为内心。
内心是三角形内切圆的圆心，同时也是三角形重心到各边距离之和最小的点。
2.三角形中心图示（注：这里不能放图片，教师需要语言描述，并通过板书等方式简单绘制几何图形）–对于重心、垂心等点的说明，参考以下文字描述：•三角形重心的定义：三角形三个角平分线的交点称为重心。
•三角形垂心的定义：三角形三边上的垂线交于一点，称为垂心。
•三角形外心的定义：三角形三条边的垂直平分线的交点，称为外心。
•三角形内心的定义：三角形三个角平分线的交点称为内心。
B. 边上的中线和角上的平分线1.什么是边上的中线？–三角形中，一条边上的中线是连接对边中点的一条线段。
京改版八年级上册数学《12.3三角形中的主要线段》教案
《12.3三角形中的主要线段》教案教学目标一、知识与技能1.理解三角形的高、中线与角平分线等概念;2.会用工具画三角形的高、中线与角平分线;3.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别相交于一点.二、过程与方法1.三角形的高、中线与角平分线等概念;2.用工具画三角形的高、中线与角平分线.。
三、情感态度和价值观1.区分角的平分线与三角形的角平分线,会区分高与垂线;2.钝角三角形的高的位置和画法.教学重点了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念，掌握其画法。
教学难点钝角三角形的高线的理解和画法。
教学方法操作－－观察法、探究－－归纳法。
课前准备多媒体、课时安排1教学过程一、导入新课给出一个△ABC，请你回忆作出△ABC的高．问题：（1）三条高有什么特点？(2)你能用折纸的方法找出你准备好的三角形的三条高吗？设计意图：回忆旧知识，通过操作拓展知识，体验高的性质。
二、新课学习中线的概念1、如图1，教师给出一个准备好的三角形纸片，把B,C重合对折，折痕与BC交于点D.问题：（1）D点有什么特殊性？（2）连接线段AD，AD把△ABC分成的两个三角形的面积有何关系？(3)请归纳线段AD的特点．(4)你能用尺规作出中线AD吗？并用语言描述中线定义．2、如图2，教师再给出一个三角形纸片，对折，使AC与AB所在直线重合，折痕与BC交于D.问题：（1）通过这个操作你认为AD有什么位置特点？(2)你能用尺规作出AD吗？(3)请给出三角形角平分线的定义．3、多媒体播放天花板三角形框架、起重机三角形吊臂、屋顶三角形钢架、钢架桥中三角形．问题：（1)你能观察到这些结构的特点吗？(2)你解释一下为何要做这样的结构．巩固新知问题：1、你认为一个三角形有几条高，几条中线，几条角平分线？并分别作出来．2、通过本组作出的三线，请说明它们各自的共性．3、你认为“三线”定义中，高与线段垂线、三角形角平分线与角的平分线、中线与线段中点有何异同？4、高的交点有何特别之处？通过实际操作，小组合作，让学生真切地体会三线关系。
人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案
12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。
12.3三角形中的主要线段教案
图形语言 文字语言：连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的中线. 符号语言： 学生尝试叙述概 念 教师板书三角形 中线的端点的含 义及符号语言 学生记笔记 培养学生的观察能力 和语言表达能力 给出三角形中线概念 的三种语言：文字语 言，图形语言和符号 语言.因为概念、 定理 等的符号语言是书写 较复杂的逻辑推理证 明过程的基础，所以 要让学生注重符号语 言的书写
图形语言 文字语言：画 A 的平分线 AD,交 A 所对的边 BC 于点 D， 所得线段 AD 叫做△ABC 的角平分线. 符号语言：
AD 是△ABC 的角平分线 1 BAD CAD BAC 2
2.（1）分别画出下列三角形的三条角平分线：
A
A
B
C
C
B
通过画图发现：无论 三角形的形状如何， 三角形的三条角平分 线都交于三角形内部 一点，这个点叫做三 角形的内心
（2）如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分 线，则： ∠1 = ； ∠3 = ∠ACB = 2
A 1 F 3 B D 4 C 2
学生口答 概念的简单应用
； .
E
地址：朝阳区酒仙桥南路甲 7 号
电话：64371227 64372045 邮编：100016
4
北京市朝阳区教育研究中心附属学校教案纸 （四）归纳概括 见 PPT 二、课堂小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2） 你能分别描述三角形中的几种重要线段吗？ （3）你能说说什么是三角形的重心吗？ 三、课堂检测： 1. 画 AB 边上的高
教 学 内 容
我们已经学习过了三角形边的性质，三角形中的 主要线段除了三边之外，还有一些比较重要的线 段，是什么呢？下面，我们一起来学习吧！ 一、教学过程 （一）三角形的高 1.概念引入 由学生已学过的垂线 知识引出三角形的高 的图形 给出三角形高的概念 的三种语言：文字语 言，图形语言和符号 语言.因为概念、 定理 等的符号语言是书写 较复杂的逻辑推理证 明过程的基础，所以 要让学生注重符号语 言的书写 培养学生的观察能力 和语言表达能力
京改版数学八年级上册教学案：12.3三角形中的主要线段
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称三角形的高。
如图：
教
学
过
角形的内部吗？（多媒体演示）
结论：1、三角形的三条高线交于一点，这一点叫做三角形的垂心；2、锐角三角形的垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心与直角顶点重合；钝角三角形的垂心在三角形的外部。
D
C
B
A
如图：D是BC中点，则线段AD是BC边上的中线。
教
学
过
程
试一试：P83
结论：一个三角形的中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。（多媒体演示）
2、三角形的角平分线：
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做这个角的平分线。如图：
做一做：画一个三角形，并画出它的三条角平分线，观察你有什么发现？结论：一个三角形的角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。（多媒体演示）
课后自评与反思：
三、知识的运用。
例：BD、CE是ΔABC的角平分线，BD、CE交于点F，
∠ABC=70°，∠ACB=60°，求∠BFC的度数
四、课堂练习
[用多媒体出示]：
1、根据所给的图形和已知条件填空；
2、依据图形中的条件判断线段是什么线段。
五、课堂小结
问：同学们，今天这节课你学到了什么？
（学生回答）
布置作业
必做：课本选做：课改
学科
数学
班级
任课教师
课题
12.3三角形中的重要线段
课型
新授
日期
学习目标：
1、了解三角形中线、角平分线 、高线的的概念。
2、会画出任意三角形中线、角平分线 、高线。
北京版数学八年级上册《12.3三角形中的主要线段》说课稿
北京版数学八年级上册《12.3 三角形中的主要线段》说课稿一. 教材分析《12.3 三角形中的主要线段》是人教版数学八年级上册的一部分，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行教学的。
本节课主要让学生了解三角形的中线、高线和角平分线的概念，以及它们之间的关系和性质。
通过学习，学生能够熟练运用这些知识解决相关问题，为后续学习三角形的相关知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的了解。
但是，学生对三角形的中线、高线和角平分线的理解可能还比较模糊，需要通过具体的教学活动来帮助学生明确这些概念。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力有待提高，因此在教学过程中，需要注重培养学生的这些能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过学习，使学生掌握三角形的中线、高线和角平分线的概念，理解它们之间的关系和性质。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中线、高线和角平分线的概念及其性质。
2.教学难点：三角形的中线、高线和角平分线之间的关系。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导发现法、合作交流法和实践活动法进行教学。
利用多媒体课件、几何模型等教学手段，帮助学生直观地理解三角形的中线、高线和角平分线的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出三角形的中线、高线和角平分线。
2.自主探究：让学生观察模型，引导学生发现三角形的中线、高线和角平分线的特点，总结它们的性质。
3.小组交流：让学生分组讨论，分享各自的发现，进一步明确三角形的中线、高线和角平分线之间的关系。
4.教师讲解：针对学生的讨论结果，进行讲解，强调三角形的中线、高线和角平分线的性质和作用。
5.课堂练习：设计一些有关三角形中线、高线和角平分线的练习题，让学生巩固所学知识。
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初二数学 编写人：课题：
12.3三角形的高，中线，角平分线
学习目标：1.认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；
2.认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；
3.认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；
学习过程：
一、课前复习：
三角形的基本元素是___________________________
二、设疑自探
通过这节课的课题，你有哪些问题？
看书78、79页完成下列问题
知识点:1.三角形的中线
2 .三角形的角平分线
3 .三角形的高线
三、解疑合探
1、作出下列三角形三边上的中线
完成：AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = = 由作图可得出如下结论：
（1）三角形的三条中线相交于 点；
（2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；直角三角形的三条中线相交于三角
形的 ；钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ；
（3）交点叫做三角形的 。
21A C B A C
B
2、作出下列三角形三角的角平分线：
完成：AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ =
由作图可得出如下结论：
（1）三角形的三条角平分线相交于 点；
（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；直角三角形的三条角平分线相
交三角形的 ；钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；
（3）交点叫做三角形的
3、作出下列三角形三边上的高：
完成：上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = °
由作图可得出如下结论：
（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；直角三角形的三条高相交三角
形的 ；钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；
（3）交点叫做三角形的 。
四、质疑再探
三角形的高、中线、角平分线都是什么线？
五、拓展运用
1.如图，D 、E 是边AC 的三等分点，
BD 是三角形 中 边上的中线，
BE 是三角形 中________上的中线；
A
C B A C B
A C
B A C
B
2：如图，已知∠1=∠BAC ，∠2 =∠3， 则∠BAC 的平分线为 ，
∠ABC 的平分线为 .
3：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）．
六、课堂反馈
1．三角形的角平分线是（ ）．
A ．直线
B ．射线
C ．线段
D ．以上都不对
2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只
有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在
三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，AF 是△ABC 的中线，
相等的角 相等的线段:
2
1 D E F
1B 1A B
A 1甲D C A
B F
E
乙D C A B 丙D C
A B E 怀柔四中导学案 初二数学 编写人：梁秀华
课题13.4全等三角形
学习目标
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
学习过程：
一．设疑自探
看到“全等三角形”这个词你有哪些疑问？
阅读教材82页内容，完成下列问题：
（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。
（2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、对应边： ____。
（3）“全等”符号： 读作“全等于”
（4）全等三角形的性质：
二.新知运用
1如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1.，.点A 与 A 1点是对应
顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应边：
对应角： 。
2.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转 180°得△AED ．
各图中的两个三角形全等吗？
D C A B O D C
A B
E 即 ≌△DE
F ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在
对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但 、 都没有改
变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一
种策略．
2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。
3.完成教材P83的思考
三、 概括总结
找两个全等三角形的对应元素常用方法有：
1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。
2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，•然后再依据已知的对应元
素找出其余的对应元素．
3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
四.课堂反馈
1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•则这两个三角形中相等的
边 。
相等的角 。
图1 图2 图3
2如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，指出其它的对应角
对应边：AB AE BE
3.已知如图3，△ABC ≌△ADE ，试找出对应边
对应角 ．。