2013届高考数学知识点扫描复习6.doc

十、导数：
一、导数的概念：
（1）函数)(x f y =在点0x 处可导：函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，即
x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； 如果当0→∆x 时，x
y ∆∆有极限，则称函数)(x f y =在点0x 处可导。

（2）函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点处
都可导，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；
（3）函数)(x f y =在点0x 的导数：
如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么极限x
y z ∆∆→∆0lim 叫做函数)(x f y =在点0x 的导数（或变化率），记作：)('0x f 或0|'x x y =；即
x
x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00000 （4）函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数(导数)：
如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导，那么对于开区间),(b a 的每一个确定
的值0x 都对应着一个确定的导数)('0x f ，这样在开区间),(b a 内构成一个新的函
数，我们把这—新函数叫做函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数（简称导数），记)('x f 或'y ；即：x
x f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆)()(lim lim ')('00 （5）导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数)('0x f ，就是曲线)(x f y =在点
))(,(00x f x P 处的切线的斜率k ，即)('tan 0x f k ==α；
（6）导数在物理中的运用：函数)(t s s =在点0t 处的导数)('0t s ，就是当物体的运动方程为
)(t s s =时，物体运动在时刻0t 的瞬时速度v ，即)('0t s v =；物体运动在时刻0
t 的加速度)(''0t s a =；
二、几种常见函数的导数：0'=C （C 为常数）；1)'(-=n n nx x
三、函数的和、差、积、商的导数：
（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即'')'(v u v u ±=±
容易推广到有限个函数的情形：''')'(w v u w v u +++=+++
（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一
个函数乘以第二个函数的导数，即：'')'(uv v u uv +=
容易推出：')'(Cu Cu =（C 为常数）：常数与函数的积的导数等于这个常数乘以函数的导数；
四、导数的运用：
（1）函数的单调性：
①设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)('>x f ，则)(x f 为增函数；如果
0)('<x f ，则)(x f 为减函数。

②设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)(x f 在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内0)('≥x f (或0)('≤x f )。

求可导函数)(x f 单调区间的步骤：
①求)('x f ； ②解不等式0)('>x f (或0)('<x f )；③确认并指出递增区间(或递减区间)；
证明可导函数)(x f 在),(b a 内的单调性的步骤：
①求)('x f ； ②确认)('x f 在),(b a 内的符号； ③作出结论；
（2）函数的极大值与极小值：
函数极值的定义：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有
)()(0x f x f <(或)()(0x f x f >)，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大(小)
值；
求可导函数的极值的步骤：
①求)('x f ； ②求方程0)('=x f 的全部实根；
③检查)('x f 在方程0)('=x f 的根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在
这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值。

（3）函数的最大值与最小值：
求)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值的步骤：
①求)(x f 在),(b a 内的极值；
②将)(x f 的各极值与)(a f ，)(b f 比较，确定)(x f 的最大值与最小值；。