2015高考数学预测专题之数列中的最值问题

2015高考数学预测专题之数列中的最值问题
纵观近几年高考对于数列的的考查，重点放在数列中的最值问题上,主要考查等差数列前n 项和的最值问题、数列的最值问题、数列前n 项和的最值问题及与之相关的不等式证明和取值范围问题.要求学生有较强的转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1. 等差数列中的最值问题
求等差数列前n 项和的最值问题的方法：
①二次函数法：将n S 看成关于n 的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合思想，使问题得到解决，注意项数n 是正整数这一条件.
②通项公式法：求使n a ≥0（n a ≤0）成立的最大n 值，即可求出n S 的最大值(或最小值).
③不等式法：借助n S 取最大值时，有1*1
(2,)n n n n S S n n N S S -+≥⎧≥∈⎨≥⎩，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应n S 的值（即为n S 的最值）.
例1已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为
( )
A ．4 B.5 C.6 D.7
答案：B
试题分析：先由题中条件求出首项与公差，写出通项公式，求出为负值的项数，即可求出使n S 取得最小值时n 的值.
试题详解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：()()()1111136991413321437722a d a d a d a d a d +++++=⎧⎪⎨⨯⨯⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎩
解方程组得：192
a d =-⎧⎨=⎩，所以211n a n =-，令0n a ≤得：112n ≤ 即当5n ≤时，0n a <，即当6n ≥时，0n a >，所以使n S 取得最小值时n 的值为5.故选B.
试题点评：等差数列前n 项和的最值问题是高考考查的重点与热点，这类问题求法有：二次函数法、通项公式法、不等式法，要掌握之.
2. 数列}{n a 的最值问题
求数列}{n a 的最值，主要有两种方法：①从函数角度考虑，利用函数)(x f y =的性质，求数列)(n f a n =的最值；②利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+1
1k k k k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况. 例2 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足0,01817<>S S ,则
17172211,,,a S a S a S 中最大的项为（ ） A ．66a S B ．77a S C ．88a S D ．9
9a S 答案：D
试题分析：利用等差数列的性质及已知条件判断出该数列正负项转换点，判断出前n 项和正负变化情况，从而的出17
172211,,,a S a S a S 中最大的项. 试题详解：∵等差数列{a n }中，0,01817<>S S ，即S 17=17a 9＞0，S 18=9（a 10+a 9）＜0
∴a 10+a 9＜0，a 9＞0，∴a 10＜0，∴等差数列{ a n }为递减数列，
故可知a 1，a 2，…，a 9为正，a 10，a 11…为负；∴S 1，S 2，…，S 17为正，S 18，S 19，…为负， ∴0,,0,0,0,01717111110102211<<<>>a S a S a S a S a S ,
又,,921921a a a S S S >>><<< ∴
17172211,,,a S a S a S 中最大的项为99a S 故选D ．
试题点评：对数列的最值问题，因其是特殊函数，故可以用函数法求最值，要特别别注意定义域为整数，也可以用不等式法求最值.
3.数列}{n a 的前n 项和的最值问题
求数列}{n a 的前n 项和n S 的最值，主要是两种思路：①研究数列)(n f a n =的项的情况，判断n S 的最值；②直接研究n S 的通项公式，利用函数求最值的方法求n S 的最值.
例3 已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，11=a ，且231,,a a a 成等差数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项;
（Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求n S 的最大值.
答案：（Ⅰ）11
()2n n a -=-;（Ⅱ）1.
试题分析：（Ⅰ）先由条件求出数列{}n a 的公比，即可写出其通项公式；（Ⅱ）写出数列{}n a 的前n 项和公式再利用函数法求最大值.
试题详解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为231,,a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，
因为11a =，所以221q q =+，因为1q ≠，所以12
q =-，...................................3分 所以11
()2n n a -=-。

.....................................7分 （Ⅱ）11()212[1()]13
21()2
n
n n S --==----，.....................9分 当n 偶数时，212(1)323
n n S =-<，..................11分 当n 奇数时，21(1)132n n S =
+≤，当且仅当1n =时等号成立。

........................13分 综上所述，n S 的最大值为1.................................................14分
试题点评：本题考查了等比数列的通项公式、前n 项和公式、函数与方程思想，对数列的最值问题可以因为数列可以看成关于n 的函数，故可以用函数法求最值.
4.数列与不等式结合
数列与不等式的结合问题，有两类问题，一类是，对数列不等式恒成立问题，另一类是，不等式成立问题，这两类问题的求解方法主要有两种方法：①通过参变分离法转化为数列的最值问题求解；②通过分类讨论，解决恒成立.
例4已知等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 2
1log =，12n S b b =++ n b +，求使5021>⋅++n n n S 成立的正
整数n 的最小值．
答案：（Ⅰ）2n n a =或61
2n n a -=；（Ⅱ）5。

试题分析：（Ⅰ）用基本量法，即用1,a q 表示已知条件，列出方程，解之即可；
（Ⅱ）先根据数列单调性确定数列为2n n a =，从而求出数列{}n b 的通项公式，用错位相减法求n S ，列出不等式可求n 的最小值.
试题详解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q
依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =， 2分
2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.
q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 4分 当12,2q a =⎧⎨=⎩时， 2n n a =； 当1
1,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩时， 612n n a -=． ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =或61
2n n a -=． 6分
（Ⅱ）∵等比数列{a n }是单调递增的，∴2n n a =，∴12
2log 22n n n n b n ==-⋅，
∴ 2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅ ③ 8分
2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯+
+-⋅+⋅ ④ 由③－④，得 2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅ 10分
1250n n S n +∴+⋅>即12250n +->，即1252.n +>
易知：当4n ≤时，15223252n +=<≤，当5n ≥时，16226452n +=>≥
故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5. 12分
试题点评：本题考查了等比数列数列通项公式、等差中项的概念、错位相减法等数列知识，考查不等式成立问题的解法，是中档试题.。