人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案)

∴ ，∴ ．
（ ）令 ，即 ，得 或 ．
∵ ，所以 不在区间 内，要使函数在区间 上存在极值，
只需 ．解得 ．
（ ）证明：令 ，得 或 ，
∵ ，∴ ，
∴ 在 上恒成立，函数 在 内单调递减，
又∵ ， ，
∴ 在 上恰有一个零点．
19．（Ⅰ） 的单调增区间为 ，单调减区间为 .（Ⅱ）当 时， ；当 时， .
A. B.
C. D.
4．曲线 在点 处的切线方程为（）
A. B. C. D.
5．对于函数 ，下列说法正确的有（）
① 在 处取得极大值 ；② 有两个不同的零点；
③ ；④ .
A.4个B.3个C.2个D.1个
6．定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣1）=0，且当x＞0时，f（x）＞xf′（x），则下列关系式中成立的是（ ）
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝ a2h＝ (36h－h3)，0<h<6，
从而V′＝ (36－3h2)＝26(12－h2)．
令V′＝0，得h＝2 或h＝－2 (舍),当0<h<2 时，V′>0，V是单调递增函数；
当2 <h<6时，V′<0，V是单调递减函数．故h＝2 时，V取得极大值，也是最大值．
①当 时， ，即 ，这时， ；
②当 时， ，即 ，这时， .
综上， 在 上的最大值为：当 时， ；
当 时， .
20．（1）312；（2）当 时，仓库的容积最大
解析：(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥P—A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
第三章《导数及其应用》检测题
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．已知曲线 上一点 ,则过点P切线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2．设P为曲线C： 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 ，则点P横坐标的取值范围为（）
A. B.
C. D.
3．定义在（0，+∞）上的函数 的导函数为 ，且对 都有 ，则（ ）（其中e 2.7）
13．函数y＝f (x)的导函数 的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是________(填序号).
14．已知函数 ， 是函数 的极值点，给出以下几个命题：
① ；② ；③ ；④ ；
其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)
15．已知函数 在 与 时都取得极值，若对 ，不等式 恒成立，则c的取值范围为_________________。
三、解答题
16．求下列函数的导函数
①y = x4－3x2－5x＋6 ②y=x+
③y = x2cos x ④y＝tan x
17．已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若不等式 对于任意 成立，求正实数 的取值范围.
18．已知函数 ．
（ ）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值．
（ ）若 ，函数 在区间 上存在极值，求 的取值范围．
解析：
（1）函数 的定义域为 ，
，
若 ，则
当 或 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
若 ，则
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
（2）原题等价于对任意 ，有 成立，
设 ，所以 ，
，
令 ，得 ；令 ，得 ，
解析：
（Ⅰ） ，
设 ，则 .
∵ ， ，∴ 在 上单调递增，
从而得 在 上单调递增，又∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
因此， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 在 上单调递减，在 上单调递增，
由此可知 .
∵ ， ，
∴ .
设 ，
则 .
∵当 时， ，∴ 在 上单调递增.
又∵ ，∴当 时， ；当 时， .
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
参考答案
1．C2．D3．D4．B5．C6．A7．B8．B9．B10．B
11．-
12．1
13．④
14．①③
15．
16．解析：
17．(1) 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增. (2)
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
为 与 中的较大值，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，所以 ，
从而 ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 的解为 ，
因为 ，所以正实数 的取值范围为 .
18．（1） ；（2）垂直，
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝am，PO1＝hm，则0<h<6，O1O＝4h.连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，所以 2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．
（ ）若 ，求证：函数 在 上恰有一个零点．
19．已知函数 （ ，且 ）.
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求函数 在 上的最大值.
20．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P—A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．
A.4f（ ）＞f（2）B.4f（ ）＜f（2）C.f（ ）＞4f（2）D.f（ ）f（2）＞0
7．定义在 的函数 的导函数为 ，对于任意的 ，恒有 ， ， ，则 ， 的大小关系是（）．
A. B. C. D.无法确定
8．函数 在区间 内的零点个数是（）．
A. B. C. D.
9．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，则 的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
10．已知直线 是曲线 与曲线 的一条公切线， 与曲线 切于点 ，且 是函数 的零点，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
11．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′( )sinx＋cosx，则f′( )＝_________.
12．如图,函数 的图象在点 处的切线方程是 则 ___.