高二数学检测卷(含答案) (4)
高二数学检测卷(含答案)
高二周末检测卷一、选择题1.设数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +3，则数列{a n }的通项公式为（ ）.A. a n =3nB. a n =3n +1C. B. a n =3n −1D. a n =3n 2+12.数列7,9,11，···中，2n-1是数列的第（ ）项.A. n −3B. n −2C. n −1D. n3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3，则a 6+a 7+a 8+a 9等于（ ）.A.729B.387C. 604D.854 4.已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1+a 4=18，a 2+a 3=12，则此数列的前8项和为（ ）.A. 514B.513C. 512D.5105. 等比数列x ，3x+3,6x+6，···的第四项等于（ ）. A. −24 B.0 C.12 D.246. 在等差数列{a n }中，a 9+a 11=10，则数列{a n }的前19项和为（ ）.A. 98B.95C.93D. 907. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2=3，则S6S 4=（ ）. A.2 B.73 C.310 D.1或28.已知a 1，a 2，b 1，b 2，b 3为实数，且-1，a 1，a 2，-4成等差数列，-4，b 1，b 2，b 3，-1成等比数列，则a 2−a 1b 2的值为（ ）.9.已知 {a n }是等比数列，a 2=2，a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+···+a n a n+1 =（ ）.A. 16（1−4−n ）B.16（1−2−n ）C.323（1−4−n ）D.323（1−2−n ）10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m−1=−2，S m =0，S m,+1=3，则m 等于（ ）.A. 3B.4C.5D. 611.数列11+2，11+2+3，···，11+2+3+···+n 的前n 项和为（ ）.A. 2n2n+1 B. 2nn+1 C.n+2n+1 D. n2n+112.设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2a1a n}为递减数列，则（）.A. d＜0B.d＞0C.a1d＜0D. a1d＞013.如果一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）项.A. 13B.12C.11D. 1014.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：S11＞0；●使S n＞0的最大n值为12；❍数列{S n}中的最大项为S11；⏹|a6|＞|a7|其中正确命题的个数是（）.A. 5B.4C.3D. 115.两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n和T n，且S nT n =7n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于（）.C.7914 D. 1492416.对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23{35，33{7911，43{13151719，···，已知m3的“分裂”数中有一个是333，则m为（）.A. 16B.17C.18D. 19二、填空题17.已知数列{a n}满足条件a1=1，a n−1−a n=a n a n−1，则a10= .18.对于数列{a n}，满足a1=1，a n+1=a n+1√n+1+√n，则a n= .19.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为升.20. 已知数列{a n}对任意p，q∈N∗满足a p+q=a p+a q，且a2=−6，则a10= .21.设f(x)=12x+√2，则f(−5)+f(−4)+···+f(0)+···+f(5)+f(6)= .三、解答题22.等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n−2+n，求b1+b2+b3+···+b10的值.23.已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26. （1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2a n−1，求数列{b n}的前n项和S n.24.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=1−14a n ，b n=22a n−1,其中n∈N∗.（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=n·2n+1·a n，求数列{c n}的前n项和.25.已知数列{a n}的前n项和S n满足a n=1−2S n.（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设函数f(x)=log13x，b n=f(a1)+f(a2)+···+f(a n)，求T n=1b1+1b2+···+1b n.。
高二数学上学期10月质检试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年江苏省淮安市浦南外国语学校高二（上）10月质检数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．“∀x∈R，x2﹣2x+1＞0”的否定是．2．平面上两条直线x+2y+1=0，x﹣my=0，如果这两条直线将平面划分为三部分，则实数m 的取值为．3．若方程+=1表示椭圆，则实数t的取值范围是．4．过点A（2，4）的圆x2+y2=20的切线方程为．5．经过A（2，﹣），B（﹣，﹣）的椭圆的标准方程为．6．两条平行直线3x+4y﹣5=0与6x+8y﹣15=0之间的距离为．7．已知x，y满足+=10，则x•y的最大值为．8．已知△ABC三个顶点的坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，﹣1），则该△ABC的面积为．9．与圆x2+y2+4x+2=0相切，且在x轴、y轴上的截距之比为1：1的直线共有条．10．a1，b1，a2，b2均为非零实数，不等式a1x+b1＞0和a2x+b2＞0的解集分别为集合M和N，那么“=”是“M=N”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）11．若圆x2+y2﹣2a2x+2ay+4a﹣1=0关于直线x+y=0对称，则实数a= ．12．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中否命题成立的是．（1）c⊥α，若c⊥β，则α∥β；（2）b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c（3）b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a（4）b⊂β，若b⊥α，则β⊥α13．平面直角坐标系中，三角形ABC顶点分别为A（a，0），B（0，b），C（0，c），点D（d，0）在线段OA上（异于端点），设a，b，c，d均为非零实数，直线BD交AC于点E，则OE 所在的直线的方程为．14．在平面直角坐标系中，已知A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），若四边形PABN的周长最小，则a= ．二、解答题：本大题共6小题，15-16每小题14分，17-18每小题14分，19-20每小题14分，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：∃x∈R，使得x2﹣2ax+2a2﹣5a+4=0；命题q：∀x∈[0，1]，都有（a2﹣4a+3）x﹣3＜0，若p与q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．16．在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥CD，SA=SB，SC=SD，E，F分别为AB，CD的中点．（1）求证：平面SEF⊥平面ABCD；（2）若平面SAB∩平面SCD=l，试问l与平面ABCD是否平行，并说明理由．17．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）若直线不经过第一象限，求m的范围；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．18．在路边安装路灯，灯柱OA的高为h，路宽OC为23米，灯杆AB的长为2.5米，且与灯柱OA成120°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直．请你建立适当的直角坐标系，解决以下问题：（1）当h=10米时，求灯罩轴线BD所在的直线方程；（2）当h为多少米时，灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线．19．直线l：y=﹣2，椭圆+=1（a＞b＞0），上、下顶点为A、B，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，如图所示．（1）设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2，试求k1•k2的值（用a，b 表示）；（2）设椭圆的离心率为，且过点A（0，1）．①求MN的最小值；②记以MN为直径的圆为圆C，随着点P的变化，圆C是否恒过定点，若过定点，求出该定点，如不过定足，请说明理由．20．在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求以F、E为焦点，DC和AB所在直线为准线的椭圆的方程．（2）求⊙H的方程．（3）设点P（0，b），过点P作直线与⊙H交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数b的取值范围．2014-2015学年江苏省淮安市浦南外国语学校高二（上）10月质检数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．“∀x∈R，x2﹣2x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣2x+1≤0 ．考点：命题的否定；全称命题．专题：阅读型．分析：全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，x2﹣2x+1＞0”，易得到答案．解答：解：∵原命题“∀x∈R，x2﹣2x+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2﹣2x+1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣2x+1≤0故答案为：∃x∈R，x2﹣2x+1≤0．点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．2．平面上两条直线x+2y+1=0，x﹣my=0，如果这两条直线将平面划分为三部分，则实数m 的取值为﹣2 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用平行直线与斜率之间的关系即可得出．解答：解：两条直线x+2y+1=0，x﹣my=0分别化为：y=﹣x﹣，y=x（m≠0）．∵已知两条直线将平面划分为三部分，∴此两条直线必平行，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了平行直线与斜率之间的关系，属于基础题．3．若方程+=1表示椭圆，则实数t的取值范围是（1，2）∪（2，3）．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用椭圆的性质，列出不等式组求解即可．解答：解：方程+=1表示椭圆，∴，解得t∈（1，2）∪（2，3）．故答案为：（1，2）∪（2，3）．点评：本题考查椭圆的基本性质的应用，考查计算能力．4．过点A（2，4）的圆x2+y2=20的切线方程为x+2y﹣10=0 ．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：要求过点A的切线方程，关键是求出切点坐标，判断A点在圆上，代入圆的切线方程，整理即可得到答案解答：解：∵点A（2，4）在圆上，∴过点A（2，4）的圆x2+y2=2的切线方程为 2×x+4×y=20，即x+2y﹣10=0．故答案为：x+2y﹣10=0．点评：求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x 轴垂直的另一条切线．5．经过A（2，﹣），B（﹣，﹣）的椭圆的标准方程为．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），由已知得，由此能求出椭圆的标准方程．解答：解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），则，解得m=，n=1，∴经过A（2，﹣），B（﹣，﹣）的椭圆的标准方程为．故答案为：．点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．6．两条平行直线3x+4y﹣5=0与6x+8y﹣15=0之间的距离为．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：首先使两条平行直线x与y的系数相等，再根据平行线的距离公式求出距离即可．解答：解：由题意可得：两条平行直线为6x+8y﹣10=0与6x+8y﹣15=0，由平行线的距离公式可知d===．故答案为：．点评：本题是基础题，考查平行线的应用，平行线的距离的求法，注意平行线的字母的系数必须相同是解题的关键．7．已知x，y满足+=10，则x•y的最大值为10 ．考点：椭圆的简单性质；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先化简方程，再引入参数，即可求出x•y的最大值．解答：解：∵x，y满足+=10，∴化简可得，设x=5cosα，y=4sinα，则xy=20sinαcosα=10sin2α，∵﹣1≤sin2α≤1，∴x•y的最大值为10，故答案为：10．点评：本题考查椭圆方程，考查参数知识的运用，比较基础．8．已知△ABC三个顶点的坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，﹣1），则该△ABC的面积为3 ．考点：三角形的面积公式．专题：直线与圆．分析：直线AB的方程：，利用点到直线的距离公式可得C（4，﹣1）到直线AB的距离d，利用两点之间的距离公式可得|AB|，再利用△ABC的面积S=即可得出．解答：解：∵直线AB的方程：，化为x﹣y+1=0，∴C（4，﹣1）到直线AB的距离d==3，又|AB|==．∴该△ABC的面积S==3．故答案为：3．点评：本题考查了直线的方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．9．与圆x2+y2+4x+2=0相切，且在x轴、y轴上的截距之比为1：1的直线共有 1 条．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由该直线在x轴、y轴上的截距相等可得斜率k=﹣1，又因为直线与圆相切，所以设出直线方程，让圆心到直线的距离等于半径得到直线方程，即可得到直线的个数．解答：解：由圆的方程得圆心为（﹣2，0），半径为；而该直线在x轴、y轴上的截距相等可得斜率k=﹣1，所以设直线方程为y=﹣x+b；由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径即d=，解得b=0或b=﹣4；当b=0时，y=﹣x；不满足圆x2+y2+4x+2=0在x轴、y轴上的截距之比为1：1，b=0舍去．当b=﹣4时，y=﹣x﹣4，满足题意．所求直线条数为1．故答案为：1．点评：考查学生理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式解决实际问题．10．a1，b1，a2，b2均为非零实数，不等式a1x+b1＞0和a2x+b2＞0的解集分别为集合M和N，那么“=”是“M=N”的必要不充分”条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：对a1，a2与0的大小关系分类讨论，利用一元一次不等式的解法、充要条件的判定即可得出．解答：解：当a1＞0， a2＞0时，不等式a1x+b1＞0和a2x+b2＞0的解集分别为集合M=，N=．当a1＞0，a2＜0时，不等式a1x+b1＞0和a2x+b2＞0的解集分别为集合M=，N=．当a1＜0，a2＞0时，不等式a1x+b1＞0和a2x+b2＞0的解集分别为集合M=，N=．当a1＜0，a2＜0时，不等式a1x+b1＞0和a2x+b2＞0的解集分别为集合M=，N=．综上可得：那么“=”是“M=N”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．点评：本题考查了分类讨论、一元一次不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．若圆x2+y2﹣2a2x+2ay+4a﹣1=0关于直线x+y=0对称，则实数a= 0 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆的圆心坐标，通过已知条件直线经过圆的圆心，列出方程求解即可．解答：解：圆x2+y2﹣2a2x+2ay+4a﹣1=0的圆心坐标（a2，﹣a）．∵圆x2+y2﹣2a2x+2ay+4a﹣1=0关于直线x+y=0对称，∴直线经过圆的圆心，∴a2﹣a=0，解得a=0或a=1，当a=0时，圆的方程为x2+y2﹣1=0，成立．当a=1时，圆的方程为x2+y2﹣2x+2y+3=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=﹣1，不是圆，a=1舍去．故答案为：0．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生对圆的对称性的理解和应用；求出a值，必须验证方程是否是圆的方程，这是易错点．12．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中否命题成立的是（1）、（2）、（3）．（1）c⊥α，若c⊥β，则α∥β；（2）b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c（3）b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a（4）b⊂β，若b⊥α，则β⊥α考点：四种命题的真假关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：分别写出各个命题的否命题，再判断它们的否命题是否正确即可．解答：解：对于（1），否命题是c⊥α时，若c与β不垂直，则α与β不平行，是正确的命题；对于（2），否命题是b⊂α，c⊄α时，若c与α不平行，则b与c不平行，是正确的命题；对于（3），否命题是b⊂β，c是a在β内的射影时，若b与c不垂直，则b与a不垂直，是正确的命题；对于（4），否命题是b⊂β时，若b与α不垂直，则β与α不垂直，是错误的命题．综上，以上正确的命题是（1）、（2）、（3）．故答案为：（1）、（2）、（3）．点评：本题考查了四种命题的应用问题，也考查了空间中的平行与垂直关系的判断问题，是综合题目．13．平面直角坐标系中，三角形ABC顶点分别为A（a，0），B（0，b），C（0，c），点D（d，0）在线段OA上（异于端点），设a，b，c，d均为非零实数，直线BD交AC于点E，则OE所在的直线的方程为．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：利用截距式方程即可得出．解答：解：直线AC方程：，直线AD的方程为：，两个方程相减可得：，可知：交点E及原点满足上述方程．因此OE所在的直线的方程为：．故答案为：．点评：本题考查了直线的截距式方程，属于基础题．14．在平面直角坐标系中，已知A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），若四边形PABN的周长最小，则a= ．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据两点之间的距离公式，列出四边形PABN的周长关于a的表达式，得到x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和最小时，四边形PABN的周长也最小．利用对称思想结合直线方程的求法，可得a=值时，四边形PABN的周长最小．解答：解：四边形PABN的周长为C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|==++1要求四边形周长的最小值只要求出的最小值即可．它表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．可以利用对称思想最小值为E（1，﹣3）与F（3，1）两点间的距离，进一步利用E（1，﹣3）与F（3，1）求出直线EF的方程y=2x﹣5，当y=0时解得x=即：a=时四边形PABN的周长最小．故答案为：a=．点评：本题考查的知识要点：两点间的距离公式，点的对称问题，直线的方程及相关的恒等变形问题．二、解答题：本大题共6小题，15-16每小题14分，17-18每小题14分，19-20每小题14分，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：∃x∈R，使得x2﹣2ax+2a2﹣5a+4=0；命题q：∀x∈[0，1]，都有（a2﹣4a+3）x﹣3＜0，若p与q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先求出使命题p，q为真时的a的范围，然后根据两个命题中有且只有一个真命题，分p真q假；p假q真两种情况列出不等式组求解．解答：解：若命题p为真，则有△=4a2﹣4（2a2﹣5a+4）≥0，解得1≤a≤4．对于命题q，令f（x）=（a2﹣4a+3）x﹣3，若q为真，则应有f（0）＜0，且f（1）＜0，解得0＜a＜4，由题设命题p和q有且只有一个为真，所以或，解得0＜a＜1或a=4．故所求a的范围是0＜a＜1或a=4．点评：本题考查了复合命题真假的判断，一般先判断每个命题的真假，然后根据真值表考虑复合命题的真假构造不等式求解．16．在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥CD，SA=SB，SC=SD，E，F分别为AB，CD的中点．（1）求证：平面SEF⊥平面ABCD；（2）若平面SAB∩平面SCD=l，试问l与平面ABCD是否平行，并说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证平面SEF⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面SEF垂直，而根据线面垂直的性质定理可知AB⊥平面SEF；（2）根据线面平行的判定定理可知AB∥平面SCD，而平面SAB∩平面SCD=l，再根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l，即可证明l∥平面ABCD．解答：（1）证明：由SA=SB，E为AB中点得SE⊥AB．由SC=SD，F为CD中点得SF⊥DC．又AB∥DC，∴AB⊥SF．又SF∩SE=S，∴AB⊥平面SEF．又∵AB⊂平面ABCD，∴平面SEF⊥平面ABCD．（2）解：∵AB∥CD，CD⊂面SCD，∴AB∥平面SCD．又∵平面SAB∩平面SCD=l，根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l．∵l⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴l∥平面ABCD．点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定定理和性质定理等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．17．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）若直线不经过第一象限，求m的范围；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．考点：直线的点斜式方程；确定直线位置的几何要素．专题：计算题．分析：（Ⅰ）（法一）1﹣2m=0，即m=时，x=1，不过第一象限，故m=.1﹣2m≠0，即m≠时，y=，由此能求出m的范围．（法二）（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x﹣y﹣4．由得，直线必过定点（﹣1，﹣2）．由此能求出m的范围．（Ⅱ）设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），故OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，…（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|，由此能求出△AOB面积的最小值和此时直线的方程．解答：解：（Ⅰ）（法一）①1﹣2m=0，即m=时，x=1，不过第一象限，∴m=．②1﹣2m≠0，即m≠时，y=，∴，∴，∴﹣．（法二）解：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x﹣y﹣4．…（3分）由得，∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．…（6分）∴1﹣2m=0或者，∴﹣．（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，…（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..…（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，∴S△AOB=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．…（13分）∴△AOB的面积最小值是4，…（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．点评：本题考查考查实数取值范围的求法，考查三角形面积最小值的求法和直线方程的求法．解题时要认真审题，注意直线方程知识的灵活运用．18．在路边安装路灯，灯柱OA的高为h，路宽OC为23米，灯杆AB的长为2.5米，且与灯柱OA成120°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直．请你建立适当的直角坐标系，解决以下问题：（1）当h=10米时，求灯罩轴线BD所在的直线方程；（2）当h为多少米时，灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线．考点：与直线有关的动点轨迹方程．专题：综合题．分析：（1）以灯柱底端O点为原点，灯柱OA所在直线为y轴，路宽OC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可得点A，C，B的坐标，利用BD⊥AB，即可确定BD的方程；（2）设路面中线与路宽OC的交点为D，则点D的坐标为（11.5，0），由（1）可得BD的方程为y﹣（h+1.25）=﹣（x﹣1.25），将D的坐标（11.5，0），即可求得h的值．解答：解：（1）以灯柱底端O点为原点，灯柱OA所在直线为y轴，路宽OC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，（2分）则A点的坐标为（0，h），C点的坐标为（23，0），…（3分）因为灯杆AB与灯柱OA成120°角，所以AB的倾斜角为30°，则B点的坐标为（2.5cos30°，h+2.5sin30°），即（1.25，h+1.25）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为BD⊥AB，所以，…（7分）当h=10时，B点的坐标为（1.25，11.25），此时BD的方程为y﹣11.25=﹣（x﹣1.25），即…（10分）（2）设路面中线与路宽OC的交点为D，则点D的坐标为（11.5，0）．…（11分）由（1）可得BD的方程为y﹣（h+1.25）=﹣（x﹣1.25）将D的坐标（11.5，0），代入可得：﹣（h+1.25）=﹣（x﹣1.25）∴h=11.5﹣5（米）．点评：本题考查直线方程，考查直线方程的运用，解题的关键是建立坐标系，确定点的坐标．19．直线l：y=﹣2，椭圆+=1（a＞b＞0），上、下顶点为A、B，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，如图所示．（1）设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2，试求k1•k2的值（用a，b 表示）；（2）设椭圆的离心率为，且过点A（0，1）．①求MN的最小值；②记以MN为直径的圆为圆C，随着点P的变化，圆C是否恒过定点，若过定点，求出该定点，如不过定足，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆上点P（x0，y0）满足椭圆的方程，求出直线AP、BP的斜率k1、k2的表达式，计算出k1k2的值；（2）先根据题意求出椭圆的方程，再利用（1）中的结论求出①中MN的最小值；②写出以MN为直径的圆的方程，根据图形的对称性知，以MN为直径的圆过定点在y轴上，令x=0，求出y的值即可得出定点来．解答：解：（1）∵椭圆方程为，椭圆上点P为（x0，y0），则，∴，即；∴；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知，即a2﹣c2=1，联立方程解得a=2；∴椭圆的方程为；①由（1）知k BM•k AN=k PB•k AN=﹣，∵k BM•k AN=•，∴x1x2=﹣12；此时不妨设x1＜0，此时MN=|x1﹣x2|=x2﹣x1=x2+≥2=4，当且仅当x2=﹣x1=2时取“=”；∴MN的最小值是4；②以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y+2）2=0，由图形的对称性知，如果以MN为直径的圆过定点，则定点在y轴上，此时令（x﹣x1）（x﹣x2）+（y+2）2=0中x=0，得（y+2）2=﹣x1x2=12，∴y=﹣2±2；即以MN为直径的圆是圆C，随着点P的变化，圆C恒过定点（0，﹣2±2）．点评：本题考查了圆锥曲线的定义与几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，是综合题，属于难题．20．在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求以F、E为焦点，DC和AB所在直线为准线的椭圆的方程．（2）求⊙H的方程．（3）设点P（0，b），过点P作直线与⊙H交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数b的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标和准线方程求得c和的值，进而求得a和b，则椭圆方程可得．（2）根据题意可知A，B，C，F的坐标，进而求得AC和BF的直线方程，联立求得焦点G的坐标，进而求得EG，BF的斜率，根据二者的乘积为﹣1判断出EG⊥BF，进而求得圆心和半径，进而求得圆的标准方程．（3）设M点的坐标为（x0，y0），则N点的坐标可知，代入圆的方程联立求得8x0+4（1﹣b）y0+b2+2b﹣9=0，判断出点M在此直线上，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离小于或等于整理求得b的范围．解答：解；（1）由已知，设椭圆方程为，由于焦点E的坐标为（1，0），它对应的准线方程为x=3，所以c=1，，于是a2=3，b2=2，所以所求的椭圆方程为：．（2）由题意可知A（3，0），B（3，2），C（﹣3，2），F（﹣1，0）．所以直线AC和直线BF的方程分别为：x+3y﹣3=0，x﹣2y+1=0，由解得所以G点的坐标为．所以k EG=﹣2，，因为k EG•k BF=﹣1，所以EG⊥BF，所以⊙H的圆心为BE中点H（2，1），半径为，所以⊙H方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．（3）设M点的坐标为（x0，y0），则N点的坐标为（2x0，2y0﹣b），因为点M，N均在⊙H上，所以，由②﹣①×4，得8x0+4（1﹣b）y0+b2+2b﹣9=0，所以点M（x0，y0）在直线8x+4（1﹣b）y+b2+2b﹣9=0，又因为点M（x0，y0）在⊙H上，所以圆心H（2，1）到直线8x+4（1﹣b）y+b2+2b﹣9=0的距离，即，整理，得（b﹣1）4﹣12（b﹣1）2﹣28≤0，即[（b﹣1）2+2][（b﹣1）2﹣14]≤0，所以，故b的取值范围为．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．有效地考查考生分析问题、解决问题的能力．。
高二数学考试卷(附解答)
高二数学考试卷(附解答)高二数学考试卷（附解答）一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增函数，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 1D. a ≤ 1解答：A. a > -12. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 10C. 15D. 20解答：B. 103. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上对应的点位于：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限解答：B. 虚轴4. 设函数g(x) = x^3 - 3x，下列说法正确的是：A. g(x)在(-∞, 0)上单调递增B. g(x)在(0, +∞)上单调递减C. g(x)的极小值点为x = 0D. g(x)的极大值点为x = 0解答：C. g(x)的极小值点为x = 05. 若平面α与平面β的交线为直线l，且直线l与直线a平行，则直线a与平面α的关系为：A. 在平面α内B. 平行于平面αC. 与平面α相交D. 在平面α的延长线上解答：B. 平行于平面α二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列的前3项分别为2，4，__，则该数列的公比为______。
解答：8，22. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图象与坐标轴的交点个数为______。
解答：33. 若矩阵A的行列式为2，则矩阵A的逆矩阵的元素满足______。
解答：元素乘以-1/2后与原矩阵对应元素相等4. 设平面α与平面β的夹角为θ，则sinθ等于______。
解答：平面α与平面β的法向量夹角的余弦值5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且cosA = 1/2，则三角形ABC的形状为______。
解答：等腰三角形或直角三角形三、解答题（每题10分，共30分）1. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值及取得最小值的x值。
2023-2024学年(上)期中学业质量联合调研抽测高二数学试题[含答案]
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故选：A． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线 相交问题常常采用此法，注意体会．
6.
C:
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b 0
的上顶点为 A，离心率为 e，若在 C 上存在点 P，使得
PA
6b
，
则 e2 的最小值是（ ）
52 6 A. 36
得到直线方程，根据方程特点可得答案.
【详解】当直线 AB 的斜率为 0 时，直线 AB 与抛物线只有 1 个交点，不符合题意，
所以直线 AB 的斜率不为 0，设其方程为 x ky m ，因为点 A, B 在抛物线 y2 x 上，
A
所以设
y
2 A
,
yA
,B
yB2 , yB
，所以 OAOB
b, c, z
x, y, a b c
；③
；④
，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】以
A
为顶点作
AB
a
，
AD
b
，
AA1
c
，作出平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
，根据空间向
量的加法法则作出， x, y, z, a b c ，然后判断各组向量是否共面可得结论．
由于直线与圆恒有公共点，所以点 (1,1) 在圆内或圆上，
所以 (1 2)2 (1 2)2 m2 ，解得 m 10 或 m 10 ，
故选:D
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，涉及直线系方程属于基础题.
广东省惠州市博罗县2024-2025学年高二上学期阶段性教学质量检测数学试题(含解析)
博罗县2024-2025学年度第一学期高二阶段性教学质量检测数学试题本试卷共4页，共19小题，总分150分，检测用时：120分钟第I 卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，，且，则实数的值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．63．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）A ． B ． C ．D ． 4．在三棱锥中，为的中点，设，则（ ）A ．B．C ．．5．已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（ ）A ．B．C．D ．6．已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．以上皆有可能7．已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）020233=++y x 6π-3π-32π65π)3,1,2(-=a ),1,4(t b -=b a ⊥3-)1,2(-P 0132=++y x 0732=-+y x 0823=-+y x 0132=--y x 0823=--y x BCD A -O CD c BD b BC a BA ===，,=AO a +-b a +-b -c -2)1()1(:22=-+-y x C )2,2(P P 04=-+y x 0=+y x 0=-y x 04=--y x ),(b a P 422=+y x 04=-+by ax )2,5(),3,2(---B A )1,1(-P AB kA ．B ．C ．D ．8．阅读下面材料：在数轴上，方程Ax +B =0(A ≠0)可以表示数轴上的点，在平面直角坐标系xO y 中，方程A x +By +C =0（A 、B 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，在空间直角坐标系O ―xyz 中，方程Ax +By +Cz +D =0（A 、B 、C 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面。
高二数学测试题含答案
高二数学测试题含答案work Information Technology Company.2020YEAR高二数学测试题2014-3-9一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,只有一项是符合题目要求的.)1.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ）A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形2.“三角函数是周期函数，tan y x =，ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，是三角函数，所以tan y x =，ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） (A)推理完全正确 (B)大前提不正确 (C)小前提不正确 (D)推理形式不正确3．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（ ） （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个4 .已知动点P （x ，y ）满足2)2()2(2222=+--++y x y x ,则动点P 的轨迹是 A.双曲线B.双曲线左支C. 双曲线右支D. 一条射线5．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A ．dx x f c a ⎰)(B ．|)(|dx x f ca⎰C ．dx x f dx x f c bb a⎰⎰+)()( D ．dx x f dx x f bac b⎰⎰-)()(6 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8.7.已知斜率为1的直线与曲线1xy x =+相切于点p ，则点p 的坐标是（ ） ( A ) ()2,2- (B) ()0,0 (C) ()0,0或()2,2- (D) 11,2⎫⎛ ⎪⎝⎭8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是 （ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=9.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）A B C D．10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为 （ ）（A ）⎪⎭⎫⎝⎛-1,41 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41 （C ）()22,2--（D ）()22,2-11.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）（A ）12 （B ） 2（C ）13（D ）3 12．已知βα,是三次函数bx ax x x f 22131)(23++=的两个极值点，)2,1(),1,0(∈∈βα,则12--a b 的取值范围是( ） A )1,41( B )1,21( C )41,21(-D )21,21(- 二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分) 13. 用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n 时,从“k 到1+k ”左边需增加的代数式是______________________14．已知1623++++=x a ax x x f )()(有极大值和极小值，则a 的取值范围为15. 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,3)-的双曲线的方程为 .16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）给定两个命题：p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立； q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x=,当0x >时,求()g x 的最小值.19. (本小题满分14分)在数列{}n a 中，113a =，且123(21)nn a a a a n a n++++=- *()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20.（本小题12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.21. （本题满分12分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点)23,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.22. 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->。
天津市2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题含解析
2023-2024天津市高二年级第一学期第一次阶段性检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共9个小题，每题5分，共45分.）1.直线0x +-=的倾斜角为()A.6πB.4π C.23π D.56π【答案】D 【解析】【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．【详解】0x +-=可化为：83y x =-+，∴直线的斜率为3-，设直线的倾斜角α，则tan 3α=-，∵[)0,πα∈，∴5π6α=．故选：D ．2.3a =-是直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线互相垂直求出a 的值，从而判断结论.【详解】因为直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直，所以()()()11230a a a a -+-+=，解得1a =或3a =-，所以3a =-是直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直的充分不必要条件.故选：A .3.设x ，y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===- ，且,a c b c ⊥ ∥，则|2|a b +=（）A.B. C.3D.【答案】B 【解析】【分析】由向量的关系列等式求解x ，y 的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】解：向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥ ∥，∴2420124a c x y⋅=-+=⎧⎪⎨=⎪-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩∴2(21,2,3)(3,0,3)a b x y +=++=，∴|2|a b +==B 正确.故选：B ．4.圆2240x x y -+=与圆22430x y x +++=的公切线共有A.1条 B.2条C.3条D.4条【答案】D 【解析】【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．【详解】2240x x y -+=⇒222(2)2x y -+=圆心坐标为（2，0）半径为2；22430x y x +++=⇒222(2)1x y ++=圆心坐标为(2,0)-，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故本题选D.【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．5.已知点M 是圆22:1C x y +=上的动点，点()2,0N ，则MN 的中点P 的轨迹方程是（）A.()22114x y -+=B.()22112x y -+=C.()22112x y ++=D.()22114x y ++=【答案】A 【解析】【分析】设出线段MN 中点的坐标，利用中点坐标公式求出M 的坐标，根据M 在圆上，得到轨迹方程．【详解】设线段MN 中点(,)P x y ，则(22,2)M x y -．M 在圆22:1C x y +=上运动，22(22)(2)1x y ∴-+=，即221(1)4x y -+=．故选：A ．【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．6.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C所成角的余弦值是A.32B.12C.14D.0【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B，)12B ，()0,1,0C ，向量)12A B =-,()12B C =-，11cos ,A B B C <> 1111A B B C A B B C ⋅=⨯=14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.圆223x y +=与圆223330x y x y m +-+-=的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则m 的值为（）A.3-B.1- C.3D.3或1-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线与x ,y 轴交点的坐标，进而可得1|1||1|22m m ⨯-⨯-=，解可得m 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆223x y +=与圆223330x y x y m +-+-=，即2222303330x y x y x y m ⎧+-=⎨+-+-=⎩，两式相减可得：10x y m -+-=，即两圆的公共弦所在的直线的方程为10x y m -+-=，该直线与x 轴的交点为(1,0)m -，与y 轴的交点为(0,1)m -，若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有1|1||1|22m m ⨯-⨯-=，变形可得：2(1)4m -=，解可得：3m =或1-；故选：D8.已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =A.2B. C.6D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长6AB ==，选C.考点：切线长9.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）10.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于______________．【答案】【解析】【分析】利用圆的弦长公式，结合点线距离公式即可得解.【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，它到直线3450x y +-=的距离1d ==，所以弦AB的长AB ==故答案为：11.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=.则yx的最大值为_____________.【解析】【分析】当直线y kx =与圆相切时，k 取得最值，利用切线的性质求出k ；【详解】解：设圆22:410C x y x +-+=，即22(2)3x y -+=．设yk x=，则当直线y kx =与圆C 相切时，直线斜率最大或最小，即k 最大或最小．如图所示：设直线y kx =与圆C 切于第一象限内的点A，则AC =2OC =，1OA ∴=，tan ACk AOC OA∴=∠==，由图象的对称性可知当y kx =与圆C相切于第四象限内时，k =∴yx．【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，直线和圆相切的性质，属于中档题．12.直线12:310,:2(1)10l ax y l x a y ++=+++=，若12//l l ，则a 的值为______；此时1l 与2l 的距离是______.【答案】①.3-②.12【解析】【分析】由直线平行的判定列方程求参数a ，注意验证排除重合的情况，再根据平行线距离公式求距离.【详解】由12//l l ，则(+1)=6a a ，即2+6=(+3)(2)=0a a a a --，可得3a =-或=2a ，当3a =-时，12:3+3+1=0,:22+1=0l x y l x y --，符合题设；当=2a 时，12:2+3+1=0,:2+3+1=0l x y l x y 为同一条直线，不合题设；综上，3a =-，此时1211:=0,:+=032l x y l x y ---，所以1l 与2l 的距离11|+|2312d .故答案为：3-，1213.如图，在平行六面体中，2AB =，1AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160DAA BAA ∠=∠=︒，点M 为棱1CC 的中点，则线段AM 的长为______．【答案】【分析】利用向量数量积求得向量AM的模，即可求得线段AM 的长【详解】112AM AB BC CM AB AD AA =++=++则AM ==即线段AM14.已知()0,3A ，点P 在直线30x y ++=，圆C ：22420x y x y +--=，则PA PC +最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出点A 关于直线30x y ++=的对称点B 的坐标，可得PA PC +的最小值BC .【详解】因为22:420C x y x y +--=可转化为：22(2)(1)5x y -+-=，则圆心为()2,1C ，半径为r =.设A 关于直线30x y ++=的对称点B 的坐标为(),a b ，则：3302231a b b a +⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩，即()6,3B --，所以+=+PA PC PB PC 的最小值是==BC故答案为：15.若直线220kx y k ++-=与曲线1x =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是【答案】[),15,3⎛⎫-∞--⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】1x +=，表示圆心为()1,1C ，半径2r =，在直线1x =及右侧的半圆，作出直线220kx y k ++-=与半圆，利用数形结合即得．【详解】方程220kx y k ++-=是恒过定点(2,2)P -，斜率为k -的直线，1x +=，即22(1)(1)4(1)x y x -+-=≥，表示圆心为()1,1C ，半径2r =，在直线1x =及右侧的半圆，半圆弧端点(1,1),(1,3),A B -在同一坐标系内作出直线220kx y k ++-=与半圆22:(1)(1)4(1C x u x -+-=≥)，如图，当直线220kx y k ++-=与半圆C2=，且0k ->，解得2613k -=+，又5PB k =-，所以13k ->+或5k -≤-，所以13k <--或5k ≥．故答案为：[),15,3⎛⎫-∞--⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．三、解答题.（本大题共5小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 三个内角,,A B C 2sin a C =．（1）求A ；（2）若a =2b =，求c ；（3）若2cos 3B =，求()cos 2B A +的值．【答案】（1）π3（2）3（3）141518+-【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得π3A =；（2）利用余弦定理解方程可得3c =；（3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出()1cos 218B A ++=-.【小问1详解】由于π02C <<，所以sin 0C ≠，2sin a C =2sin sin C A C =，所以sin 2A =，且三角形ABC 为锐角三角形，即π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以π3A =.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理知2222471cos 242b c a c A bc c +-+-===，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），故3c =.【小问3详解】由2cos 3B =，可得sin 3B =，所以22451cos 2cos sin 999B B B =-=-=-，2sin 22sin cos 2339B B B ==⨯⨯=()114531415cos 2cos 2cos sin 2sin 929218B A B A B A ++=-=-⨯-⨯=-，即()1cos 218B A ++=-17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，111112A A A B AC ===，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点.（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）求点1B 到平面ABD 的距离；（3）求点C 到直线1B D 的距离.【答案】（1）见解析（2）5（3）7【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直；（2）利用向量法求由点到面的距离公式求解；（3）利用向量中点到直线的距离公式求解.【小问1详解】以点A 为原点，分别以AB ，AC ，1AA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0C ，()10,0,2A ，()12,0,2B ，()10,2,2C ，()0,3,1D ，()12,0,2BB =- ，()12,0,2AB =u u u u r ，11440BB AB ⋅=-+= ，10BB AC ⋅= ，∴11BB AB ⊥，1BB AC ⊥，又∴1AB AC A = ，1AB ，AC ⊂平面1AB C ，∴1BB ⊥平面1AB C【小问2详解】设平面ABD 的法向量(),,m x y z = ，取()4,0,0AB = ，()0,3,1AD = 则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即4030x y z =⎧⎨+=⎩，故03x z y =⎧⎨=-⎩令1y =，解得0x =，3z =-故平面ABD 的一个法向量()0,1,3m =- ，点1B 到平面ABD的距离15m d AB m⋅=== .【小问3详解】()12,3,1B D =-- ，()0,1,1CD =- ，∴11CD B D B D⋅== ∴点C 到直线1B D距离7d ===.18.求满足下列条件的直线方程.(1)过点()2,4M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)已知()3,3A -，()1,1B ，两直线1:240l x y -+=，2:4350l x y ++=交点为P ，求过点P 且与,A B 距离相等的直线方程；(3)经过点()2,1M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程.【答案】（1）20x y -=或60x y +-=；（2）20x y +=或30x y -+=；（3）4350x y --=或2x =..【解析】【分析】（1）根据题意，分直线l 过原点和直线l 不过原点时，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解；（2）联立方程组求得()2,1P -，分直线l 过点P 且与AB 平行和直线l 过点P 和AB 中点N ，求得直线l 的斜率，结合点斜式方程，即可求解；（3）根据题意，求得圆心()3,4O ，半径1r =，分切线斜率存在和切线斜率不存在，两种情况讨论，求得切线的方程，即可得到答案.【详解】解：（1）当直线l 过原点时，可得所求直线为2y x =，即20x y -=，满足题意；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x y a a +=，其中0a ≠，代入()2,4M ，可得241a a+=，解得6a =，所以所求直线l 的方程为166x y +=，即60x y +-=，综上可得，直线l 的方程为20x y -=或60x y +-=.（2）由题意，联立方程组2404350x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，所以()2,1P -，当直线l 过点P 且与AB 平行，可得2142AB k ==--，即直线l 的斜率12l k =-，所以直线l 的方程()1122y x -=-+，即20x y +=；当直线l 过点P 和AB 中点N ，因为()3,3A -，()1,1B ，可得()1,2N -，则111PN k ==，所以直线l 的方程12y x -=+，即30x y -+=，综上，满足条件直线方程为20x y +=或30x y -+=.（3）将圆的方程，化为()()22341x y -+-=，可得圆心()3,4O ，半径1r =，将点()2,1M 代入，可得()()2223141-+->，所以点M 在圆外，①当切线斜率存在时，设切线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，1==，解得43k =，所以所求直线的方程为481033x y --+=，即4350x y --=；②当切线斜率不存在时，此时过点()2,1M 的直线方程为2x =，此时满足圆心到直线2x =的距离等于圆的半径，即直线2x =与圆相切，符合题意，综上可得，所求切线为4350x y --=或2x =.19.如图所示，直角梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF ∕∕平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为4，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）53131（3）存在，2BP =【解析】【分析】（1）取BC 中点G ，连接DG ，证明DA 、DG 、DE 两两垂直，建立空间直角坐标系，先证明直线向量与平面法向量数量积为零，进而证明直线与平面平行；（2）利用向量法即可求出二面角的余弦值；（3）假设存在，设(),01DP DF λλ=≤≤，利用向量法根据线面角求出λ，从而可得出答案.【小问1详解】证明：取BC 中点G ，连接DG ，因为112BG BC AD ===，又因为//AD BC ，所以四边形ABGD 为平行四边形，所以DG AB ∕∕，又因为AB AD ⊥，所以DA DG ⊥，因为四边形EDCF 为矩形，所以ED CD ⊥，又因为平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ⋂平面ABCD CD =，所以ED ⊥平面ABCD ，又,DA DG ∈平面ABCD ，所以ED DA ⊥，ED DG ⊥，于是DA 、DG 、DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()((1,0,0,1,2,0,,1,2,A B E F -，则(0AB = ，2，0)，(1AE =- ，0，(1DF =- ，2，设平面ABE 的法向量为(m x =，y ，)z，200AB m y AE m x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，m = ，0，1)，因为0DF m ⋅== ，所以DF m ⊥ ，又因为DF ⊂平面ABE ，所以DF ∕∕平面ABE ；【小问2详解】解：(1BE =- ，2-，(2BF =- ，0，设平面BEF 的法向量为(n a =，b ，)c，2020BE n a b BF n a ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取n =，4)，cos ,31m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131；【小问3详解】假设存在，设(),01DP DF λλ=≤≤，则(),2DP DF λλλ==- ，()1,2,0BD =--所以()1,2BP BD DF λλ=+=--- ，因为直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为4，所以cos ,4BP m BP m BP m ⋅=== ，解得12λ=或14，当12λ=时，33,1,22BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP =，当14λ=时，533,,424BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP =，所以存在点P ，使得直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为4，2BP =.20.已知圆M与直线340x -+=相切于点(，圆心M 在x 轴上．（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线()()():21174l m x m y m m +++=+∈R 与圆M 交于P ，Q 两点，求弦PQ 的最短长度；（3）过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 分别与直线=8x 相交于C ，D 两点，记OAB △，OCD 的面积为1S ，2S ，求12S S 的最大值．【答案】（1）22(4)16x y -+=（2）（3）12S S 的最大值为14【解析】【分析】（1）设圆的方程为222()x a y r -+=，再由直线340x +=与圆相切于点，可得关于a 与r 的方程组，求得a 与r 的值，则圆M 的方程可求；（2）直线(21)(1)74()m x m y m m R +++=+∈恒过定点(3,1)，且该点在圆内，当直线截圆的弦以定点(3,1)为中点时，弦长最短；（3）由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的方程为=y kx ，与圆的方程联立求得A 的坐标，同理求得B 的坐标，进一步求出C 与D 的坐标，写出12S S ，利用基本不等式求最值．【小问1详解】解：由题可知，设圆的方程为222()x a y r -+=，由直线340x +=与圆相切于点，得22(1)+7=11a r a⎧-⎪⎨-⎪-⎩，解得=4a ，4r =，∴圆的方程为22(4)16x y -+=；【小问2详解】解：由直线:(21)(1)74(R)l m x m y m m +++=+∈有：(27)(4)0m x y x y +-++-=；得2+7=0+4=0x y x y -⎧⎨-⎩，即=3=1x y ⎧⎨⎩即直线l 恒过定点(3,1)；又22(34)1216-+=<，即点(3,1)在圆C 内部；圆C 的圆心为(4,0)C ；设直线l 恒过定点(3,1)P ；当直线l 与直线CP 垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；此时||CP ===【小问3详解】解：由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的斜率为(0)k k ≠，则直线OA 的方程为=y kx ，由22=+8=0y kx x y x ⎧⎨-⎩，得22(1)80k x x +-=，解得=0=0x y ⎧⎨⎩或228=1+8=1+x k k y k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则点A 的坐标为2288(,)11k k k ++，又直线OB 的斜率为1k-，同理可得：点B 的坐标为22288(,)11k k k k-++由题可知：8(8,8),(8,C k D k-，∴12||||||||.||||||||S OA OB OA OB S OD OC OC OD ==，又 228||11||81A C x OA k OC x k+===+，同理22||||1OB k OD k =+，∴2142222221112141222S k S k k k k k k==++++⋅+ ．当且仅当||1k =时等号成立．∴12S S 的最大值为14．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查含参直线过定点问题及直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。
北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷(含答案)
通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测数学试卷2024年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线与直线平行，则（）A.2B.C. D.2.若向量，，满足条件，则（）A. B. C.0D.23.在空间直角坐标系Oxyz 中，点关于坐标平面Oyz 的对称点坐标为（）A. B.C. D.4.已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（）A. B. C.或 D.相交但不垂直5.法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为（）A.1B.26.过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A.B.C.D.7.圆和圆的位置关系是（）A.相离B.相交C.外切D.内切8.如图，在平行六面体中，AC 与BD 的交点为M ，若，则（）1y kx =+2y x =k =122-12-(1,2,)a x = (1,2,1)b =- (1,2,2)c =-()4c a b -⋅=- x =4-2-(1,2,4)A (1,2,4)---(1,2,4)-(1,2,4)-(1,2,4)--α(1,0,1)a =- (2,3,2)u =-//l αl α⊥//l αl α⊂,l α(1,0,1)n =α(1,1,0)A -(1,1,0)P α(4,-22:40C x y x ++=π4π2π32π3221:20C x y x +-=222:40C x y y +-=1111ABCD A B C D -1MC xAB y AD =++ 1z AAx y z ++=A. B.C.D.29.如果，那么“”是“直线不通过第三象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E 为棱BC 的中点，平面yDz 内两个动点P ，M ，分别满足，，则的取值范围是（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则________.12.过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________.13.直线与圆相交于A 、B 两点，当弦AB 最短时，________.14.已知两点，和圆，则直线AB 与圆C的位置关系为________.若点M 在圆C 上，且，则满足条件的点M 共有________个.2-32-120A B C ⋅⋅≠0A C ⋅<0Ax By C ++=D xyz -()111,,N x y z ()222,,F x y z 12NF x x =-+1212y y z z -+-1111ABCD A B C D -12PD =AMD CME ∠=∠PM 2⎤-+⎥⎦2⎡⎤+⎣⎦2⎤-+⎥⎦2⎡⎤+⎣⎦(1,2,4)a =-(2,4,1)b x y =+ 1l 2l 12//l l x y +=(3,1)-22:(1)(3)5M x y -++=10()x my m +-=∈R 224x y +=m =(0,1)A (3,4)B -22:8C x y +=3ABM S =△15.直三棱柱中，，，，，使棱上存在点P ，满足，则下列正确结论的序号是________.①满足条件的点P 一定有两个；②三棱锥的体积是三棱柱体积的；③三棱锥的体积存在最小值；④当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，点，，.（I ）求直线BC 的方程；（II ）求过点A 与直线BC 垂直的直线l 的方程；（III ）求直线BC 与直线l 交点的坐标.17.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，点，，且圆M 是以AB 为直径的圆.（I ）求圆M 的方程；（II ）若直线与圆M 相交，求实数k 的取值范围.18.（本小题15分）如图，在棱长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点.（I ）证明：平面；（II ）求异面直线EF 与所成角的大小.19.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，111ABC A B C -CA CB ⊥3CA =4CB =1CC a =1BB 1PC PC ⊥1C ACP -111ABC A B C -131C APC -1APC △1AA 1PC 23(1,1)A (1,3)B -(2,0)C (2,0)A (0,2)B 1y kx =-1111ABCD A B C D -1A C EF ⊥1A CD 1CD P ABCD -PD ⊥AD DC ⊥//AB DC，，E ，M 分别为棱PB ，PC 的中点.（I ）求线段BM 的长；（II ）求平面PDM 和平面DME 夹角的余弦值；（III ）在线段AP 上是否存在点G ，使得直线DG 在平面DME内，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题15分）如图①，在直角梯形ABCD 中，，，，点E 是BC 边的中点，将沿BD 折起至，使平面平面BCD ，得到如图②所示的几何体，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.图①图②（I ）求证：；（II ）求直线与平面所成角的正弦值.21.（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点且圆心C 在x 轴上，与直线交于不同的两点M ，N，且.（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆C 与y 轴交于A ，B 两点，点P 为直线上的动点，直线PA ，PB 与圆的另一个交点分别为R ，S ，且R ，S 在直线AB 两侧，求证：直线RS 过定点，并求出的值.122AB AD CD ===2PD =PGPA2AD AB ==//AD BC AB BC ⊥ABD △1A 1A BD ⊥1A BCD -1BD A E ⊥11A B A E =1A B CD ⊥1A C 1A DE (1,Q :1l y x =+QN QM =4y =(0,)H t通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测数学参考答案及评分标准2024年11月一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ADBCDCBDBA二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.612.13.014.相交；415.②③④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）（I ）直线的斜率，故直线的方程为，化简得.（II ）因为直线与直线垂直，故，所以，直线的方程为，化简得.（III ）直线和的交点即，17.（共13分）解：（I ）由已知，，则圆心.半径.（II ）由直线，即，又直线与圆相交，可得，，解得.18.（共15分）解：（I ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，所以.135︒BC 30112BC k -==---BC (2)y x =--20x y +-=BC 1l BCk k ⋅=-1l k =11y x -=-0x y -=20x y +-=0x y -=201,01,x y x x yy ⎧+-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩(1,1)(2,0)A (0,2)B (1,1)M 12r AB ===22(1)(1)2x y -+-=1y kx =-10kx y --=d =2420k k +->(,2(2)k ∈-∞---++∞ D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(2,2,2)A C =-- (1,0,1)EF =-1(2)(1)20(2)10A C EF ⋅=-⨯-+⨯+-⨯=1EF A C ⊥同理，，故平面.（II ），，，所以，所以.19.（共15分）（I ）因为平面，，平面，则，，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由已知，，，，，，可得，，故线段（II ），，设平面的法向量为，所以，令，则，.所以平面的一个法向量为，易知为平面的一个法向量，所以所以平面和平面（III ）假设线段上存在点，使得直线在平面内，，EF DC ⊥1A C DC C = EF ⊥1A CD 1(0,0,2)D 1(0,2,2)CD =- EF = 1CD =1(1)00(2)122EF CD ⋅=-⨯+⨯-+⨯=1111cos ,2EF CD EF CD EF CD ⋅===PD ⊥ABCD AD DC ⊂ABCD PD AD ⊥PD DC ⊥AD DC ⊥D DA DC DP x y z D xyz -(0,0,0)D (2,0,0)A (2,2,0)B (0,4,0)C (0,0,2)P (0,2,1)M (1,1,1)E (2,0,1)BM =-BM = BM (0,2,1)DM = (1,1,1)DE =DME (,,)n x y z =200n DM y z n DE x y z ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩+1y =1x =2z =-DME (1,1,2)n =-DAPDM cos ,n DA n DA n DA⋅〈〉===PDM DME AP G DG DME ([0,1])PGPAλλ=∈则，，因为在平面内，故，所以，.故线段上存在点，使得直线在平面内，此时.20.（共15分）解：（I ）证明若选条件①，取中点，连，OE ，，故，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，且，所以平面，所以.以为坐标原点，，，分别为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，，，，，，，，，，，，，所以，所以.（II ）设平面的法向量为，则，取，，(2,0,2)PGPA λλλ==-(2,0,22)DGDP PG λλ=+=-+DG DME DGn ⊥2101(22)(2)0DG n λλ⋅=⨯+⨯+-+⨯-= 23λ=AP G DG DME 23PG PA =BD O1A O 2ADAB ==1A O BD ⊥12OE DC =1A BD ⊥BCD 1ABD BCD BD =1A O ⊂1ABD 1A O ⊥BCD OE ⊂BCD 1AO OE ⊥1BD A E ⊥111A O A E A =BD ⊥1A OEBD OE ⊥O OBOE 1OA x y z 2AD AB ==1A O OB OE ===45ABD DBE ︒∠=∠=CD =1AB (C (DE 1A B = (0,CD=-1A E = DE =1(A C =100((00A B CD ⋅=+⨯-+⨯=1A B CD ⊥1A DE (,,)n x y z =-==+(1,1,1)n =- 1cos ,A C n ==故与平面.若选条件②，取中点，连，，，故，，，因为平面平面BCD ，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以，，又因为，所以，所以，所以.以下同条件①.21.（共14分）解：（I ）因为圆心在轴上，故设.因为交于不同的两点，，且，所以.则，解得，，故圆的方程为：.（II ），设，，，记，，则直线的方程为：，代入圆的方程消去得：，，，，同理，，设直线过定点，则直线斜率为：，所以，故直线过定点.1A C 1A DE BD O 1A O OE 2AD AB ==1A O BD ⊥12OE DC =45ABD OBE ︒∠=∠=1A BD ⊥1A BD BCD BD =1A O ⊂1A BD 1A O ⊥BCD OE ⊂BCD 1A O OE ⊥1A O OB ⊥11A B A E =11A OB A OE ≅△△BO OE ==BD OE ⊥C x (,0)C a 1y x =+M N QN QM =QC l ⊥QC k ==0a =2r CQ ==C 224x y +=(0,2)A -(0,2)B ()0,4P x ()11,R x y ()22,S x y 063PA k m x ==02PB k m x ==PA 32y mx =-y ()2219120m x mx +-=0∆>121219m x m ∴=+21218219m y m -=+2241mx m -=+222221m y m -+=+RS (0,)H t RS 1212y t y tx x --=()2124(1)0m t +-=1t =RS (0,1)H。
2023-2024学年度第二学期期末质量监测高二数学参考答案
2023-2024学年度第二学期期末质量监测高二数学参考答案及评分标准一．单项选择题（每小题5分，共40分）1-4、CBAD5-8、BDCA二．多项选择题（每小题6分，共18分）9.AC10.ACD11、ABD三．填空题（每小题5分，共15分）12.0.313.711714.3(,)2e+∞四．解答题（本大题5小题，共77分）15.（1）由PA AC ⊥，,D E 分别为棱,PC AC 的中点，得//,DE PA DE AC⊥AB BC ==,,D E F 分别为棱,,PC AC AB的中点，且1,EF DE DF ===222DF DE EF =+，DE EF ⊥，EF ⊂平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,EF AC E ⋂=,DE ∴⊥平面ABC ……4分DE ⊂平面DEF所以平面DEF ⊥平面ABC .……5分（2）由（1）知DE ⊥平面ABC ，又ABC ∆是等腰直角三角形，E 是AC 中点，BE AC ∴⊥，以E 为原点，EA ，EB ，ED 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，……6分则(0,2,0),(0,0,1),(0,0,0),(2,0,0),(2,0,2)B D E C P -,则(2,2,2),(4,0,2),P P C B =--=--……7分设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则·2220·420m x y z x P PC z B m ⎧=-+-=⎨=--=⎩，取1x =，得(1,1,2)m =--，……9分设平面BDE 的法向量(1,0,0)n =， (10)分6cos ,||||m n m n n m ⋅∴<>===⋅，……12分记平面PBC 与平面BDE 所成角为θsin 6θ∴===∴平面PBC 与平面BDE……13分16.（1）由题意知：当1n =时：1122a q a =+①当2n =时：21112()2a q a a q =++② (4)分联立①②，解得12,3a q ==.所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯.……7分（2）由（1）知123n n a -=⨯，123n n a +=⨯.所以1(21)n n n a a n d +=++-.所以114311n n n n a a d n n -+-⨯==++.……9分设数列{}n d 中存在3项m d ，k d ，p d ，（其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列.则2=k m p d d d ⋅，……10分所以2111434343111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即212243431(1)(1)k m p k m p -+-⎛⎫⨯⨯=⎪+++⎝⎭.……11分又因为m ，k ，p 成等差数列,所以2k m p=+……12分所以2(1)(1)(1)k m p +=++化简得22k k mp m p+=++所以2k mp=……14分又2k m p =+，所以k m p ==与已知矛盾.所以在数列{}n d 中不存在3项m d ，k d ，p d 成等比数列.……15分由()()()()P A B P B P B A P A ⋅=⋅，解得()6P B A =所以.6P B A =……2分则()()()()()P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅，解得1()6P A B =.……4分（2）个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格A 不及格A建立B 20424未建立B 4812合计241236……6分根据列联表中的数据，经计算得到()2236208449 6.63524121224χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.……8分所以有99%的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关.……9分（3）从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人。
山东省枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题(含简单答案)
枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数，则（ ）A. 2B. C. 4D. 2. 下列函数求导正确的是（ ）A B. C D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）A. 7B. 12C. 18D. 244. 已知，，则（ ）A.B.C.D.5. 的展开式中，项的系数为（ ）A. 10B. C. 60D. 6. 随机变量的概率分布为1240.40.3则等于（ ）的..()2f x x=-()()22limh f h f h →+-=2-4-211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x'=-()1ln22x x'=()()e 1e x xx x '=+()13P B A =()25P A =()P AB =5691021513()522x x y +-52x y 30-60-X XPa()54E X +A. 5B. 15C. 45D. 与有关7. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 8. 已知实数分别满足，，且，则（ ）A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ）A. B. C. D. 10. 下列排列组合数中，正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________.13. 若能被64整除，则正整数的最小值为_____________.14 已知实数满足，则_____________...a ()()221()4442xf x e xx k x x =--++2x =-()f x k )2,e ⎡-+∞⎣)3,e ⎡-+∞⎣)2,e ⎡+∞⎣)3,e ⎡+∞⎣,a b e 1.02a =()ln 10.02b +=151c =a b c<<b a c <<b<c<ac<a<b()e xf x x=+()exf x x =()sin f x x x=-()2ln f x x x=-12344444A A A A 84+++=3333434520232024C C C C C ++++= 11A A A mm m n nn m -++=11C C mm n n m n --=2y x =-+e x y =ln y x =()()1122,,,A x y B x y 122x x +=12e e 2e x x +>1221ln ln 0x x x x +>12x x >()2024*381011a a -⨯+∈N a 12x x ，()136122e e ln 3e xx x x =-=，12x x =四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.16. 一台笔记本电脑共有10台，其中A 品牌3台，B 品牌7台，如果从中随机挑选2台，其中A 品牌台数．（1）求的分布列；（2）求和．17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．（1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）18. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值.19. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.,,A B C 6%5%4%，，X X ()E X ()X σ2(n x +65n ()23ln f x x x x =+-()y f x =()()1,1f ()f x ()()()2e12e R xx f x a ax a =+--∈()f x ()f x a枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学简要答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】12【13题答案】【答案】55【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1）分布列略 （2）【17题答案】【答案】（1）7； （2）702.【18题答案】【答案】（1） （2）极小值为，无极大值【19题答案】【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）6e 0.051617352y =20a ≤()f x R 0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞(1,)+∞。
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高二数学检测卷（含答案）
选择题
1.不等关系已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）.
A. ab＜ac
B. c（a-b）＞0
C. ab2＜cb2
D.ac（2a-2c）＞0
2.数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=−24，a18+a19+a70=78，则此数列的前20项和等于（）.
A. 160
B. 180
C. 200
D. 220
3.若列{a n}中，a n=43−3n，则S n取得最大值时n的值为（）.
A. 13
B. 14
C. 15
D. 14或15
4.已知S n=1−2+3−4+5−6+···+（−1）n+1
，则S8+S10+S15=（）.
A.-5
B. -1
C. 0
D. 6
5.在等比数列中我们有结论“若a，b，c成等差数列，则2a， 2b，2c成等比数列”成立，类比上述结论，则有下列结论成立的是（）.
A.若正数a，b，c成等比数列，则log m a，log m b，log m c成等差数列.
B.若正数a，b，c成等比数列，则2a， 2b，2c成等差数列.
C.若正数a，b，c成等比数列，则log m a，log m b，log m c成等比数列.
D.若正数a，b，c成等比数列，则2a， 2b，2c成等比数列.
6.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=3，S6=63，则S4=（）.
A. 33
B. 18
C. 15
D. 12
7.若两个正实数x，y满足2
x + 1
y
=1 ，则x+2y的最小值为（）.
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
8.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=−11，a4+a6=−6，则当S n取最小值时，n等于（）.
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
9.对任意实数x，kx2−kx−1＜0总成立，则实数k的取值范围是（）.
A. （-4,0]
B. (−∞，−4)∪(0，﹢∞)
C. （-4,0）
D. (−∞，−4)∪[0，﹢∞)
10.《张丘建算经》是我国古代内容及其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）.
A. 30尺
B. 90尺
C. 150尺
D. 180尺
11.已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n
a n+2
（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）.
A. a n=2n−1
B. a n=2−1
3n−1 C. a n=1
2n−1
D. a n=1
3n−2
12.在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1-y），若不等式（x-a）·（x+a）＜1对任意实数x都成立，则（）.
A. -1＜a＜1
B.−1
2＜a＜3
2
C. −3
2
＜a＜1
2
D. 0＜a＜2
二、填空题
13.公差不为零的等差数列{a n}中，2a3−a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8= .
14.等比数列{a n}的前n项和S n=m·3n+2，则m= .
15.有两个等差数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为S n和T n，若S n
T n =2n+1
n+2
，则a8
b7
等于 .
16.已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图像过（0,1）点，则1
a + 1
b
的最小值是 .
三、解答题
17.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n（n∈N∗）. （1）求证：数列{a n+1
2
}为等比数列；
（2）记T n=S1+S2+···+S n，求T n的表达式.
18.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n，设b n=a n
2n−1
.
（1）证明：数列{b n}是等差数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）求数列{a n}的前n项和.
19.已知数列{a n}为等差数列，且a1=9，a10=−7. （1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n.
20.已知不等式ax2-3x+6＞4,的解集为{x|x＜1或x＞b}. （1）求a，b；
（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc＜0.
a n，n∈N∗.
21.已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n,S n=a n2+1
2
（1）求数列{a n}的通项公式；
}的前n项和为T n，求证：T n＜2；（2）设数列{b n}满足：b1=1，b n−b n−1=2a n（n≥2），数列{1
b n
（3）若T n≤λ（n+4）对任意n∈N∗恒成立，求λ的取值范围.
22.若图所示，公园内有一块边长为2的等边ABC形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（1）设AD=x（x＞0）,DE=y，试用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观路线，则希望它最长，DE的位置又在哪里？请予以证明.。