2018年陕西省榆林市高三第四次模拟考试数学试题(文)及答案

榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{A x y ==，237122x B x +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ）A ．[)0,4B ．()0,2C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．[)0,22．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i + C ．86i -+ D ．86i --3．已知R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-24．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．215．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则1012a =（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．76．已知实数,x y 满足42047020x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则5z x y =-+的最小值为（ ）A ．-13B ．-11C ．-9D ．107．将函数()1cos 22f x x =-的图象向右平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则34g π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） AB．-．12- D ．128．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（ ）A ．42083π+B ．42163π+C ．322083π+D ．322163π+ 9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值.执行该程序框图，则输出的n =（ ）A ．50B ．53C ．59D ．6210．设函数()262f x x x=-++，则不等式()()231f x f -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(),2-∞C ．()(),12,-∞+∞UD ．()2,+∞11．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且AP ∥平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ ）A．2 C． D．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率e =O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，OAF ∆的面积为C 的方程为（ ）A ．2213612x y -= B ．2213x y -= C ．221124x y -= D ．22193x y -= 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．已知函数()323f x x x =-+，在区间()2,5-上任取一个实数0x ，则()00f x '≥的概率为 ．15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且362728S S =，则53aa = ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，已知()sin sin sin a A b B a c C -=-. （1）求B 的大小；（2）若1cos 3A =，6a =，求ABC ∆的面积S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时）.又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.（1）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[)0,5，[)5,10，…，[)30,35，[]35,40，完成下图的频率分布直方图；（2）以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；（3）以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.19． 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，6AB =，2CD =，E 是PD 上一点，且1DE =，3PE =.（1）证明：PB ∥平面ACE ；（2）若三棱锥E PAC -的体积为3，求四棱锥P ABCD -的体积.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围. 21． 已知函数()22ln f x a x ax x a =+-+. （1）讨论()f x 在()1,+∞上的单调性； （2）若()00,x ∃∈+∞，()012ef x a >-，求正数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ACP ∠的大小. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷高三数学参考答案（文科）一、选择题1-5:DBCAD 6-10:BAABC 11、12：CD 二、填空题13．()2,6-- 14．27 15．1916．2 三、解答题17．解：（1）因为()sin sin sin a A b B a c C -=-， 所以222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=.又2221cos 22a cb B ac +-==， 所以3B π=.（2）因为1cos 3A =，()0,A π∈，所以sin 3A =. 由sin sin a b B B =，可得6sin sin 4a B b A ===. 又()1sin sin 2C A B =+=13+=所以11sin 622S ab C ==⨯=18．解：（1）由题意知样本容量为20，频率分布表如下：频率分布直方图为：（2）因为（1）中[]30,40的频率为31120104+=，所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为14. （3）因为（1）中[)0,20的频率为25，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是2100405⨯=. 所以累计观看时间与性别列联表如下：结合列联表可算得()2230050601504020010021090K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯507.143 6.6357=≈>， 所以，有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”. 19．（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ，∵AB CD ∥，∴13DO CD BO AB ==， 又13DE PE =，∴DE DOPE BO=，∴EO PB ∥. ∵PB ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴PB ∥平面ACE .（2）解：∵AB CD ∥，AB AD ⊥，∴CD AD ⊥. 又PD ⊥平面ABCD ，∴PD CD ⊥. ∵AD PD D =I ，∴CD ⊥平面PAD .∴1132E PAC C PAE V V CD --==⨯⨯⨯3AD PE AD ⨯==.∴()112632P ABCD V -=⨯⨯+()31316⨯⨯+=.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ====24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）()22a f x a x x '=+-=()()()20x a x a x x +-->，当20a -≤≤时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减.当2a <-时，若2ax >-，()0f x '<；若12ax <<-，()0f x '>.∴()f x 在,2a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.当01a <≤时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减.当1a >时，若x a >，()0f x '<；若1x a <<，()0f x '>.∴()f x 在(),a +∞上单调递减，在()1,a 上单调递增.综上可知，当21a -≤≤时，()f x 在()1,+∞上单调递减；当2a <-时，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；当1a >时，()f x 在(),a +∞上单调递减，在()1,a 上单调递增.（2）∵0a >，∴当x a >时，()0f x '<；当0x a <<时，()0f x '>. ∴()()2max ln f x f a a a a ==+.∵()00,x ∃∈+∞，()012e f x a >-，∴21ln 2e a a a a +>-，即21ln 02e a a +>. 设()21ln 2e g x x x =+，()()2ln 2ln 1g x x x x x x '=+=+， 当12e x ->时，()0g x '>；当120e x -<<时，()0g x '<.∴()12min e 0g x g -⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴11220,e e ,a --⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=， 即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）. （2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π， 故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。