3.1直线的倾斜角和斜率
高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高一数学必修2第三章知识点，具体请看以下内容。
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定=0.
2、倾斜角的取值范围：0180.当直线l与x轴垂直时,= 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时,=0,k=tan0
⑵当直线l与x轴垂直时,=90,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。
人教版高中数学必修2《直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率(通用)》公开课教案_0
第八章第一讲直线的倾斜角与斜率、直线方程一教材分析1、地位和作用直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 直线的方程是解析几何的基础知识，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的线性规划、圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用。
本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.2、教学目标（1）对本节的知识进行梳理总结，使学生熟练掌握倾斜角与斜率，直线方程。
（2）通过复习本节知识点，帮助学生对本节的知识有一个系统的了解，使学生从题海中脱离出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质（3）通过几何问题与代数问题的相互转化培养学生数形结合的思想方法，使学生学会将“数”与“形”有机的结合起来。
3、教学重难点：重点：学生熟练掌握倾斜角与斜率，直线方程的五种形式。
难点：对于直线的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。
二、教学过程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_____ 之间所成的角叫做直线l的倾斜角。
当直线l与x轴_____时，规定它的倾斜角为0°。
(2)范围：直线l倾斜角的范围是_________ 。
2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝_________。
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝_________。
3．直线方程的五种形式考点一、直线的倾斜角与斜率 【典例1】（）的倾斜角的取值范围是直线⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=--3,6,03cos 2)1(ππααy xA.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。
3.1直线的倾斜角与斜率
【题型】单选题【题目】设直线l 与x 轴的交点为P ，且倾斜角为α，若将直线l 按逆时针方向旋转45°，得到直线l′的倾斜角为α+45°，则（ ）。
A ．0°≤α<90° B. 0°≤α<135°C ．0°<α≤135° D. 0°<α<135°【答案】D【解析】由于直线l 与x 轴相交，可知α≠0°。
又α与α+45°都是直线的倾斜角，∴⎩⎨⎧︒<︒+<︒︒<<︒.1804545,1800αα∴0°<α<135°。
【难度】难度2【知识点】直线的倾斜角与斜率【题型】填空题【题目】给出下列结论：①直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；②如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；③如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；④如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等。
其中，正确的结论是__________。
（填序号）【答案】②③④【解析】本题主要考查对倾斜角和斜率的理解，关键是理解概念。
①错，错在遗漏了0°的角；②对，如果用α表示直线的倾斜角，此时0°<α<90°，斜率y=tan α (0°<α<90°)的值域是（0，+∞），即直线的斜率是正实数；③对，仍用α表示直线的倾斜角，此时90°<α<180°,斜率y=tan α（90°<α<180°）的值域是（-∞，0），故直线的斜率是负实数；④对，如果直线的倾斜角是直角，那么直线和x 轴垂直，它上面所有点的横坐标都等于直线与x 轴交点的横坐标，而它上面不同点的纵坐标不同，如果用（x 1，y 1）(x 2，y 2)表示这两个不同的点，那么x 1=x 2，y 1≠y 2。
3.1.1_直线的倾斜角与斜率
0.
Q( x2 , y1 )
P ( x1 , y1 ) 1
o
x1
x2
x
结论：当 90 180 时，k＜０ .
两点的斜率公式
同样，当 P P 的方向向上时，也有 tan 2 1
典型例题
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4 ． y A l l A1 的 解：取 l1上某一点为 坐标是 ( x1 , y1 )，根据斜率公式 A 有: y1 0 x 1 , A x1 0 l
3
3
1
1
2
4
即 x1 y1 .
y
l O
P
x
直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 0 . O y l
x
练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？ 如果不对，违背了定义中的哪一条？
l2
A4
设 x1 1 ，则 y1 1 ，于是 A1的坐标是 (1,1) ．过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 ． l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线，l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线， l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线．
两点的斜率公式
已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且 x1 ≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k．
高中数学_3.1 直线的倾斜角与斜率教学设计学情分析教材分析课后反思
直线的倾斜角与斜率一、教学内容与目标1、内容：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、目标：①初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想②理解直线倾斜角与斜率的概念③掌握过两点的直线的斜率公式二、知识背景与内容引导1、情境引入：以“爱心”曲线r=a(1-sinθ)为引子，介绍解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想。
进一步了解解析几何的基本内涵和方法，设计意图：感悟本章的“灵魂”，打好开章之局，统领全局。
为后续的学习探究“埋好暗线”。
2、明确目标：以思想方法为指引，明确本节课的学习目标，开启本节课的探索学习。
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，以实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的。
问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？设计意图：明确几何与解析几何研究内容的一致，方法的区别。
三、知识探究【一】用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？（预设，还有没有其他确定一条直线的方法？）问题3：我们利用直角坐标系进一步确定直线位置的几何要素。
观察下图中经过定点p的直线束，他们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素讲这些直线区分开么？追问：如何表示这些直线的方向？能否利用图中的元素确定它的方向？生成：构建概念倾斜角：追问：你认为直线的倾斜角在什么范围：规定：自主测试1.下列图中表示直线倾斜角为( )3.如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在3.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为__________ 设计意图：正确理解应用倾斜角，明确倾斜角对直线方向的刻画。
【二】推导直线的斜率公式问题4：直线l 的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？探究：直线l 可由其上任意两点)(),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中唯一确定，可以推断，直线l 的倾斜角一定与21,P P 两点的坐标有内在联系。
人教A版高中数学必修二3.1直线的倾斜角与斜率含教学反思
3.1 直线的倾斜角与斜率 3．1.1 倾斜角与斜率1．直线的倾斜角的定义是什么？2．直线的倾斜角的范围是什么？3．直线的斜率的计算公式是怎样的？[新知初探]1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.[点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率 (1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线 预习课本P82～85，思考并完成以下问题P1P2没有斜率．(3)斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．[小试身手](1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( )(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α( )(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是( )A．45° B．135°C．45°或135° D．－45°解析：选B 作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )A.33B. 3C．1 D.2 2解析：选A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝33.[典例] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图)．[答案] D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α＜90° B ．90°≤α＜180° C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.直线的斜率[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－－2＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.[活学活用]1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32解析：选C 斜率k ＝0－23－0＝－23.2．已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－1,1)，B (1,1)，C (1，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率．解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．k AB ＝1－11－－1＝0，k AC ＝－1－11－－1＝－1.∵B ，C 两点的横坐标相等，∴直线BC 的斜率不存在.直线的倾斜角、斜率的应用1．如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )三点在同一条直线上，试确定常数m 的值．解：由于A ，B ，C 三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此可设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC .由斜率公式，得k AB ＝52＋12m －4＝74m －8，(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k3313－3－1－33k BC ＝－1＋m 4＋4＝m －18. ∵点A ，B ，C 在同一条直线上，∴k AB ＝k BC . ∴74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0， 解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.∴m 的值是3＋572或3－572.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x 轴．当任意两点的连线垂直于x 轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．题点二：数形结合法求倾斜角或斜率范围2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．解：如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．层级一 学业水平达标1．直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在D ．180°，不存在解析：选C 作出图象，故C 正确．2．给出下列说法：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α＜180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)，则该直线的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．75°D ．45° 解析：选B ∵直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)， ∴其斜率k ＝3－0－5－－2＝－1.设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)， 则tan θ＝－1，∴θ＝135°.4．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.5．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．(－1,0] B ．[0,1] C ．[1,2]D ．[0,2]解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.6.如图，已知直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°7．一束光线射到x 轴上并经x 轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________.解析：作出入射光线和反射光线如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角等于60°.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.答案：150°8．已知点A (2，－1)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线PA 的倾斜角为45°，则点P 的坐标为________．解析：设x 轴上点P (m,0)或y 轴上点P (0，n )．由k PA ＝1，得0＋1m －2＝n ＋10－2＝1，得m ＝3，n ＝－3.故点P 的坐标为(3,0)或(0，－3)．答案：(3,0)或(0，－3)9．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝－m ＋3－4m ＋1，k BC ＝m －1－42－－1.∴－m ＋3－4m ＋1＝3·m －1－42－－1.整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)， 即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.10．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间．当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PA .∵k PA ＝－1－42－－3＝－1，k PB ＝－1－22－3＝3，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．层级二 应试能力达标1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0 C. 3D ．2 3解析：选B 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0.故选B.2．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率等于2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D.43解析：选D 由直线的斜率公式，得m ＋23－m ＝2，∴m ＝43.3.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0＜k 3＜k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1＜0，所以k 1＜k 3＜k 2.4．若点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析：选D 根据已知的条件，可知点P (x ，y )是点A ，B ，C 围成的△ABC 内一动点，那么所求y －2x －1的几何意义是过动点P (x ，y )与定点M (1,2)的直线的斜率．由已知，得k AM ＝14，k BM＝1，k CM ＝23.利用图象，可得y －2x －1的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.故选D.5．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b的值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即2－02－a ＝2－b2－0.∴2(a ＋b )＝ab ，∴a ＋b ab ＝12，∴1a ＋1b ＝12. 答案：126．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．解析：k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线， 即k AB ≠k AC ，∴1－k5≠0.∴k ≠1.答案(－∞，1)∪(1，＋∞)7．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是函数y ＝x 3的图象上任意三个不同的点．求证：若A ，B ，C 三点共线，则x 1＋x 2＋x 3＝0.证明：∵A ，B ，C 是三个不同的点， ∴x 1，x 2，x 3互不相等． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，即y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 3x 1－x 3， ∴x 31－x 32x 1－x 2＝x 31－x 33x 1－x 3， 整理，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝x 21＋x 1x 3＋x 23， 即(x 2－x 3)(x 1＋x 2＋x 3)＝0. ∵x 2≠x 3， ∴x 1＋x 2＋x 3＝0.8．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值． 解：如图，可知y ＋3x ＋2表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k .由已知条件，可得A (1,1)，B (－1,5)． 易知k PA ≤k ≤k PB .由斜率公式得k PA ＝43，k PB ＝8，所以43≤k ≤8.故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[新知初探]1．两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. [点睛](1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l 1与l 2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，则l 1∥l 2. 2．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[点睛] l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0.[小试身手](1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0. 答案：0两条直线平行的判定[典例] 判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)； (2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． [解] (1)k 1＝1－－22－－1＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54.∵k 1≠k 2，∴l 1与l 2不平行．(2)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，且l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.k 1＝k 2⇔l 1∥l 2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．[活学活用]1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．解析：根据AB ∥DC ，AD ∥BC ，利用平行直线的斜率相等求解．设点D (x ，y )，则由AB ∥DC ，AD ∥BC 可得k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即86－－2＝y －6x －8，y x －－2＝8－66－8，解得x ＝0，y＝－2.答案：(0，－2)2．在△ABC 中，A (0,3)，B (2，－1)，E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2.答案：－2两条直线垂直的判定[典例] 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－3，－4)，B (1,3)，l 2经过点M (－4，－3)，N (3,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)． [解] (1)k 1＝3－－41－－3＝74，k 2＝1－－33－－4＝47，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直．(2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－10＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直．[活学活用]1．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________．解析：由过两点的直线的斜率公式可得k PQ ＝3－a －b 3－b －a ＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.答案：－12．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1,2)，B (－1,1)，C (0,2)，求BC 边上的高所在直线的斜率与倾斜角．解：设BC 边上的高所在直线的斜率为k ，则有k ·k BC ＝－1.∵k BC ＝2－10－－1＝1，∴k ＝－1.∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为135°.根据两直线平行或垂直关系求参数[典例] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． [解] 设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－a ＋21－－2＝－a 3.(1)若l 1∥l 2，则l 1的斜率k 1＝－a3.∵k 1＝2－a a －4，∴2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2.①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意；②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.由k 1k 2＝－1可得2－a a －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.∴当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2.当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况．[活学活用]已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．解：∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形： (1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 由图可知，A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC ，k AD ·k AB ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1，n －2m －2·n ＋1m －5＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝165，n ＝－85.综上可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝165，n ＝－85.层级一 学业水平达标1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PQ ⊥PS ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行，①②④正确，故选C.2．直线l 过(m ，n )，(n ，m )两点，其中m ≠n ，mn ≠0，则( ) A ．l 与x 轴垂直 B ．l 与y 轴垂直 C ．l 过原点和第一、三象限 D ．l 的倾斜角为135°解析：选D 直线的斜率k ＝m －nn －m＝－1，∴直线l 的倾斜角为135°. 3．经过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是( ) A ．4 B ．1 C ．1或3D ．1或4解析：选B 由题意，知4－mm －－2＝1，解得m ＝1.4．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3解析：选D ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－20－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直，所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝________；若直线l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：l 1∥l 2时，a －22－1＝3，则a ＝5；l 1⊥l 2时，a －22－1＝－13，则a ＝53.答案：5 537．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________.若l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m2，若l 1⊥l 2，则m2＝－1，∴m ＝－2.若l 1∥l 2则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2. 答案：－2 28．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2＋22)，B (0，2－22)，C (4,2)，则△ABC 是________．(填△ABC 的形状)解析：因为AB 边所在直线的斜率k AB ＝2－22－2＋220－2＝22，CB 边所在直线的斜率k CB ＝2－22－20－4＝22，AC 边所在直线的斜率k AC ＝2－2＋224－2＝－2，k CB ·k AC＝－1，所以CB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解：(1)由k AB ＝m －32m2＝－1，得2m 2＋m －3＝0， 解得m ＝－32或1.(2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1. 10．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.层级二 应试能力达标1．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则有( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α2－α1|＝90°D ．α1＋α2＝180°解析：选C 由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°. 2．已知四点A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D 当m ＝0时，直线AB 与直线CD 的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，k AB ＝m ＋1m ，k CD ＝2m ，由m ＋1m ＝2m，解得m ＝1.综上，m 的值为0或1. 3．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，其中l 1∥l 2，且k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，则k 1＋k 2＋k 3的值是( )A ．1 B.32 C.72D ．1或72解析：选 D 由k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，解方程得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12，k 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 3＝－12.又l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，所以k 1＋k 2＋k 3＝1或72.4．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为( ) A ．(－19，－62) B ．(19，－62) C ．(－19,62)D ．(19,62)解析：选A 设A (x ，y )，由已知，得AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，且直线AH ，BH 的斜率存在，所以⎩⎪⎨⎪⎧k AH ·k BC ＝－1，k BH ·k AC ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－1，y －3x ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62，即A (－19，－62)．5．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0)6．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a，1，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．解析：由题意得l 1∥l 2，∴k AB ＝k MN . ∵k AB ＝2－4a＝－a 2，k MN ＝－2－10－1＝3， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.答案：－67．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OPQR 的顶点坐标分别为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．解：由斜率公式，得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－2＋t －2t －1－2t ＝－t－1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t.∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ， ∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ， ∴四边形OPQR 为矩形．8．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m,2)，试求m 的值．解：如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.当m ＝1时，直线AB 的斜率不存在，此时l 2的斜率为0，不满足l 1∥l 2.当m ≠1时，直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m ＝m －31－m，∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为k 2＝m －1m －3. ∵l 1与l 2平行，∴k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。
高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（ ） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（ ）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（ ）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为 变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。
人教版高中数学必修二 第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围) α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)0 (0，＋∞) 不存在(－∞，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1 x2－x1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是() A．0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝04＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A．5 B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．33B． 3 C．1 D．22A[由题意可知，k＝tan 30°＝3 3.]直线的倾斜角时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－αD [如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率AB 则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x ＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8)．(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)－5(2)1[(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.(2)由题意得4－mm＋2＝1，∴m＝1.]直线倾斜角与斜率的综合1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角；当k ＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.【例3】 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间―――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围 [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为： 已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC ＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC 都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0 k＞0 不存在k＜0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3D．4C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1， 解得a ＝1±52.]3．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)(0°，90°] [当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.。
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3.1.1直线的倾斜角和斜率
1、判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （ ）
②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（ ）
③因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在（ ）
2、关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： （ ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
B 、直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
C 、平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；
D
E 、直线斜率的范围是(－∞，＋∞)
3、若图中的直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则123,,k k k 的大小关系是___________
4、（1）若直线l 的倾斜角取值范围为2[,],33ππ
则斜率的取值范围是______ ______
；
（2）若直线l 的斜率的取值范围是[1-，则其倾斜角的取值范围是__ _ ___。
5、已知两点)2,3(),2,1(N M -，若直线PN PM 和的斜率分别为2,2-，则P 的坐标
6、若三点)4,()0,4()8,0(--m C B A 共线，则实数m 的值__________。
7、求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α
①)3,2(1-P 、)8,2(2-P ; ②)8,10(1P 、)4,4(2-P ; ③)0,0(1P 、)3,1(2-P ④)2,3(1-P 、)3,2(2-P
8、平行四边形ABCD 的四个顶点)2,2(),2,1(),1,1(),3,2(----D C B A ，求四条边所在直线的斜率和倾斜角。
9、已知直线l 过)1,2(),,12(-+m N m m M （1）当m 为多少时，直线l 的倾斜角为
43π？（2）当m 为多少时，直线l 的倾斜角为2
π？
10、（1）当且仅当m 为何值时，经过两点)3,1(),6,(m B m A -的直线的斜率为12
（2）当且仅当m 为何值时，经过两点)12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为
60
11、已知点Ａ（－２，３），Ｂ（３，２），过P(0，－２)的直线与线段ＡＢ总有公共点，求直线L 的斜率的范围。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、选择题
1、下列说法正确的有（）(注：两直线可以重合)
①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1=k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、直线l1、l2的斜率是方程x2－3x－1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）
A、平行
B、重合
C、相交但不垂直
D、垂直
3、给定三点A（1，0）、B（－1，0）、C（1，2），则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（）
A、（0，1）
B、（0，0）
C、（－1，0）
D、（0，－1）
4、已知直线x+my+6=0和(m－2)x+3y+2 m =0互相平行，则实数m的取值为（）
A．—1或3 B．—1 C．—3 D．1或—3
5、如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（）
A． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2
6、以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
7.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )
二、填空题
1、直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1)y+1=0平行,则a的值是 .
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a等于 .
3、已知点A(1,2)、B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是 .
4、一光线射到x轴上并经x轴反射,已知入射光线的倾斜角α1=30°,则入射光线的斜率为k1=_______;
反射光线的倾斜角为α2=_______,斜率为k2=_______.
三、解答题
1、已知四边形ABCD的顶点为,B(-2,2),,D(4,2),求证:四边形ABCD为矩形.
2、已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD。
3、已知直线l1经过点A（－2，0）和点B（1，3a），直线l2经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a），（1）a为何值时，l1 ，l2互相垂直，（2）a为何值时，l1，l2互相平行
13. －3 14. 3- 15. 4x －2y =5
21. 解：设D （x ，y ），则k CD =
3-x y ，k AB =3，k CD =－2，k AD =11-+x y ∵k CD ·k AB =－1， k CB = k AD ∴ 3
-x y ×3=－1 ∴ x=0 －2=
11-+x y y=1 即D （0，1） 22. 解：l 1的斜率k 1=a a =---)
2(103 当a ≠0时，l 2的斜率k 2=a
a a a 210)1(2-=---- ∵l 1⊥l 2 ∴k 1·k 2=－1，即a ×
a a 21-=－1 得a=1 当a=0时，P （0，－1），Q （0，0），这时直线l 2为y 轴，A （－2，0）、B （1，0），这时直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2
综上可知，实数a 的值为1和0。