四年级下册数学讲义-竞赛专题：第三讲-加乘原理(一)(含答案解析)全国通用
四年级奥数系列第3讲-加乘原理
加乘原理 例六 五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信 号，问：共可以表示多少种不同的信号？
加乘原理
练一练
红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三 面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？ 如果白旗不能打头又有多少种？
加乘原理 例七 小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜 头两局，谁先胜三局谁赢．共有多少种可能的情况？
如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从A点出发，沿棱爬行，
要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？
C
D E F B
A
加乘原理 如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取 2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
例四
加乘原理
练一练
某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个 车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种 不同的车票？
加乘原理 例一 一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点， 则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？
加乘原理
A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5 次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？
练一练
加乘原理 直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角 形？多少个四边形？
例二
a b
加乘原理 三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意 三个点都不共线。问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？
练一练
加乘原理 如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发， 走4步恰好回到A的路有（ ）条。(途中不再回A)
四年级奥数系列第3讲-加乘原理
加乘原理
A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5 次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？
练一练
加乘原理 直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角 形？多少个四边形？
加乘原理 例五 某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位 置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置 表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？
加乘原理
练一练
五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信 号，问：共可以表示多少种不同的信号？
加乘原理
例十
从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
加乘原理
练一练
从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
加乘原理 <作业1> 玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红黄蓝三种颜色给每节涂色。这家工 厂共可以上产多少种颜色不同的玩具棒？
加乘原理 &l点．一只蚂蚁从A点出发，沿棱爬行，
要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？
C
D E F B
A
加乘原理 如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取 2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
例四
加乘原理
练一练
某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个 车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种 不同的车票？
例二
四年级奥数之加乘原理与归纳递推
本讲主线
本讲
1．加法原理、乘法原理
2．加乘原理的综合考察
3.
1. 乘法原理，
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步果件事情需要分
中方法数相乘.
2. 加法原理，分类相加
3. 经典案例：穿衣服，组数字，站队问题，染色问题
(乘法)
用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有
色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同
共有多少种不同用四种不同的颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同
要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。
问：共有多少种不同的染色方
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步件事情需要分几步完成。
计数专题加乘原理竞赛篇
计数专题加乘原理竞赛篇计数专题是概率论中的一个重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。
而加乘原理则是计数问题中的常用方法。
本文将介绍计数专题中的加乘原理及其在竞赛中的应用。
计数专题包括排列、组合和计数问题。
排列是指从一些集合中选择元素按照一定顺序排列的方式。
组合是指从一些集合中选择元素组成子集的方式。
计数问题是指通过不同的方法来计算满足一些条件的方案数。
加乘原理是计数问题中常用的基本原理。
它是指如果一个问题可以划分为多个独立的子问题，那么问题的总数等于各个子问题分别的解的乘积。
下面通过几个具体的例子来说明加乘原理在竞赛中的应用。
例1：班有5名男生和6名女生，要从中选择一名队长和一名副队长，问共有多少种选择方式。
对于选择队长的任务，由于是从11人中选择一人，所以有11种选择方式。
选择队长之后，剩下的10人中要再从中选择一名副队长，所以有10种选择方式。
根据加乘原理，总的选择方式数为11*10=110种。
例2：班有5名男生和6名女生，要从中选择一支由3名学生组成的篮球队，且至少有一名男生和一名女生，问共有多少种选择方式。
这个问题可以划分为两个子问题：选择一名男生和两名女生的方式，以及选择两名男生和一名女生的方式。
对于第一个子问题，选择男生的方式有5种，选择女生的方式有6*5/2=15种（先选择一名女生，再选择一名女生）。
根据加乘原理，第一个子问题的选择方式数为5*15=75种。
对于第二个子问题，选择男生的方式有5*4/2=10种（先选择一名男生，再选择一名男生），选择女生的方式有6种。
根据加乘原理，第二个子问题的选择方式数为10*6=60种。
例3：班有5名男生和6名女生，要将他们排成一排，且男生和女生不能相邻，问共有多少种排法。
这个问题可以划分为两个子问题：男生排成一排，女生排成一排。
对于男生的排法，由于男生之间不能相邻，所以可以先将男生排成一排，男生之间有5个空位可以插入。
根据排列的计算方法，男生的排法有5!=120种。
人教版四年级数学下册第3讲四则运算及运用和工程问题专题精讲练习试题及答案
【专题讲义】人教版四年级数学下册第3讲四则运算及运用和工程问题专题精讲（学生版）知识要点梳理页1考点1 四则运算的定义加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
考点2只含同一级计算的运算顺序在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
考点3 含有两级计算的运算顺序在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。
考点4 含有括号计算的运算顺序算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。
页2考点5 相遇问题两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。
数量关系：路程÷速度和＝相遇时间路程÷相遇时间＝速度和速度和×相遇时间＝路程知识点6 追击问题两个物体同时向同一方向运动，出发的地点不同（或者从同一地点不同时出发，向同一方向运动），慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于追上。
解答这类问题时，要理解速度差的含义（即单位时间内快者追上慢者的路程，也就是快者速度减去慢者速度）。
要解决追及问题，要掌握以下几个基本公式：路程差＝速度差×追及时间追及时间＝路程差÷速度差速度差＝路程差÷追及时间快者速度＝速度差＋慢者速度慢者速度＝快者速度－速度差页3（一）相遇问题例1．东西两地相距60千米，甲骑自行车，乙步行，同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇。
已知甲每小时的速度比乙快10千米，二人每小时的速度各是多少千米？页4【随堂演练一】【A类】1.甲乙两人分别从相距30千米的两地同时出发，相向而行。
甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。
问（1）甲乙二人几小时相遇？2.两城市相距138千米，甲乙两人骑自行车分别从两城同时出发相向而行，甲每小时走13千米，乙每小时走12千米，乙在行进中因修车耽误1小时，然后继续前进与甲相遇。
求从出发到相遇经过几小时？页53.小东和菲菲两人同时从学校到少年宫，全程长为770米。
小学中级奥数第3讲-加乘原理
例三
如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发， 走4步恰好回到A的路有（ ）条。(途中不再回A)
A
练一练
如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点出发，沿棱爬行， 要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？
C
D E
F B
A
例四
用数码 0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复 数字的自然数？
课后作业
<作业2>
甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜 三局谁赢，打到决出输赢为止。问：一共有多少种可能的情况？
课后作业 <作业3>
直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
a b
<作业4> 从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?
课后作业
例五 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数。
练一练 用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
例六 从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
练一练 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
课后作业
<作业1>
五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行பைடு நூலகம்示各种信号， 问：共可以表示多少种不同的信号？
例一
A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样 经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？
练一练
一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起， 跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？
小学四年级奥数竞赛班《加乘原理与归纳递推(下)》
加乘原理与归纳递推（下）(★★★)如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？(★★★★)将图中的八个部分用红、黄、蓝、绿这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。
请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？(★★★)地图上有A，B，C，D四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？(★★★★)用四种不同的颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。
问：共有多少种不同的染色方法？(★★★)一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？(★★★)有15根火柴棍，每次只能拿1根，2根或3根，则把这些火柴棍拿走有多少种不同的方法？(★★★★)下图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。
从A点穿过房间到达B处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？(★★★★)1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法。
(★★★★★)1×3的小长方形(横的竖的都行)覆盖如图的方格网，共有多少种不同的盖法。
在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．(★★★)如图，把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色。
那么，这幅图共有( )种不同的着色方法？EDCB AA ．288B ．144C ．48D ．962．(★★★)用5种不同的颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，每个区域只能使用一种颜色，且相邻区域不能同色，有( )种不同的涂色方式。
DCB AA ．60B ．120C ．180D ．2403．(★★★★)如下图，有A 、B 、C 、D 、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色。
四年级思维数学——加乘原理讲义+答案
加乘原理（1）小飞一家外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。
经查询，出发的那一天火车有5班，汽车有2班，飞机有3班，任选其中一个班次，有多少种出行方式？（2）小英一家想从沈阳去上海，途中要先经过北京，决定乘飞机去，沈阳到北京的飞机有3班，之后北京到上海的飞机有4班，那么有多少种出行方式？（1）大毛要去参加毕业典礼，她有3套西服、5套休闲服和4条连衣裙，想选一套衣服，有多少种选择方式？（2）二毛也要去参加毕业典礼，他有3顶帽子，4件上衣，2条裤子，5双鞋，想从帽子上衣裤子和鞋里各选一样出来搭配，有多少中搭配方式？如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的英语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？如下图，从A 到D ，有多少条不同的路线。
（不能重复经过同一个点）ABC D用1、2、3、4、5、6可以组成多少个三位数？多少个没有重复数字的三位数？多少个没有重复数字的四位数？用0、1、2、3、4、5可以组成多少个三位数？多少个没有重复数字的三位数？多少个没有重复数字的四位数？用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位偶数?用0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的四位奇数?学习笔记书架上有三层书，第一层放了5本漫画书，第二层放了10本数学书，第三层放了8本小说，并且这些书都各不相同，请问：（1）如果从所有的书中任去取1本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？如图，从甲到乙、乙到丁都有3条路线，从甲到丙，从丙到丁都有2条路线，则从甲到丁共有多少条不同的路线？课后练习用0、2、4、6、8可以组成多少个没有重复数字的4位数？加乘原理例题答案例1.（1）小飞一家外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。
经查询，出发的那一天火车有5班，汽车有2班，飞机有3班，任选其中一个班次，有多少种出行方式？（2）小英一家想从沈阳去上海，途中要先经过北京，决定乘飞机去，沈阳到北京的飞机有3班，之后北京到上海的飞机有4班，那么有多少种出行方式？【答案】（1）10种；（2）12种练一练（1）大毛要去参加毕业典礼，她有3套西服、5套休闲服和4条连衣裙，想选一套衣服，有多少种选择方式？（2）二毛也要去参加毕业典礼，他有3顶帽子，4件上衣，2条裤子，5双鞋，想从帽子上衣裤子和鞋里各选一样出来搭配，有多少中搭配方式？【答案】（1）12种；（2）120种例2 如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的英语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？【答案】47种练一练如下图，从A到D，有多少条不同的路线。
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历届杯赛考试中，对计数问题的考察是必不可少的。
这部分的题目有一定的方法，目的是考察大家对各类问题的方法的应用能力。
要做好这些题目，就需要同学们掌握计数问题的各类方法，枚举法是一种很重要的数学思考方法，是大家必须掌握的一种计数方法。
加乘原理的方法也是解决计数问题的常用方法，帮助我们提高解决问题的准确率。
名师点题加乘原理（一）知识概述1. 计数问题类型：① 图形计数：线段、三角形、长方形、正方形计数； ② 应用题类型的计数问题。
2. 解决计数问题常用的方法：① 分类计数（加法原理）：如果完成一件工作有几类不关联的方式，在每一类方式中又各有几种不同的方法，使用其中任何一种方法都能独立完成这件工作的不同方法总数，就是完成这件工作的各类方法的总数之和；② 分步计数（乘法原理）：如果完成一件工作有几个相关的步骤，要依次完成这几个步骤，这件工作才能完成，而每一个步骤各有几种不同的方法去完成，那么，完成这件工作的方法总数，就是完成这件工作的各个步骤的方法种数之积。
1，2，3，…，299，300，这300个自然数中，完全不含有3的自然数共有_____个。
【解析】可以先计算出来含有3的自然数的个数，然后用300减去含有3的自然数的个数，就可以得到完全不含有3的自然数的个数。
1-99中，含有数字3的数有：9+10=19（个）100-199中，含有数字3的数有19个200-300中，含有数字3的数有19+1=20（个）含有3的自然数的个数是19+19+20=58（个）完全不含有3的自然数共有：300-58=242（个）从A点沿直线走最短的路径到B点，共有多少种不同的走法？【解析】标数法解图表类题型从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？【解析】用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。
从甲到丁是分三步走的：第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法。
例3例2例1对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有2×3×2＝12（种）。
A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2【巩固拓展】1、如图中共有几个三角形？【解析】根据数线段的方法得：（6+5+4+3+2+1）×2+（3+2+1）×2+6+6+1=67（个）2、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点都不能重复经过。
问：这只甲虫共有几种不同走法？【解析】第一步，从A点到C点，有4条路线；第二步C点到B点，有4条路线。
由乘法原理，共有4×4=16种不同的走法。
3、从A到B，要求每一步都是向右、向上或者斜上方，问有多少种不同的走法？【解析】小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？【解析】登上第1级台阶只有1种登法。
登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。
登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n 级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。
根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。
因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。
由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。
登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。
也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。
【巩固拓展】有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【解析】为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）。
取完15根火柴共有28种不同取法。
例1右图中每个小方格的边长都是1。
一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）。
如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？【解析】如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见右下图）。
实际上，小虫爬行的总长是3。
小虫爬行的第一步有四种情况：向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；同理，向右也有6条路线；向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线；同理，向下也有4条路线。
根据加法原理，共有不同的爬行路线6＋6＋4＋4＝20（条）【巩固拓展】下图中每个小方格的边长都是1。
有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？【解析】枚举法：上下、下上、左左、右右、左右、右左共6种用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？例3例2【解析】组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。
根据乘法原理，可以组成三位数：5×6×6＝180（个）【巩固拓展】用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是__________。
【解析】把这些数按照从小到大排列。
当最高位是1时，共有5×4×3×2×1=120（个）；当最高位是2、3、4的时候都各有120个，所以共有120×4=480（个）。
505-480=25（个）。
剩下的25个都是最高位为5的数，当十万位上是5，万位是0的时候，这样的数共有4×3×2×1=24（个）。
所以第505个数的万位为1，它是510234。
下图，把A,B,C,D,E五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有多少种不同的着色方法。
【解析】从接触面最多的入手，再按照相邻原则依次考虑，从C开始考虑，有4种着色方法。
C着色后，A有3种着色方法，A着色后，B有2种着色方法，B着色后，D有2种着色方法，D后E也有2种着色方法。
所以共有4×3×2×2×2=96种【巩固拓展】下图，把A,B,C,D,E五部分用五种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有多少种不同的着色方法。
例4ABCDEB【解析】从接触面最多的入手，再按照相邻原则依次考虑，从A开始考虑，有5种着色方法。
B和A不同色有4种着色方法，C和A,B不同色，有3种着色方法，B和D同色时，D有1种选择，E有3种选择，当B,D不同色时，D有2种选择，E有2种选择，因此需要对B,D着色情况进行分类所以共有5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=420种（第11届中环杯初赛）如图，35个边长为1厘米的小正方形组成一个5厘米×7厘米的长方形，则图中所有正方形的周长和为（）厘米。
【解析】图形计数，巧求周长。
周长为4的正方形有5×7=35个，周长为8的有4×6=24个，周长为12的有3×5=15个，周长为16有2×4=8个，周长为20的有1×3=3个。
所以周长和为4×35+8×24+12×15+16×8+20×3=140+192+180+128+60=700。
(第九届“中环杯”四年级决赛)6个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？例2例1ACDEAC【解析】乘法原理6个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有14432196⨯⨯⨯⨯⨯=种排法（第11届中环杯决赛）如图，某市的街道构成正方形网格，邮递员要从A 经过P 到B。
沿着最短路线走，共有__________种不同的走法。
【解析】标数法：必须经过P点，从A到P下面的点：2种走法从P点上面的点到B：4种走法一共有2×4=8种走法下图是中国象棋棋盘，如果两人各有一个“车”的棋子，它们不在同一行，也不在同一列就不会被吃掉，那么总共有多少种不同的放置方法使两“车”不相遇。
【解析】设甲方先放棋子，可任意放置，故甲方有10×9=90种。
对应甲的第一种方法，乙方按照规定必须去掉甲方棋子所在的行和列，所以乙方有9×8=72种甲方共有90种方法，而乙方都有对应他的72种方法因此总共有90×72=6480种不同的放置方法。
例4例3例5下图中，要从A走到B，但不能经过C,D两点，如果只能向右，向上，或者斜上方走，一共有多少种不同的走法？BCDA【解析】利用标数法每一点的走法数等于它的左方和下方两个点的方法数的和。
1 4 4 7 11 171 3 0 3 4 61 2 3 0 1 2A 1 1 1 1 1答案是17种。
例6（小机灵杯精选考题）从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数，那么共有多少种不同的取法？【解析】利用标数法先满足是3的倍数：取1个数，有2种方法取2个数，有2*2+1=5种取3个数，有2*2*2=8种取4个数，有5种取5个数，有2种取6个数，有1种共有2+5+8+5+2+1=23种其中再减去5的倍数，也即15的倍数取3个数，有1种（和为15）取4个数，有2种（考虑另两个数的和为6）取5个数，有1种共有4种所以满足条件的是23-4=19种1、如下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，那么面积为2的长方形有几个？【解析】用a×b表示矩形的类型，其中a表示矩形的水平长度，b表示矩形的竖直长度。