因式分解解方程
公式法因式分解解方程练习题
公式法因式分解解方程练习题在代数学中，解方程是一个重要的概念。
公式法因式分解解方程是一种常见的解方程的方法，通过将方程因式分解为多个乘积形式，然后得到解的过程。
在本文中，我们将通过提供一些公式法因式分解解方程的练习题来帮助您巩固和理解这一方法的应用。
练习题1：解方程：x^2 + 5x + 6 = 0解法：首先，我们观察到该方程可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，我们可以得到两个解：x=-2和x=-3。
练习题2：解方程：2x^2 + 7x + 3 = 0解法：为了解这个方程，我们需要将它因式分解为形如(ax+b)(cx+d)=0的形式。
通过观察和试验，我们可以得到(x+1)(2x+3)=0。
因此，我们得到两个解：x=-1和x=-1.5。
练习题3：解方程：3x^2 + 14x + 8 = 0解法：观察和试验告诉我们，这个方程可以因式分解为(3x+2)(x+4)=0。
因此，我们可以得到两个解：x=-2/3和x=-4。
练习题4：解方程：4x^2 - 9 = 0解法：这个方程可以通过两个平方数的差公式因式分解为(2x+3)(2x-3)=0。
因此，我们可以得到两个解：x=-3/2和x=3/2。
练习题5：解方程：2x^2 + 5x - 3 = 0解法：通过试验和观察，我们可以将该方程因式分解为(2x-1)(x+3)=0。
因此，我们得到两个解：x=1/2和x=-3。
通过解决这些练习题，您可以熟悉公式法因式分解解方程的过程。
这种方法可以在解决其他类型的方程时非常有用，因此它值得您花时间掌握。
再次提醒，公式法因式分解解方程的关键是观察和试验，通过找到适当的因式分解形式来解决方程。
总结：在本文中，我们通过提供公式法因式分解解方程的练习题，帮助您加深对这一方法的理解。
通过观察和试验，我们可以得到方程的解。
掌握公式法因式分解解方程的技巧和方法将有助于您在代数学中更好地解决问题。
希望本文对您在学习和掌握公式法因式分解解方程的过程中有所帮助。
因式分解解一元二次方程例题
因式分解解一元二次方程例题例题 1方程：x^2 5x = 0解析：提取公因式x，得到x(x 5) = 0，则x = 0或x 5 = 0，解得x_1 = 0，x_2 = 5例题 2方程：x^2 + 6x + 8 = 0解析：因式分解为(x + 2)(x + 4) = 0，则x + 2 = 0或x + 4 = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 4例题 3方程：x^2 7x + 10 = 0解析：因式分解为(x 2)(x 5) = 0，则x 2 = 0或x 5 = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 5例题 4方程：2x^2 5x 3 = 0解析：因式分解为(2x + 1)(x 3) = 0，则2x + 1 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = \frac{1}{2}，x_2 = 3例题 5方程：3x^2 + 2x 1 = 0解析：因式分解为(3x 1)(x + 1) = 0，则3x 1 = 0或x + 1 = 0，解得x_1 = \frac{1}{3}，x_2 = 1例题 6方程：4x^2 12x + 9 = 0解析：因式分解为(2x 3)^2 = 0，则2x 3 = 0，解得x_1 =x_2 = \frac{3}{2}例题 7方程：x^2 8x + 16 = 0解析：因式分解为(x 4)^2 = 0，则x 4 = 0，解得x_1 = x_2 = 4例题 8方程：5x^2 10x + 5 = 0解析：提取公因式5得5(x^2 2x + 1) = 0，再因式分解为5(x 1)^2 = 0，则x 1 = 0，解得x_1 = x_2 = 1例题 9方程：6x^2 + 7x + 1 = 0解析：因式分解为(6x + 1)(x + 1) = 0，则6x + 1 = 0或x + 1 = 0，解得x_1 = \frac{1}{6}，x_2 = 1例题 10方程：x^2 10x + 25 = 0解析：因式分解为(x 5)^2 = 0，则x 5 = 0，解得x_1 = x_2 = 5例题 11方程：2x^2 8 = 0解析：提取公因式2得2(x^2 4) = 0，再因式分解为2(x +2)(x 2) = 0，则x + 2 = 0或x 2 = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 2例题 12方程：3x^2 12 = 0解析：提取公因式3得3(x^2 4) = 0，再因式分解为3(x +2)(x 2) = 0，则x + 2 = 0或x 2 = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 2例题 13方程：4x^2 + 8x = 0解析：提取公因式4x得4x(x + 2) = 0，则4x = 0或x + 2 = 0，解得x_1 = 0，x_2 = 2例题 14方程：5x^2 25x = 0解析：提取公因式5x得5x(x 5) = 0，则5x = 0或x 5 = 0，解得x_1 = 0，x_2 = 5例题 15方程：x^2 + 4x 21 = 0解析：因式分解为(x + 7)(x 3) = 0，则x + 7 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = 7，x_2 = 3例题 16方程：2x^2 + 5x 3 = 0解析：因式分解为(2x 1)(x + 3) = 0，则2x 1 = 0或x + 3 = 0，解得x_1 = \frac{1}{2}，x_2 = 3例题 17方程：3x^2 11x 4 = 0解析：因式分解为(3x + 1)(x 4) = 0，则3x + 1 = 0或x 4 = 0，解得x_1 = \frac{1}{3}，x_2 = 4例题 18方程：4x^2 + 7x 2 = 00，解得x_1 = \frac{1}{4}，x_2 = 2例题 19方程：5x^2 13x + 6 = 0解析：因式分解为(5x 3)(x 2) = 0，则5x 3 = 0或x 2 = 0，解得x_1 = \frac{3}{5}，x_2 = 2例题 20方程：6x^2 11x + 3 = 0解析：因式分解为(2x 3)(3x 1) = 0，则2x 3 = 0或3x 1 = 0，解得x_1 = \frac{3}{2}，x_2 = \frac{1}{3}例题 21方程：x^2 6x 16 = 0解析：因式分解为(x 8)(x + 2) = 0，则x 8 = 0或x + 2 = 0，解得x_1 = 8，x_2 = 2例题 22方程：2x^2 7x 4 = 0解析：因式分解为(2x + 1)(x 4) = 0，则2x + 1 = 0或x 4 = 0，解得x_1 = \frac{1}{2}，x_2 = 4例题 23方程：3x^2 8x 3 = 0解析：因式分解为(3x + 1)(x 3) = 0，则3x + 1 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = \frac{1}{3}，x_2 = 3例题 24方程：4x^2 9x + 2 = 00，解得x_1 = \frac{1}{4}，x_2 = 2例题 25方程：5x^2 16x + 3 = 0解析：因式分解为(5x 1)(x 3) = 0，则5x 1 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = \frac{1}{5}，x_2 = 3例题 26方程：6x^2 17x + 5 = 0解析：因式分解为(2x 5)(3x 1) = 0，则2x 5 = 0或3x 1 = 0，解得x_1 = \frac{5}{2}，x_2 = \frac{1}{3}例题 27方程：x^2 18x + 81 = 0解析：因式分解为(x 9)^2 = 0，则x 9 = 0，解得x_1 = x_2 = 9例题 28方程：2x^2 10x + 8 = 0解析：提取公因式2得2(x^2 5x + 4) = 0，再因式分解为2(x 1)(x 4) = 0，则x 1 = 0或x 4 = 0，解得x_1 = 1，x_2 = 4例题 29方程：3x^2 15x + 12 = 0解析：提取公因式3得3(x^2 5x + 4) = 0，再因式分解为3(x 1)(x 4) = 0，则x 1 = 0或x 4 = 0，解得x_1 = 1，x_2 = 4例题 30方程：4x^2 16x + 12 = 0解析：提取公因式4得4(x^2 4x + 3) = 0，再因式分解为4(x 1)(x 3) = 0，则x 1 = 0或x 3 = 0，解得x_1 = 1，x_2 = 3。
因式分解法解方程
8分钟后，比一比，做与例题类似的检测题。
04
二、自学指导
认真看课本（12—14页练习止）注意：
自研：
先认真自主学习课本p12-p14的内容，遇到看不懂的地方要用笔圈画下来。（时间：５分钟）
对学（3分钟）： 对子之间对于学习指导中的问题进行交流，对于解决不了的问题记录下来。
群学（3分钟）：小组内交流对子交流中解决不了的或出现争议的疑难问题，进行重点探讨：
理解解一元二次方程方程的思想就是“降次”。
通过“思考”问题，能灵活运用因式分解法解一元二次方程。
一、学习目标
看13页“思考”问题，如何用因式分式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？ 3、看例题的解题格式，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤。
02
理解14页归纳的内容。
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请言简意赅地阐述您的观点。
21.2解一元二次方程（四） 因式分解法
单击此处添加副标题
202X
情境引入：
我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？ 式子ab=0说明了什么？ 把下列各式因式分解. （1）x2－x x2－4x （3）x＋3－x（x＋3） （2x－1）2－x2
（组长认真组织本组成员，确保每名组员都能认真参与，记录员要把小组内的疑难问题或争议题记录下来，教师巡视，可参与组内交流。）
三、自研共探:
四、学情展示
五、归纳总结
这一节课我的收获是什么？
当堂训练
课堂作业P17 第6题
因式分解解方程
解一元二次方程-因式分解法1．因式分解法把一个多项式分解成xx+1=0﹣﹣，x=±．，x±．，，=，．典例探究答案：【例1】【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x －1)2=(1－2x )移项，得2(2x －1)2－(1－2x )=0，即：2(2x －1)2+(2x －1)=0，因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，整理，得(2x-1)(4x-1)=0，解得x 1=12，x 2=14； （2）4(y ＋2)2=(y －3)2移项，得4(y ＋2)2-(y －3)2=0因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0整理，得(3y+1)(y+7)=0解得y 1=－13，y 2=－7. 练1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；解：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2，（x ﹣3）2﹣（5﹣2x ）2=0，因式分解得：（x ﹣3+5﹣2x ）（x ﹣3﹣5+2x ）=0，整理得：（2﹣x ）（3x ﹣8）=0，解得：x 1=2，x 2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．【例2】【解析】先设2x+5=y ，则方程即可变形为y 2﹣4y+3=0，解方程即可求得y （即2x+5）的值，进一步可求出x 的值．解：设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣4y+3=0，所以（y ﹣1）（y ﹣3）=0解得y 1=1，y 2=3．当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x 1=﹣2，x 2=﹣1．点评：本题运用换元法解一元二次方程．练2．【解析】设a+b=x ，则原方程转化为关于x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x （即a+b ）的值．解：设a+b=x ，则由原方程，得4x （4x ﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x ﹣1）=0，解得x 1=﹣，x 2=1．则a+b 的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．练3 【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得x=当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.综上，x=【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．练4．【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解．解：（1）因式分解，得（x ﹣1）（x ﹣6）=0，解得x 1=6，x 2=﹣1；（2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x 1=，x 2=； （3）方程化简得x 2+2x ﹣3=0，因式分解，得（x+3）（x ﹣1）=0，解得x 1=1，x 2=﹣3；（4）a=1，b=﹣2，c=1，x 1=1+，x 2=﹣1+．点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键． 课后小测答案：一、选择题1．【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项．解：x 2﹣2x=3，x 2﹣2x ﹣3=0，（x ﹣3）（x+1）=0，故选A ．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.解：5x(x+3)=3(x+3)，移项，得5x(x+3)-3(x+3)=0，分解因式，得（5x-3）（x+3）=0， 解得123,35x x ==-故选D.点评：注意本题不能两边约去（x+3），这样会失去一个解.3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.解：方法一：x 2-2x=3,移项，得x 2-2x-3=0,因式分解，得（x-3）(x+1)=0,方法二：x 2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,移项，得（x-1）2-4=0.故选A.点评：本题考查了解一元二次方程——因式分解法.二、填空题4．【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x ﹣1=0或x+3=0．解：（x ﹣1）（x+3）=0，x ﹣1=0或x+3=0．故答案为x ﹣1=0或x+3=0．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．5．【解析】移项后分解因式得到（x+1）（x﹣2）=0，推出方程x+1=0，x﹣2=0，求出方程的解即可解：x（x+1）=2（x+1），移项得：x（x+1）﹣2（x+1）=0，即（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0，x﹣2=0，解方程得：x1=2，x2=﹣1，故答案为：x1=2，x2=﹣1．点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．6．【解析】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可．解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，即（t﹣1）（t+4）=0，解得t1=1，t2=﹣4，∵t≥0，∴t=1，∴x2+y2=1，故答案为1．点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2．三、解答题7．【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：（1）x2﹣2x+1=0，因式分解，得（x﹣1）2=0，解得x﹣1=0，即x1=x2=1；（2）x2﹣2x﹣2=0，移项，得x2﹣2x=2，配方，得x2﹣2x+1=2+1，即：（x﹣1）2=3，解得x﹣1=，即x1=1+，x2=1﹣；（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+2）=0，即x﹣3=0，x﹣3+2=0，解得x1=3，x2=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．8．【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）原式利用因式分解法求出解即可；（3）将方程变形后，设y=x﹣，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，可列出关于x的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．解：（1）方程变形得：x2﹣4x=3，配方得：x2﹣4x+4=7，即（x﹣2）2=7，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）方程变形得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，解得：x1=2，x2=5；（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0，变形得：2（x﹣）2﹣（x﹣）﹣1=0，设y=x﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，当y=﹣时，x﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0．点评：此题考查了解一元二次方程——因式分解法、配方法、换元法等，熟练掌握解一元二次的方法是解本题的关键．9．【解析】设x2﹣x=y，原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．解：设x2﹣x=y，则（x2﹣x）2=y2，那么原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y1=2，y2=3．当y=2时，x2﹣x=2，x1=2，x2=﹣1．当y=3时，x2﹣x=3，x3=，x4=．故原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．点评：本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10．【解析】先设z=x2+y2，则原方程变形为z2﹣2z﹣15=0，运用因式分解法解得z1=5，z2=﹣3，即可求得x2+y2的值．解：设z=x2+y2，原方程变形为（z﹣3）（z+1）=12，整理，得z2﹣2z﹣15=0，因式分解，得（z﹣5）（z+3）=0，解得z1=5，z2=﹣3，∵x2+y2≥0，∴x2+y2的值为5．点评：本题考查了换元法解一元二次方程．。
利用因式分解解二次方程
利用因式分解解二次方程当我们学习二次方程的时候，一种常见的解法是因式分解。
因式分解是将一个多项式拆分成一系列可约的因子的过程，而在解二次方程中，我们可以利用因式分解来求解。
本文将会介绍利用因式分解解二次方程的方法。
对于一个一般的二次方程 ax²+bx+c=0，其中a、b和c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
我们的目标是要找到一个因式分解形式将该二次方程解出。
首先，我们可以尝试将二次方程进行因式分解。
对于一个二次方程而言，如果可以进行因式分解，那么其解就是因式分解中的每一个因子等于零的解。
因此，我们可以将二次方程表示为两个因子相乘等于零的形式。
例如，对于二次方程 x²+5x+6=0，我们可以将其进行因式分解为(x+2)(x+3)=0。
由于两个因子相乘等于零，我们可以得到 x+2=0 或者x+3=0。
进一步解方程，我们可以得到 x=-2 或者 x=-3。
这两个解就是原二次方程的解。
在常见的二次方程中，我们可以辅助使用一些常用的因式分解模式。
例如：1. 完全平方模式：对于形如 (a+b)²=0 的二次方程，我们可以通过因式分解模式得到 a+b=0，然后进一步求解。
2. 差平方模式：对于形如 (a-b)²=0 的二次方程，我们可以通过因式分解模式得到 a-b=0，然后进一步求解。
3. 两数之积为零的模式：对于形如 ab=0 的二次方程，我们可以将其因式分解为 a=0 或者 b=0，然后进一步求解。
通过运用这些因式分解模式，我们可以更加灵活地解二次方程。
同时，我们还需要注意一些特殊情况，例如二次方程没有实数解或者只有一个实数解的情况。
这时候，我们需要对方程的判别式进行分析。
在二次方程 ax²+bx+c=0 中，判别式可以表示为Δ=b²-4ac。
根据判别式的大小，我们可以得到以下结论：1. 当Δ>0 时，二次方程有两个不同的实数解；2. 当Δ=0 时，二次方程有两个相同的实数解；3. 当Δ<0 时，二次方程没有实数解。
因式分解解方程题50道
因式分解解方程题50道一、题目1. 解方程x^2-5x + 6=0- 解析：对x^2-5x + 6进行因式分解，x^2-5x + 6=(x - 2)(x - 3)。
则原方程可化为(x - 2)(x - 3)=0，所以x - 2 = 0或者x - 3 = 0，解得x=2或者x = 3。
2. 解方程x^2+3x - 10 = 0- 解析：因式分解x^2+3x - 10=(x + 5)(x - 2)。
原方程变为(x + 5)(x - 2)=0，即x+5 = 0或x - 2 = 0，解得x=-5或x = 2。
3. 解方程x^2-x - 12 = 0- 解析：x^2-x - 12=(x - 4)(x+3)。
原方程化为(x - 4)(x + 3)=0，得x - 4 = 0或x+3 = 0，解得x = 4或x=-3。
4. 解方程2x^2-5x - 3 = 0- 解析：对2x^2-5x - 3因式分解，2x^2-5x - 3=(2x + 1)(x - 3)。
原方程变为(2x + 1)(x - 3)=0，即2x+1 = 0或x - 3 = 0，解得x=-(1)/(2)或x = 3。
5. 解方程3x^2+x - 2 = 0- 解析：3x^2+x - 2=(3x - 2)(x + 1)。
原方程化为(3x - 2)(x + 1)=0，得3x - 2 = 0或x + 1 = 0，解得x=(2)/(3)或x=-1。
6. 解方程x^2-9 = 0- 解析：x^2-9=(x + 3)(x - 3)。
原方程变为(x + 3)(x - 3)=0，则x+3 = 0或x - 3 = 0，解得x = 3或x=-3。
7. 解方程4x^2-1 = 0- 解析：4x^2-1=(2x + 1)(2x - 1)。
原方程化为(2x + 1)(2x - 1)=0，即2x+1 = 0或2x - 1 = 0，解得x=-(1)/(2)或x=(1)/(2)。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解法解一元二次方程典型例题
典型例题一例 用因式分解法解以下方程：(1) y2＋y ＋ ＝ ；(2) t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ； (3)(2 x － 1)( x － 1) ＝ ．7 6 0 1解：（1）方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝0y ＋1＝0 或 y ＋6＝0 ∴y 1＝－ 1， y 2 ＝－ 6(2) 方程可变形为 t (2 t －1) － 3(2 t － 1) ＝0 (2 t －1)( t －3) ＝ 0， 2t －1＝0 或 t －3＝01∴t 1＝ ，t 2＝3．(3) 方程可变形为 2x 2 －3x ＝ 0 x(2 x －3) ＝ 0，x ＝0 或 2x － 3＝ 0∴ x 1＝ 0，x 2 ＝ 32说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够分解为两个一次因式的乘积， 而右侧为零时， 则可令每一个一次因式为零， 获得两个一元一次方程， 解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2) 应用因式分解法解形如 ( x － a)( x － b) ＝c 的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如 ( x － e)( x － f ) ＝0 的形式，这时才有x 1＝ e ， x 2 ＝f ，不然会产生错误，如 (3) 可能产生以下的错解：原方程变形为： 2x － 1＝ 1 或 x －1＝1．∴ x 1＝ 1， x 2 ＝2．(3)在方程 (2)中，为何方程两边不可以同除以 (2t － 1)，请同学们思虑典型例题二例 用因式分解法解以下方程6x 2 3 3x 2 2x6解：把方程左侧因式分解为：( 2x3)(3x 2)0 ∴ 2x 3 0 或 3x 2 0∴ x 13 2 , x 232说明 : 对于无理数系数的一元二次方程， 若左侧可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三例 用因式分解法解以下方程。
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解一元二次方程-因式分解法1．因式分解法把一个多项式分解成xx+1=0﹣﹣，x=±．，x±．，，=，．典例探究答案：【例1】【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x －1)2=(1－2x )移项，得2(2x －1)2－(1－2x )=0，即：2(2x －1)2+(2x －1)=0，因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，整理，得(2x-1)(4x-1)=0，解得x 1=12，x 2=14； （2）4(y ＋2)2=(y －3)2移项，得4(y ＋2)2-(y －3)2=0因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0整理，得(3y+1)(y+7)=0解得y 1=－13，y 2=－7. 练1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；解：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2，（x ﹣3）2﹣（5﹣2x ）2=0，因式分解得：（x ﹣3+5﹣2x ）（x ﹣3﹣5+2x ）=0，整理得：（2﹣x ）（3x ﹣8）=0，解得：x 1=2，x 2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．【例2】【解析】先设2x+5=y ，则方程即可变形为y 2﹣4y+3=0，解方程即可求得y （即2x+5）的值，进一步可求出x 的值．解：设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣4y+3=0，所以（y ﹣1）（y ﹣3）=0解得y 1=1，y 2=3．当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x 1=﹣2，x 2=﹣1．点评：本题运用换元法解一元二次方程．练2．【解析】设a+b=x ，则原方程转化为关于x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x （即a+b ）的值．解：设a+b=x ，则由原方程，得4x （4x ﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x ﹣1）=0，解得x 1=﹣，x 2=1．则a+b 的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．练3 【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得x=当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.综上，x=【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．练4．【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解．解：（1）因式分解，得（x ﹣1）（x ﹣6）=0，解得x 1=6，x 2=﹣1；（2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x 1=，x 2=； （3）方程化简得x 2+2x ﹣3=0，因式分解，得（x+3）（x ﹣1）=0，解得x 1=1，x 2=﹣3；（4）a=1，b=﹣2，c=1，x 1=1+，x 2=﹣1+．点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键． 课后小测答案：一、选择题1．【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项．解：x 2﹣2x=3，x 2﹣2x ﹣3=0，（x ﹣3）（x+1）=0，故选A ．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.解：5x(x+3)=3(x+3)，移项，得5x(x+3)-3(x+3)=0，分解因式，得（5x-3）（x+3）=0， 解得123,35x x ==-故选D.点评：注意本题不能两边约去（x+3），这样会失去一个解.3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.解：方法一：x 2-2x=3,移项，得x 2-2x-3=0,因式分解，得（x-3）(x+1)=0,方法二：x 2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,移项，得（x-1）2-4=0.故选A.点评：本题考查了解一元二次方程——因式分解法.二、填空题4．【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x ﹣1=0或x+3=0．解：（x ﹣1）（x+3）=0，x ﹣1=0或x+3=0．故答案为x ﹣1=0或x+3=0．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．5．【解析】移项后分解因式得到（x+1）（x﹣2）=0，推出方程x+1=0，x﹣2=0，求出方程的解即可解：x（x+1）=2（x+1），移项得：x（x+1）﹣2（x+1）=0，即（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0，x﹣2=0，解方程得：x1=2，x2=﹣1，故答案为：x1=2，x2=﹣1．点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．6．【解析】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可．解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，即（t﹣1）（t+4）=0，解得t1=1，t2=﹣4，∵t≥0，∴t=1，∴x2+y2=1，故答案为1．点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2．三、解答题7．【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：（1）x2﹣2x+1=0，因式分解，得（x﹣1）2=0，解得x﹣1=0，即x1=x2=1；（2）x2﹣2x﹣2=0，移项，得x2﹣2x=2，配方，得x2﹣2x+1=2+1，即：（x﹣1）2=3，解得x﹣1=，即x1=1+，x2=1﹣；（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+2）=0，即x﹣3=0，x﹣3+2=0，解得x1=3，x2=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．8．【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）原式利用因式分解法求出解即可；（3）将方程变形后，设y=x﹣，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，可列出关于x的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．解：（1）方程变形得：x2﹣4x=3，配方得：x2﹣4x+4=7，即（x﹣2）2=7，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）方程变形得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，解得：x1=2，x2=5；（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0，变形得：2（x﹣）2﹣（x﹣）﹣1=0，设y=x﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，当y=﹣时，x﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0．点评：此题考查了解一元二次方程——因式分解法、配方法、换元法等，熟练掌握解一元二次的方法是解本题的关键．9．【解析】设x2﹣x=y，原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．解：设x2﹣x=y，则（x2﹣x）2=y2，那么原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y1=2，y2=3．当y=2时，x2﹣x=2，x1=2，x2=﹣1．当y=3时，x2﹣x=3，x3=，x4=．故原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．点评：本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10．【解析】先设z=x2+y2，则原方程变形为z2﹣2z﹣15=0，运用因式分解法解得z1=5，z2=﹣3，即可求得x2+y2的值．解：设z=x2+y2，原方程变形为（z﹣3）（z+1）=12，整理，得z2﹣2z﹣15=0，因式分解，得（z﹣5）（z+3）=0，解得z1=5，z2=﹣3，∵x2+y2≥0，∴x2+y2的值为5．点评：本题考查了换元法解一元二次方程．。