提取公因数的公式
提取公因数的公式
提取公因数的公式
提取公因数的公式是数学中常见的一种运算方法，它可以帮助我们简化复杂的算式，使得计算更加方便和快捷。
在本文中，我们将详细介绍提取公因数的公式及其应用。
我们来看一下什么是公因数。
公因数是指两个或多个数共有的因数，例如，6和9的公因数是1和3。
在代数中，公因数指的是多项式中各项的公共因子，例如，2x和4x的公因数是2x。
提取公因数的公式是将多项式中各项的公共因子提取出来，从而简化多项式的运算。
具体来说，提取公因数的公式可以表示为：
a1x + a2x + … + anx = x(a1 + a2 + … + an)
其中，a1、a2、…、an是多项式中各项的系数，x是多项式中各项的公共因子。
例如，对于多项式2x + 4x + 6x，我们可以将其写成x(2 + 4 + 6)，即可得到简化后的多项式12x。
提取公因数的公式不仅可以用于简化多项式的运算，还可以用于解决一些代数方程。
例如，对于方程2x + 4 = 6x，我们可以将其转化为2x + 4x = 6，然后提取公因数得到2x(1 + 2) = 6，最后解得x = 1。
除了上述例子，提取公因数的公式还可以应用于多项式的因式分解、求解最大公因数等问题。
因此，掌握提取公因数的公式对于学习代
数和解决实际问题都非常重要。
提取公因数的公式是数学中常见的一种运算方法，它可以帮助我们简化复杂的算式，使得计算更加方便和快捷。
在学习代数和解决实际问题时，我们可以灵活运用提取公因数的公式，从而更好地理解和应用代数知识。
提取公因式法PPT课件
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数 与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。
例1：确定下列多项式的公因式，并分解因式
(1) 2x3 6x2 (2) 3 pq3 15 p3q (3) 4x2 8ax 2x (4) 3ab 6abx 9aby
提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式 （2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式 （3）把多项式写成这两个因式的积的形式
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》七年级下册
6.2 提取公因式法
一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做 这个多项式各项的公因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把 公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的 方法叫做提取公因式法。
议一议：
多项式 3ax2 y 6 x3 yz 有公因式吗？是什么？ 3ax2 y 3 a x x y 6x3 yz 2 3 x x x y z 应提取的公因式为:__3__x_2_y__
练一练：分解因式
(1) 3a3 2a2 a a( 3a2 2a 1 )
(2) 6p3 10 p2 2 p 2 p( 3 p2 5 p 3x2 9xy (2) 3mx 6nx2 (3) 2ab2 4a2b 10ab
例2：分解因式
2(a b)2 a b
添括号则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括 号前面是“—”号，括到括号里的是各项都变号。
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？
(1) 2x2 3x3 x xx((22xx33xx22) 1) (2) 3a2c 6a3c 33aa22(cc(1 2a2ca)) (3) 2s3 4s2 6s s2(2s(ss2 24s2s 6)3) (4) 4a2b 6ab2 8a 22aab((22aab33bb)284a)
提取公因式
提取公因式这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。
注意相同因数的提取。
例如：0.92×1.41＋0.92×8.59=0.92×（1.41+8.59）借来借去法看到名字，就知道这个方法的含义。
用此方法时，需要注意观察，发现规律。
还要注意还哦,有借有还，再借不难。
考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。
例如：9999+999+99+9=9999+1+999+1+99+1+9+1—4拆分法顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。
这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。
分拆还要注意不要改变数的大小哦。
例如：3.2×12.5×25=8×0.4×12.5×25=8×12.5×0.4×25加法结合律注意对加法结合律(a＋b)＋c=a＋(b＋c)的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。
例如：5.76＋13.67＋4.24＋6.33=（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33)拆分法和乘法分配律结这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。
例如：34×9.9 = 34×(10－0.1)案例再现：57×101=？利用基准数在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。
例如：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21利用公式法(1) 加法：交换律，a+b=b+a,结合律，(a+b)+c=a+(b+c).(2) 减法运算性质：a-(b+c)=a-b-c,a-(b-c)=a-b+c,a-b-c=a-c-b,(a+b)-c=a-c+b=b-c+a.(3):乘法（与加法类似）：交换律，a*b=b*a,结合律，（a*b）*c=a*(b*c),分配率，（a+b）xc=ac+bc,(a-b)*c=ac-bc.(4) 除法运算性质（与减法类似）：a÷(b*c)=a÷b÷c,a÷（b÷c)=a÷bxc,a÷b÷c=a÷c÷b,(a+b)÷c=a÷c+b÷c,(a-b)÷c=a÷c-b÷c.前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。
一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。
因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。
1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。
提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。
首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。
步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。
第10节-因式分解-提取公因式及公式法
因式分解——提公因式法、运用公式法【知识点】1.分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式;2．分解因式的方法：①提公因式法 ②运用公式法。
①提取公因式法：多项式各项都含有公因式m ，可把公因式m提到外面，将多项式写成m 与的乘积形式，此法叫做提取公因式法。
提取公因式的步骤： 1）找出多项式各项的公因式 2）提出公因式 3）写成m 与的乘积形式找公因式的方法：1）公因式的系数是各项系数的最大公约数； 2）字母取各项中相同的字母； 3）相同字母的指数取次数最低的;②运用公式法：把整式相乘的乘法公式反过来，就得到因式分解的两个公式 常用公式：平方差公式： a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）完全平方公示： a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 a 2－2ab+b 2=（a －b ）2立方差（和）公式： a 3－b 3=（a －b ）（a 2+ab+b 2） a 3+b 3=（a+b ）（a 2－ab+b 2）运用公式分解多项式时，特别要注意多项式的系数，当多项式只有两项时，考虑用平方差公式；当多项式有三项时，考虑用完全平方公式。
【典型例题】例1.下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6B. ax －ay+1=a(x －y)+1C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1)例2.（1）3525x x + （2）253243143521x y x y x y +-例3.把下列各式分解因式：（1）a 2－4b 2； （2）442-+-x x（3）()()122++++b a b a （4）()()()()229262n m n m m n n m +++---例4. 把下列各式分解因式：（1）x x x ++232； （2）()222224y x y x -+【练习巩固】1.写出下列多项式中公因式（1）a 2b －5ab+9b 的公因式 . （2）x 2y(x －y)+2xy(y －x) 的公因式 .2．分解因式2x(b －a)+y(a －b)+z(b －a)= . 3.－4a 3b 2+6a 2b －2ab=－2ab( ).4.(－2a+b)(2a+3b)+6a(2a －b)=－(2a －b) ( ).5．因式分解9m 2－4n 4=( )2－( )2= 。
6.2 提取公因式法
1.你能确定多项式 am+an+bm+bn的公因式吗 的公因式吗? 1.你能确定多项式 am+an+bm+bn的公因式吗? 2.把多项式 2.把多项式 分解因式
1.分解因式计算（-2）101+（-2）100 分解因式计算（ ） （ ） 分解因式计算 2.利用简便方法计算： 利用简便方法计算： 利用简便方法计算 4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3.已知 已知a+b=3,ab=2,求代数式 已知 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值 的值. 4.把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式 分解因式. 把 5.分解因式 分解因式: 分解因式
公 因 式 各项 都含有 的相同 因式. 因式 把公因式提出来 提公因式法 首先需要会 首先需要会 找公因式
你能把12、 因数分解吗 因数分解吗？ 你能把 、15因数分解吗？ 12=2 × 2×3； × ； 15= 3 × 5
12、15这 、 这 两数有公 因数吗？ 因数吗？
你能找出下面两个单项式的公因式吗?
婺江风光带修建了三块长方形的绿 化草坪， 化草坪，它们的宽都为 8m ，长分别 k 是 a 55.5m ， b 20.1m ，c 24.4m ，那么这些绿 化带的面积之和为多少？ 化带的面积之和为多少？
8m k
a b c 55.5m 24.4m 20.1m
a k + b k + c k = k (a + b + c)
2 2
4m(a + b) + 8m (a + b) = 4m(a + b) (a +b + 2m)
计算第04讲_提取公因数
一．乘法分配率乘法分配律：()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯，()c a b c a c b ⨯+=⨯+⨯． 例如：(402)254025225+⨯=⨯+⨯；(402)254025225+⨯=⨯+⨯． 二．提取公因数公共的乘数叫做公因数，多个有相同因数的乘法相加减时，可以用提取公因数的方法进行巧算．提取公因数可以看做乘法分配律的逆应用．例如：()1725232517232540251000⨯+⨯=+⨯=⨯=．1．有的算式有时没法一起提出公因数，这时能提取几个公因数就先提取几个公因数，接下来在运算过程中也许会有新的公因数出现． 2．提取公因数法的灵活运用：构造公因数．当没有公因数时，可以设法构造出公因数． 通过观察倍数关系构造公因数．计算第04讲_提取公因数两个因数特别接近时，可以利用加减的方法提取公因数．重难点：乘法分配律及提取公因数．题模一：直接提取例1.1.1计算：12×34-12×67+12×83=_____________． 例1.1.2计算20110002011________999-=⨯． 例1.1.32016 × 99 + 2016 =______．例1.1.4计算：45598789547895985987899⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=___________． 题模二：分组提取 例1.2.1计算：20162014201320152012201530132016________⨯-⨯+⨯-⨯=． 例1.2.2计算：（1）766565545443433232212110⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯； （2）5566667777888899⨯+⨯+⨯+⨯．例1.2.33737263376363⨯+⨯⨯+⨯=_____________． 题模三：多次提取例1.3.1644364486391⨯+⨯-⨯=___________．例1.3.21877112363711197752337⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．题模四：多个公因数例1.4.1计算：11222233334444555566⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．例 1.4.2计算：7111511725718117115549________⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯=．285243521201440862________⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=． 1245152830266011________⨯+⨯+⨯+⨯=．例1.4.3计算：2011(911119911911)-⨯⨯+⨯⨯-⨯=_______．题模五：构造公因数（倍数关系、相近） 例1.5.1计算：1113228337⨯+⨯+⨯ 12336246173690⨯+⨯+ 9999222233333334⨯+⨯例1.5.237 × 36 + 38 × 64 = ．例1.5.33.251767.5 1.7⨯+⨯=______________．例1.5.4计算：（1）883587238612⨯-⨯-⨯；（2）12161205119311814⨯+⨯+⨯-⨯．例1.5.5234242422323⨯-⨯=______________．随练1.1计算：2613263626⨯+⨯+=___________．随练 1.2计算：（1）34773423⨯+⨯；（2）42374217⨯-⨯；（3）283228172884⨯-⨯+⨯．随练1.34864483152115222⨯-⨯+⨯+⨯=__________．随练 1.4计算：（1）71376419⨯+⨯+⨯＝___________；（2）1712917217⨯+⨯-⨯＝___________．随练1.5计算325724326881⨯⨯⨯＋＋的结果是（ ）． A ．8100 B ．6400 C ．9500 D ．8500 随练1.6562621267774⨯+⨯+⨯=_________． A ．7700 B ．770 C ．7400 D ．740随练1.7计算：233223447677⨯+⨯+⨯=_________． 随练1.8计算7531447147⨯⨯⨯⨯＋的结果是（ ）．A ．9800B ．9747C ．9753D ．9717 随练1.9计算：5566667777888899___________⨯+⨯+⨯+⨯=． 随练1.10计算12482414368⨯⨯⨯＋＋的结果是（ ）． A ．1224 B ．1220 C ．1200 D ．1248随练1.1122 × 38 + 11× 24 =__________． 随练1.1212324817________⨯+⨯=．随练1.13121324273611⨯+⨯+⨯=__________．作业11326+2639+2648=______________⨯⨯⨯．作业2计算：（1）17111721178⨯+⨯+⨯；（2）33147331003347⨯-⨯-⨯．作业3计算：（1）924910851925149108⨯+⨯+⨯+⨯；（2）⨯-⨯+⨯-⨯．12742583874584291⨯+⨯+⨯+⨯=__________．作业42226223878317833作业5766565545443433232212110⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯．作业6计算：（1）199********⨯+⨯-⨯；（2）261226172974⨯+⨯+⨯．作业7计算：（1）2614268224⨯+⨯-⨯．⨯+⨯+⨯；（2）1323118247132作业8计算：（1）17382571738132⨯⨯-⨯⨯．⨯⨯-⨯⨯；（2）3925525315作业9计算：⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯⨯=．215101435491528251357________⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．33334444555566667777________作业1032476847________⨯+⨯=．作业119923661533⨯+⨯+=___________．⨯-⨯=___________．作业12计算：126117125109。
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提取公因数的公式
提取公因数是一种基本的数学方法，它可以将复杂的式子简化成更
简单的形式，使计算更加方便。
下面就介绍一下提取公因数的公式及
其在实际中的应用。
一、提取公因数的公式
在数学中，提取公因数的公式是这样的：将一组数中的公因数提出来，然后将这些数简化成更简单的形式。
下面是提取公因数的一些常用公式：
1、a×b+c×b=(a+c)×b
2、a×b+a×c=a×(b+c)
3、a×b-c×b=(a-c)×b
4、a×b-a×c=a×(b-c)
5、a²-b²=(a+b)×(a-b)
二、提取公因数的应用
提取公因数的方法不仅可以简化计算，还可以在实际生活中得到应用。
1、代数式的化简
在学习代数式时，经常需要对代数式进行化简，这时就需要利用提取
公因数的方法，将代数式化简成更简单的形式，从而方便计算。
2、简化分式
在计算分式时，也可以利用提取公因数的方法，将分子和分母中的公
因数提出来，从而简化分式，使得计算更加方便。
3、求最大公因数
在数学中，求最大公因数时，也可以利用提取公因数的方法，将一组
数的公因数逐个提取出来，然后将这些公因数相乘，得到最大公因数。
4、应用于解方程
在解方程时，如果方程中含有某些部分的公因数，可以通过提取公因
数的方法，将方程化简成更简单的形式，从而方便解题。
总之，提取公因数是数学中基本的方法之一，它不仅可以简化计算，
还可以方便地应用于实际问题中。
希望大家在学习数学时，能够掌握
好提取公因数的方法，进一步提高自己的数学素养。