平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使b a由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且1x y 。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则yx 41 的最小值是解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P ,C 三点共线AP xAB yAC u u u r u u u r u u u rQ 1x y 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y Q x>0,y>040,0y x x y由基本不等式可知：4424y x y xx y x y，取等号时4y xx y224y x 2y x 0,0x y Q 2y x 1x y Q 12,33x y ，符合 所以yx 41 的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC u u u r u u u r ，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC u u u r u u u r u u u r，则实数m的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N Q 三点共线，又Q 2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r8111m 311m ，故选C例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB u u u r ＝ m AM ，AC＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：Q 因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC u u u r u u u r u u u rm AB AM u u u r u u u u r Q ＝，AC nAN u u ur u u u r图3图21()2AO mAM nAN u u u r u u u u r u u u r22m n AO AM AN u u u r u u u u r u u u r又,,M O N Q 三点共线，由平面内三点共线定理可得：122m n2m n例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP ，OB y OQ ，证明：yx 11 是定值； 证明：Q 因为G 是OAB V 的重心，211()()323OG OA OB OA OB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1OP xOA OA OP x u u u r u u u r u u u r u u u rQ 1OQ yOBOB OQ yu u u r u u u r u u u r u u u rQ111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x yx yu u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r又,,P G Q Q 三点共线，11133x y 113x y 11x y为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB u u u r u u u r ,14AF AD u u u r u u u r,CE 与BF 相交于G 点，记AB a u u u r r ，AD b u u u r r ，则AG u u u r_______A ．2177a b r r B. 2377a b r r C. 3177a b r r D. 4277a b r r分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

图4图5图6解：,,E G C Q 三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG x AE x AC u u u r u u u r u u u r, Q 1133AE AB a u u u r u u u r r ,AC a b u u u r r r12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b u u u r r r r rr …………………①又,,F G B Q 三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 使得(1)AG AB AF u u u r u u u r u u u r1144AF AD b u u u r u u u r r Q ，， 1(1)4AG a b u u u r r r…………………………… ②由①②两式可得：213114x x6737x3177AG a b u u u r r r 点评：本题的解法中由两组三点共线（F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上），利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。

例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN与CM 相交于点P ，且a AB ，b AC ，试用a 、b表示AP解：,,N P B Q 三点共线，得,1AP xAB y AN x y u u u r u u u r u u u r,Q AN ﹕AC=1﹕4, b AC AN 4141 1444y y x AP xAB AC xa b xa bu u ur u u u r u u u r r r r r ……① 又,,C P M Q 三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 , 使得,1AP AM AC u u u r u u u u r u u u r ∵AM ﹕AB=1﹕3 ∴a AB AM3131 ，，133AP a b a b u u u r r r r r …………………………… ②PBC N由①②两式可得：1314x x 311211x81,11x y y Q 321111AP a b u u u r r r 例6的变式二：如图8所示：直线l 过Y ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M 。

又知AB u u u r ＝ m AM ，AD u u u r＝n AN ，则m ＋n= 解：因为点O 两条对角线AC 与BD 的交点，所以点O 为AC 的中点1()2AO AB AD u u u r u u u r u u u r Q AB u u u r ＝ m AM ，AD u u u r＝n AN1()222m n AO mAM nAN AM AN u u u r u u u u r u u u r u u u ur u u u r 又,,M O N Q 三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得：122m n2m n定理的推广：推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P . 点O,P 位于直线AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v且1x y 。

推广2：如图10所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P .点O,P 位于直线AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v且1x y 。

例7 已知点P 为ABC V 所在平面内一点，且13AP AB t AC u u u r u u u r u u u r(t R ),若点P 落在ABC V 的内部，如图11,则实数t 的取值范围是（ ）图8图9图10A ．3(0,)4 B. 13(,)24C. (0,1)D. 2(0,)3解：Q 点P 落在ABC V 的内部 A,P 两点在直线BC 的同一侧，由推论2知：113t 23t ，所以选D例8（06年湖南高考题文科） 如图12：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP ，则实数对（x ,y ）可以是（ ） A ．)43,41( B. )32,32( C. )43,41( D. )57,51(解：由题目的条件知：点O 与点P 在直线AB 的同侧，所以1x y ，所以A,D 两选项不符合。

对于选项B 、C,都有1x y ,但当23x 时，①如果点P 在直线AB 上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：53y②如果点P 在直线OM 上，OM ∥AB 可知：||OP AB u u u r u u u r，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOBu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，Q OB y OA x OP ,t x t y22,33t y又因为点P 在两平行直线AB 、OM 之间，所以2533y ，故B 选不符合。