高二数学9月月考试题理(2)

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2023-2024学年达州市外国语高二数学上学期9月考试卷附答案解析

2023-2024学年达州市外国语高二数学上学期9月考试卷考试时间：120分钟；满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1．在空间直角坐标系O xyz -中，已知点M 是点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影，则点M 的坐标是（）A ．()3,0,5B ．()0,4,5C ．()3,4,0D ．()0,0,52．一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，22,1A D B C A B ''''''===，则平面图形ABCD 的面积为（）A ．2B ．C ．3D ．4．如图，G ，H ，M ，N 均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5．下列说法正确的是（）A ．如果直线l 不平行于平面α，那么平面α内不存在与l 平行的直线B ．如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面βC ．如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，那么直线l 与平面β也相交D ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β6．已知正三棱台的上､下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为（）A ．B ．2132C ．1934D ．7．如图，球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，3BA BC ==，球心O 到平面ABC 的距离是，则球O 的体积是（）A ．72πB ．36πC ．18πD ．8π8．如图正方体的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F 且EF =，则下列结论错误的是（）A ．AC 与BE 所成角为45︒B ．三棱锥A BEF -的体积为定值C ．//EF 平面ABCDD ．二面角A EF B --是定值二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．以下各角中可能为钝角的有（）A ．异面直线所成角B ．直线和平面所成角C ．二面角的平面角D ．两个向量形成的角10．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直11．如图，已知,G H 分别是,BC CD 的中点，,E F 分别在,AD AB 上，13AE AF AD AB ==，二面角A BD C --的大小为π3，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法正确的是（）A ．,,,E F G H 四点共面B ．//FG 平面ADCC ．若直线,FG HE 交于点P ，则,,P A C 三点共线D ．若ABD △的面积为6，则BCD △的面积为312．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且2AB =.若鳖臑-P ABC 外接球的体积为36π，则当该鳖臑的体积最大时，下列说法正确的是（）A ．4PA =B ．4BC =C ．该鳖臑体积的最大值为83D ．该鳖臑的表面积为885+第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）．13．已知向量()2,1,3a →=-，()1,1,b x =-，若a →与b →垂直，则2a b →→+=.14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==，AC BC ⊥点D 是AB 的中点，则直线1B B和平面1CDB 所成角的正切值为.15．如图三棱柱111ABC A B C －中，侧面11BB C C 是边长为2菱形，∠160CBB =︒，1BC 交1B C 于点O ，AO ⊥侧面11BB C C ，且1AB C V 为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O xyz -，则点1A 的坐标为．16．在边长为6的菱形ABCD 中，3A π∠=，现将ABD △沿BD 折起，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -的外接球的表面积为.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.18．如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为6π，底面直径2BD =，C 为底面上异于B ，D 的点，且30BDC ∠= ．求：(1)二面角A CD B --的余弦值；(2)点B 到平面ACD 的距离．19．如图所示，底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，2AB =，4PA =，5PB PD ==AC 与BD 相交于点O ，E 为PD 中点．(1)求证：EO ∥平面PBC ；(2)PA 上是否存在点F ，使平面OEF ∥平面PBC ．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．20．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，5QD QA ==3QC =．(1)求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线QC 与AD 所成角的余弦值．21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB BC CC AB BC ===⊥.(1)求证：11AC B C⊥；(2)求1B C与平面11AA C C所成的角的大小.22．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝2π，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝2，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．(1)证明：EF ⊥平面ABE ；(2)求二面角D ﹣BF ﹣E 的余弦值．1．C【分析】点在平面Oxy 内的射影是,x y 坐标不变，z 坐标为0的点.【详解】点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影为()3,4,0，故点M 的坐标是()3,4,0故选：C 2．B【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可.【详解】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确，几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A 不正确故选：B.3．C【分析】根据斜二测画法还原四边形ABCD ，由梯形面积公式求解．【详解】如图，作平面直角坐标系xOy ，使A 与O 重合，AD 在x 轴上，且2AD =，AB 在y 轴上，且2AB =，过B 作//BC AD ，且1BC =，连接CD ，则直角梯形ABCD 为原平面图形，其面积为()112232S =⨯+⨯=．故选：C 4．D【分析】根据异面直线的定义即可结合图形关系求解.【详解】在题图②④中，直线GH ，MN 是异面直线；在题图①中，由G ，M 均为所在棱的中点，易得GH MN ∥；在题图③中，连接GM ，由G ，M 均为所在棱的中点，所以GM //NH ,且12GM NH =，易得四边形GMNH为梯形，则GH 与MN相交．故选：D ．5．C【分析】根据直线与平面的关系判断A ，根据线面平行、面面平行的性质判断B ，由直线与平面相交即平面平行的性质判断C ，根据平面垂直的性质判断D.【详解】如果直线l 不平行于平面α，例如l ⊂α，则平面α内存在与l 平行的直线，故A 错误；如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面β或l β⊂，故B 错误；如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，直线l 与平面β也相交，故C 正确；如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β或α与β相交，故D 错误.故选：C 6．D【分析】先利用勾股定理求出三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.【详解】如图画出正三棱台，连接上下底面中心1OO ，1OO 即为三棱台的高，过B 作1BC AO ⊥，垂足为C ，则1OO BC h ==，111AC AO CO AO BO =-=-,又上下底面外接圆半径分别132sin 3OB π=⨯，1162sin 3O A π=⨯=，侧棱长为2AB =，所以正三棱台的高为11OO BC ==，因为正三棱台的上､下底面的边长分别为3，6，所以上下底面面积分别为2132S '=，213622S =⨯=，所以其体积为(11133V h S S '=+=⨯⨯=⎝.故选：D.7．B【分析】求出ABC 外接圆的半径，结合已知条件可求得球O 的半径，再利用球体体积公式可求得球O 的体积.【详解】在ABC 中，90ABC ∠=，3BA BC ==，则ABC外接圆的直径为2r AC ====2r =，因此，球心O 到平面ABC 的距离为322，所以，球O的半径为3R =，因此，球O 的体积为3344ππ336π33V R ==⨯=.故选：B.8．A【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式以及二面角的定义对选项进行逐个判断即可得到答案.【详解】选项A ，AC ⊥BD ，AC ⊥BB1，且BD 1,BB B ⋂=可得AC ⊥面DD1B1B ，即得AC ⊥BE ，此命题错误；选项B,由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值，此命题正确；选项C ，由正方体ABCD ﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上且EF 与平面ABCD 无公共点，故EF ∥平面ABCD ，此命题正确；选项D ，由于E 、F 为线段B1D1上有两个动点，故二面角A ﹣EF ﹣B 的平面角大小始终是二面角A ﹣B1D1﹣B 的平面角大小，为定值，故正确；故选A.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的判定定理的应用，考查棱锥体积公式以及二面角定义的应用，属于基础题.9．CD【分析】根据各类角的范围直接判断可得.【详解】异面直线所成角的范围为(0,]2π，A 错误；直线和平面所成角的范围为[0,2π，B 错误；二面角的平面角的范围为[0,]π，C 正确；两个向量形成的角的范围为[0,]π，C 正确.故选：CD 10．ACD【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：ACD.11．ACD【分析】由题意证出EF GH ∥即可判断A 项；假设B 项正确，然后利用直线与平面平行的性质得出FG AC ，从而推出与已知条件矛盾的结论，可判断B 项；利用基本事实3可判断C 项；通过作出二面角的平面角，从而找到ABD △与BCD △的公共边BD 上的高之间的关系，从而求出结果，可判断D 项.【详解】由13AE AF AD AB ==知EF 平行且等于13BD ，又,G H 分别是,BC CD 的中点，所以GH 平行且等于12BD，∴EF GH ∥，因此E ，F ，G ，H 四点共面，A 项正确；假设//FG 平面ADC 成立，因为FG ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面DAC AC =，所以FG AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与13AF AB =矛盾，B 项不正确；因为直线,FG HE 交于点P ，所以P FG ∈，P HE ∈，因为FG ⊂平面ABC ，P FG ∈，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，因为平面ABC ⋂平面ADC AC =，所以P AC ∈，所以P ，A ，C 三点共线，因此C 正确；在平面BCD 内作CO BD ⊥，垂足为O ，连接AO ，因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又因为,,AC CO C AC CO =⊂ 平面ACO ，所以BD ⊥平面ACO ，又AO ⊂平面ACO ，所以BD AO ⊥，则AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，即π3AOC ∠=，因为AC ⊥平面BCD ，CO ⊂平面BCD ，所以AC CO ⊥，所以1cos 2CO AO AOC AO =∠=，所以111116322222BCD ABD S CO BD AO BD S ==⨯==⨯= ，D 正确.故选：ACD.12．ABD【分析】根据鳖臑的几何特征，分别根据外接球半径求出边长判断A,B 选项，根据体积及表面积公式计算判断C,D 选项即可.【详解】在鳖臑-P ABC 中，四个面都为直角三角形，可知PC 的中点O 到四个顶点的距离都相等，所以点O 是鳖臑外接球的球心，由外接球的体积为36π，得外接球半径3R =，所以6PC =.设PA a=，BC b=，则2222PA AB BC PC++=，得2232a b +=，所以221111162323323P ABCa b V b a ab -+=⨯⨯⨯=≤⨯=，当且仅当4a b ==时，P ABC V-取得最大值163,A,B 选项正确，C 错误；此时PB AC ===所以鳖臑的表面积1122424822S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+D 选项正确.故选:ABD.13【分析】根据a →与b →垂直，可知0a b →→⋅=，根据空间向量的数量积运算可求出x 的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.【详解】解： a →与b →垂直，∴0a b →→⋅=，则()()211130a b x ⋅=⨯-+-⨯+=，解得：1x =，∴()1,1,1b →=-，则()()()22,1,32,2,20,1,5a b +=-+-= ，∴222201526a b +=++= .故答案为：26.14．22【分析】作出直线1B B 和平面1CDB 所成角，由此求得所成角的正切值.【详解】,AC BC D =是AB 的中点，所以CD AB ⊥，在直三棱柱中，1BB CD ⊥，由于1AB BB BÇ=，所以CD ⊥平面11ABB A .过B 作1BE B D ⊥，垂足为E ，则CD BE ⊥，由于1CD B D D ⋂=，所以BD ⊥平面1CDB ，所以1BB E ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成角，111122tan 2AB BD BB E BB BB ∠===.所以直线1B B 和平面1CDB 所成角的正切值为22.故答案为：2215．()3,1,1【分析】过点1A 作1A E ⊥平面11BCC B ，连接11,B E C E ，则11111//,//,//B E OC C E OB A E AO ，由此可求得点1A 的坐标.【详解】三棱柱111ABC A B C －中，侧面11BB C C 是边长为2菱形，∠160CBB =︒，1BC 交1B C 于点O ，AO ⊥侧面11BB C C ，且1AB C V 为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O xyz －，过1A 作1A E ⊥平面11BCC B ，垂足是E ，连接1B E ，1C E ，则11111//,//,//B E OC C E OB A E AO，∴点1A 的坐标为()．故答案为:().16．60π【分析】当三棱锥A BCD -的体积最大时平面ABD ⊥平面BCD ，据此可求外接球的半径，从而可求表面积.【详解】当三棱锥A BCD -的体积最大时平面ABD ⊥平面BCD ，如图，取BD 的中点为H ，连接,AH CH ，则AH BD ⊥，设12,O O 分别为,ABD BCD 外接圆的圆心，O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，则1O 在AH 上，2O 在CH 上，且11223AO O H AH ==⨯=，且2O H BD ⊥，1OO ⊥平面ABD ，2OO ⊥平面BCD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AH ⊂平面ABD ，故AH ⊥平面BCD ，故2//AH O O ，同理，1//CH OO ，故四边形12O OO H 为平行四边形，因为AH ⊥平面BCD ，2O H ⊂平面BCD ，故2AH O H ⊥，故四边形12O OO H 矩形，故213OO O H ==，而22362332CO =⨯⨯=，故外接球半径222231215R OO CO =+=+=，故外接球的表面积为41560ππ⨯=，故答案为：60π.【点睛】思路点睛：求几何体的外接球的半径，关键是确定球心的位置，一般通过过不同面的外接圆的圆心且垂直于该面的直线的交点来确定.17．（1）256；（2）240.【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接11A C ，11B D 交于点O ，取11B C 的中点E ，连接PO ，OE ，PE（1）883192V =⨯⨯=长方体11111883643P A B C D V -=⨯⨯⨯=∴19264256V =+=总（2）∵3PO =，4OE =∴225PE PO OE =+=1485802S =⨯⨯⨯=四棱椎侧48388160S =⨯⨯+⨯=长方体80160240S =+=总【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.18．(1)1010(2)31010【分析】（1）依题意可得AB CD ⊥，证明CD ⊥平面ABC ，即可得到CD AC ⊥，则ACB ∠为二面角A CD B --的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（2）在平面ABC 中，作BE AC ⊥于E ，即可证明BE ⊥平面ACD ，即BE 为点B 到平面ACD 的距离，在Rt ABC △中，利用等面积法求出BE ，即可得解．【详解】（1）BD Q 是底面的直径，C 为底面上异于B ，D 的点，CD BC ∴⊥，又AB ⊥Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，又BC AB B =I ，BC ，AB ⊂平面ABC ，CD \^平面ABC ，AC ⊂ 平面ABC ，CD AC ∴⊥，ACB ∴∠为二面角A CD B --的平面角．因为圆柱的侧面展开图的面积为6π，底面直径2BD =，所以2π6πAB ⨯=，3AB =，在Rt BDC 中，30BDC ∠=︒，所以112BC BD ==，在Rt ABC △中，AC =，所以cos BC ACB AC ∠=，所以二面角A CD B --的余弦值为10；（2）在平面ABC 中，作BE AC ⊥于E ，由（1）知，CD ⊥平面ABC ，又BE ⊂平面ABC ，则CD BE ⊥，CD AC C ⋂= ，CD ，AC ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ，即BE 为点B 到平面ACD 的距离，在Rt ABC △中，AB BC BE AC ⨯=，即点B 到平面ACD 的距离为10.19．(1)证明见解析(2)存在点F ，证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断//EO PB ，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点F 的位置，即可证明.【详解】（1）因为,O E 分别是,BD PD 的中点，所以//EO PB ，且EO ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以//EO 平面PBC ；（2）存在，点F 是PA 的中点，此时，连结,EF OF因为,O F 分别是,AC AP 的中点，所以//OF PC ，OF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//OF 平面PBC ，由（1）可知，//EO 平面PBC ，且OF EO O = ，且,OF EO ⊂平面OEF ，所以平面//OEF 平面PBC ，所以PA 上存在中点F ，使平面//OEF 平面PBC .20．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到平面QAD ⊥平面ABCD .（2）连接BO ，由//AD BC 可得BC 与QC 所成的角为异面直线QC 与AD 所成角，再求得3QB =，从而可得2cos BCBCQ QC ∠=，即可得到答案.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO .因为QA QD =，OA OD =，则QO ⊥AD ，而2,5AD QA ==512QO =-=.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故5CO =因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC 为直角三角形且QO OC ⊥，因为OC AD O = ，,OC AD ⊂平面ABCD ，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面ABCD .（2）因为//AD BC ，连接BO ，则BC 与QC 所成的角为异面直线QC 与AD 所成角，所以BCQ ∠或它的补角为所求的角，由题意可得BO =3QB ==，所以QC QB =，所以12cos 3BC BCQ QC ∠==，即异面直线QC 与AD 所成角的余弦值为13.21．(1)证明见解析(2)30【分析】（1）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质和各棱长可知，连接1BC ，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面11BB C C ，易知四边形11BCC B 为菱形，可得1B C ⊥平面1ABC ，由线面垂直的性质即可得11AC B C ⊥；（2）取11A C 的中点E ，连接1,B E CE ，可证明1ECB ∠是1CB 与平面11AA C C 所成角的平面角，在1Rt CEB 中，易知111,2B E CB ==，11sin 2ECB ∠=，即1CB 与平面11AA C C 所成的角的大小为30 .【详解】（1）连接1BC 与1B C 相交于点D，如下图所示在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面,ABC AB Ì平面ABC ，1B B AB ∴⊥，又1,AB BC BC BB B ⊥⋂=，1,BC BB ⊂平面11BB C C ，所以，AB ⊥平面11BB C C ，又1B C ⊂ 平面11BB C C ，1AB B C ∴⊥1BC CC = ，∴四边形11BCC B 为菱形，即11B C BC ⊥又1AB BC D ⋂= ，且1,AB BC ⊂平面1ABC ，1B C ∴⊥平面1ABC ，又1AC ⊂Q 平面1ABC ，11B C AC ∴⊥.（2）取11A C 的中点E ，连接1,B E CE .如下图所示；111111,A B B C A E EC == ，111B E AC∴⊥又1CC ⊥ 平面1111,A B C B E ⊂平面111A B C ，11,CC B E ∴⊥又1111A C CC C =Q I ，且111,A C CC ⊂平面11AA C C ，1B E ∴⊥平面11AA C C ，CE ∴是1CB 在面11AA C C 内的射影，1ECB ∠是1CB 与平面11AA C C 所成角的平面角.在1Rt CEB 中，易知111,2B E CB ==，1111sin 2B E ECB CB ∠∴==，130ECB ∠∴= 即1CB 与平面11AA C C 所成的角的大小为30.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ，在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ，可得二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角∠DHG ，计算∠DHG 的余弦值即可.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，因为2ABC BAD π∠=∠=，故DA ⊥AB ，BC ⊥AB ，因为EF ∥BC ，故EF ⊥AB ．所以在折叠后的几何体中，有EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，而AE∩BE ＝E ，故EF ⊥平面ABE ．（2）解：如图，在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G．在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ．因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD∩平面EBCF ＝EF ，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG ⊥BF ，而DG∩DH ＝D ，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角，在平面AEFD 中，因为AE ⊥EF ，DG ⊥EF ，故AE ∥DG ，又在直角梯形ABCD 中，EF ∥BC 且EF ＝12（BC+AD ）＝3，故EF ∥AD ，故四边形AEGD 为平行四边形，故DG ＝AE ＝2，GF ＝1，在Rt △BEF 中，2tan 3BFE ∠=，因为∠BFE 为三角形的内角，故sin BFE ∠1sin GH BFE =⨯∠=故2tan 2DHG ∠==，因为∠DHG 为三角形的内角，故14cos 14DHG ∠=．所以二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角的余弦值为1414．。

四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二下学期第二次月考理科数学试题

【详解】解：∵ A = {x 1 < x < 2}， B = {x 1 £ x £ 2} ，
∴ A Ç B = {x 1 < x < 2} ，
故选：D． 2．C 【分析】由复数运算法则可得 z 代数形式，后可得其虚部.
【详解】
z
=
3 + 2i 1+ i
=
(3 + 2i)(1- i) (1+ i)(1- i)
=
5
2
i
=
5 2
-
1 2
i
，则
z
的虚部是
-
1 2
.
故选：C 3．B
【分析】根据点 P ( x, y) 在椭圆上得
x2 a2
+
y2 b2
= 1，且 -a
£
x
£ a ，再利用两点距离求得
PF1
=
c a
x + a ，从而可确定
PF1
a, c 的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率
e
=
c a
的值.
【详解】设椭圆的半焦距为 c ，若椭圆上一点 P ( x,
为圆柱下底面圆
O
的直径，C
是下底面圆周上一点，已知
ÐAOC
=
π 3
，
OA
=
2
，圆柱的高为
5．若点
D
在圆柱表面上运动，且满足
uuur BC
×
uuur CD
=
0
，则点
D
的轨
迹所围成图形的面积为________．
试卷第31 页，共33 页
16．已知函数 f ( x) = aln2x +1- x (a Î R) 有且仅有一条切线经过点 (0, 0) .若"x Î[1, +¥) ， f ( x) + mlnx £ 0 恒成立，则实数 m 的最大值是______.

上海市2022高二数学上学期9月月考试题(含解析)

（1）若，，，求力、的大小；
（2）若，求与 .（用反三角函数表示）
【答案】（1），；（2）， .
【解析】
【分析】
（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，根据及力的夹角，即可求得、的大小。
（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数，即可表示出与的值。
【详解】因为关于的方程在区间上有三个解，且函数的最小正周期为，再由三角函数的对称性可知：方程在区间上的解的最小值与最大值分别为和；
又它们的和为，所以中间的解为，
所以有，即，故，
又，所以或 .
故答案为或
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.
由，，三点共线可得
即 ,所以
又因为
所以
即
当时， ,此时
当与 (或 )点重合时,此时 ,此时
所以
由基本不等式 ,可得
当或时,
当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则
即
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。
二、选择题
13.已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的图象的一条对称轴方程为（）
综上, 实数的取值范围为 .
【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.
11.设，若关于的方程在区间上有三个解，且它们的和为，则 ________
【答案】或

北京市广渠门中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题)(含答案)

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一､选择题（每小题4分，共40分）1.（4分）已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（）A.B.C.D.2.（4分）直线同时要经过第一､二､四象限，则，，应满足（）A.， B.，C.，D.，3.（4分）已知，若，，共面，则等于（）A.B.3C.D.94.（4分）若关于，的方程组无解，则（）A.2C.15.（4分）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（）A.1B.2C.D.6.（4分）“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（4分）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A.B. C. D.l (3,2)--(1,2)l (2,1)--(1,0)-(0,1)(2,1)0ax by c ++=a b c 0ab >0bc <0ab <0bc >0ab >0bc >0ab <0bc <(2,1,3),(1,2,3),(7,6,)a b c λ=-=-=a b c λ3-9-x y 4210()210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R a =P ABCD -2EC PE =DE xAB y A z AP C +=+x y z ++=13532m =1:(3)10l m x my -++=2:(1)20l mx m y +--=l sin 20x y θ--=l α[]0,ππ,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8.（4分）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当､变化时，的最大值为（）A.1B.2C.3D.49.（4分）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（）D.10.（4分）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为）A.B.点的坐标为C.，，，四点共面D.直线与直线二､填空题（每小题5分，共30分）11.（5分）已知，且，则__________.d (cos ,sin )P θθ20x my --=θm d A BCD -AB BC AC DB DC ====ABC BCD E BC EF AD ∥ADB ABF 66GE =C (2,2,-O E F A CE DG (2,1,3),(4,2,)a b x =-=- a b ∥x =12.（5分）过点且平行于直线的直线方程为__________.13.（5分）若，，则以为邻边的平行四边形面积为__________.14.（5分）已知，则向量在上的投影向量坐标为__________.15.（5分）若直线经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是__________.16.（5分）在正三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法中，正确的有__________.（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值；②当时，三棱锥的体积为定值；③当时，有且仅有一个点，使得；④当时，有且仅有一个点，使得平面.三､解答题（共50分）17.（12分）已知的顶点分别为，，.（1）求边的中线所在直线的方程；（2）求边的垂直平分线的方程.18.（12分）在平行六面体中，，，.（1）求的长；（2）求到直线的距离；(1,3)-23x y -+(2,3,1)a =-(2,1,3)b =-,a b(2,1,3),(2,2,6),(3,3,6)A B C -AC AB:1(0,0)x yl a b a b+=>>(1,2)l x y 111ABC A B C -11AB AA ==P 1BP BC BB λμ=+[0,1],[0,1]λμ∈∈1λ=1AB P 1μ=1P A BC -12λ=P 1A P BP ⊥12μ=P 1A B ⊥1AB P ABC (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE 1111ABCD A B C D -12AB AA ==1AD =1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒1BD 1A BC（3）动点在线段上运动，求的最小值.19.（12分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.（1）求证：；（2）若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.20.（14分）设正整数，集合，对应集合A 中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时.若的子集满足：当且仅当时，，则称为A 的完美子集.（1）当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.P 1CD AP CP ⋅AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF 6πF PH 3n ≥(){}12,,,,,1,2,,n k A aa x x x x k n ==∈=R ∣()12,,n a x x x =⋯()12,,nb y y y =⋯λ(1,2,,)k k x y k n == ()()112212;,,;,,n n n a b a b x y x y x y a x x x λλλλ=+=++⋯+=⋯A {}123,,B a a a =1230λλλ===()1122330,0,,0a a a λλλ++= B 3n =12{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},{(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B B ==3n =()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---B A m {}123,,B a a a A =⊆()()12,,1,2,3i i i in a x x x i =⋯=1232ii i i i x x x x >++1,2,3i =B2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一､选择题（每小题4分，共40分）1.D【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点都在直线上，点不在直线上.故选：D.2.【答案】A【解答】解：由于直线同时要经过第一､二､四象限，故斜率小于0，在轴上的截距大于0，故，故，故选：A.3.【答案】C【解答】解：，共面，设，则，，解得，解得.故选：C.4.【答案】C【解答】解：关于的方程组无解，直线与直线平行，l ()()()()232213y x ----=----10x y -+=()()()2,1,1,0,0,1---l ()2,1l 0ax by c ++=y 00a b c b⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩0,0ab bc ><()()()2,1,3,1,2,3,7,6,a b c λ=-=-=,,a b c∴a mb nc =+ ()()2,1,37,26,3m n m n m n λ-=-+++7226133m n m n m n λ-+=⎧⎪∴+=⎨⎪+=-⎩11,44m n =-=9λ=- ,x y ()4210210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R ∴4210x y ++=210x ay ++=，解得.故选：C.5.【答案】A【解答】解：由题意，，又因为，所以，所以.故选：A.6.【答案】A【解答】解：由题意两条直线垂直时，则，即，解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】C【解答】解：当时，则直线的斜率不存在，这时直线的倾斜角为，当时，则直线的斜率，当时，则，这时直线的倾斜角为，当，则，这时直线的倾斜角为，综上所述：直线的倾斜角的范围为.故选：C.8.【答案】C21421a ∴=≠1a =DE DC CA AE AB AC AP PE=++=-++()1133AB AC AP PC AB AC AP AC AP =-++=-++- 2233AB AC AP =-+DE x AB y AC z AP =++221,,33x y z ==-=1x y z ++=()()310m m m m -+-=2240m m -=0m =2m =2m =()1:310l m x my -++=()2:120l mx m y +--=sin 0θ=π2sin 0θ≠1sin k θ=0sin 1θ<…[)1,k ∞∈+ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭1sin 0θ-<…(],1k ∞∈--π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解答】解：由题意当时，.的最大值为3.故选：C.9.【答案】B【解答】解：如图，连接，因为为中点，所以，又平面底面，平面底面平面，所以平面，故两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由，可得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，d ∴()sin 1θα-=-max 13d =d ∴,AE DE ,AB BC AC DB DC E ====BC ,AE BC DE BC ⊥⊥ABC ⊥BCD ABC ⋂,BCD BC AE =⊂ABC AE ⊥BCD ,,ED EB EA E 2AB =EF ∥AD ()()(,,0,1,0,A DB F (()0,1,,,AB AD AF ===ABD (),,m x y z =m AB y m AD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =1y z ==()m = ABF (),,n a b c = 0n AB b n AF ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩1c =0,a b ==()n =则则平面与平面故选：B.10.【答案】C【解答】解：由题意正方形的对角线，则，则，故A 错误；因为，则，故错误；对于，则，所以，又为三个向量的公共起点，所以四点共面，故C 正确；由，得，则，则所以直线与直线，故D 错误.故选：C.二､填空题（每小题5分，共30分）11.【答案】见试题解答内容【解答】解：因为，且，所以存在实数使得即cos ,m n m n m n ⋅<>===ADB ABF ABCD BD =((2,2,,0,G E GE ==12GA =⨯=(2,2,C -B ((,0,4,,C A F (((0,4,,0,,0,OA OE OF ===2OA OF =O ,,,O E F A DE =(D -((,3,1,CE DG ==-cos ,CE DG <>==CE DG ()()2,1,3,4,2,a b x =-=- a∥b λa b λ=24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得.故答案为.12.【答案】见试题解答内容【解答】解：设要求的直线方程为：，把点（）代入上述方程可得：，解得.要求的直线方程为：，故答案为：.13.【答案】见试题解答内容【解答】解：设向量的夹角为，，，由同角三角函数的关系，得，以为邻边的平行四边形面积为，故答案为：14.【答案】.【解答】解：因为，所以，所以，所以向量在上的投影向量坐标为.故答案为：.15.【解答】解：直线经过点，6x =-6-20x y m -+=1,3-1230m --⨯+=7m =∴270x y -+=270x y -+=,a bθ()()2,3,1,2,1,3a b =-=-2cos 7a ba bθ⋅∴===-⋅ sin θ==∴,a b sin S a b θ=⋅== 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭()()()2,1,3,2,2,6,3,3,6A B C -()()1,2,3,0,3,3AC AB ==-693AC AB ⋅=-+=AC AB110,,22AC AB AB ABAB ⋅⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭ 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭():10,0x yl a b a b+=>>()1,2121a b∴+=，当且仅当时上式等号成立.直线在轴，轴上的截距之和的最小值为.故答案为：.16.【解答】解：由题意得：，所以为正方形内一点，①当时，，即，所以在线段上，所以周长为，如图1所示，当点在处时，，故①错误；②如图2，当时，即，即，所以在上，，因为平面平面，所以点到平面距离不变，即不变，故②正确；③当时，即，如图3，为中点，为的中点，是上一动点，易知当时，点与点重合时，由于为等边三角形，为中点，所以，又，所以平面，因为平面，则，当时，点与点重合时，可证明出平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，为的中点，为的中点，则为上一动点，易知，若平面，只需即可，()12233b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭…b =∴xy 3+3+][1,0,1,0,1BP BC BB λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦P 11BCC B 1λ=1BP BC BB μ=+[]1,0,1CP BB μμ=∈ P 1CC 1AB P 11AB AP B P ++P 12,P P 111122B P AP B P AP +≠+1μ=1BP BC BB λ=+[]1,0,1B P BC λλ=∈ P 11B C 13P AIBC AIBC V S h -=⋅⋅ 11B C ∥11,BC B C ⊄1,A BC BC ⊂⊂1A BC P 1A BC h 12λ=112BP BC BB μ=+ M 11B C N BC P MN 0μ=P N ABC N BC AN BC ⊥11,AA BC AA AN A ⊥⋂=BN ⊥ANMA 1A P ⊂1ANMA 1BP A P ⊥1μ=P M 1A M ⊥11BCC B BM ⊂11BCC B 1A M BM ⊥1A P BP ⊥12μ=112BP BC BB λ=+ D 1BB E 1CC P DE 1AB AB ⊥1A B ⊥1AB P 11A B B P ⊥取的中点，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点与点重合时，故只有一个点符合要求，使得平面，故④正确.故答案为：②④.11B C F 1,A F BF 1A F ⊥11BCC B 1AF PB ⊥11A B PB ⊥1B P ⊥1A FB 1B P FB ⊥P E 1B P FB ⊥P 1A B ⊥1AB P三､解答题（共50分）17.【答案】（1）；（2）.【解答】解：（1）设中点的坐标为，则，边的中线过点两点，所在直线方程为，即；（2）的斜率，的垂直平分线的斜率，直线的方程为，即.18.【答案】（1（2）2；（3）.【解答】解：（1），因为，所以8340x y --=264130x y --=BC D ()00,x y 0076111,0222x y --+====BC AD ()12,4,,02A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭AD ∴40101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-8340x y --=BC 1127613k --==-+BC ∴DE 1132k =∴DE 131022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭264130x y --=14-1112,1,60AB AA AD BAD BAA DAA ∠∠∠====== 111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++ 1BD ==而，，，所以，即；（2）因为，所以，所以，在中，，所以，即，又因为，所以平面，而平面，所以，即为到直线的距离，而，所以三角形为等边三角形，即，即到直线的距离为（3）设则1||||cos 602112AB AD AB AD ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 602222AB AA AB AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 601212AD AA AD AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 1BD == 1BD 11cos60212AD AA ==⨯= 1,A D AD AD ⊥∥BC 1A D BC ⊥ABD BD ===222AD BD AB +=BD BC ⊥1A D BD D ⋂=BC ⊥1A BD 1A B ⊂1A BD 1A B BC ⊥1A B 1A BC 112,60AA AB A AB ∠===1AA B 12A B =1A BC 2;1,CP CD λ= ()()()1111AP CP PA PC PC CB BA PC D C AD AB D C A B AD AB A B λλλλ⋅=⋅=++⋅=--⋅=--⋅，当时，这时的最小值为.19.【答案】（1）证明见解答；（2）（1）F 为中点；（2）2.【解答】（1）证明：在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）解：（1）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：()()111AB AA AD AB AA λλλ⎡⎤=---⋅-⎣⎦ ()()22111111AB AB AA AA AB AA AD AB AD AA λλλλλ⎡⎤=---⋅-⋅+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ ()()22111221cos602cos60cos60AB AA AD AB AD AA λλλλ⎡⎤=-⨯--⋅+⨯-⋅+⋅⎣⎦()()11141212241212222λλλλ⎡⎤=---⨯⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦242λλ=-211444λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭14λ=AP CP ⋅14-PE AMDE AB ∥DE AB ∉,PDE DE ⊂PDE AB ∥PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB ∥FG F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -则，又为中点，则，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（2）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.20.【答案】（1）是的完美子集，不是完美子集；()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF === ABF (),,n x y z =00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =- BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>=== F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<< ()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅= ()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1B A 2B（3）是的完美子集.【解答】解（1）设，即，所以是完美子集，设，，可得解得：所以不是完美子集；（2）因为集合不是的完美子集，所以存在，使得，即，由集合的互异性可得：且且，所以且，所以，可得，所以，即，所以，所以或，当时，，解得：，所以存在使得，当时，因为，所以，不符合题意，B A ()1122330,0,0a a a λλλ++=1230λλλ===1B 112233(0,0a a a λλλ++=0)1231231232402350,3460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1232,3,1λλλ==-=2B ()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---A ()()123,,0,0,0λλλ≠()1122330,0,0a a a λλλ++=()()()123123123202101120m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩2m m ≠1m m ≠-12m m -≠0m ≠1m ≠-12320λλλ++=()()312122,,0,0λλλλλ=--≠()()()()()12121212212011220m m m m m m λλλλλλλλ⎧++---=⎪⎨-+-+--=⎪⎩()()()()12122103110m m m m λλλλ⎧-+++=⎪⎨--+--=⎪⎩()1410m λ-+=14m =10λ=14m =123123123202303320λλλλλλλλλ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩12357,3λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩123573λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩()1122330,0,0a a a λλλ++=10λ=1m ≠-230,0λλ==（3）一定是的完美子集，假设存在不全为0的实数满足，不妨设，则，否则与假设矛盾，由，可得，所以.即矛盾，所以假设不成立，所以，所以，所以一定是的完美子集.B A 123λλλ､､()1122330,0,0a a a λλλ++=123λλλ……10λ≠1112213310x x x λλλ++=3211213111x x x λλλλ=--32112131213111x x x x x λλλλ++……111121312x x x x >++11112131x x x x >++10λ=230λλ==B A。

山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．以下事件是随机事件的是（）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根2．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A ．12B ．14C ．13D ．164．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．565．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===u u u r u u u r u u u u r r r r ，则1A B =u u u r（）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r6．已知空间向量0a b c ++=r r r r，2a =r ，3b =r ，4c =r ，则cos ,a b =r r （） A ．12B ．13C ．12-D ．147．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（） A ．5960B ．35C ．12D ．1608．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（） A ．4.33%B ．3.33%C ．3.44%D ．4.44%二、多选题9．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（） A ．(2,1,3) B ．(2,1,3)-- C ．(4,2,6)-D ．(4,2,6)-10．下列各组事件中，是互斥事件的是（）A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-u u u ru u ur u u u ru u u r（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n =三、填空题12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =u u u u r，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为．四、解答题15．（1）已知2,3a b ==r r ，且a b ⊥r r求2a b a b +⋅r r r r （）（-）（2）已知a b a b +=-r r r r ，求a b ⋅r r16．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．(1)求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．。

北京市海淀区2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(含解析)

一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知，则（）i 1i z=-z =A.0B.1D.22.如图，在平行六面体中，（）1111ABCD A B C D -1AB AD AA --=A.B. C. D.1AC 1AC 1D B 1DB 3.已知，则的坐标为（）()()2,3,1,6,5,3A B ---ABA.B.C.D.()8,8,4--()8,8,4-()8,8,4-()8,8,4--4.如图，已知正方体的棱长为（）ABCD A B C D '-'''1,AA DB ⋅=''A.1D.1-5.设分别是平面的法向量，其中，若，则（12,n n,αβ()()121,,2,,2,1n y n x =-=- α∥βx y +=）A. B. C.3 D.92-72-726.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数1l()0,0,1u =2l()1v =-1l 2l 为（）A.B.C.D.30601201507.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（）n αa l a n ⊥l ∥αA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与,,,O A B C a OA OB OC =++ b OA OB OC =+- 不能构成空间基底的向量是（）,a bA. B. C. D.或OA OB OC OA OB9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，Oxyz ()2,1,1A Oxz B y C 则两点间的距离为（）,B CB.C.10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则和ABCD ,M N ,BC ADAM 夹角的余弦值为（）CN A. C. D.231323-二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量，则与共线的单位向量为__________.()2,3,1a =- a 12.已知向量且，则__________，__________.()()2,0,1,,2,1a b m =-=-a b ⊥ m =a b += 13.已知直线经过两点，则点到直线的距离为__________.l ()()1,0,1,2,0,0A B ()2,1,4P l 14.在空间直角坐标系中，已知.则与的夹角的Oxyz ()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===CD CB余弦值为__________；在的投影向量__________.CD CB a = 15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量满足，则,,a b c a ∥,b b ∥c a ∥c ②任意向量满足,,a b c ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ ③若为空间向量的一组基底，且，则四点共面{},,OA OB OC221333OD OA OB OC=+- ,,,A B C D ④已知向量，若，则为钝角()()1,1,,3,,9a x b x ==-310x <,a b <>其中正确命题的序号是__________.三､解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体中，为线段的中点.1111ABCD A B C D -2,AB E =11B C（1）求证：；11AA D E ⊥（2）求平面的法向量；1D BE （3）求点到平面的距离.1A 1D BE 17.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为为的中点，为的中点.111ABC A B C -4,D 1CC E 11A B（1）求证：平面；1C E ∥1A BD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BC 1A BD18.如图，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -14,2,60AB AD AA BAD ∠====与相交于点，设.1145,BAA DAA AC ∠∠==BD O 1,,AB a AD b AA c ===（1）试用基底表示向量；{},,a b c1OA （2）求的长；1OA （3）求直线与直线所成角.1OA BC19.如图，四棱锥倍，为侧棱上的点.S ABCD -P SD（1）求证：；AC SD ⊥（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；SD ⊥PAC PAC ACD （3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；SC E BE ∥PAC :SE EC 若不存在，试说明理由.参考答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.z【详解】依题意，，则()i 1i 1iz =-=--z ==故选：C 2.【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】1111AB AD AA DB AA DB DD D B --=-=-= 故选：C 3.【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为，()()2,3,1,6,5,3A B ---所以()8,8,4AB =-故选：B.4.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为，DB DB BB AB AD BB AB AD AA '=+=-+'''=-+且，0,0AA AB AA AD ''⋅=⋅= 所以.()21AA DB AA AB AD AA AA AB AA AD AA '''''''⋅=⋅-+=⋅-⋅+= 故选：A.5.【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.1n ∥1n 1221y x -==-,x y 【详解】，且分别是平面的法向量，则，α ∥β12,n n ,αβ1n ∥1n 则有，故，则.1221y x -==-1,42x y =-=72x y +=故选：D.6.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.cos ,u v u v u v⋅<>=⋅【详解】直线方向向量，1l ()0,0,1u= 直线方向向量，2l()1v =-，1cos ,2u v u v u v ⋅<>===-⋅所以两向量夹角为，120直线和所成角为，∴1l 2l 60故选：B.7.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，n αal 若，则或，充分性不成立，a n ⊥ l α⊂l ∥α若，则，必要性成立，l ∥αa n ⊥所以“”是“”的必要不充分条件.a n ⊥ l ∥α故选：B.8.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.【详解】，()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC=-=++-+- 与不能构成空间基底；OC ∴ a b､故选：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解,B C 【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，()2,1,1A Oxz B 所以，()2,0,1B 因为点关于轴的对称点为点，()2,1,1A y C 所以，()2,1,1C --所以BC ==故选：D 10.【答案】A【分析】根据正四面体性质取的中点为，即可知即为异面直线和的夹角的平面角，BN P AMP ∠AM CN 计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：BN BN P ,AP MP由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又分别是的中点，所以，且,M P ,BC BN MP ∥CN 12MP CN ==所以即为异面直线和的夹角的平面角，AMP∠AM CN 又易知，且，所以BN AN ⊥12PN BN ==AP ===因此，2cos 3AMP ∠==即和夹角的余弦值为.AM CN 23故选：A二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】或⎛⎝【分析】求出，再根据求解即可.aa a± 【详解】因为向量，所以()2,3,1a =-a==所以，aa ±==±所以与共线的单位向量为或.a⎛ ⎝故答案为：或.⎛ ⎝12.【答案】（1）（21##0.52【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为，()()2,0,1,,2,1a b m =-=-当时，所以，a b ⊥210m -=所以；12m =因为，()12,0,1,,2,12a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，5,2,02a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 所以.a b +==故答案为：.1213.【答案】3【分析】根据坐标求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到cos ,,AP AB AP<>AP 'PP 'P 直线的距离.l 【详解】如图，过点作于点P PP AB'⊥P '由题意得，，()()1,1,3,1,0,1,cos ,AP AB AP AB==-<>==，所以.AP ==cos ,3AP AP AP AB PP =⋅<='='>= 故答案为：3.14.【答案】①②12()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计CD CB算公式即可求出结果.【详解】因为，()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===所以，()()0,2,2,2,2,0CD AD AC CB AB AC =-=-=-=-所以，1cos ,2CD CB CD CB CD CB ⋅<>===在的投影向量为.CD CB()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB<>=-故答案为：.()1;1,1,02-15.【答案】①③【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据可判断1133AD AB CB=+③；当时可判断④.3x =-【详解】对于①，因为是非零向量，且满足，故存在实数使得，,,a b c a ∥,b b ∥c ,λμa b λ= ，故，所以，故①正确；b c μ= a c λμ= a ∥c 对于②，因为不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故②不正确；,a c ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对于③，若为空间向量的一组基底，所以三点不共线，{},,OA OB OC,,A B C ，且，221333OD OA OB OC =+- ()()1211133333OD OA OA OB OC OB OA OB OC-=-+-=-+- 所以，则四点共面，所以③正确；1133AD AB CB=+ ,,,A B C D 对于④，当时，反向共线，有为，所以④不正确.3x =-,a b 3,,b a a b =- 180故答案为：①③.三､解答题（共4道大题，共60分）16.【答案】（1）证明见解析；（2），答案不唯一；()2,1,1-（3.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.11A D 【小问1详解】因为是正方体，故可得面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1111A B C D又面，故可得.1D E ⊂1111A B C D 11AA D E ⊥【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：D 则可得：，()()()()110,0,2,2,2,0,1,2,2,2,0,2D B E A ()()()1111,2,0,1,0,2,2,0,0D E BE A D ==-=-设平面的法向量为，1D BE (),,m x y z =则，即，取，可得，100m D E m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩2x =1,1y z =-=故平面的一个法向量为.1D BE ()2,1,1-【小问3详解】设点到平面的距离为，1A 1D BE d 则.11A D m d m ⋅===故点到平面.1A 1D BE17.【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面1C E 1A BD 平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A 为坐标原点，以所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴1,AC AA y z ABC AC x 建立空间直角坐标系，())()()()1110,2,4,,0,2,2,,4,0,0,4,0,2,02C B D E A C ⎫⎪⎪⎭所以113 ,0,4),(2)2C E A B BD ⎫=-=-=⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，1A BD (),,n x y z = 所以，即，100n A B n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4020y z y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩令，x =1,1z y ==即为平面的一个法向量，)n = 1A BD 所以，1310102C E n ⎛⎫⋅=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又因为平面，1C E ⊄1A BD 所以平面；1C E ∥1A BD 【小问2详解】由（1）知，()),BC n == 设直线与平面所成角为，BC 1A BD θ所以，sin cos ,BC θ= 所以直线与平面.BC 1A BD 18.【答案】（1）11122OA a b c =--+（2（3）π2【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；11122OA a b c =--+ （3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】()111111111;22222OA OA AA AB AD AA AB AD AA a b c =+=-++=--+=--+ 【小问2详解】，1114,2,60,45AB AD AA BAD BAA DAA ∠∠∠====== 所以，1cos604242a b a b ⋅==⨯⨯=，cos4524b c b c ⋅==⨯=，cos4548a c a c ⋅==⨯= 由（1）知，11122OA a b c =--+ 所以，22222111111322442OA a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅= ⎪⎝⎭ 所以1OA = 【小问3详解】，BC AD b == ，21111102222OA BC a b c b a b b b c ⎛⎫⋅=--+⋅=-⋅-+⋅= ⎪⎝⎭ ，111cos ,0OA BC OA BC OA BC ⋅==所以与所成角为，1OA BC π2所以直线与直线所成角为.1OA BC π219.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.30 :2:1SE EC =【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O 分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可,,OB OC OS x y z OC SD 证明；AC SD ⊥（2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；PAC ACD （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法BE ∥PAC BE PAC 向量，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O ，分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系如图.OB ,OC OSx y z O xyz -设底面边长为，则高.aSO =于是,,0,0,,0S D C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,0,,0,OC SD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故，从而.0OC SD ⋅= OC SD ⊥AC SD ⊥（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量PAC DS ⎫=⎪⎪⎭ DAC ，设所求角为，则平面与平面的夹角为.OS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭θcos OS DS OS DS θ⋅==∴⋅ PAC DAC 30（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，SC E BE ∥PAC DS PAC 且.,0,DS a CS a ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 设，则CE tCS = BE BC CE BC tCS=+=+ 而，()1t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭103BE DS t ⋅=⇔= 即当时:2:1SE EC =，而不在平面内，故平面.BE DS ⊥ BE PAC BE ∥PAC。

山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案

济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。

高二数学下学期第二次月考试题理含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。

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河南省洛阳市第一高级中学2016-2017学年高二数学9月月考试题理（无
答案）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合A ＝{x |x 2-x-6<0}，B ＝{x |24-+x x >0}，则A ∩B 等于( ) A ．(-2,3) B ．(2,3) C ．(-4,-2)
D ．(-4,3) 2．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )
A.32
B.332
C.3＋62
D.3＋394
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( )
A ．27
B ．36
C ．45
D ．54
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425
5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2
C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )
A ．(0，π6]
B ．[π6，π)
C ．(0，π3]
D ．[π3
，π) 6．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4
的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12 7．已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若平面上的三点A ，B ，C 共线，且OA →＝a 4OB →＋
a 97OC →，
则S 100＝( )
A ．100
B ．101
C ．50
D ．51
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n
(3n －13)，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值是( )
A ．S 3
B ．S 4
C ．S 5
D ．S 6
9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ＋3－S m ＋2＝8(S m －S m －1)(m >1，m ∈N)，且a 6＋4a 1＝S 22，则a 1＝( )
A.16
B.14
C ．4
D ．2 10．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝51－3n ，设T n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋14|(n ∈N *)，则当T n 取得最小值时，n 的值是( )
A ．10
B ．12
C ．15
D ．17
11．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项和为910
，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
12．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－
1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设S n 是数列{b n }的前n 项和，b n ＝lg a n ，则S 99的值是( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．4
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.数列{a n }中，a 1=0,a 1 n =1
33+-n n a a ,则a 2016=_______ 14．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.
15.若.A ＝{x |y ＝
5x ＋1－1}，B ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x ＋m )}，A ∩B ＝(－1,4]，则m 的取值范围是________．
16.已知函数f (x )＝sin x －a (0≤x ≤5π2
)的三个零点成等比数列，则log 2a ＝________.
三．解答题（17题10分，18~22每题12分）
17.解关于x 的不等式 ax 2－2x-2-a<0(a>-1)
18．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．
19.在等比数列{a n }中，a 1+a 6=33,a 3a 4=32,且a 1 n <a n (n ∈N *)
(1)求数列{a n }的通项公式 (2)若b n =|log 2a n |,求数列
n b 的前n 项和
20．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23
a n . (1)求a 2，a 3；
(2)求{a n }的通项公式．
21．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3
n －1a n ＝n 3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
22．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．
(1)证明：数列{1a n
}是等差数列； (2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋12·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．欢迎您的下载，资料仅供参考！。