高考数学应重视用枚举法解题
高考数学中的集合论与函数知识点
高考数学中的集合论与函数知识点高考是人生中的一道重要关卡，其中数学是不可避免的一部分。
在数学中，集合论和函数是比较基础的知识点，也是需要我们认真掌握的。
本文将从集合论和函数中的常见概念、性质和解题方法等方面进行论述。
一、集合论1. 集合的定义在数学中，集合就是由若干个特定对象组成的一个整体。
例如，一堆苹果组成了苹果的集合，一堆数学题组成了题目的集合。
2. 集合的表示表示集合的方法有两种：枚举法和描述法。
枚举法就是直接把集合中的元素罗列出来，描述法则是用某些属性描述集合中的元素。
例如，集合A由1, 2, 3三个元素组成，可以用枚举法表示为A={1,2,3}，用描述法表示为A={x|x∈自然数，x≤3}。
3. 集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集四种。
并集：表示两个集合中所有元素的总和。
用符号“∪”表示。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
交集：表示两个集合中共有的元素。
用符号“∩”表示。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
差集：表示一个集合中去掉另一个集合中相同的元素后剩下的元素。
用符号“-”表示。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}，B-A={4}。
补集：表示全集中去掉某个集合中所有元素后剩下的元素。
用符号“C”表示。
例如，A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则A的补集为A^c={4,5}。
4. 集合的性质（1）自反性：任何集合都是该集合的子集。
（2）传递性：如果集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A也是集合C的子集。
（3）对称性：如果集合A是集合B的子集，那么如果在集合B中存在元素不在集合A中，那么集合B也不是集合A的子集。
5. 集合的应用集合论在高考数学中的应用比较广泛，尤其是在概率与统计中。
例如，众所周知，随机事件的可能性可以用概率来表示，而概率需要用到集合的运算。
利用枚举方法求方程
利用枚举方法求方程
利用枚举方法求方程是一种计算数学中常用的方法。
它的基本思路是通过枚举所有可能的解来找到方程的解。
具体来说，对于一个包含未知数的方程，我们可以先设定一个解空间，然后逐一枚举解空间中的元素，通过代入方程验证是否为方程的解。
如果是，就找到了方程的解；如果不是，就继续枚举下一个元素，直到找到解为止。
枚举方法不仅适用于简单的一元方程，也可以用来解决更为复杂的多元方程。
例如，对于一个二元方程，我们可以先设定两个解空间，然后在两个解空间中分别逐一枚举元素，代入方程验证是否为方程的解。
需要注意的是，枚举方法虽然可以帮助我们找到方程的解，但是其效率较低，特别是对于解空间较大的方程，枚举方法往往需要耗费大量的时间和计算资源。
因此，在实际应用中，我们通常会采用更为高效的求解方法，例如牛顿迭代法、高斯消元法等。
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枚举法解题
枚举法解题
【最新版】
目录
1.枚举法解题的定义和特点
2.枚举法解题的适用范围和优缺点
3.枚举法解题的具体步骤和示例
正文
枚举法解题是一种通过穷举所有可能的解决方案来求解问题的方法。
它通常被用于解决那些可以通过有限步骤解决的问题，尤其是在计算机科学和数学领域。
枚举法解题的适用范围非常广泛，包括数论、组合、图论等领域。
它的优点在于简单易行，可以直接解决问题，而且不需要深入的理论知识。
然而，枚举法解题的缺点也很明显，那就是它的时间复杂度通常非常高，当问题规模较大时，可能需要耗费大量的时间和资源。
下面是枚举法解题的具体步骤：
1.确定问题的范围和限制条件。
2.列举出所有可能的解决方案。
3.对每个解决方案进行验证，看是否满足问题的要求。
4.如果找到一个满足要求的解决方案，就结束枚举，开始下一步的计算。
如果没有找到满足要求的解决方案，就继续枚举。
5.如果枚举结束，还没有找到满足要求的解决方案，那么这个问题就没有解。
举个例子，如果我们要解决一个数论问题，即求解一个整数 n 的所有约数，我们可以使用枚举法解题。
首先，我们确定问题的范围，也就是
从 1 到 n 的所有整数。
然后，我们列举出所有可能的约数，即从 1 到n 的所有整数。
接着，我们对每个约数进行验证，看它是否是 n 的约数。
如果是，我们就记录下来。
如果不是，我们就继续枚举。
最后，我们把所有的约数都找出来，就得到了问题的解。
高考数学必考题型及答题技巧(整理)整理
高考数学必考题型及答题技巧（整理）整理2023高考数学必考题型及答题技巧最新（整理）高考数学答题的时候，考生们尤其要留意认真，解答题的考点相对较多，综合性强，难度较高，以下是我整理的一些2023高考数学必考题型及答题技巧最新，欢迎阅读参考。
数学常考题答题套路恒成立问题或是它的反面，能够转化为最值问题，留意二次函数的应用，敏捷使用闭区间上的最值，分类争论的思想，分类争论应当不重复不遗漏。
圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆维曲线相交问题，若与弦的中点相关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必需先考虑是否为二次及根的判别式。
求曲线方程的题目，假如知道曲线的外形，则可选择待定系数法，假如不知道曲线的外形，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(留意去掉不符合条件的特别点)。
求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可。
三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用帮助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，留意向量角的范围。
高考数学答题技巧整理第1页/共4页1.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;留意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特别数列;解答的时候留意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;2.立体几何问题立体几何第一问假如是为建系服务的，肯定用传统做法完成，假如不是，可以从第一问开头就建系完成;留意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，娴熟把握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算留意系数1/3，而三角形面积的计算留意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，留意连接“心心距”制造直角三角形解题;3.导数导数的题目常规的一般不难，但要留意解题的层次与步骤，假如要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应当放弃;重视几何意义的应用，留意点是否在曲线上;4.概率概率的题目假如出解答题，应当先设大事，然后写出访用公式的理由，当然要留意步骤的多少打算解答的详略;假如有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;5.换元法遇到简单的式子可以用换元法，使用换元法必需留意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;第2页/共4页6.二项分布留意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;7.肯定值问题肯定值问题优先选择去肯定值，去肯定值优先选择使用定义;8.平移与平移有关的，留意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移肯定要使用平移公式完成;高考数学答题留意事项(1)填写好全部考生信息，检查试卷有无问题;(2)调整心情，尽快进入考试状态，可解答那些一眼就能看得出结论的简洁选择或填空题(一旦解出，信念倍增，心情马上稳定);(3)对于不能马上作答的题目，可一边通览，一边粗略地分为a、b两类：a类指题型比较熟识、简单上手的题目;b类指题型比较生疏、自我感觉有困难的题目，做到心中有数。
枚举法
浅谈数学枚举法思想【摘要】数学思想方法是数学中的理性认识，是数学的本质，是数学中高度抽象概括的内容，它蕴含于数学问题的解决过程中，它从教学内容中抽象和概括出来，是数学知识的精髓，是知识转化成能力的桥梁。
枚举法就是一种重要的数学解题思想。
【关键字】枚举法数学思想解题思想【正文】19世纪数学家西尔维斯特指出：“置身于数学领域中不断地探索和追求，能把人类的思维活动升华到纯净而和谐的境界。
”阿巴斯诺特说：“数学知识是思维增加活力，使之摆脱偏见、轻信和迷信的束缚。
”塞劳尔说：“正如文学诱导人们的情感一样，数学则启发人们的想象与推理。
”总之，数学能令人的思维纯净、和谐，会为思维增添活力。
著名的日本科学家米山国藏指出：“作为知识的数学，出校门不到两年可能就忘了，深深铭记在头脑中的唯有数学的精神、数学的思想研究方法和着眼点，这些都随时随地发生动作，使人们终身受益。
”【１】数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法。
枚举法、类比法、归纳法、分析法、综合法、化归法数学模型法等都是比较常见的数学思想方法，在这里，我将简单的谈一谈枚举法。
枚举法起源于原始的计数方法，即数数。
在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事情的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结果是可靠的，这种方法叫做枚举法。
从这里可以看出枚举法要将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。
因而枚举法具有以下三个特点：第一，通过枚举法得到的结果肯定是正确的；第二，枚举法要将所有可能的答案列举出来，效率必然低下，浪费时间；第三，枚举法会涉及到求极值。
枚举法的这些特点，并不就意味着它是没有头绪的尝试、瞎蒙瞎撞，枚举法也有它的解题思路。
首先要确定枚举对象、枚举范围和判定条件，其次要一一列举可能的解，验证是否是问题的正确的解。
【2】以百钱买鸡的题目为例，“一只公鸡，价值三元钱；一只母鸡，价值两元钱；三只小鸡，价值一元钱。
基本事件有多少？
高考数学复习点拨：基本事件有多少？基本事件有多少？江苏张允倩在研究古典概型时，很多错误都是因为基本事件总数出了问题，如何快速、准确地确定基本事件总数呢？本文介绍几种行之有效的方法。
一．枚举法把所有的基本事件一一列举出来，再计数的方法叫做枚举法。
枚举法一般在基本事件总数不多时应用。
例1．某人有4把钥匙，其中2把钥匙能把门打开。
现每次随机地取1把钥匙试着开门，试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率。
解：用表示能打开门的钥匙，用表示不能打开门的钥匙，则所有基本事件为：共有16个基本事件，其中"第二次才能打开门"的事件含有4个基本事件，如加横线部分的事件。
因此评注："第二次才能打开门"暗示着第一次不能打开。
另外应用枚举法时要按照一定的顺序列举，做到不重复、不遗漏。
二．列表法通过列表，借助表格，准确地把所有的基本事件列出的方法叫列表法。
例2．抛掷两颗骰子，求点数之和大于或等于9的概率。
解析：用列表法，可得基本事件共有：个aa+bb12345612345672345678345678945678910567891011678 9101112记"点数之和大于或等于9"的事件为A，则从表中可以得出，事件A包含的基本事件有10个，即：（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），故。
点评：列表法是枚举法的另一种形式，在基本事件总数不是很多的情况下，利用列表法容易准确地找出所有的基本事件。
三．树形图法当题中的基本事件较多，较为复杂时，可结合树形图进行分类、枚举，这样的方法叫做树形图法。
例3．口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从中摸出一球，试求乙摸到白球，且丙摸到黑球的概率。
解析：把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，乙摸到白球，且丙摸到黑球的结果有8种，记"第二个人摸到白球"为事件A，则。
应重视用枚举法解题
数，求 X 的数学期望 ．（文）求前 4 局中乙恰
好当 1 次裁判的概率 ．
解：先列举出所有的情形（括号里面的表示裁判），见表 1： Nhomakorabea表1
情 形
第1局
第2局
第3局
第4局
在前 4 局 中乙当裁 判的次数
1
2
3
4
乙丙 (甲)
5
6
7
8
甲乙(丙) 甲丙(乙)
乙丙(甲) 甲丙(乙) 乙丙(甲) 甲乙(丙)
甲乙(丙) 甲丙(乙) 甲乙(丙) 乙丙(甲) 甲丙(乙) 甲乙(丙) 甲丙(乙) 乙丙(甲)
．
解：这里的一次试验是“每天均有 3 辆 开往省城的分为上、中、下等级的客车各一 辆”，试验成功的情形是“于先生采取上述策
略能乘上上等车”．
先枚举出一次试验可能的所有情形：①
上、中、下，②上、下、中，③中、上、下，④中、
下、上，⑤下、上、中，⑥下、中、上．其中试验
成功的情形是③④⑤三种，所以所求的概率
0 1 1 1 2 1 2 1
因为各局中双方获胜的概率均为
1 2
，
所以所列举的 8 种情形是等可能的，从而可
得答案：
（1）82
=
1 4
．
（2）（理）可得随机变量 X 的概率分布
列，见表 2：
表2
X
0
1
2
P
1 8
5 8
1 4
所以
E(X ) = 0 ×
1 8
+1×
5 8
+2×
1 4
=
9 8
．（文）85
．
是
3 6
=
1 2
枚举法解题
枚举法解题枚举法，又称为穷举法，是一种通过逐一列举所有可能的情况来解决问题的策略。
这种方法通常在问题的答案范围不是很大，或者虽然答案范围很大，但可以通过逐一检验每个可能答案来轻易排除不可能的答案时使用。
以下是一个使用枚举法解题的例子。
问题：有一个由0和1组成的数字序列，长度为10。
要求找出所有满足以下两个条件的序列：1.序列中0和1的数量相差不超过2；2.序列中相邻数字之间没有相同的数字。
分析：1.枚举的范围：由于长度为10，我们需要考虑0和1的所有可能组合。
这总共有2^10 = 1024种组合。
2.枚举的规则：我们可以使用两个变量来记录序列中0和1的数量，分别为x和y。
在每一步中，我们选择一个x或y的值，然后递减或递增它，以确保我们最终满足条件。
3.检查条件：对于每一种组合，我们检查它是否满足条件。
如果满足条件，则将其记录下来。
解法：1.初始化变量x和y为0，以及一个空列表来存储满足条件的序列。
2.进入循环，直到x和y的值超过10：1.如果x和y的数量之差不超过2，且序列中相邻数字之间没有相同的数字：1.将当前x和y的数值添加到列表中。
2.递增x或y的值，然后继续检查下一个组合。
3.返回列表中的所有序列。
现在我们已经有了解决问题的策略，下一步是编写代码来实现它。
由于这是一个文本格式，我们无法直接运行代码。
但你可以使用Python等编程语言来实现这个算法。
总结：枚举法是一种通过逐一列举所有可能的情况来解决问题的策略。
它通常适用于问题的答案范围较小，或者可以通过逐一检验每个可能答案来轻易排除不可能的答案的情况。
使用枚举法时，我们需要确定枚举的范围和规则，并编写代码来实现它。
在某些情况下，枚举法可能不是最优的解决方案，因为它需要检查所有可能的情况。
但在其他情况下，它可能是唯一可行的方法。
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应重视用枚举法解题
题1 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆．某天干先生准备从该汽车站前往省城办事，但他不知道客车的等级情况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么干先生乘上上等车的概率是 ．
解 这里的一次试验是“每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆”，试验成功的情形是“干先生采取上述策略能乘上上等车”．
先枚举出一次试验可能的所有情形：①上、中、下，②上、下、中，③中、上、下，④中、下、上，⑤下、上、中，⑥下、中、上．其中试验成功的情形是③④⑤三种，所以所求的概率是2
16
3=．
题2 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2名女生相邻，不同排法种数是？
解 设想6位同学站成一排分别站的位置是1,2,3,4,5,6．因为男生甲不站两端，所以可分以下四种情形：
(1)甲站的位置是2．
此时3位女生站的位置只能是(1,34)，(1,45)，(1,56)，(34,6)，(3,56)这5种情形，可得此时有60A
A 522
3
3
=种排法．
(2)甲站的位置是3．
此时3位女生站的位置只能是(12,4)，(12,5)，(12,6)，(1,45)，(1,56)，(2,45)，(2,56)这7种情形，可得此时有84A
A 722
3
3
=种排法．
(3)甲站的位置是4． 此时的排法数同(2)． (4)甲站的位置是5． 此时的排法数同(1)．
所以所求答案为2882)8460(=⨯+．
注 列举时可先选好标准进行分类，而每一类中列举时可按照字典排列法(小的在前大的在后)，这样可做到不重不漏．
题3 (2013年高考全国大纲卷第20题)甲乙丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为2
1，各局比赛的结果
相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)(理)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． (文)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
解 先列举出所有的情形(括号里面的表示裁判)，见表1：
表1
情
形
第1局 第2局
第3局
第4局
在前4局
中乙当裁
判的次数
1
乙丙
甲乙(丙)
乙丙(甲)
甲乙(丙)
2 (甲)
甲丙(乙) 1 3 甲丙(乙)
甲乙(丙) 1 4 乙丙(甲) 1 5
甲丙(乙)
乙丙(甲)
甲丙(乙)
2 6 甲乙(丙)
1 7 甲乙(丙)
甲丙(乙)
2 8
乙丙(甲)
1
因为各局中双方获胜的概率均为2
1，所以所列举的8种情形是等可能的，从而可得答案：
(1)4
18
2=．
(2)(理)可得随机变量X 的概率分布列，见表2：
表2
X 0
1
2
P
8
1 8
5 4
1
所以8
94
128
518
10)(=⋅+⋅+⋅=X E ．
(文)8
5．
题4 (2008年高考全国卷I 理科第12题)如图1，一环形花坛分
成D C B A 、、、四块．现有4种不同的花供选择，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )
D B
C
A
图1
A.96
B.84
C.60
D.48
解 B ．可共种2种花，先把D C B A 、、、分成两组使得每组能种同一种花，只有一种分法),(BD AC ，有24
A 种种法；可共种3种花，先把
D
C B A 、、、分成三组使得每组能种同一种花，只有两种种分法
),,(),,,(BD C A D B AC ，有34
A 2种种法；可共种4种花，有44
A 种种法．并且
别无它法，所以共有84A A 2A
44
342
4
=++种种法． 题5 (2012年卓越联盟自主招生数学试题第7题)设b a ,是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数．
(1)求直线b ax y +=与圆22
2
=+y x 有公共点的概率；
(2)设X 为直线y ax b =+与圆222x y +=公共点的个数，求随机变量
X 的分布列及数学期望()E X ．
解 直线y a x b =+
与圆222x y +=的公共点为0(1,2)个222(,)22(,)21
b b a a ⇔
>=<⇔->=<+，由此可列出各种情形(表中的X
表示直线y ax b =+与圆222x y +=公共点的个数)，见表3：
表3
a
X
b
1 2 3 4 5
1 2 2 2 2 2 2
1
2
2
2
2
3 0 2 2 2 2
4 0 0 2 2 2 5
2
2
(1)直线y ax b =+与圆222x y +=有公共点的概率为61912525
-
=． (2)随机变量X 的分布列(见表4)及数学期望()E X 分别为
表4
X 0
1 2
P
625
125
1825
611837
()01225252525
E X =⋅+⋅+⋅=
题6 (三门问题)在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是羊.游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意(选择另一扇门)，以使得赢得汽车的概率更大一些？
解 由图2可知：若改变主意，则赢得汽车的概率是3
2；若不改变主意，则赢得汽车的概率是3
1.
图2
所以参赛者改变主意(选择另一扇门)，可使赢得汽车的概率更大一些.
题7 (2012年高考新课标全国卷文科第21题)设函数
2e )(--=ax x f x ．
(1)求)(x f 的单调区间；
(2)若k a ,1=为整数，且当0>x 时，01)()(>++'-x x f k x ，求k 的最大值．
解 (1)略．
(2)可得题设即)0(01e e >>++-x k k x x x 恒成立． 由1=x 时成立，得11
e 2
+-<
k ，所以整数2≤k ．还可证2=k 时成立： 设)0(1e e )(>++-=x k k x x g x x ，得
因为)0(e )1()(>-='x x x g x ，所以0e 3)1()(min >-==g x g ． 所以所求k 的最大值是2．
注 由此解法还可得：整数k 的取值范围是{不大于2的整数}，实数k 的取值范围是0(,)k -∞，其中0k 是方程1e 010
+=-k k 的正数解．
在解决某些数学题特别是排列组合及概率统计等与计数有关的问
题时，有不少读者认为枚举法是“最烦、最繁、最差、最没有技术含量”的，其实不然：第一，当基本事件总数较少但情况又稍复杂时，枚举法一清二楚；枚举法应当是解这类题时首先想到的方法，比如树形图、列表法等；第三，即使枚举法失败，也可由此发现部分规律，对解题也有帮助．因此，解决某些数学题特别是计数问题时，应重视枚举法．。