相似三角形达标卷
数学初三相似三角形试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各组图形中，能够构成相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 两个直角三角形D. 两个锐角三角形2. 已知两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，则下列说法正确的是（）A. 三角形ABC与三角形DEF相似B. 三角形ABC与三角形DEF不一定相似C. 三角形ABC与三角形DEF一定不相似D. 无法判断三角形ABC与三角形DEF是否相似3. 在相似三角形中，对应边的比称为（）A. 相似比B. 对应角C. 相似中心D. 相似轴4. 若一个三角形的边长分别为3、4、5，那么与这个三角形相似的三角形的边长可能是（）A. 6、8、10B. 6、9、12C. 7、10、14D. 8、12、165. 在相似三角形中，若相似比为2：1，则周长比是（）A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：4二、填空题（每题4分，共16分）6. 如果两个相似三角形的相似比是3：2，那么它们的面积比是_______。
7. 在相似三角形中，如果相似比是5：3，那么对应高的比是_______。
8. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，DE=4cm，那么BC与EF的比是_______。
9. 在相似三角形中，若一个三角形的周长是另一个三角形的3倍，则它们的相似比是_______。
10. 两个相似三角形的相似比为1：2，那么它们的面积比是_______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，点D、E分别在边AB、BC上，且AD=DE=EC。
求证：三角形ADE与三角形ABC相似。
12. （10分）已知两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=30°，∠D=45°，∠B=∠E=75°。
求证：三角形ABC与三角形DEF相似。
相似三角形试题及答案
相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。
答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。
答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。
因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。
设BC=2x，则EF=3x。
由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。
因此，BC=6cm，
EF=9cm。
2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。
答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。
因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。
所以相似比为√(2/3)。
2022-2023学年人教版九年级数学下册《27-2相似三角形》同步达标测试题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，AC＝6，CD⊥AB于D，则AD的长为（）A．1B．2C．3D．42．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若AC＝2，则AD的长是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE．若S四边形BCFE＝8，则S△ABC的值为（）A．8B．9C．10D．124．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，则＝（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．6．如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC ＝4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．47．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍8．已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2，如果△DEF与△ABC相似，且△DEF 两条边的长分别为4和2，那么△DEF第三条边的长为（）A．2B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．如图，点E在平行四边形ABCD的边DC上，若DE：EC＝2：3，则△AFB与△CFE的面积之比为．10．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB，且△ADE 是等边三角形，若AD＝2，则△ABC的周长等于．11．如图，△ABC中，AC＝13cm，D是AC上一点，∠A＝∠ABD，△DBC的周长是24cm，则BC＝cm．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上，若BC＝6cm，AD＝4cm，则正方形EFGH的边长是cm．13．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．15．一名站在离球网1.6m远的网球运动员，某次挥拍击球时恰好将球打过高为0.8m的球网，而且落在离球网3.2m远的位置上，如图所示，则球拍击球的高度h为m．16．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．三．解答题（共7小题，满分56分）17．如图所示，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交直线BC于F，DE⊥AF交直线BC于E （1）求证：BE＝CF；（2）若点G为AB的中点，求的值．18．在平行四边形ABCD中E是BC边上一点，且AB＝BE，AE，DC的延长线相交于点F．（1）若∠F＝62°，求∠D的度数；（2）若BE＝3EC，且△EFC的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．19．在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．（1）求证：△ADQ∽△QCP；（2）若PQ＝3，求AP的长．20．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．21．如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．（1）求证：∠AOC＝2∠ABC；（2）求证：CD2＝OD•BD．22．如图，在△ABF中，以AB为直径的作⊙O，∠BAF的平分线AD交⊙O于点D，AF与⊙O交于点E，过点B的切线交AF的延长线于点C（1）求证：∠FBC＝∠F AD；（2）若，求的值．23．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE＝AD•DE．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：由射影定理得，AC2＝AD•AB，则AD＝＝2，故选：B．2．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C＝72°，∴DA＝DB＝BC，∵∠A＝∠BDC，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴＝，即＝，整理得，AD2+2AD﹣4＝0，解得，AD1＝﹣1，AD2＝﹣﹣1（舍去），故选：A．3．解：∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴＝（）2＝，∴S△ABC＝9S△AEF，∴S四边形BCFE＝8＝S△ABC﹣S△AEF＝8S△AEF，∴S△AEF＝1，∴S△ABC＝9故选：B．4．解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝，故选：B．5．解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°∵CE＝CD，CF＝CB∴CE＝CF＝∴△CEF为等边三角形∴S△CEF＝＝故选：D．6．解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得，AE＝3，故选：C．7．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．8．解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝，∵△DEF与△ABC相似，∴＝＝，∴＝＝，则△DEF第三条边的长为2，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE：EC＝2：3，∴EC：AB＝3：5，∵CE∥AB，∴△ABF∽△CEF，∴＝（）2＝，故答案为10．解：∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝AE＝2，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∵∠AEB＝60°，∴∠B＝30°，∴BE＝2AE＝4，BA＝AE＝2，同法可得AC＝2，CD＝4，∴BD＝DE＝CE＝2，∴BC＝6，AB＝AC＝2，∴△ABC的周长＝6+4．故答案为6+．11．解：∵∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵△DBC的周长是24cm，AC＝13cm，∴CD+BD+BC＝CD+AD+BC＝AC+BC＝24cm，故答案为：11．12．解：如图设AD与EH交于点M，正方形EFGH的边长为x，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴＝，∴＝，∴x＝，∴正方形EFGH的边长为cm．故答案为：．13．解：设AF＝x，∴FD＝2﹣x，∴EF＝FD＝2﹣x，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝，∴，∴BE＝，∴BF＝BE+EF＝，∵∠AFE＝AFB，∠AEF＝∠BAF＝90°，∴△AFE∽△BF A，∴AF2＝EF•BF，∴x2＝•（2﹣x），解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1．14．解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，∴∠BEP+∠BPE＝90°∵E为AB的中点，∴BE＝3∵PQ⊥EP∴∠BPE+∠CPQ＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ，且∠B＝∠C＝90°∴△BEP∽△CPQ∴∴CQ＝＝∴CQ的最大值为∴点Q路程＝2×＝∴点Q运动的平均速度＝÷（8÷1）＝故答案为：15．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得，h＝1.2答：球拍击球的高度h为1.2m，故答案为：1.2．16．解：当△BPQ∽△BAC时，则＝，∵AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，∴BP＝2，故＝，解得：BQ＝4；当△BPQ∽△BCA时，则＝，∵AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，∴BP＝2，故＝，解得：BQ＝1，综上所述：当BQ＝1或4时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：1或4．三．解答题（共7小题，满分56分）17．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∠DAF＝∠BAF，∴∠AFB＝∠BAF，∴AB＝FB，又∵DE⊥AF，∴∠AHG＝∠AHD＝90°，又∵∠AHG+∠GAH＝90°，∠AHD＝∠DAH＝90°，∠GAH＝∠DAH，∴∠AGH＝∠ADH，又∵AD∥EF，AB∥DC，∴∠ADG＝∠DEC，∠EGB＝∠EDC，又∵∠AGD＝∠BGE，∴∠DEC＝∠EDC，∴DC＝EC，∵AB＝DC，∴EC＝BF，又∵EC＝BE+BC，BF＝CF+BC，∴BE＝CF；（2）如图所示：由（1）可知：AG＝AD，∵点G为AB的中点，∴AG＝AD＝，又∵AB＝DC＝BF＝EC，AD＝BC＝AG，∴AD＝BE＝BC＝CF＝，又∵∠AHD＝∠FHE，∠DAH＝∠EFH，∴△AHD∽FHE（AA），∴∴.18．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAE＝∠F，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠F＝∠DAE，∵∠F＝62°，∴∠DAE＝62°，∴∠D＝180°﹣∠DAF﹣∠F＝56°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠D＝∠B，AD＝BC，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAE＝∠F，∠B＝∠ECF，∴∠ECF＝∠B＝∠D，∠EFC＝∠EAB＝∠AFD，∴△ECF∽△EBA∽△ADF，∵BE＝3EC，∴BC＝4EC，∴AD＝4EC，∴S△EFC：S△EAB：S△AFD＝1：9：16，∵△EFC的面积为1，∴△EAB的面积是9，△AFD的面积是16，∴平行四边形ABCD的面积是9+16﹣1＝24．19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠C＝∠D＝90°；又∵Q是CD中点，∴CQ＝DQ＝AD；∵BP＝3PC，∴CP＝AD，∴＝＝，又∵∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP；（2）由（1）知，△ADQ∽△QCP，＝＝，∴AQ＝2PQ，∵PQ＝3，∴AQ＝6，∵△ADQ∽△QCP，∴∠AQD＝∠QPC，∠DAQ＝∠PQC，∴∠PQC+∠DQA＝DAQ+AQD＝90°，∴AQ⊥QP，∴∠AQP＝90°，∴P A＝＝3．20．证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝21．证明：（1）连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC．∵O是BD上一点，∴OA＝OC．∵OC＝OD，∴AO＝OD，∠ODC＝∠OCD．∴∠BOC＝∠ODC+∠OCD＝2∠ODC．同理：∠AOB＝2∠ADO，∴∠AOC＝2（∠ADO+∠ODC）＝2∠ADC．又∵∠ADC＝∠ABC，∴∠AOC＝2∠ABC．∴∠AOC＝2∠ADC，又∵∠ADC＝∠ABC，∴∠AOC＝2∠ABC．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD．∴∠BDC＝∠CBD．由（1）得∠ODC＝∠OCD，∴∠OCD＝∠DBC．在△CDO和△BDC中∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD∴△CDO∽△BDC．∴＝，即CD2＝OD•BD．22．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AD平分∠BAF，∴∠BAD＝∠F AD，∵BC切⊙O于B点，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝∠FBC+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠FBC，∴∠FBC＝∠FDA．（2）解：连接DE．∵∠ADB＝90°，AD平分∠BAF，∴△ABF是等腰三角形，∴∠ABD＝∠AFD，BF＝2FD，∵＝，∴＝，∵四边形AEDB内接于⊙O，∴∠AED+∠ABD＝180°，∵∠AFD+∠CFB＝180°，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AED＝∠CFB，∵∠FBC＝∠F AD，∴△AED∽△BFC，∴＝＝．23．证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．。
相似三角形测试题
相似三角形测试题1. 基础概念题：- 判断题：两个三角形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
（）2. 比例计算题：- 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB:DE = 2:3，BC:EF = 4:5，求AC:DF的比例。
3. 角度问题：- 若三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 70°，求∠C和∠F。
4. 面积比问题：- 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为3:5，若三角形ABC的面积为9平方厘米，求三角形DEF的面积。
5. 实际应用题：- 一座塔的高度为50米，从地面上的一点观察，塔顶与观察点的夹角为30°。
如果从另一个点观察，塔顶与该点的夹角为45°，求第二个观察点到塔的距离。
6. 证明题：- 证明：如果一个三角形的内角平分线将对应边分成的线段成比例，则这个三角形是等腰三角形。
7. 综合应用题：- 在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(4,6)，C(7,8)构成三角形ABC。
若点D(2,4)，E(5,8)，F(8,10)构成三角形DEF，判断三角形ABC 与三角形DEF是否相似，并说明理由。
8. 变换问题：- 已知三角形ABC与三角形DEF相似，如果将三角形DEF沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移2个单位，判断平移后的三角形与三角形ABC是否相似。
9. 作图题：- 作一个三角形ABC，使得∠A = 60°，AB = 6厘米，AC = 8厘米。
然后在三角形ABC内作一个与它相似的三角形PQR，使得PQ:AB = 1:2。
10. 探索性问题：- 探索并证明：如果两个三角形的对应边成比例，且其中一个三角形的对应角是另一个三角形对应角的两倍，那么这两个三角形是否相似？。
中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带参考答案
中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023·辽宁抚顺)下列各组图形不是相似图形的是( ) A. B. C. D.2. (2023·辽宁葫芦岛)如图,12∠=∠,那么添加一个条件后,仍不能判定ABC 与△ADE 相似的是( )A.C ADE ∠=∠B.B D ∠=∠C. AB BC AD DE =D. AB AC AD AE= 3. (2023·福建三明)如图 DE BC ∥ :3:2BD CE = 9AD = 则AE 的长为( )A.3B.4C.6D.94. (2023·福建三明)如图 在ABC 中 DE BC ∥23AD DB = 10AC = 则AE 的长为( )A.103B.4C.6D.203 5. (2023·河北唐山)如图 将Rt △ABC 平移到△A'B'C'的位置 其中∠C ＝90°使得点C'与△ABC 的内心重合 已知AC ＝4 BC ＝3 则阴影部分的面积为( )A.25 B.2425 C.52 D.25246. (2023·辽宁葫芦岛)如图 ABC 中 90ABC ∠=︒ AB BC = AF BC ∥ 点D 在线段AC 上运动 DE AC ⊥交射线AF 于点E 连接BD CE 设线段BD 的长为x 线段CE 的长为y 则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A. B. C. D.7. (2023·辽宁沈阳)如图 以点O 为位似中心 作四边形ABCD 的位似图形A B C D '''' 已知 若四边形ABCD 的面积是2 则四边形A B C D ''''的面积是( )A.4B.6C.16D.188. (2023·河北张家口)古代的“矩”是指包含直角的作图工具 如图1 用“矩”测量远处两点间距离的方法是:把矩按图2平放在地面上 人眼从矩的一端A 望点B 使视线刚好通过点E 量出AC 长 即可算得BC 之间的距离.若4cm a = 5cm b = 20m AC = 则BC =( )A.15mB.16mC.18mD.20m9. (2023·河北邯郸)一种燕尾夹如图1所示 图2是在闭合状态时的示意图 图3是在打开状态时的示意图(此时AB CD ) 相关数据如图(单位:cm).从图2闭合状态到图3打开状态 点B D 之间的距离减少了( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm10. (2023·河北邢台)题目:“如图 在矩形ABCD 中 9AB = 15BC = P Q 分别是BC CD ，上的点.”张老师要求添加条件后 编制一道题目 并解决 甲 乙两人的做法如下.下列判断正确的是( )甲:若4CQ = 则在BC 上存在2个点P 使ABP 与PCQ △相似;乙:若AP PQ ⊥ 则CQ 的最大值为254A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲 乙都对D.甲 乙都错二 填空题（本大题共10道小题）11. (2021·湘潭)如图 在△ABC 中 点D E 分别为边AB AC 上的点 试添加一个条件: 使得△ADE 与△ABC 相似.(任意写出一个满足条件的即可)12. (2023·辽宁抚顺)如图 AB CD EF ∥∥ 直线1l 2l 与这三条平行线分别交于点A C E 和点B D F .已知3AC = 8AE = 4DF = 则BD 的长为______.13. (2023·辽宁葫芦岛)如图 已知点(62)(1,1)E F ---，，以点O 为位似中心 按1:2的比例把EFO △缩小 则点E 的对应点的坐标为___________14. (2023·福建泉州)如图 AB AC 、是O 的弦(不是直径) 将AB 沿AB 翻折交AC 于点D .若AB AC = AD BD = 则AD CD＝_______.15. (2021·营口)如图 DE 是△ABC 的中位线 F 为DE 中点 连结AF 并延长交BC 于点G.若S △EFG ＝1 则S △ABC ＝ .16. (2023·辽宁朝阳)如图 在某校的2022年新年晚会中 舞台AB 的长为20米 主持人站在点C 处自然得体 已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点 则此时主持人与点A 的距离为_____米.17. (2023·福建厦门·厦门一中校考一模)如图 某小区门口的栏杆短臂1AO m = 长臂12OB m =.当短臂端点高度下降0.5AC m = 则长臂端点高度上升BD 等于___________m(栏杆的宽度忽略不计);18. (2023·辽宁本溪)如图 菱形ABCD 的边长为2 =60B ∠︒ 点E 在线段DC 的延长线上 将射线AE 绕点A 逆时针旋转60︒交BC 的延长线于点F 设CE x CF y ==， 则y 与x 之间的函数关系式的为______.19. (2023·辽宁锦州)如图 在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =;将ABC ∠绕点A 逆时针旋转 使点C 恰好落在AD 延长线上的点F 处 此时点B 落在点E 处 EF 交CD 于点G 则FG =______.20. (2023·河北秦皇岛)如图1 在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 10AB = 6AC =.动点P Q 从点A 同时出发 点P 以每秒5个单位的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以每秒6个单位的速度沿边AC 向终点C 匀速运动 连接PQ 以PQ 为边作正方形PQMN 使得点M C 始终在PQ 的同侧.设点P 运动的时间为t 秒.(1)线段AQ 的垂直平分线________点P (填“经过”或“不经过”);(2)PQ =________(用含t 的式子表示);(3)如图2 当点M 落在边BC 上时 t =________.三 解答题（本大题共10道小题）21. (2023·福建泉州)如图 在矩形ABCD 中 点E 在边BC 上 AF DE ⊥ 垂足为F 4=AD 2CE = 210DE = 求DF 的长.22. (2023·福建龙岩)如图 在△ABC 中 ∠C=90° 点D 在线段AC 上 且CD=2AD.求作DE ⊥AC 于点D 且DE 交AB 于点E;并求出DE BC的值.(要求:尺规作图保留作图痕迹 不写作法)23. (2023·福建宁德)如图 已知ABC 内接于O BC 是O 的直径.(1)尺规作图:确定点D E 的位置 使得点D 是弧AC 的中点 ∥DE AC 交直线BC 于点E;(保留作图痕迹 不写作法)(2)在(1)的条件下 求证:DE 是O 的切线;(3)连接BD 交AC 于点F 若6AB = 10BC = 求DF 的长.24. (2023·河北唐山)如图 AB 是⊙O 的直径 AC 是弦 直线EF 经过点C AD ⊥EF 于点D ∠DAC=∠BAC(1)求证:EF 是⊙O 的切线;(2)求证:AC 2=AD ·AB;(3)若⊙O 的半径为2 ∠ACD=30° 求图中阴影部分的面积.25. (2023·福建福州)在ABC 中 8BC = 两条高AD BE 交于点H F 是CH 的中点 连接AF 并延长交边BC 于点G.(1)如图1 若ABC 是等边三角形.①求证:2AH DH =;②求CG 的长.(2)如图2 若AH DH = CG BD = 求ABC 的面积.26. (2021·金华)如图1是一种利用镜面反射 放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜 BC 与刻度尺边MN 的交点为D 从A 点发出的光束经平面镜P 反射后 在MN 上形成一个光点E.已知AB ⊥BC MN ⊥BC AB ＝6.5 BP ＝4 PD ＝8.(1)ED 的长为 ;(2)将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC ′(如图2) 点P 的对应点为P ′ BC ′与MN 的交点为D ′ 从A 点发出的光束经平面镜P ′反射后 在MN 上的光点为E ′.若DD ′＝5 则求EE ′的长．27. (2023·福建福州)如图(1) 等腰三角形ABC 中 5BC = 3AB AC ==.点D E 分别在AB AC 上 DE BC ∥.(1)操作发现:将图(1)中的ADE 绕点A 逆时针旋转 当点D 落在BC 边上时 DE 交AC 于点M 如图(2).发现:⋅=⋅AB CM BD CD .请证明这个结论.(2)实践探究:将图(1)中的ADE 绕点A 顺时针旋转(90BAD ∠>︒) 当D E C 三点在同一条直线上时 连接BD 如图(3).请解答以下问题:①求证:△≌△ADB AEC ;②探究线段AD BD CD 之间的数量关系 并说明理由.28. (2023·福建三明)在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 抛物线22y ax ax c =++与x轴交于点A B 与y 轴交于点C 点A 的坐标为()2,0 点53,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上.(1)求抛物线的表达式;(2)如图① 点P 在y 轴上 且点P 在点C 的下方 若45PDC ∠=︒ 求点P 的坐标;(3)如图② E 为线段CD 上的动点 射线OE 与线段AD 交于点M 与抛物线交于点N 求MN OM的最大值.29. (2023·河北邢台)如图1 在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ ,D E 分别为边,AB AC 上的点 且DE BC ∥.已知10BC = 32AD DB =.(1)DE 的长为______;ADE 与ABC 的周长比为______;(2)将ADE 绕点A 旋转 连接,BD CE .①当ADE 旋转至图2所示的位置时 求证:ABD ACE ∽△△; ②如图3 当ADE 旋转至点D 在BC 上时 AD BC ⊥ 直接．．写出AB 及EC 的长.30. (2023·辽宁锦州)【问题情境】如图1 在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = D E 是AB 上的两个动点 且AD BE = 连接CD CE .(1)【初步尝试】ACD ∠与BCE ∠之间的数量关系__________;(2)【深入探究】如图2 点F 在边BC 上 且DF DC = CE 与DF 相交于点G. ①求证:DF CE ⊥;②探究线段CF 与BE 之间的数量关系 并说明理由;(3)【拓展应用】如图3 在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 点D E 分别在线段AB 两侧的延长线上 且AD BE = 连接CD CE .点F 在边BC 的延长线上 且DF DC = EC 的延长线与DF 相交于点G.若3AC = 2AD 请直接写出CG 的长度.答案一 选择题（本大题共10道小题）1. B2. C3. C4. B5. D6. A7. D8. B9. B10. B二 填空题（本大题共10道小题）11. ∠ADE ＝∠C(答案不唯一) 12. 12513. ()31-，或()31-， 51+ 15. 24 16. ()105117. 6 18. 4y x= 19. 54/114/1.25 20. 经过 5t 35三 解答题（本大题共10道小题）21. 2105 【详解】解:四边形ABCD 是矩形 ∴90DCE ∠=︒ AD BC ∥∴ADF DEC ∠=∠.AF DE ⊥∴90AFD ∠=︒ ∴AFD DCE ∠=∠ ∴AFD DCE △∽△∴DF AD CE DE=. 又4=AD 2CE = 210DE =∴42210DF = ∴2105DF =. 22. 作图见解析;31DE BC = 【详解】如图所示:∵∠C=90° DE ⊥AC ∴DE ∥BC∴DE AD BC AC =∵CD=2AD ∴13DE AD BC AC ==. 23. (1)见解析(2)见解析(3)5DF =【详解】(1)解:正确作出图形.(如图所示)∴如图所示 点D 点E 就是所求作的点.(2)证明:如下图所示 连接OA 设OD 交AC 于点M.∵点D 是弧AC 的中点∴弧AD 等于弧DC .∴AOD COD ∠=∠.∵OA OC =∴OD AC ⊥.90OMC ∴∠=︒ M 是AC 中点.∥DE AC90ODE OMC ∴∠=∠=︒ OD 是O 的半径∴DE 是O 的切线.(3)证明:如下图所示=6AB 10BC = 90A ︒∠= 根据勾股定理 得 228AC BC AB =-=.90OMC ∠=︒ 90A ︒∠=OD AB ∴∥.∵点O 是BC 的中点 点M 是AC 的中点132OM AB ∴== 142AM AC == ABF MDF ∠=∠ 90A FMD ︒∠=∠=.ABF MDF ∴∽.MF MD AF AB∴=. 2163MF AF ∴==. 114MF AM ∴==. 在Rt DMF △中 根据勾股定理 得2222215DF MD FM =+=+=.24. (1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)33223π-. 【详解】解:(1)证明:连接OC∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA.∵∠DAC=∠BAC ∴∠OCA=∠DAC.∴OC ∥AD. ∵AD ⊥EF ∴OC ⊥EF.∵OC 为半径 ∴EF 是⊙O 的切线.(2)证明:∵AB 为⊙O 直径 AD ⊥EF∴∠BCA=∠ADC=90°.∵∠DAC=∠BAC ∴△ACB ∽△ADC.∴AD AC AC AB=. ∴AC 2=AD •AB.(3)∵∠ACD=30° ∠OCD=90° ∴∠OCA=60°.∵OC=OA∴△OAC 是等边三角形.∴AC=OA=OC=2 ∠AOC=60°.∵在Rt △ACD 中 AD=12AC=1.由勾股定理得3∴阴影部分的面积是S=S 梯形OCDA ﹣S 扇形OCA =12×(2+1)×3﹣260233236023ππ⋅⋅=-. 25. (1)①见解析;②85;(2)86. 【详解】(1)①证明:AD BE 是等边三角形ABC 的高 60ABC BAC ∴∠=∠=︒ 90ADB ∠=︒ AD BE 分别平分BAC ∠和ABC ∠ 30HBA HAB HBD ∠∠∠∴===︒BH AH ∴= 12DH BH = 2AH DH ∴=;②解:过点H 作HK BC ∥交AG 于点KAHK ADG ∴△∽△ FHK FCG △∽△HK AH DG AD ∴= HK HF CG CF= 2AH DH = F 是CH 的中点23AH AD ∴= 1HF CF = 23HK DG ∴= 1HK CG= 23CG DG ∴= AD BC ⊥ 等边三角形ABC 的边长为84CD ∴=2855CG CD ∴==; (2)解:过点H 作HK BC ∥交AG 于点KAHK ADG ∴△∽△ FHK FCG △∽△HK AH DG AD ∴= HK HF CG CF= ∵F 是CH 的中点∴HK CG =AH DH =22AD DH AH ∴==2DG HK ∴=.CG BD =HK BD ∴=2DG BD ∴=.8BC =2BD CG ∴== 4DG = 6CD ∴=.90ADB BEA ∠∠︒== BHD AHE ∠=∠HBD DAC ∠∠∴= BDH ADC ∴△∽△BD HD AD CD ∴= 即1226ADAD =26AD ∴=1862ABC S BC AD ∴=⋅=△26. 13 11.527. (1)见解析(2)(1)见解析;(2)53BD CD AD -= 理由见解析【详解】(1)解:在图(1)中DE BC ∥ B ADE ∴∠=∠;在图(2)中 根据旋转的性质B ADE ∴∠=∠ ADC ADE MDC ∠=∠+∠ ADC B BAD ∠=∠+∠ MDC BAD ∴∠=∠ AB AC = B C ∴∠=∠ ABD DCM ∴∽ ∴AB BDDC CM =∴⋅=⋅AB CM BD CD ;(2))①在图(1)中DE BC ∥ ADAEAB AC ∴=AB AC = AD AE ∴=DAE BAC ∠=∠∴在图(3)中 DAE CAD BAC CAD ∠+∠=∠+∠ DAB EAC ∴∠=∠ 在ADB 和AEC 中AD AEDAB EAC AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADB AEC ≌ ②53BD CD AD -= 理由如下ADB AEC ≌BD CE ∴=35AD AB DE BC ==53DE AD ∴=BD CD CE CD DE -=-=∴53BD CD AD -=.28. (1)2142y x x =--+(2)30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)258【详解】(1)解:∵点()2,0A 53,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上∴4405962a a c a a c ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得:124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为2142y x x =--+.(2)解法一:如图 过点P 作PE PD ⊥交DC 的延长线于点E 过点P 作x 轴的平行线FG过点D 作DF PF ⊥于点F 过点E 作EG PF ⊥于点G∴90DPE ∠=︒ 90DFP PGE ∠=∠=︒又∵45PDC ∠=︒∴PDE △为等腰直角三角形 PE PD =设点P 坐标为()0,m∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴52DF m =- 3PF = ∵DF PF ⊥ EG PG ⊥又∵90DPE ∠=︒∴90FDP DPF ︒∠+∠= 90EPG DPF ︒∠+∠=∴FDP EPG ∠=∠在DFP △和PGE 中DFP PGE FDP GPE DP PE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS DFP PGE △≌△ ∴52PG DF m ==- 3EG PF == ∴5,32E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点当0x =时 4y =∴()0,4C又∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设直线CD 的表达式为y kx b =+ ∴4532b k b =⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得:124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线CD 的表达式为142y x =+ 把5,32E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入142y x =+ 得:154322m m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭解得:32m = ∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法二:把CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到线段CF 连接DF ∴CDF 为等腰直角三角形 CD CF = 45CDF ∠=︒ ∴DF 与y 轴的交点即为P 点作DG y ⊥轴于G 作FH y ⊥轴于H∴90DGC CHF ︒∠=∠=∴90DCG CDG ∠+∠=∵90DCF ∠=∴90DCG HCF ∠+∠=∴CDG HCF ∠=∠.在CDG 和FCH 中DGC CHF CDG FCH CDG FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS CDG FCH △≌△∴GC HF = DG CH =∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点∴()0,4C∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴3DG = 53422CG =-= ∴32HF CG == 3CH DG == ∴431OH =-=∴F 坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CF 的表达式为11b y k x =+ ∴1111312532k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得:111332k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线CF 的表达式为1332y x =-+ 当0x =时 32y = ∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法三:过P 作PE CD ⊥于点E 过点D 作DF OC ⊥于F ∴90PEC DFC ∠=∠=︒∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点∴()0,4C∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴50,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴3DF = 534CF =-= ∴2222333522CD DF CF ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵90DFC PEC ∠=∠=又∵FCD ECP ∠=∠ ∴DCF PCE ∽△△ ∴CF CE DF PE= ∴31232CE PE == ∴2PE CE =.∵PE CD ⊥ 45PDC ∠=︒∴45DPE PDC ∠=∠=︒∴PE DE = ∴32352CD CE DE CE PE CE CE CE =+=+=+==∴152CE =5PE =∴()2222155522PC CE PE ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ∴53422OP OC PC =-=-=∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(3)解法一:过点N 作NH y ∥轴 交直线AD 于点H 则HNO QOM ∠=∠ 又∵NMH OMQ ∠=∠∴MNH MOQ ∽△△ ∴MN NH MO OQ = 由点A 坐标为()2,0 点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 可求得直线AD 的表达式为112y x =-+ 当0x =时 1y =∴直线AD 与y 轴的交点坐标为()0,1Q ∴1OQ =设1,12H t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴N 的坐标为21,42t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭其中30t -≤≤ ∴2211114132222NH t t t t t ⎛⎫=--+--+=--+ ⎪⎝⎭∴22111125322228MN NH t t t MO OQ ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭ ∵102-< 1302-<-< ∴12t =-时 MN MO 取最大值 最大值为258.解法二:过点N 作NQ x ∥轴 交直线AD 于点Q 则NQA QAB ∠=∠ 又∵NMQ OMA ∠=∠∴MNQ MOA ∽△△∴MN NQ MO OA= 由点A 坐标为()2,0 点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭可求得直线AD 的表达式为112y x =-+ 设点N 坐标为21,42t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∴点Q 坐标为22126,42t t t t ⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭其中30t -≤≤ ∴()22266NQ t t t t t =-+-=--+∴22611252228MN NQ t t t MO OA --+⎛⎫===-++ ⎪⎝⎭ ∵102-< 1302-<-< ∴12t =-时 MN MO 取最大值 最大值为258.29. (1)6 3:5(2)①证明过程见详解;②8AB = 245EC = 【详解】(1)解:∵DE BC ∥32AD DB = 10BC = ∴AD DE AB BC = 35AD AB = ∴3310655DE BC ==⨯= ∴△ADE 与ABC 的周长比为3:5 故答案为:6 3:5. (2)解:①证明:由(1)可知 AE AD AC AB= ∴AE AC AD AB = 根据图形旋转的性质得 BAD CAE ∠=∠∴ABD ACE ∽△△;②由(1)可知 6DE = BAD CAE ∠=∠在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒∴90BAD DAC ∠+∠=︒∴90DAC CAE ∠+∠=︒ 即DA AE ⊥∴AE DC ∥ 90AEC ECD ∠=∠=︒∴四边形AECD 是矩形∴6AC DE ==在Rt ABC △中 22221068AB BC AC -=-= ∵AD BC ⊥∴1122ABC S BC AD AC AB △ ∴6824105AC AB EC AD BC ∴8AB = 245EC =.30. (1)ACD BCE ∠=∠(2)①见解析;②CF =2BE 见解析(3)81717CG =【详解】(1)解:∵AC BC =∴A B ∠=∠∵AD BE =∴ACD BCE ≅∴ACD BCE ∠=∠故答案为:ACD BCE ∠=∠;(2)①如答图1∵90ACB ∠=︒∴90ACD DCF ∠+∠︒=∵DF DC =∴DCF CFD ∠∠=.∵CGF BCE CFD ∠∠+∠=由(1)知=ACD BCE ∠∠∴90CGF ACD DCF ∠∠+∠︒==. ∴.DF CE ⊥②CF=2BE.理由:如答图3 过点D 作DH CF ⊥于点H DH 交CE 于点M 过点E 作EN BC ⊥于点N则90CNE DHF ∠=∠︒=在DHF △和CNE 中,,.DF CE HDF ECN DHF CNE ⎧⎪∠∠⎨⎪∠=∠⎩＝＝∴()DHF CNE AAS ≅∴HF EN =.∵9045ACB CBE ∠︒∠︒==，∴EN =2BE .∴HF =2BE CF =2BE . (3)如答图5 过点D 作DH CF ⊥于点H DH 交CE 于点M 过点E 作EN BC ⊥交CB 延长线于点N由(2)探究可得22CF CH FH ===2BE . ∵AD =2∴BE AD ==2∴21CF CH FH ===，.∵390AC ACB =∠=︒，∴33BC AC AB ===，2 4BD =2∵90ACB DHC ABC DBH ∠=∠=︒∠=∠， ∴ABC DBH ∴BA AC BD DH = 32342DH= ∴4DH = ∴CD =22CH DH +17∵DF DC = ∴F DCF ∠=∠.又∵90DHC CGF ∠=∠=︒∴CFG DCH ∴CG CF DH DC =∴417CG ∴817CG =。
初中数学相似三角形试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列图形中，一定存在相似三角形的是（）A. 等腰三角形和等边三角形B. 直角三角形和钝角三角形C. 等腰梯形和矩形D. 正方形和等腰三角形2. 下列各对三角形中，一定相似的是（）A. 两边对应成比例，夹角相等的三角形B. 三边对应成比例的三角形C. 两角对应相等的三角形D. 两边对应成比例，夹角不相等的三角形3. 已知在相似三角形ABC和DEF中，∠BAC = ∠DEF，∠ABC = ∠DEF，则下列结论正确的是（）A. AB = DEB. AC = DFC. BC = EFD. AB/DE = AC/DF4. 在下列三角形中，能构成相似三角形的是（）A. ∠A = 40°，∠B = 70°，∠C = 70°的三角形B. ∠A = 45°，∠B = 45°，∠C = 90°的三角形C. ∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°的三角形D. ∠A = 50°，∠B = 60°，∠C = 70°的三角形5. 在下列各对三角形中，一定不相似的是（）A. 两边对应成比例，夹角相等的三角形B. 三边对应成比例的三角形C. 两角对应相等的三角形D. 两边对应成比例，夹角不相等且对应角不等的三角形二、填空题（每题5分，共25分）6. 在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 50°，∠B = 40°，则∠C的度数是________°。
7. 已知在相似三角形ABC和DEF中，AB = 6cm，BC = 8cm，DE = 4cm，则EF的长度是________cm。
8. 在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 30°，∠B = 60°，则∠C的度数是________°。
9. 已知在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 45°，∠B = 90°，则∠C的度数是________°。
初中数学《相似三角形》压轴30题含解析
相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为 12n +1 ．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是 2或23 ．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是 34 ．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。
《相似三角形》能力测试题及参考答案
《相似三角形》能力测试题及参考答案一、选择题1.如图,在△ABC 中,点D,E,F 分别在AB,AC,BC 边上,DE//BC,EF//AB,则下列比例式中错误的是( ) A.AE EC=BF FCB.AD BF=AB BCC.CE CF=EA BFD.EFAB=DE BC第1题 第2题 第3题 第4题2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为D,下列结论中,错误的是( ) A.ADAC =ACAB B.ADAC =CDBCC.AD AC =BDBCD.AD CD =CDBD 3.如图,已知矩形ABCD 中,E 为BC 边上一点,DF ⊥AE 于点F,且AB =6,AD=12,AE =10,则DF 的长为( ) A.5 B.113 C.365 D.84.如图,正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,∠ACB 的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点.若 AM = 2,则线段ON 的长为( )A.√22B.√32C.1D.√625.如图,在平面直角坐标系中,A(3,0),B(0,4),将△AOB 绕点O 顺时针旋转一定角度得△COD,点A,B 的对应点分别为点C,D,若OD 恰好经过AB 的中点E,则点D 的坐标为( ) A.(125,165)B.(165,125) C.(125,185) D.(185,125)第5题 第6题第7题 第8题6.如图,平面直角坐标系中,A(-8,0),B(-8,4),C(0,4),反比例函数y=KX 的图象分别与线段AB,BC 交于点D,E,连接DE,若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上,则k 的值是( ) A.-20 B.-16 C.-12 D.-87.如图,在△ABC 中,点D 、E 在AC 、BC 边上,连接DE 并延长交AB 延长线于点G.过D 作DF ⊥AG 于F.若 2∠ADF=∠G,CE;BE=2;1,AD=2√10,AF=2,GE=4,则BA 的长度为( ) A.2√103B.4√103C.9D. 128.如图,矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的,AC 与DE,EF,FG,HG,HB 分别交于点P,Q, K,M,N.设EPQ,GKM,BNC 的面积依次为S 1,S 2,S 3.若S 1+S 3=30,则S 2的值为( ) A.6 B.8 C.10 D.129.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AB 上,连接DE,交对角线AC 于点F,如果S △ADF S △DFC=23,CD=6,那么BE 的值为( )A.2B.3C.4D.5第9题 第10题第11题 第12题10.如图,已知四边形ABCD 是矩形,点E 在BA 的延长线上,AE=AD,EC 分别交AD,BD 于点F,G,若AF=AB,则AD:AB 的值为( ) A.32 B.√5+12 C.2 D.√3+1211.如图,AB//GH//CD,点H 在BC 上,AC 与BD 交于点G,AB=4,CD=6,则线段GH 长为( )A.5B.3C.2.5D.2.412.锐角△ABC 中,BC=6,S △ABC =12,两动点M,N 分别在边AB,AC 上滑动,且MN/ /BC, MP ⊥BC,NQ ⊥BC 得矩形MPQN,设MN 的长为x,矩形MPQN 的面积为y,则y 关于x 的函数图象大致形状是( )A.B. C. D.13.如图,矩形ABCD 中,点E,F 分别是BC,CD 的中点,AE 交对角线BD 于点G,BF 交AE 于点H.则GH HE的值是( )A.12 B.23 C.√22 D.√32第13题 第14题 第15题14.如图,在正方形ABCD 中,△BPC 是等边三角形,BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E,F,连接BD 、DP,BD 与CF 相交于点H,给出下列结论:①∠DPC=75°②CF=2AE ③DFBC =23④△FPD ∽△PHB ⑤AF 2=EF ·EB.其中正确结论的个数是( )A.5B.4C.3D.215.在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的位置如图所示,点A 的坐标为(1,0),点D 的坐标为(0,2).延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形A 1B 1C 1C;延长C 1B 1交x 轴于点A 2,作正方形A 2B 2C 2C 1,按这样的规律进行下去,第2025个正方形(正方形ABCD 看作第1个)的面积为( ) A.5×(32)2022B.5×(94)2025C.5×(94)2024D.5×(32)2023二、填空题16.如图,在△ABC 中,点D,E 分别是BC,AC 上一点,连接AD,BE 交于点G,若AG AD=34,BD BC=25,则AEAC的值为___.第16题 第17题 第18题17.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,点P,Q 分别为AB,BC 上一个动点,将△PQB 沿PQ 折叠得到△PQD,点B 的对应点是点D,若点D 始终在边AC 上,当△APD 与△ABC 相似时,AP 的长为___. 18.如图,点O 是四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点,∠BAD 与∠ACB 互补,OD OB=34, AD=6,AB=7,AC=5,则BC 的长为_____.19.如图,在平面直角坐标系中,点A 和点C 是反比例函数y=1x 图象上的两点,以AC 为边作等边△ABC,反比例函数y=kx 恰好过点B,则k 值为____.第19题 第20题 第21题20.如图,正方形ABCD 的边长是8cm,E 是CD 边的中点,将该正方形沿BE 折叠,点C 落在点C ’处.⊙O 分别与AB 、AD 、BC ’相切,切点分别为F 、G 、H,则⊙O 的半径为___cm.21.如图,菱形ABCD 中,AB=AC,点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点,且AE=BF,连接CE 、AF 交于点H,连接DH 交AC 于点O,∠CHD=60°.则下列结论:①△ABF ≌△CAE ②∠AHC=120°③AH+CH=DH,④AD 2=OD.DH 中,正确的是___.三、解答题22.如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 分别交BC,AC 于点D,E,连结EB,交OD 于点F. (1)求证:OD ⊥BE;(2)若DE=√10,AB=10,求AE 的长;(3)若△CDE 的面积是△OBF 面积的56,求BCAC的值.23.已知,如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=8.对角线AC 与BD 交于点O,点P 是边BC 上的一个动点,连接AP,作△AEP ∽△AOB,且射线OE 与AD 边交于点Q. (1)求证:△AOE ∽△ABP;(2)判断DQ 是否为定值,若是,则求出DQ;若不是,请说明理由; (3)连接CE,DP,若DP=2√135CE,求BP 的长.24(1)如图(1),已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上,GE ⊥BC,垂足为点E,GF ⊥CD,垂足为F,则AGBE =___. (2)将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α(0<a<45),如图(2)所示,试探究AG 与BE 之间的数量关系,并说明理由.(3)正方形CEGF 在旋转过程中,当B,E,F 三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG 交AD 于点H.若AG=6,GH=2√2,求BC 的长.25.如图,抛物线y=3+√36x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,点A,B 分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=√3CD. (1)求b,c 的值;(2)求直线BD 的函数解析式;(3)点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方,点Q 在射线BA 上.当△ABD 与△BPQ 相似时,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标.参考答案一、选择题1-5 DCCCA 6-10 CCDAB 11-15 DBBBC 二、填空题 16.611 17.83或6-2√3 18.50719. -3 20. 221.①②③④ 三、解答题 22(1)略 (2)8 (3)√1701723(1)略(2)DQ 为定值3 (3)2 24(1)√2(2)AG=√2BE (3)3√5 25(1)b=-1-√33,c=−3−√32(2)y=-√33x+√3 (3)(1-2√33,0)或(-1+4√33,0)或(1-2√3,0)或(5-2√3,0)。
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《相似》达标检测卷 姓名 分数
（满分120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、在比例尺为1：8000的南京城区地图上，太平南路的长度约为25cm ，它的实际长度约为（ ） A.320cm B.320m C.2000cm D.2000m
2、两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ） A ．2:3 B ．3：2 C ．9：4 D ．不能确定。
3、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积和为78cm 2
，那么较大多边
形的面积为（ ） A ．46.8cm 2 B ．42 cm 2 C ．52 cm 2 D ．54 cm 2
4、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）A.20米 .B.18米 C.16米 D.15米
5、要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为５０ｃｍ、６０ｃｍ、８０ｃｍ，三角形框架乙的一边为２０ｃｍ，那么符合条件的三角形共有（ ）．（Ａ）１种 （Ｂ）２种 （Ｃ）３种 （Ｄ）４种．
6、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )
7、如图，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，
且PA 1=32
PA ，则AB ׃A 1B 1等于( ) A.32． B. 23． C. 53． D. 3
5
． 8、如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC ；②△BCD ；③△BDE ；•④△BFG ；⑤△FGH ；⑥△EFK ．
其中②～⑥中与三角形①相似的是（ ）
A.②③④
B.③④⑤
C.④⑤⑥
D.②③⑥
9、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)． 以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长 放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ， 则点B 的横坐标是（ ）
A 12
a - B 1(1)2a -+ C 1(1)2a -- D 1
(3)2a -+
10、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度（ ）
A ．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米
第7题图 E 1D
1
C 1
B 1A
1
B
D A
C
E P A
B
二、填空题（每小题3分，共30分）
11如图，DE 与BC 不平行，当
AC
AB
= 时，ΔABC 与ΔADE 相似. 12、如图，在ABC △中，DE BC ∥，若123AD DE BD ===，，，则BC = ． 13、在 ABCD 中，E 在DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE = ． 14、如图，AD=DF=FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ= .
（11题） （13题） （14题）
15、在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为
13
，把线段AB 缩小后得到线段A /B /，则A /B /的长度等于____________．
16、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则△BAE 相似于__ ____．
17、如图：等边△PQR ，∠APB ＝120°，AP ＝72，AQ ＝4，PB ＝73，则RQ 的长为 。
18、如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且:2:1BE EC =，AE 与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是_________．
（16题） （17 题） （18题） 19、如图，已知P 为△ABC 内一点，过P 点分别作直线平行于△ABC 的各边，形成小三角形的面积1S 、
2S 、3S ，分别为4、9、49，则△ABC 的面积为＿＿＿＿＿＿.
20、如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________ ．
3
S 2
S 1
S 3图 T R N
M
P
C
B A （19题）
三、解答题（共60分） 第21题
21、（6分）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上 请在网格中画出．．．．．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2︰1． 22（6分）、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD
A
D
E C B 第12题
A B C
D
E F R Q
P B A A B
D C
O E F G
y
第20题
A B O
⑴请再写出图中另外一对相等的角；
⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD的中位线的长度．
23、（8分）如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：∆ADE∽∆BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值．
24、（8分）如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′、B′、C′，使得3
OA OB OC
OA OB OC
'''
===，连结A B B C C A
''''''
，，，所得A B C
'''
△与ABC
△是否相似？证明你的结论．
25．（8分）如图，在Rt ACB
△中，90
C
∠=，3
AC=，4
BC=，D E
，分别是边AB，AC
的中点．⊙O过点D E
，且与AB相切于点D，求⊙O的半径r．
D
A
B C
第22题图
O
A
C
B
A'
C'
B'
第24题图
第25题图
26、（10分）如图，在△ABC 中，AB=AC=1，点D,E 在直线BC 上运动．设BD=x, CE=y.
(l ）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y 与x 之间的函数关系式；
(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时，(l ）中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由．
27. （14分）如图1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．
（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出
OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．
（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围． （3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与⊙O
的位置关系，并证明你的结论．
第27题1 E F 第27题2
B
O E F。