1、3、2三角函数的诱导公式(五、六)解读
1.3.2三角函数的诱导公式第二课时
高一数学必修四导学案课题：1．3.2 第二课时 三角函数的诱导公式五、六班级：_______姓名：_____________小组：_______教师评价：__________【教学目标】1．理解诱导公式五、六的推导过程．2．掌握六组诱导公式并能灵活运用【重点难点】公式五、六记准并能灵活运用公式【导学过程】问题一：给定一个角α，角π2－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？问题二：怎样求π2＋α的正弦、余弦值呢？【课前自主梳理】1．诱导公式(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ (2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝. 2．公式五和公式六的文字概括π2±α的-----------函数值，分别等于α的---------函数值，前面加上一个把α看成--------时原函数值的符号．【互动探究】1.给值求值例 1 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则tan(π－α)＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34【合作探究】(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α 的值．（3）已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223 C ．－13D ．－223【互动探究】2.利用诱导公式化简、求值例 2 化简下列各式．(1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π·sin 3π＋α．【合作探究】(2018高考改编)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π.【重点附加】【合作探究】已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值． 【互动探究】3、三角函数的证明例 3 求证：tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.【重点附加】已知f (cos x )＝cos17x ，证明：f (sin x )＝sin17x .。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
下面是店铺整理的三角函数的诱导公式知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
三角函数的诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数图表式教材解读：第六节：三角函数的八组诱导公式
（2）已知 是第四象限角，且 ，则
练习题精选及点拨：
1．若A，B，C分别为△ABC的内角，则下列关系中正确的是()
A．sin(A＋B)＝sinCB．cos(B＋C)＝cosA
C．tan(A＋B)＝tanCD．sin(B＋C)＝－sinA
解析：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，故选A.
则原式＝
＝
＝ ＝ ＝－1.
综上所述，原式＝－1.
《三角函数》图表式教ຫໍສະໝຸດ 解读第六节三角函数的八组诱导公式
1、不变名的诱导公式
如下图，根据角的意义， 的终边分别与角 的终边关于 轴，关于原点，关于 轴对称，在单位圆中，根据三角函数的定义，可以写出 的坐标，由对称点的坐标的关系得到三组不变名的诱导公式，
口诀记忆：函数名不变，符号看象限．
即 （也包括 ）的三角函数值，等于 的同名三角函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号．
答案：A
2. 等于()
A．sin2－cos2B．sin2＋cos2
C．±(sin2－cos2)D．cos2－sin2
答案：A
3.已知tanα＝m，求 ．
解： ＝ ＝ ＝ .
答案：
4．化简： (k∈Z)．
解：当k为偶数时，不妨设k＝2n(n∈Z)，
则原式＝
＝
＝
＝ ＝－1；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
二、变名的诱导公式
根据角的意义， 的终边与 角的终边关于直线 对称，
的终边与 角的终边关于 轴对称，
的终边与 角的终边关于 轴对称，
的终边与 角的终边关于 轴对称，
根据三角函数的定义，可以写出上图中 的坐标，由对称点的坐标的关系得到四组变名的诱导公式:
《三角函数诱导公式五、六》
第2课时 诱导公式五、六(教师独具内容)课程标准：1.了解诱导公式五、六的意义和作用.2.理解诱导公式五、六的推导过程.3.能综合运用诱导公式一～六解决简单三角函数式的求值、化简与证明问题．教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用． 教学难点：诱导公式五、六的推导过程.【知识导学】知识点 诱导公式五、六【新知拓展】(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． ②“奇”“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角π2－α与角α的终边关于y 轴对称．( )(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α与tan α的关系．( )(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－sin α.( )答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15D.25(2)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为( )A ．－45 B.35 C.45D ．－35(3)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.答案 (1)C (2)A (3)－cos α题型一 利用诱导公式五、六求值 例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin (π＋α).[解] 原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.金版点睛诱导公式应用中需注意的问题诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．[跟踪训练1] 已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 综上，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝32或－32.题型二 化简三角函数式 例2 化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α).[解] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos αsin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.金版点睛用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．(2)对于k π±α(k ∈Z )和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．[跟踪训练2] (1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值等于________；(2)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos (2π＋α).答案 (1)912 (2)见解析解析 (1)因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912.(2)因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α， 所以原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.题型三 利用诱导公式证明三角恒等式 例3 求证：tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1.[证明] ∵左边＝tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α(－tan α)(－cos α)sin α＝1＝右边．∴原式成立．金版点睛三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[跟踪训练3] 求证：cos (π－θ)cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝2sin 2θ.证明 ∵左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边．∴原式成立．1．已知sin40°＝a ，则cos50°等于( ) A ．±a B ．－a C ．a D.1－a 2答案 C解析 cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a .2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α的值为( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24 D.24 答案 A解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223，则tan α＝－2 2.3．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.答案 2解析 由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以 原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________.答案 －725解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，∴cos θ<0，即θ是第二或第三象限角．∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，∴sin θ>0.即θ是第一或第二象限角．综上θ是第二象限角．2．在△ABC 中，下列四个关系中正确的有( ) ①sin(A ＋B )＝sin C ；②cos(A ＋B )＝sin C ； ③sin A ＋B 2＝sin C 2；④cos A ＋B 2＝sin C 2. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 C解析 因为△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，故①正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，故②错误；sin A ＋B 2＝sin π－C 2＝cos C2，故③错误；cos A ＋B 2＝cos π－C 2＝sin C2，故④正确．综上，①④正确．故选C.3．下列与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2的值相等的式子为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θB ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θD ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ答案 D解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos θ，对于A ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ；对于B ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ；对于C ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－sin θ；对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－cos θ.4．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 答案 C解析 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x ，故选C.5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32mC.23mD.32m 答案 B解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m 2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .二、填空题6．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.答案 0解析 原式＝sin(90°－α)－sin α＋cos(90°－α)－cos α＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0.7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝45，则sin(α－95°)＝________. 答案 35解析 ∵α是第三象限角，cos(85°＋α)＝45>0， ∴85°＋α是第四象限角．∴sin(85°＋α)＝－35，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝35.8．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C＝________.答案 π2解析 ∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，∴3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33，∴A ＝π6.又cos A ＝－3cos(π－B )， ∴cos A ＝3cos B ，即32＝3cos B ， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3， ∴C ＝π－π6－π3＝π2. 三、解答题9．求证：tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos (6π－α)tan (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝1. 证明 左边＝tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α(－tan α)(－cos α)sin α＝1＝右边． ∴原式成立． 10．若sin α＝55，求cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．解 cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋(π－α)]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α， 因为sin α＝55，所以2sin 2α＝10，即原式＝10.B 级：“四能”提升训练1．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值． 解 原式＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin αcos α·tan 2α ＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α.方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916.2．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件， 则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②，得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，由②，得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，但不适合①式，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
1.3.2三角函数的诱导公式(五、六)
1.3三角函数的诱导公式(五、六)一、学习目标：（1）借助单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式（五、六）（2）综合运用公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数并能解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。
2、教学重难点：诱导公式（五、六）的推导及三角函数求值、化简和恒等式证明二、教学内容分析〖 温故知新〗 直接写出下列三角函数值（1）sin 43π=_______ （2）cos 74π=_______ （3）tan （-1140°）=_______ 操作并思考：在单位圆中任意画出一个任意角α与2π-α的终边。
终边与单位圆的交点分别为（x,y ）与（y,x ）由任意角的三角函数定义可知：cos x= siny=cos （2π-α）= sin （2π-α）= 由此可知sin α与sin （2π-α）以及sin α与cos （2π-α）的值有何关系？ 公式五：（1）___________________________（2）____________________________（3）___________________________2、讨论：利用公式二和公式五研究sin （2π+α）与cos （2π+α）的值与sin α以及 cos α的关系？公式六：（1）___________________________（2）____________________________（3）___________________________例1、求证：sin （32π-α）=-cos α cos （32π-α）=-sin α练习：sin （32π+α）=_____________ cos （32π+α）=_____________ 例2〖 反思·小结〗（1）六个公式都可以化为2πk±α的形式，可以总结为一句话概括记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值。
三角函数的诱导公式五六
求证: 求证
例4
分层训练
必做题：Ｐ 必做题：Ｐ23 ：Ｐ 练习 3 4
8 = 思考题 ：设 tan(α + π） a 7 求证: 15 求证 13 sin( π + α） 3 cos(α − π ) + a+3 7 7 = 20 22 a +1 sin( π − α） cos(α + π ) − 7 7
y
角α的终 边 的终
Ｐ M’ Ｍ o
y = x
x Ｐ’ 角β的终 边 的终
由上述探究,可得 由上述探究 可得 (公式五 公式五) 公式五
sin( − α） cosα = 2
利用公式二和公式五,可得 利用公式二和公式五 可得
π
cos( − α） sinα = 2
π
sin( + α） sin( − ( −α )) = cos( −α ) = cosα = 2 2 π π cos( + α） cos( − ( −α )) = sin( −α ) = −sinα = 2 2
１．２．3三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式
学习目标
推导出诱导公式五及公式六 能熟练掌握诱导公式一至六， 能熟练掌握诱导公式一至六，并运用它们求任 意角的三角函数值，并能应用， 意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三 角函数式的化简及论证。 角函数式的化简及论证。
自学指导
诱导公式五及公式六是如何推导的？ 诱导公式五及公式六是如何推导的？ 你能找出诱导公式一至六的记忆方法吗? 你能找出诱导公式一至六的记忆方法吗
作业：Ｐ 习题1.2 15 作业：Ｐ24 习题 ：Ｐ
故有
π
π
sin( + α） cosα = 2
1.3.2诱导公式五、六
检测巩固
1已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，证明：sin＝cos.
2求证：＋＝.
3若f(cosx)＝3－sin2x，则f(sinx)＝()
A．3－cos2xB．3－sin2xC．3＋cos2xD．3＋sin2x
评ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ提升
年级
高一
学科
数学
课题
1.3.2诱导公式五、六
编制人
谭金国
审定人
高一数学备课组
知识目标
教学活动
基础知识—重点知
识—重难点知识
自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固—评价提升
1.理解和掌握诱导公式五、六的内涵及结构特征，掌握这两个诱导公式的推导和记忆方法．
2．会初步运用诱导公式五、六求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.
自学质疑
1．对任意角α，－α与α的终边必
2．诱导公式五：；
诱导公式六：
3．由诱导公式可进一步推知
(1)sin＝，cos＝；
(2)sin＝，cos＝.
讨论领悟
1．你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？
2．如何记忆诱导公式五、六？
展示分享
[例1]计算：
[例2]化简：
[例3](1)已知函数f(x)满足f(cosx)＝cos2x，求f(sin15°)的值；
高中三角函数诱导公式知识点总结
高中三角函数诱导公式知识点总结高中数学中，三角函数是非常重要的一部分。
在三角函数的学习中，诱导公式是一个非常重要的知识点。
通过学习诱导公式可以方便地求解各种三角函数的值，从而提高解题效率。
本文将对高中三角函数诱导公式的知识点进行总结。
一、诱导公式的基本概念1. 诱导公式的定义三角函数的诱导公式是指，用角度的倍角、半角等关系式，把一个三角函数表示成同一函数的其他角的三角函数的形式。
2. 诱导公式的意义在三角函数的求解中，有时候需要把一个角的三角函数转化成另一个角的三角函数，此时可以使用诱导公式。
通过诱导公式，可以把一个角的三角函数转化成同一函数的其他角的三角函数的形式，从而更方便求解。
二、诱导公式的具体形式下面我们将对三角函数的诱导公式进行分类介绍。
1. 倍角公式（1）正弦函数的倍角公式sin 2a = 2sin a cos a证明：sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a （2）余弦函数的倍角公式cos 2a = cos² a - sin² a证明：cos 2a = cos(a + a) = cos² a - sin² a（3）正切函数的倍角公式tan 2a = 2tan a / (1 - tan² a)证明：tan 2a = (2tan a) / (1 - tan² a)2. 半角公式（1）正弦函数的半角公式sin (a/2) = ±√[(1 - cos a)/2]证明：根据正弦函数的平方展开式，有sin² a = (1 - cos 2a) / 2当a=2t 时，有sin² t = (1 - cos 2t) / 2即，sin t = ±√[(1 - cos 2t) / 2]将t=a/2 代入上式，即可得到正弦函数的半角公式。
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1 1、3、2三角函数的诱导公式（五、六）
讲义编写者：数学教师孟凡洲
前面我们学习了诱导公式一、二、三、四，本节课来学习诱导公式五、六.
一、【学习目标】
1、理解公式五、六；
2、熟记公式一到六，并能熟练应用.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读教材26—27页内容，回答问题
<1>终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角有何数量关系.
结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点
P 1的坐标为（x,y ）,由于角π/2-α的终边与角α的终边关
于直线y=x 对称，角π/2-α的终边与单位圆的交点P 2与
点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y,x ）.
<2>理解并写出诱导公式五.
结论：根据问题<1>，我们有：sin α=y ，cos α=x ，tan α=y/x ；sin(π/2-α)=x,cos(π/2-α)=y ，tan(π/2-α)=x/y.从而得到诱导公式五：cos(π/2-α)= sin α，sin(π/2-α)= cos α，tan(π/2-α)=cot α.
<3>请你利用π/2+α=π-(π/2-α)，由公式四及公式五写出诱导公式六. 结论：sin(π/2+α)=cos α，cos(π/2+α)=-sin α，tan(π/2+α)=-cot α. 公式一—六可以用一下十个字来概括
奇变偶不变，符号看象限
三、【综合练习与思考探索】
练习一：教材例3、例4；
练习二：教材4、5、6、7.
四、【作业】
1、必做题：习题1.3B 组2；
2、选做题：总结本节公式并形成文字到作业本上.
五、【小结】
本节主要学习了公式五、六，要求学生能掌握并理解.
六、【教学反思】
要求学生能在理解的基础上学习.。