逆序解法与顺序解法
逆序数的计算方法
逆序数的计算方法
简单来说，就像一群数字在排队，逆序数就是看它们排得乱不乱。
那咋算逆序数呢？其实不难啦！把一组数字从左到右一个一个看，要是右边有比它小的数字，那就算一个逆序对。
比如数字序列[3,1,2]，先看3，右边有1 和2 比它小，这就有两个逆序对啦。
再看1，右边没比它小的。
最后看2，也没比它小的。
所以这个序列的逆序数就是2。
算逆序数安全不？稳定不？那必须的呀！只要你认真按照步骤来，肯定不会出啥岔子。
就像你走路一步一步走稳了，还能摔着不成？
那逆序数有啥用呢？用处可大啦！在排序算法里，逆序数可以帮我们判断一个序列有多乱，从而选择合适的排序方法。
比如说，要是逆序数很多，那可能就需要更高效的排序算法。
这就好比你收拾房间，要是乱七八糟的，就得花更多心思去整理。
举个实际例子哈，假设有一组学生的成绩，我们可以用逆序数来看看成绩的分布情况。
如果逆序数多，说明成绩比较分散，可能需要更细致的分析。
反之，如果逆序数少，说明成绩比较集中，可能整体情况比较好。
所以说，逆序数的计算方法简单又实用。
它能让我们更好地理解数字序列的混乱程度，在各种场景下都能发挥作用。
你还等啥，赶紧去试试吧！。
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
-逆序解法与顺序解法培训课件
在多个数中寻找和为特定值的所有组合。
示例问题描述
问题背景
一个整数数组 nums 和一个目标值 target。
输入数据
找出 nums 中所有和为 target 的组合，每个组合中元素不可重复。
问题要求
解题思路：逐一枚举数组中的每个元素作为组合的第一个元素，再递归地寻找下一个元素，直到找到所有符合条件的组合。
逆序解法概述
逆序解法是一种针对密码锁的攻击方式，通过已知的密码子串和未知的明文子串，利用逆序运算的方式，推导出明文或密码的一种技术。
逆序解法通常适用于加密算法中，通过对加密算法的特定性质进行分析，寻找可能的逆序排列，从而提高加密算法的安全性。
逆序解法定义
逆序解法在密码学领域有着广泛的应用，如破解加密算法、密码破解、数据恢复等场景中。
01
02
03
04
05
代码实现简单易懂，运行时间较长，可能在处理大规模数据时存在性能问题。
可以进一步优化算法，如使用深度优先搜索（DFS）和剪枝等技巧，以提高运行效率。
示例问题结果分析
07
选择逆序解法还是顺序解法
问题的复杂性和规模
问题的特殊性质
团队的技能和经验
选择考虑因素
尝试多种方法
可以同时尝试逆序解法和顺序解法，以便更好地了解它们的优缺点。
对比分析
可以通过对比分析来评估两种方法的优劣，从而选择最合适的方法。
案例研究
通过案例研究来了解逆序解法和顺序解法的实际应用效果。
选择实践方法
逆序解法和顺序解法是两种不同的解决问题的方法，每种方法都有其适用的问题和优点。在选择使用哪种方法时，需要考虑问题的复杂性和规模、特殊性质以及团队的技能和经验等因素。同时，应该勇于尝试多种方法并进行对比分析，以便更好地了解它们的优缺点。最终的目标是选择最适合问题的方法，并尽可能地提高解决问题的效率和准确性。
求解排列的逆序数
求解排列的逆序数排列是数学中的一个重要概念，指一组数的有序排列。
在排列中，如果一个数在它之前的位置比它在它后面的位置靠前，则这两个数构成了一个逆序对。
而排列的逆序数，则是指排列中逆序对的个数。
在计算机科学中，求解排列的逆序数是一个常见的问题。
它在排序算法中起着重要的作用，并且有广泛的应用。
接下来，我们将介绍一种常用的算法，用于求解排列的逆序数。
算法描述：给定一个排列P，其中包含n个不同的元素。
我们的目标是求解P 的逆序数。
1. 初始化逆序数count为0。
2. 从左到右遍历排列P的每个元素Pi。
3. 对于每个元素Pi，向右遍历它之后的元素Pj。
4. 如果Pi > Pj，则逆序数count加1。
5. 返回逆序数count作为结果。
下面，我们将对算法进行详细的说明，并通过示例进行演示。
示例：假设我们有一个排列P，包含5个不同的元素。
下面是P的排列：P = [3, 1, 4, 5, 2]我们将按照上述算法求解P的逆序数。
首先，初始化逆序数count为0。
然后，我们从左到右遍历P的每个元素。
对于元素3，向右遍历它之后的元素。
比3小的元素有1和2，因此逆序数count加2。
对于元素1，向右遍历它之后的元素。
比1小的元素有0个，因此逆序数count保持不变。
对于元素4，向右遍历它之后的元素。
比4小的元素有3个，因此逆序数count加3。
对于元素5，向右遍历它之后的元素。
比5小的元素有0个，因此逆序数count保持不变。
对于元素2，向右遍历它之后的元素。
比2小的元素有1个，因此逆序数count加1。
最终，逆序数count的值为6，即P的逆序数为6。
通过以上示例，我们可以看出，求解排列的逆序数的算法是相对简单且高效的。
它可以帮助我们更好地理解排列中元素的相对顺序，并在排序算法中发挥重要作用。
总结：本文介绍了求解排列的逆序数的算法。
通过该算法，我们能够准确计算排列中逆序对的个数。
这对于排序算法的实现以及其他相关领域的问题有着广泛的应用。
数的顺序与逆序
数的顺序与逆序在数学中，数的顺序与逆序是非常基础和重要的概念。
我们常常会遇到需要排列数字的情况，无论是从小到大还是从大到小，对于数的顺序与逆序的理解都至关重要。
本文将介绍数的顺序与逆序的概念，并探讨其在数学中的应用。
1. 顺序顺序是指按照一定规则或标准将数字从小到大排列的过程。
在数学中，我们经常使用顺序来表示数字的大小关系。
例如，数轴上的数字从左到右依次增大，表示数字的顺序。
另外，在比较两个数字的大小时，我们也可以使用大小符号来表示顺序。
例如，如果a和b是两个不同的数字，我们可以用a < b表示a小于b，即a在b的前面。
同理，若a > b，则a在b的后面。
2. 逆序逆序则与顺序相反，指的是按照一定规则或标准将数字从大到小排列的过程。
在数学中，逆序常常用于倒序排列数字。
例如，当我们从大到小排列一组数字时，我们可以称之为逆序排列。
同样地，逆序也可以用于比较数字的大小。
若a和b是两个不同的数字，我们可以用a > b表示a大于b，即a在b的后面。
同理，若a < b，则a在b的前面。
3. 应用顺序和逆序在数学中有着广泛的应用。
以下是一些应用实例：3.1 数列数列是指按照一定规律排列的一系列数字。
数列可以是顺序的，也可以是逆序的。
例如，斐波那契数列是一种有趣的数列，其中每个数都是前两个数之和。
斐波那契数列的数是按顺序依次排列的。
3.2 排序算法排序算法是计算机科学中重要的算法之一。
通过排序算法，可以将一组无序的数字按照顺序或逆序排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、快速排序和归并排序等。
这些算法都利用了数的顺序与逆序的概念。
3.3 数的比较在数学中，我们经常需要比较两个数字的大小。
通过比较，我们可以确定数的顺序与逆序。
例如，当我们需要在一组数中找到最大值或最小值时，我们就会使用比较运算符来比较数的大小。
总结：数的顺序与逆序是数学中重要的概念。
顺序是指按从小到大排列数字的过程，逆序则是从大到小排列数字的过程。
逆序解法与顺序解法培训课件
计算效率比较
逆序解法
逆序解法的计算效率通常比顺序解法要高。因为逆序解法是逆向思维，可以 跳过一些不必要的计算步骤，从而减少计算量。同时，逆序解法也可以利用 一些数学公式的逆向形式，简化计算过程。
顺序解法
顺序解法的计算效率相对较低。因为顺序解法需要按照问题的顺序逐步分析 ，不能跳过不必要的计算步骤。在一些大规模的计算问题中，顺序解法的计 算量可能会非常大。
逆序解法在土木工程中的应用
在土木工程中，逆序解法可用于结构分析和设计。通过对结构进行逆序分解，可以更好地 理解结构的性能和安全性，为结构设计提供有力支持。
逆序解法在机械工程中的应用
在机械工程中，逆序解法可用于机构的优化设计和动力学分析。通过逆序分解，可以找出 机构中的性能瓶颈，为机构的优化设计提供指导。
05
逆序解法实现方法详解
算法流程及步骤说明
定义初始状态
确定比较规则
构建逆序对
更新状态
重复步骤
根据问题需求，定义初 始状态，通常是一个有 序序列。
根据问题需求，确定比 较规则，例如大小比较 、字典序比较等。
从初始状态开始，按照 比较规则，构建逆序对 ，即顺序相反的两个元 素。
根据比较规则，将逆序 对中的两个元素交换位 置，更新状态。
案例实现
将所选择的案例实现为相应的代码，并对其进行 测试和验证。
案例讲解
对实现的代码进行详细讲解，包括问题建模、参 数分析、解决方案的制定和实现等。
07
工程应用实例分享
逆序解法在工程中的应用案例
逆序解法在电力工程中的应用
在电力工程中，逆序解法被广泛应用于解决电网的稳定性问题。通过逆序分解，可以准确 地找出电网中的潜在问题，为电网的优化设计和运行提供依据。
运筹学在工程项目管理中的应用(可编辑)
运筹学在工程项目管理中的应用指导教师隧墨生熬援培养单位筮堂型堂堂院研究方向量伍化堡论丞甚廛用评阅人扬量至处塞昌匮壹麦南开大学研究生院二九年十二月‘摘要摘要进度控制项目管理的重要内容之一,在工程项目建设中,对项目进度实施有效的控制,使其顺利达到预定目标,是工程项目管理的一项中心任务.进度控制工作的好坏不仅影响项目的成功与否,还直接影响到项目的经济效益和发展前景.而运筹学中的网络计划技术是一种科学的施工进度控制的方法和手段.因此,将运筹学相关理论有效的应用于工程项目建设中,可以很好的指导工程进度的实旌,保证工期的完成.本论文的研究对象是运筹学相关理论在施工项目管理中的应用,研究的内容是如何将动态规划和网络计划技术和项目进度控制的理论、方法与技术相结合,应用在施工项目的进度控制计划与实施等环节,充分发挥项目进度控制在解决项目实施过程中各种具体问题的作用.论文首先阐述了运筹学的相关理论以及进度控制原理、方法及进度计划的编制与实施等相关理论,接着以某学院综合楼项目为例,阐述了上述理论和原理的应用,包括项目概况、工作结构分解、项目组织机构设置和进度控制制度设置,然后分析了项目具体的进度控制过程,最后对项目进度控制的实施作了评价,找出不足之处.关键词:运筹学; 动态规划;网络计划技术;进度控制; 进度计划;甘特图也豁.. 霉.鹳.路, 罂豁. . 、,.: ; ;;; ;目录录目摘要?.......●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●引言.问题的提出。
研究的目的和意义??...论文的研究思路和基本框架?..:..论文的研究思路??.?..:..论文的基本框架?。
运筹学相关理论综述.动态规划概述。
..动态规划的概念?..动态规划的最优化原理.用动态规划求解多阶段决策问题的基本步骤?..动态规划的基本模型..随机型动态规划问题。
.网络计划技术概述?。
..网络计划技术的概念...网络计划技术的原理??.项目进度控制理论概述一?..项目进度控制概述?.进度控制原理和方法.?...进度控制原理..进度控制的方法、措施和主要任务?...项目进度控制制度设置运筹学在该学院综合楼施工进度控制中的应用?.。
逆序问题及其几种解法
逆序问题及其⼏种解法设A为⼀个有n个数字的序列，其中所有的数字各不相同。
如果存在正整数i和j，使得1≤i<j≤n且A[i]>A[j]，那么数对(A[i],A[j])就被称为A的⼀个逆序对，也称作逆序，逆序对的数量就是逆序数。
如下图所⽰，(A[2],A[4])就是⼀个逆序对。
分治法假设我们要统计数列A中逆序对的个数。
如图所⽰，我们可以将数列A分成两半得到数列B和数列C。
因此，数列A中所有的逆序对必属于下⾯三者其⼀：(1). i,j都属于数列B的逆序对(2). i,j都属于数列C的逆序对(3). i属于数列B⽽j属于数列C的逆序对所以，我们只需要分别统计这三种逆序对，然后再加起来就⾏了。
(1)和(2)可以通过递归求得，对于(3)，我们可以对数列C中的每个数字，统计在数列B中⽐它⼤的数字的个数，再把结果加起来即可。
因为每次分治时数列的长度都会减半，所以递归的深度是O(log n)，⽽每⼀层有O(n)个操作，因此算法的时间复杂度为O(n log n)。
class Solution {public:int reversePairs(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if (n <= 1) return 0;auto mid = nums.begin() + n / 2;vector<int> left(nums.begin(), mid);vector<int> right(mid, nums.end());int cnt = 0;cnt += reversePairs(left);cnt += reversePairs(right);Processing math: 100%int nums_idx = 0;int left_idx = 0;int right_idx = 0;while (nums_idx < n) {if (left_idx < left.size() && (right_idx == right.size() || left[left_idx] <= right[right_idx])) {nums[nums_idx++] = left[left_idx++];} else {cnt += n / 2 - left_idx;nums[nums_idx++] = right[right_idx++];}}return cnt;}};树状数组我们构建⼀个值的范围是1∼n的树状数组，按照j=0,1,2,⋯,n−1进⾏如下操作：j−sum(A[j])add(A[j],1)对于每个j，树状数组查询得到的前A[j]项的和就是满⾜i<j,A[i]≤A[j]的i的个数。
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• 阶段变量 k：把9只巡逻队往三个部位派遣依次分成 三个阶段（ k =1, 2, 3 ）
• 决策变量 xk：表示第 k 阶段派出巡逻队数 • 状态变量 sk：表示第 k 阶段初可派遣的巡逻队数 • 状态转移方程： sk+1 = sk - xk • 阶段指标 pk(xk) ：表示第 k 阶段派出巡逻队xk时，
1
例8.3
【 例 8.3 】 图 8.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， 分B1,别B2,为B3不; C同1,C的2 ,C供3;水D1目, D的2 地，试找出给各供水目的地供水 的最短路线。
2
A
3
1
B1
1 3
2
B2 1
4
B3 2
C1
3
2
D1
C2 4
2
D2
C3
1
图8.3
2
8.3 动态规划应用举例 动态规划和静态规划
3
8.3.1 资源分配问题
所谓资源分配问题，就是将数量一定的一种或若干 种资源(如资金、原材料、机器设备、劳动力等)恰当的 分配给若干个使用者，从而使得总的经济效益最大。
一种资源分配问题可叙述如下：设有数量为 a 的某 种资源，用于生产 n 种产品，若以数量为 xi 的资源投 入第 i 种产品的生产，其收益相应的为 gi (xi)，问如何 分配这种资源，才能使得生产 n 种产品的总收入最大？
这里，fk sk 为从初始阶段出发到第 k 阶段状态 sk 止采取最
优子策略或最优策略所获得的最优指标函数值。
Vk sk , dk sk 为系统在第 k 阶段状态 sk 时采取决策 dk sk
的阶段指标。状态变量 sk 则描述该阶段结束时的系统状况。
状态转移方程： sk1 Tk sk , dk sk
2
- 35+10 31+14 45 3或4
3 38+10 35+14 31+18 48 2
4 38+14 35+18 -
52 2
当 k=3 时
x3 s3
p3( x3) + f2 (s2)
2
3
4
f23(s3) x3*
0 24+45 22+48 21+52 69 2
结果
9
p205 例4 巡逻队问题
解（逆序解法）
f f
k 0
sk s0
xk
0
min
Dk sk
pk
k
xk 1, 2,3
f k=1 时，(s0=9)
x1 s1
2
p1( x1) 3
4
f1 (s1) x1*
5
10
10 4
6
14
14 3
7
18
18 2
8
当 k=2 时
x2 s2
p2( x2) + f1 (s1)
2
3
4
f2 (s2) x2*
4
其静态规划的数学模型的形式一般为：
n
max f gi (xi ) i 1 n
s.t. i1 xi a xi 0, i 1, 2, , n
转化成动态规划模型为： (1) 阶段变量：k n,n 1,L ,1,这里把资源分配给一个
或者几个使用者的过程作为一个阶段。 (2) 状 态 变 量 ：sk 表示分配用于生产第 k 种产品至第 n
该阶段的预期损失值
10
p205 例4 巡逻队问题（续）
• 递推关系式：
fk sk f4 s4
min
xk Dk sk
pk
xk
0 k 3,2,1
fk1 sk1
当 k=3 时，(s4=0)
x3 s3
2
p3( x3) 3
4
f3 (s3) x3*
2
24
24 2
3
22
22 3
4
21
21 4
种产品的原料数量；
5
(3) 决策变量： xk 表示分配给生产第 k 种产品的原料数，
允许决策集：Dk (sk ) xk 0 ≤ xk ≤ sk ；
(4) 状态转移方程： sk1 sk xk ；
(5) 阶段指标：vk (sk , dk (sk )) vk (sk , xk ) gk (xk ) ；
线性规划和非线性规划所研究的问题，通常都是与时间 无关的，故又可以称为静态规划；
静态规划与动态规划在很多情况下（原则上）是可以相 互转换的 。动态规划可以看作是求 d1, d2,…, dn 使得指标函
数 v1n(d1, d2,…, dn ) 达到最优的极值问题，状态转移方程，
起始条件以及允许状态集，允许决策集等是约束条件，原则 上它可以用线性规划或非线性规划方法求解；反过来，一些 静态规划只要适当引入阶段变量、状态、决策变量等要素就 可以用动态规划方法来求解。
结果
12
回溯得，x1*=3， x2*=4 ， x3*=2 或 x1*=4 ， x2*=3， x3*=2 总的预期损失为69
13
类似练习如p215-8.1
【例】 某公司拥有三家连锁商店，拟将新招聘的5名员工 分配给甲、乙、丙三个商店，各商店得到新员工后，每年 盈利情况如表8-2所示。问分配给各商店各多少员工，才能 使得公司的总盈利最大？(单位：千元)
(6) 递推关系式：
fk (sk )
max
xk Dk (Sk
){gk
(
xk
)
fk 1(sk 1)}
fn1(sn1) 0
k n, n 1,L ,1
注：利用动态规划进行逐段计算，最后求得即为所求问题 的最大总收入。
6
p205 例4 巡逻队问题
解（顺序解法）
• 阶段变量 k：把9只巡逻队往三个部位派遣依次分成 三个阶段（ k =1, 2, 3 ）
• 决策变量 xk：表示第 k 阶段派出巡逻队数 • 状态变量 sk：表示第 k 阶段派出巡逻队后，剩余的
巡逻队数 • 状态转移方程： sk-1 = sk + xk • 阶段指标 pk(xk) ：表示第 k 阶段派出巡逻队xk时，
该阶段的预期损失值
7
p205 例4 巡逻队问题（续）
• 递推关系式：
11
当 k=2 时
x2
p2( x2) + f3 (s3)
s2
2
3
4
5 38+22 35+24
f2 (s2) x2* 59 3
6 38+21 35+22 31+24 55 4
7
35+21 31+22 53 4
当 k=1 时
x1 s1
p1( x1) + f2 (s2)
2
3
4
f1(s1) x1*
9 18+53 14+55 10+59 69 3或4