武汉市中考数学第24题几何综合专题训练冲刺教师版
湖北省武汉市达标名校2024届中考数学最后冲刺浓缩精华卷含解析
湖北省武汉市达标名校2024年中考数学最后冲刺浓缩精华卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．两个有理数的和为零，则这两个数一定是（ ） A ．都是零B ．至少有一个是零C ．一个是正数，一个是负数D ．互为相反数2．如图，取一张长为a 、宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边,a b 应满足的条件是（ ）A ．2a b =B ．2a b =C ．2a b =D ．2a b =3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3π C ．2π-12D ．124．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（）A．6 B．9 C．10 D．126．已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB=3cm，AC=32cm，则∠BAC的度数为（）A．15°B．75°或15°C．105°或15°D．75°或105°7．有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的主视图是()A．B．C．D．8．如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是()A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：19．方程x2+2x﹣3=0的解是（）A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣310．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则∠C与∠D的大小关系为（）A．∠C＞∠D B．∠C＜∠D C．∠C=∠D D．无法确定二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11．分解因式：32a ab -=___．12．如果x y 10+-=，那么代数式2y x yx x x ⎛⎫--÷⎪⎝⎭的值是______． 13．分解因式：x 2y ﹣6xy+9y=_____． 14．因式分解34x x -= ． 15．已知，则=_____．16．若x ，y 为实数，y ＝224412x x x ，则4y ﹣3x 的平方根是____．17．有下列各式：①·x y y x ；②x b y a ÷；③62x x ÷；④23·a ab b．其中，计算结果为分式的是_____．（填序号）三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：运动项目 频数(人数) 羽毛球 30篮球乒乓球 36 排球足球12请根据以上图表信息解答下列问题：频数分布表中的，；在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为度；全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？19．（5分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．解决问题：①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．20．（8分）自学下面材料后，解答问题。
武汉中考第24题二次函数与垂直定点问题
武汉中考第24题二次函数与垂直定点问题武汉市中考第24题为二次函数的综合题，在2014年武汉市第24题第三问涉及到了直角定点问题，许多学生表示定点很难求，计算量偏大，今天笔者结合垂直问题整理了解题思路，对于这类问题做了一个小的归纳总结。
一、解题思路： 做水平和竖直辅助线得三垂直相似，如图1所示：图1已知AC BC ⊥，过点A 和点B 作平行于y 轴的直线，过点C 作平行于x 轴的直线，分别相交于D 和E 两点，那么由ACD CBE ∠=∠，DAC ECB ∠=∠可得ACDCBE .所以有AD DCCE BE=进而求解题目。
二、实际例题：例1：（2014年武汉）如图2，已知直线AB ：24y kx k =++与抛物线212y x =交于、A B 两点，若在抛物线上存在点D 使得90=ADB ∠°，求定点D 的坐标。
图2作辅助线如图3所示图3则有AEDDFB则有AE DEDF BF=设()()211221,,,2、、A x y B x y D m m ⎛⎫⎪⎝⎭，可得： 2112221212y m m x x m y m --=-- 因为2211221122、y x y x ==，所以因式分解可得： ()()12114m x m x ++=- 联立方程22412+y kx k y x =+=化简可得：22480x kx k ---=韦达定理可得：12122,48x x k x x k +=⋅=--代入可得：()2244m k m -=-解得2m =，故()2,2D 。
例2：如图4所示，已知抛物线2114y x =-与x 轴交于,A B 两点，A 在B 右侧，若,M N 为抛物线上两点，M 在N 的左侧，且以MN 为直径的圆始终经过A 点，求直线MN 经过的定点P 的坐标。
图4作出辅助线如图5所示：图5则有：MEAAFN则有：ME AEAF FN=设直线MN ：y kx b =+，()()1122,,,M x y N x y 联立方程：y kx b =+2114y x =- 化简可得：24440x kx b ---=韦达定理：1244x x b ⋅=--、124x x k +=已知()2,0A ，所以可得：()()()()211222442424xx x x--=--化简可得：()12122416x x x x +++=-代入可得：448416b k --++=24b k =+所以直线MN 的解析式为：24y kx k =++故过定点()2,4P -。
武汉市达标名校2024届中考数学考试模拟冲刺卷含解析
武汉市达标名校2024学年中考数学考试模拟冲刺卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．2017年人口普查显示，河南某市户籍人口约为2536000人，则该市户籍人口数据用科学记数法可表示为（ ） A ．2.536×104人 B ．2.536×105人 C ．2.536×106人 D ．2.536×107人2．一个圆锥的侧面积是12π，它的底面半径是3，则它的母线长等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．63．如图，直线与y 轴交于点（0，3）、与x 轴交于点（a ，0），当a 满足时，k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列各数中，最小的数是( )A ．3-B ．()2--C ．0D ．14- 5．点A 、C 为半径是4的圆周上两点，点B 为AC 的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（ ）A 7或2B 7或3C ．6或2D ．6或36．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．8或10B ．8C ．10D ．6或127．某公园有A 、B 、C 、D 四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．188．已知点A （0，﹣4），B （8，0）和C （a ，﹣a ），若过点C 的圆的圆心是线段AB 的中点，则这个圆的半径的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．3D ．2 9．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：23224x x x x +-++-”. 小明的做法：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的10．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF 的值是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，在菱形ABCD 中，AB=3，∠B=120°，点E 是AD 边上的一个动点（不与A ，D 重合），EF ∥AB 交BC 于点F ，点G 在CD 上，DG=DE ．若△EFG 是等腰三角形，则DE 的长为_____．12．= ．13．一组数据7，9，8，7，9，9，8的中位数是__________14．抛物线y ＝x 2﹣4x+2m 与x 轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是______． 15．如果把抛物线y=2x 2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是_____．16．关于x 的方程2230mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是__________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.18．（8分）如图1，抛物线y ＝ax 2+（a +2）x +2（a ≠0），与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P （m ，0）（0＜m ＜4），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式； （2）若PN ：PM ＝1：4，求m 的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP 2、BP 2，求AP 2+232BP 的最小值． 19．（8分）我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A 、B 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元．A 、B 两种奖品每件各多少元？现要购买A 、B 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A 种奖品最多购买多少件？20．（8分）如图所示，点C 在线段AB 上，AC = 8 cm ，CB = 6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点.求线段MN 的长.若C 为线段AB 上任意一点，满足AC+CB=a(cm)，其他条件不变，你能猜想出MN 的长度吗？并说明理由.若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC-CB=b(cm)，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.21．（8分）如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为-10，OB=3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发）数轴上点B 对应的数是______．经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？22．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．求此抛物线的表达式；如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点，求△ABC 的面积．23．（12分）如图所示，PB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在PC 上，∠P=30°，D 为弧BC 的中点.(1)求证：PB=BC；(2)试判断四边形BOCD的形状，并说明理由.24．如图，点D为△ABC边上一点，请用尺规过点D，作△ADE，使点E在AC上，且△ADE与△ABC相似.（保留作图痕迹，不写作法，只作出符合条件的一个即可）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】2536000人=2.536×106人．故选C．【题目点拨】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2、C【解题分析】设母线长为R，底面半径是3cm，则底面周长=6π，侧面积=3πR=12π，∴R=4cm．故选C．3、C【解题分析】解：把点（0，2）（a，0）代入，得b=2．则a=，∵，∴，解得：k≥2．故选C．【题目点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式，属于综合题，难度不大．4、A【解题分析】应明确在数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，据此解答．【题目详解】解：因为在数轴上-3在其他数的左边，所以-3最小；故选A．【题目点拨】此题考负数的大小比较，应理解数字大的负数反而小．5、C【解题分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD=12OB=2，如图②，BD=6，求得OD、OE、DE的长，连接OD，根据勾股定理得到结论．【题目详解】过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为AC的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，∴BD=12×4=2，∴OD=OB-BD=2，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵CE=2222=43=7OC OE--，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=2222=(7)1=22CE DE++；如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=12BD=3，OE=3-2=1，由勾股定理得：2222=41=15OC OE--DC=2222=3(15)=26DE CE++.故选C．【题目点拨】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．6、C【解题分析】试题分析：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、4，∵4+4=4，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、4、4，能组成三角形，周长=4+4+4=4，综上所述，它的周长是4．故选C．考点：4．等腰三角形的性质；4．三角形三边关系；4．分类讨论．7、B【解题分析】画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计算可得．【题目详解】画树状图如下：由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种，所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为416=14，故选B．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．8、B【解题分析】首先求得AB的中点D的坐标，然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式，然后求得与y=-x的交点坐标，再求得交点与D之间的距离即可．【题目详解】AB 的中点D 的坐标是（4，-2），∵C （a ，-a ）在一次函数y=-x 上，∴设过D 且与直线y=-x 垂直的直线的解析式是y=x+b ，把（4，-2）代入解析式得：4+b=-2，解得：b=-1，则函数解析式是y=x-1．根据题意得：6{y x y x--＝＝， 解得：3{3x y ＝＝-， 则交点的坐标是（3，-3）．故选：B【题目点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及两直线垂直的条件，正确理解C （a ，-a ），一定在直线y=-x 上，是关键．9、C【解题分析】 试题解析：23224x x x x +-++- =()()32222x x x x x +--++- =3122x x x +-++ =3-12x x ++ =22x x ++ =1．所以正确的应是小芳．故选C ．10、B【解题分析】 试题分析：根据平行线分线段成比例可得AC BD CE DF=，然后根据AC=1，CE=6，BD=3，可代入求解DF=1．2．故选B考点：平行线分线段成比例二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1或3 3【解题分析】由四边形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=3，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=3时，于是得到DE=DG=12AD÷32=1，②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=33．【题目详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，∴∠D=∠B=120°，∠A=180°-120°=60°，BC∥AD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF∥AB，∴EF=AB=3，∠DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，∵DE=DG，∴∠DEG=∠DGE=30°，∴∠FEG=30°，当△EFG为等腰三角形时，当EF=EG时，EG=3，如图1，过点D作DH⊥EG于H，∴EH=12EG=32， 在Rt △DEH 中，DE=0cos30HE =1， GE=GF 时，如图2，过点G 作GQ ⊥EF ，∴EQ=12EF=32，在Rt △EQG 中，∠QEG=30°， ∴EG=1，过点D 作DP ⊥EG 于P ，∴PE=12EG=12， 同①的方法得，DE=33， 当EF=FG 时，由∠EFG=180°-2×30°=120°=∠CFE ，此时，点C 和点G 重合，点F 和点B 重合，不符合题意， 故答案为1或33． 【题目点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键． 12、2【解题分析】试题分析：根据算术平方根的定义，求数a 的算术平方根，也就是求一个正数x ，使得x 2=a ，则x 就是a 的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0.∵22=4，∴=2. 考点：算术平方根.13、1【解题分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此可得．【题目详解】解：将数据重新排列为7、7、1、1、9、9、9，所以这组数据的中位数为1，故答案为1．【题目点拨】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．14、（3，0）【解题分析】把交点坐标代入抛物线解析式求m 的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．【题目详解】把点（1，0）代入抛物线y=x 2-4x+2m 中，得m=6， 所以，原方程为y=x 2-4x+3，令y=0，解方程x 2-4x+3=0，得x 1=1，x 2=3∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为（3，0）.【题目点拨】本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x 轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．15、y=2（x+1）2+1．【解题分析】原抛物线的顶点为（0，-1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）； 可设新抛物线的解析式为y=2（x-h ）2+k ，代入得：y=2（x+1）2+1．16、13m <且0m ≠ 【解题分析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m ＞1且m≠1，求出m 的取值范围即可． 详解：∵一元二次方程mx 2-2x+3=1有两个不相等的实数根，∴△＞1且m≠1，∴4-12m ＞1且m≠1，∴m ＜13且m≠1，故答案为：m ＜13且m≠1． 点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=1（a≠1，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）12；（2）34【解题分析】（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.【题目详解】解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=12； 故答案为12； （2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=34. 【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 18、（1）213222x x -++；（2）m ＝3；（3）1452【解题分析】（1）本题需先根据图象过A 点，代入即可求出解析式；（2）由△OAB ∽△PAN 可用m 表示出PN ，且可表示出PM ，由条件可得到关于m 的方程，则可求得m 的值；（3）在y 轴上取一点Q ，使2O 3O 2Q P =，可证的△P 2OB ∽△QOP 2，则可求得Q 点坐标，则可把AP 2+32BP 2转换为AP 2+QP 2，利用三角形三边关系可知当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，有最小值，则可求出答案.【题目详解】解：（1）∵A （4，0）在抛物线上，∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a ＝﹣12， ∴抛物线的解析式为y ＝213222x x -++； （2）∵213222y x x =++－ ∴令x ＝0可得y ＝2，∴OB ＝2，∵OP ＝m ，∴AP ＝4﹣m ，∵PM ⊥x 轴，∴△OAB ∽△PAN ， ∴OB PN OA PA=， ∴244mPN =-， ∴1PN (4m)2=-， ∵M 在抛物线上，∴PM ＝21322m m +－+2， ∵PN ：MN ＝1：3，∴PN ：PM ＝1：4， ∴2131m m 24(4m)222-++=⨯⨯-， 解得m ＝3或m ＝4（舍去）；（3）在y 轴上取一点Q ，使2O 3O 2Q P =，如图，由（2）可知P 1（3，0），且OB ＝2， ∴22O 32OP Q OP OB ==，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴22OP 3BP 2=， ∴当Q （0，92）时，QP 2＝232BP ， ∴AP 2+32BP 2＝AP 2+QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，AP 2+QP 2有最小值，∵A （4，0），Q （0，92）， ∴AQ 22942⎛⎫+ ⎪⎝⎭1452， 即AP 2+32BP 2的最小值为1452【题目点拨】本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及线段和最小值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形，难度相对较大.19、（1）A 种奖品每件16元，B 种奖品每件4元．（2）A 种奖品最多购买41件．【解题分析】【分析】（1）设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，根据“如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【题目详解】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：2015380 1510280x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：164xy=⎧⎨=⎩，答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤1253，∵a为整数，∴a≤41，答：A种奖品最多购买41件．【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据不等关系，正确列出不等式.20、（1）7cm（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+CB=a(cm)，其他条件不变，则MN=12a(cm);理由详见解析（3）12b(cm)【解题分析】（1）据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．（2）据题意画出图形即可得出答案．（3）据题意画出图形即可得出答案．【题目详解】（1）如图∵AC＝8cm，CB＝6cm，∴AB＝AC＋CB＝8＋6＝14cm，又∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝12AC，CN＝12BC，∴MN＝12AC＋12BC＝12( AC＋BC)＝12AB＝7cm．答：MN的长为7cm．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝acm，其它条件不变，则MN＝12a cm，理由是：∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝12AC，CN＝12BC，∵AC＋CB＝acm，∴MN＝12AC＋12BC＝12(AC＋BC)＝12a cm．（3）解：如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝12AC，CN＝12BC，∵AC－CB＝bcm，∴MN＝12AC－12BC＝12(AC－BC)＝1b2cm．考点：两点间的距离．21、（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M、点N分别到原点O的距离相等【解题分析】试题分析：（1）根据OB=3OA，结合点B的位置即可得出点B对应的数；（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，找出点M、N对应的数，再分点M、点N在点O两侧和点M、点N重合两种情况考虑，根据M、N的关系列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．试题解析：（1）∵OB=3OA=1，∴B对应的数是1．（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，此时点M对应的数为3x-2，点N对应的数为2x．①点M、点N在点O两侧，则2-3x=2x，解得x=2；②点M 、点N 重合，则，3x-2=2x ，解得x=2．所以经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等．22、（1）y ＝－12(x －3)2＋5（2）5 【解题分析】（1）设顶点式y=a （x-3）2+5，然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线的对称性得到B （5，3），再确定出C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【题目详解】(1)设此抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2＋5，将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得12a =-，∴此抛物线的表达式为21(3) 5.2y x =--+ (2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴B(5，3)．令x ＝0，211(3)522y x =--+=，则1(0)2C ，， ∴△ABC 的面积11(51)3 5.22⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 【题目点拨】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.23、（1）见解析；（2）菱形【解题分析】试题分析：（1）由切线的性质得到∠OBP =90°，进而得到∠BOP =60°，由OC =BO ，得到∠OBC =∠OCB =30°，由等角对等边即可得到结论；（2）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可．试题解析：证明：（1）∵PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP =90°，∠POB =90°-30°=60°．∵OB =OC ，∴∠OBC =∠OCB ．∵∠POB =∠OBC +∠OCB ，∴∠OCB =30°=∠P ，∴PB =BC ；（2）连接OD 交BC 于点M ．∵D 是弧BC 的中点，∴OD 垂直平分BC ．在直角△OMC 中，∵∠OCM =30°，∴OC =2OM =OD ，∴OM =DM ，∴四边形BOCD 是菱形．24、见解析【解题分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AC的交点即为所求作的点．【题目详解】解：如图，点E即为所求作的点．【题目点拨】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE∥BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．。
湖北武汉黄陂区达标名校2024届中考数学考试模拟冲刺卷含解析
湖北武汉黄陂区达标名校2024届中考数学考试模拟冲刺卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是( )已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE //BC ，DF//AC ，求证：ADE ∽DBF ．证明：①又DF//AC ，DE //BC ②，A BDF ∠∠∴=③，ADE B ∠∠∴=④，ADE ∴∽DBF ．A ．③②④①B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④①2．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（ ）A ．70︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒3．下列运算，结果正确的是（ ）A ．m 2+m 2=m 4B ．2m 2n÷12mn=4m C ．（3mn 2）2=6m 2n 4 D ．（m+2）2=m 2+4 4．如图，将矩形ABCD 沿EM 折叠，使顶点B 恰好落在CD 边的中点N 上．若AB=6，AD=9，则五边形ABMND 的周长为（ ）A．28 B．26 C．25 D．22 5．计算6m3÷(－3m2)的结果是()A．－3m B．－2m C．2m D．3m6．不等式组1040xx+>⎧⎨-≥⎩的解集是（）A．﹣1≤x≤4B．x＜﹣1或x≥4C．﹣1＜x＜4 D．﹣1＜x≤47．下列运算中，正确的是（）A．（a3）2=a5B．（﹣x）2÷x=﹣xC．a3（﹣a）2=﹣a5D．（﹣2x2）3=﹣8x68．下面调查中，适合采用全面调查的是（）A．对南宁市市民进行“南宁地铁1号线线路”B．对你安宁市食品安全合格情况的调查C．对南宁市电视台《新闻在线》收视率的调查D．对你所在的班级同学的身高情况的调查9．如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为()A．30 B．27 C．14 D．3210．某一公司共有51名员工（包括经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，这样，这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会（）A．平均数和中位数不变B．平均数增加，中位数不变C．平均数不变，中位数增加D．平均数和中位数都增大二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= ▲度．12．若关于x 的函数2y kx 2x 1=+-与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 .13．下列对于随机事件的概率的描述：①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5，所以抛掷该硬币100次时，就会有50次“正面朝上”； ②一个不透明的袋子里装有4个黑球，1个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是0.2；③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率总是在0.85附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中9环以上”的概率是0.85其中合理的有______（只填写序号）．14．在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点的坐标分别是A(4，－1)、B(1，1)，将线段AB 平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2，2)，则点B′的坐标为________．15．用一个半径为10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为 ．16．在平面直角坐标系中，已知，A （2，0），C （0，﹣1），若P 为线段OA 上一动点，则CP +13AP 的最小值为_____．17．等腰ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且12AD BC =，则等腰ABC ∆底角的度数为__________. 三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，66⨯网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．已知Rt ABC 和11Rt BB C △的顶点都在格点上，线段1AB 的中点为O ．（1）以点O 为旋转中心，分别画出把11BB C 顺时针旋转90︒，180︒后的221B B C △，23B AC △；（2）利用（1）变换后所形成的图案，解答下列问题：①直接写出四边形123CC C C ，四边形12ABB B 的形状； ②直接写出12123ABB B CC C C S S 四边形四边形的值；③设Rt ABC 的三边BC a =，AC b =，AB c =，请证明勾股定理．19．（5分）已知：如图，AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠.求证：BC DE =.20．（8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆恰好与BC 相切于点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．（1）若∠B=30°，求证：以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是菱形；（2）填空：若AC=6，AB=10，连接AD ，则⊙O 的半径为 ，AD 的长为 ．21．（10分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A,B 两点，点A 的横坐标是2，点B的纵坐标是-2。
2024届湖北省武汉市六中学中考数学最后冲刺浓缩精华卷含解析
2024届湖北省武汉市六中学中考数学最后冲刺浓缩精华卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．某市2010年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则这天的最高气温比最低气温高（）A．10℃B．﹣10℃C．6℃D．﹣6℃2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣33．下列图形不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．4．如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t＝3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有（）A．①④B．①③C．①②③D．②③④5．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．a6÷a2＝a4C．a3•a5＝a15D．（a3）4＝a76．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A ．甲种方案所用铁丝最长B ．乙种方案所用铁丝最长C ．丙种方案所用铁丝最长D ．三种方案所用铁丝一样长:] 7．计算2a 2＋3a 2的结果是（ ）A ．5a 4B ．6a 2C ．6a 4D ．5a 28．下面说法正确的个数有( )①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在△ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形.A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．94m <B ．94mC ．94m >D ．94m 10．下列说法正确的是( )A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线互相平分的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如果一个矩形的面积是40，两条对角线夹角的正切值是43，那么它的一条对角线长是__________． 12．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC =23∠AEO =120°，则FC 的长度为_____．13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD CD=．若∠CAB=40°，则∠CAD=_____．14．点G是三角形ABC的重心，AB a=，那么BG=_____．=，AC b15．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的序号是_____．16．在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a，b是0，1，2，3四个数中的其中某一个，若|a﹣b|≤1则称甲乙”心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AM∥CN18．（8分）已知，抛物线2y ax x c =++的顶点为(1,2)M --，它与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）． （1）求点B 、点C 的坐标；（2）将这个抛物线的图象沿x 轴翻折，得到一个新抛物线，这个新抛物线与直线:46l y x =-+交于点N ． ①求证：点N 是这个新抛物线与直线l 的唯一交点；②将新抛物线位于x 轴上方的部分记为G ，将图象G 以每秒1个单位的速度向右平移，同时也将直线l 以每秒1个单位的速度向上平移，记运动时间为t ，请直接写出图象G 与直线l 有公共点时运动时间t 的范围．19．（8分）如图，△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=4，D 是BC 边上一点，将点D 绕点A 逆时针旋转60°得到点E ，连接CE. B(1)当点E 在BC 边上时,画出图形并求出∠BAD 的度数；(2)当△CDE 为等腰三角形时，求∠BAD 的度数；(3)在点D 的运动过程中，求CE 的最小值.(参考数值:sin 75°=624， cos 75°=624，tan 75°=23) 20．（8分）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x 与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于点()3,A a .（1）求a 、k 的值；（2）直线x ＝b （0b >）分别与一次函数y ＝x 、反比例函数k y x =的图象相交于点M 、N ，当MN ＝2时，画出示意图并直接写出b 的值.22．（10分）先化简，再求值：a （a ﹣3b ）+（a+b ）2﹣a （a ﹣b ），其中a=1，b=﹣1223．（12分）已知：如图，□ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE=DF.24．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可求得答案.【题目详解】8-（-2）=8+2=10℃．即这天的最高气温比最低气温高10℃．故选A ．2、A【解题分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．【题目详解】方程2410x x +=﹣，变形得：241x x =﹣﹣，配方得：24414x x +=+﹣﹣，即223x =（﹣），故选A ．【题目点拨】本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．3、B【解题分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【题目详解】A 、C 、D 经过折叠均能围成正方体，B •折叠后上边没有面，不能折成正方体．故选B ．【题目点拨】此题主要考查平面图形的折叠及正方体的展开图，熟练掌握，即可解题.4、C【解题分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【题目详解】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t在3－4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，则当t＝3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误．故选：C．【题目点拨】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．5、B【解题分析】根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方依次计算即可得到答案.【题目详解】A、a3+a3＝2a3，故A错误；B、a6÷a2＝a4，故B正确；C、a3•a5＝a8，故C错误；D、（a3）4＝a12，故D错误．故选：B．【题目点拨】此题考查整式的计算，正确掌握同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的计算方法是解题的关键.6、D【解题分析】试题分析：解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选D．考点：生活中的平移现象7、D【解题分析】直接合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变. 【题目详解】2a2＋3a2=5a2.故选D.【题目点拨】本题考查了利用同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.8、C【解题分析】试题分析：①∵三角形三个内角的比是1：2：3，∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴3x=3×30°=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°，∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确；③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；④∵∠A=∠B=∠C，∴设∠A=∠B=x，则∠C=2x，∴x+x+2x=180°，解得x=45°，∴2x=2×45°=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和，∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确．故选D．考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．9、A【解题分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【题目详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜94，故选A．【题目点拨】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10、D【解题分析】分析：根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.详解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；故选D．点睛：本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1．【解题分析】如图，作BH⊥AC于H．由四边形ABCD是矩形，推出OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a，由tan∠BOH43BHOH==，可得BH=4a，OH=3a，由题意：212⨯⨯1a×4a=40，求出a即可解决问题．【题目详解】如图，作BH⊥AC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a．∵tan∠BOH43BHOH==，∴BH=4a，OH=3a，由题意：212⨯⨯1a×4a=40，∴a=1，∴AC=1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．12、1【解题分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．【题目详解】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°-30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=12BD=123∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，故答案为：1．【题目点拨】本题考查矩形的性质以及解直角三角形的运用，解题关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．13、25°【解题分析】连接BC，BD, 根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠CBD，从而可得到∠BAD的度数．【题目详解】如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵AD CD=，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为25°．【题目点拨】本题考查了圆周角定理及直径所对的圆周角是直角的知识点，解题的关键是正确作出辅助线.14、1233b a-．【解题分析】根据题意画出图形，由AB a=，AC b=，根据三角形法则，即可求得BD的长，又由点G是△ABC的重心，根据重心的性质，即可求得．【题目详解】如图：BD是△ABC的中线，∵AC b=，∴AD=12 b，∵AB a=，∴BD=12b﹣a，∵点G是△ABC的重心，∴BG=23BD=13b﹣23a，故答案为：13b﹣23a．【题目点拨】本题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，本题也考查了向量的加法及其几何意义，是基础题目．15、①②③【解题分析】由公交车在7至12分钟时间内行驶的路程可求解其行驶速度，再由求解的速度可知公交车行驶的时间，进而可知小刚上公交车的时间；由上公交车到他到达学校共用10分钟以及公交车行驶时间可知小刚跑步时间，进而判断其是否迟到，再由图可知其跑步距离，可求解小刚下公交车后跑向学校的速度.【题目详解】解：公交车7至12分钟时间内行驶的路程为3500-1200-300=2000m，则其速度为2000÷5=400米/分钟，故①正确；由图可知，7分钟时，公交车行驶的距离为1200-400=800m，则公交车行驶的时间为800÷400=2min，则小刚从家出发7-2=5分钟时乘上公交车，故②正确；公交车一共行驶了2800÷400=7分钟，则小刚从下公交车到学校一共花了10-7=3分钟＜4分钟，故④错误，再由图可知小明跑步时间为300÷3=100米/分钟，故③正确.故正确的序号是：①②③.【题目点拨】本题考查了一次函数的应用.16、5 8【解题分析】利用P（A）=mn，进行计算概率.【题目详解】从0，1，2，3四个数中任取两个则|a﹣b|≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；共10种情况，甲乙出现的结果共有4×4=16，故出他们”心有灵犀”的概率为105 168．故答案是：5 8 .【题目点拨】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．三、解答题（共8题，共72分）17、详见解析.【解题分析】只要证明∠EAM=∠ECN，根据同位角相等两直线平行即可证明.【题目详解】证明：∵AB∥CD，∴∠EAB=∠ECD，∵∠1=∠2，∴∠EAM=∠ECN，∴AM∥CN．【题目点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．18、（1）B（－3,0），C（1,0）；（2）①见解析；②23≤t≤6.【解题分析】(1)根据抛物线的顶点坐标列方程，即可求得抛物线的解析式，令y＝0，即可得解；(2)①根据翻折的性质写出翻折后的抛物线的解析式，与直线方程联立,求得交点坐标即可；②当t＝0时，直线与抛物线只有一个交点N(3,－6)(相切)，此时直线与G无交点;第一个交点出现时，直线过点C(1 ＋t,0)，代入直线解析式:y＝－4x＋6＋t,解得t＝23;最后一个交点是B(－3＋t,0)，代入y＝－4x＋6＋t,解得t＝6，所以23≤t≤6.【题目详解】（1）因为抛物线的顶点为M（－1，－2），所以对称轴为x＝－1，可得：1=12aa-1+c=2⎧--⎪⎨⎪-⎩，解得：a＝12，c＝32-，所以抛物线解析式为y＝12x2＋x32-，令y＝0，解得x＝1或x＝－3，所以B（－3,0），C（1,0）；（2）①翻折后的解析式为y＝－12x2－x3+2，与直线y＝－4x＋6联立可得：12x2－3x＋92＝0，解得：x1＝x2＝3，所以该一元二次方程只有一个根，所以点N（3，－6）是唯一的交点；②23≤t≤6.【题目点拨】本题主要考查了图形运动，解本题的要点在于熟知一元二次方程的相关知识点.19、（1）∠BAD=15°；（2）∠BAC=45°或∠BAD =60°；（3）CE=62．【解题分析】（1）如图1中，当点E在BC上时．只要证明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=12（90°-60°）=15°；（2）分两种情形求解①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形．②如图3中，当CD=CE 时，△DEC是等腰三角形；（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先确定点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），可得EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短）.【题目详解】解：（1）如图1中，当点E在BC上时．∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠ADB=∠AEC=120°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，在△ABD和△ACE中，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴∠BAD=∠CAE=12（90°-60°）=15°．（2）①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形，∠BAD=12∠BAC=45°．②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形．∵AD=AE，∴AC垂直平分线段DE，∴∠ACD=∠ACE=45°，∴∠DCE=90°，∴∠EDC=∠CED=45°，∵∠B=45°，∴∠EDC=∠B，∴DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE=60°．（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO ， ∴△AOE ∽△DOE′， ∴AO ：OD=EO ：OE'， ∴AO ：EO=OD ：OE'， ∵∠AOD=∠EOE′， ∴△AOD ∽△EOE′， ∴∠EE′O=∠ADO=60°，∴点E 的运动轨迹是直线EE′（过点E 与BC 成60°角的直线上）， ∴EC 的最小值即为线段CM 的长（垂线段最短）， 设E′N=CN=a ，则AN=4-a ， 在Rt △ANE′中，tan75°=AN ：NE'，∴=4aa-，∴∴在Rt △CE′M 中，∴CE 【题目点拨】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题． 20、10 【解题分析】试题分析：根据相似的性质可得：1:1.2=x ：9.6，则x=8，则旗杆的高度为8+2=10米. 考点：相似的应用21、（1）a =k =2；（2）b =2或1． 【解题分析】（1）依据直线y =x 与双曲线ky x=（k ≠0）相交于点)A a ，即可得到a 、k 的值；（2）分两种情况：当直线x=b在点A的左侧时，由3x-x=2，可得x=1，即b=1；当直线x=b在点A的右侧时，由x3x-=2，可得x=2，即b=2．【题目详解】（1）∵直线y=x与双曲线kyx=（k≠0）相交于点()3A a，，∴3a=，∴()33A，，∴33k=，解得：k=2；（2）如图所示：当直线x=b在点A的左侧时，由3x-x=2，可得：x=1，x=﹣2（舍去），即b=1；当直线x=b在点A的右侧时，由x3x-=2，可得x=2，x=﹣1（舍去），即b=2；综上所述：b=2或1．【题目点拨】本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数的图象与解析式的关系，解题时注意：点在图象上，就一定满足函数的解析式．22、5 4【解题分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；【题目详解】解：原式=a2﹣3ab+a2+2ab+b2﹣a2+ab=a2+b2，当a=1、b=﹣12时，原式=12+（﹣12）2=1+1 4=54．【题目点拨】考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23、（1）证明：∵ABCD是平行四边形∴AB=CDAB∥CD∴∠ABE=∠CDF又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=∴△ABE≌△CDF∴BE=DF【解题分析】证明:在□ABCD中∵AB∥CD∴∠ABE=∠CDF…………………………………………………………4分∵AE⊥BD CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=900……………………………………………………5分∵AB=CD∴△ABE≌△CDF…………………………………………………………6分∴BE=DF24、(1)14；(2)13.【解题分析】（1）一共4个小球，则任取一个球，共有4种不同结果，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为14；（2）列表或画出树状图，根据一共出现的等可能的情况及恰能组成“美丽”或“光明”的情况进行解答即可. 【题目详解】(1) ∵“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，∴任取一个球，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率P=1 4(2)列表如下：根据表格可得：共有12中等可能的结果，其中恰能组成“美丽”或“光明”共有4种，故取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率13 P .【题目点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．。
2013中考复习数学-武汉市中考+调考数学24题专题---几何综合
24．(本题10分)填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F 。
(1)如图①，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_________；如图②，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_________；(2)如图③，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC 绕点C 旋转(点F 不与点A 、B 重合)，得图④或图⑤。
在图④中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________。
请你任选其中一个结论证明。
24．（本题10分）解：（1）∠AFB=60°，∠AFB=45°（2）∠AFB=90°12α-（3）图4中：∠AFB=90°12α-；图5中：∠AFB=90°+12α∠AFB=90°12α-的证明如下：∵AB=AC ，EC=ED ，∠BAC=∠CED ，∴△ABC~△EDC ，∴∠ACB=∠ECD ，BC AC DC EC=，∴∠BCD=∠ACE ， ∴△BCD~△ACE ，∴∠CBD=∠CAE∴∠AFB=180°－∠CAE －∠BAC －∠ABD=180°－∠BAC －∠ABC=∠ACB∵AB=AC ，∠BAC=α A A A B B B C C C DD DE E EF F F 图① 图② 图③ (第24题图)A AB BC CD DE E FF 图④ (第24题图)图⑤∴∠ACB=90°－12α∴∠AFB=90°－12α∠AFB=90°+12α的证明如下：∵AB=AC ，EC=ED ，∠BAC=∠CED ，∴△ABC~△EDC ，∴∠ACB=∠ECD ， BC AC DC EC=，∴∠BCD=∠ACE ， ∴△BCD~△ACE ，∴∠BDC=∠AEC ，∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED=180°－∠DCE∵AB=AC ，EC=ED ，∠BAC=∠DEC=α∴∠DCE=90°－12α∴∠AFB=180°－（90°－12α）=90°+12α24．（本题10分）正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F 。
【中考冲刺】初三数学培优专题 24 平面几何的定值问题(含答案)(难)
平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1. 探求定值； 2. 给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点. 求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A . 到CD 的距离保持不变 B . 位置不变C . 等分DB⌒ D . 随C 点的移动而移动 （济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.A【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足. 求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值. 从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°. 点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E . 连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （广州市中考试题）解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点. 若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P . 动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点. 求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1. 如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段. 若S 阴影=1，则=+21S S _______.（牡丹江市中考试题）AABCDEF（第3题图） （第4题图）2. 从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°（武汉市竞赛试题）5. 如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP . 连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）A ．在平分AB 的某直线上移动 B . 在垂直AB 的某直线上移动C . 在弧AMB 上移动D . 保持固定不移动AB'B（第5题图） （第6题图）6. 如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A . 3 B . 6 C . 9 D . 12（海南省竞赛试题））7. （1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况. 在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来. 请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）8. 在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转. 旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9. 如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB . 在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等. 指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图） （第10题图） （第11题图）10. 如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O的半径为R . 求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11. 如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心. 当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2. 已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题） 折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论一定正确的是（ ）A . ∠1＋∠2＝900°－2αB . ∠1＋∠2＝1080°－2αC . ∠1＋∠2＝720°－αD . ∠1＋∠2＝360°－21α （武汉市竞赛试题）（第3题图） （第4题图）4. 如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则12GF ED CHBAA . 在0°到30°变化B . 在30°到60°变化C . 保持30°不变D . 保持60°不变5. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8. 若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A . 5B . 6C . 7D . 8（黄石市中考试题）（第5题图）6. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F . 试证明：FC （AC +EC ）为定值.（株洲市中考试题）7. 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M . 设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N . 证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）（第7题图） （第8题图）B NKMB AC HCBA距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC . 现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动. 点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动. 线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F . 设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程. （黄冈市中考试题）（第9题图） （第10题图）10. 已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11. 已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG . 求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）平面几何的定值问题例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故2PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 . DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = . ∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OF PF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •PA ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴PA ＝PB ＋PC ，从而PA 2＋PB 2＋PC 2＝(PB ＋PC )2＋PB 2＋PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×23＝6．故PA 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4 提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2 提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A ′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝xB •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P 在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22. 5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP 2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP 2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a 2a )，从而21AP BPCP DP++为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD 2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PM EC PC =，即()2112x x EC --=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝ ()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989) ⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可，而PA ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝185． ⑶设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4. 5．说明P 在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4. 5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6. 5，∴t ＋224441425=．∴t ＝ 4142． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4. 5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝22422415，又0≤5t ≤22. 5，∴－8≤5t －8≤14. 5，14. 52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4. 5)满足此方程．综上所述，当t ＝4142时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB的垂线CH，EM，G N，垂足分别是H，M，N．容易证明△AEM≌△ACH，△B G N≌△BCH．从而有AM＝CH＝BN，EM＝AH，G N＝BH．这样，线段AB的中点O也是线段MN的中点，连接OP，则OP是梯形EMN G的中位线，从而OP⊥AB，OP＝12(EM＋G N)＝12(AH＋BH)＝12AB．∴无论点C在AB同一侧的位置如何，E G中点P的位置不变．。
武汉市2017年中考复习-第24题二次函数专练
武汉市2017年中考复习-第24题⼆次函数专练A B O P y xM Nl中考第24题⼆次函数专练24、（本题满分12分）如图1，已知抛物线21:22F y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ，抛物线22:F y x ax b =++的顶点为D 在线段AB 的延长线上（不包括B 点），两抛物线相交于点C. （1）①若4a =-，求b 的值；②请⽤含a 的式⼦表达b 为；（2）如图1，若∠ACD=90°，求a 的值；（3）如图2，若抛物线2F 与直线AB 另⼀个交点为E ，连接CE ，若△CDE 的⾯积不⼩于3，求a 的取值范围.24、（本题满分12分）已知抛物线21y ax =+与x 轴交于点A 、B （点A 在B 点左侧），且与直线22y x =+仅有⼀个公共点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）过B 点的直线交y 轴负半轴于点P ，且交抛物线于另⼀点C ，若3APC PAB S S ??=，试求出点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，若过点P 的另⼀条直线l 交抛物线于M 、N两点（M 在N 的左侧），且OM ⊥ON ，求直线l 的解析式．A BO CP y x124、（本题满分12分）如图，已知直线24y x =-+与两轴交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++ 的顶点M 在线段AB 上，与y 轴交于点C ．（1）若2b =-，求C 点的坐标；（2）若△ACM 为等腰三⾓形时，求抛物线的解析式；（3）如图2，抛物线的顶点M 与B 点重合，P 为x 轴负半轴上⼀点，过P 点作直线l交抛物线于D 、E 两点，连接BD 、BE ，试证明：对于x 轴负半轴上任意给定的⼀点P ，都存在这样的⼀条直线l ，使得△BPD 的⾯积等于△BDE 的⾯积恒成⽴．24、（本题满分12分）如图，抛物线1C ：224y ax ax =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，M 为此抛物线的顶点，若△ABC 的⾯积为12．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点．①直接写出点P 所经过的路线长为；②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，作 DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF 、EF ，在旋转过程中，求 EF 的最⼩值；（3）将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，已知抛物线2C 的顶点为N ，与直线AC 交于E 、F 两点，若EF=AC ，求直线MN 的解析式.24、（本题满分12分）点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m ＞)上任⼀点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上⽅），点Q 为点P 旋转后的对应点.（1）当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标；（2）设点()Q a b ，，⽤含m 、b 的代数式表⽰a ；（3) 如图2，若原抛物线恰好也经过A 点，点Q 在第⼀象限内，是否存在这样的点P ，使得AQ=GQ ？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由.24、（本题满分12分）如图，已知抛物线223y ax ax =-+(a ≠0)，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若3OB OA =．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，点P 、点Q 是第⼀象限的抛物线上不同的两点，是否存在这样的P 点，使得BCP BCQ S S ??＞恒成⽴？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，D 为抛物线的顶点在x 轴上的正投影，M 为线段OC上⼀点，过点M 作直线l 交抛物线于E 、F 两点，连接AE 、OE 、 BF 、DF ，若△AEO ∽△DFB ，求M 点的坐标.24、（本题满分12分）直线l 垂直x 轴于点A （4，0），点P 是直线l 上的⼀个动点，经过点P 的抛物线2y x bx=+与x 轴交于原点O 和点B ，抛物线的对称轴交OP 于点C ，交x 轴于点D ，设P 点的纵坐标为m . （1）求当点P 与点A 重合时抛物线的解析式；（2）平移直线OP ，使平移后的直线与抛物线有且只有⼀个公共点Q ，试证明：⽆论m 为何值时，△OPQ 的⾯积恒为定值，请说明理由并求其值；（3）连接BC ，试问：是否存在点P ，使得△PBC 为直⾓三⾓形？若存在，求出所有满⾜条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.24、（本题满分12分）已知抛物线23y ax bx c =++（0b ＜）交x 轴于A 、B 两点（A 在B 点左侧），交y 轴负半轴于点C ，对称轴为直线2bx -=．（1）当4b c ==-时，求抛物线在x 轴上截得的线段长；（2）如图，过点B 的直线交y 轴于点D ，且BD ⊥AC 于点E ，若OE 平分∠AEB ，CD=2OD ，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，已知M 、N 是抛物线上两点，且以M 、N 、O 、B 为顶点的四边形是以OB 为对⾓线的平⾏四边形，求直线MN 的解析式．A OBCDEy xAOBCyx24、（本题满分12分）如图1，已知抛物线bx ax y +=2(a ≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点. （1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有⼀个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满⾜△POD ∽△NOB 的点P 的坐标（点P 、 O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．24、（本题满分12分）已知等腰Rt △ABC 的顶点A 的坐标为(0，-1)，顶点C 的坐标为(4，3)，直⾓顶点B在第四象限，抛物线212y x bx c =-++(b c 、为常数)的顶点为P ．（1）如图1，若该抛物线经过A 、B 两点，试说明抛物线的顶点P 在斜边AC 上；（2）如图2，将（1）中的抛物线的顶点P 沿AC 边所在的直线平移，设平移后的抛物线与直线AC 交于另⼀点Q ，且P 、Q 两点都在AC 边上，取边BC 的中点N ，连接NP 、BQ ．当四边形BNPQ 的⾯积等于5时，求平移后抛物线的解析式；（3）将（1）中的抛物线绕点(13n n ++，)旋转180°得到⼀条新抛物线，若新抛物线与直线132y x =+有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．24、(本题满分12分)如图1，已知抛物线2y ax bx =+（0a ＞）的顶点为A(1，-1)．（1）请直接写出：a = ，b = ；（2）若点P 在对称轴右侧的抛物线上运动，连结OP 交对称轴于点B ，点B 关于顶点A 的对称点为C 点，连接PC 、OC ，试证明：当P 点运动时，∠PCB=∠OCB 恒成⽴；（3）如图2，将抛物线沿直线OA 作n 次平移(n 为正整数，n ≤12)，顶点分别为123n A A A A 、、、、，横坐标依次为1，2，…，n ，各抛物线的对称轴与x 轴的交点分别为123n D D D D 、、、、，以线段n n A D 为边向右作正⽅形n n n n A D E F ，是否存在点n F 恰好落在其中的⼀个抛物线上，若存在，求出所有满⾜条件的正⽅形边长；若不存在，请说明理由．24、（本题满分12分）如图，点P 是直线：22-=x y 上的⼀点，过点P 作直线m ，使直线m 与抛物线2xy =有两个交点，设这两个交点为A 、B.（1）如果直线m 的解析式为2+=x y ，直接写出A 、B 的坐标；（2）如果已知P 点的坐标为（2， 2），点A 、B 满⾜PA=AB ，试求直线m 的解析式；（3）设直线与y 轴的交点为C ，如果已知∠AOB ＝90°且∠BPC=∠OCP ，求点P 的坐标．24、（2014?孝感）如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x2﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A，B，C，D；（2）若点P是抛物线上⼀动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平⾏线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；②当点P在直线BD下⽅时，点K在直线BD上，且满⾜△KPH∽△AEF，求△KPH⾯积的最⼤值．24、（2014?宜昌）如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第⼀象限内作正⽅形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂⾜为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=a x2+b x+c．（1）填空：△AOB≌△_____≌△BMC（不需证明）；⽤含t的代数式表⽰A点纵坐标：A（0，）；（2）求点C的坐标，并⽤含a，t的代数式表⽰b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯⼀的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开⼝向上，对称轴是直线x=2﹣，顶点随着的增⼤向上移动时，求t的取值范围．24、（2014?鄂州）如图所⽰，在平⾯直⾓坐标系XOY 中，⼀次函数m x y +=45的图象与x 轴交于 A （－1，0），与y 轴交于点C.以直线x=2为对称轴的抛物线C 1：)0(2≠++=a c bx ax y 经过 A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B.（1）求m 的值及抛物线21:(0)C y ax bx c a =++≠的函数表达式. （2）设点25(0,)12D ，若F 是抛物线21:(0)C y ax bx c a =++≠对称轴上使得△ADF 的周长取得最⼩值的点，过F 任意作⼀条与y 轴不平⾏的直线交抛物线1C 于111222(,),(,)M x y M x y 两点，试探究1211M F M F+是否为定值？请说明理由. （3）将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线2221:(),14C y x h h =-->，若当1x m <≤时，2y x ≥-恒成⽴，求m 的最⼤值.24、（2014?黄冈）已知：如图，在四边形OABC 中，AB ∥OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A （1，﹣1），B （3，﹣1），动点P 从点O 出发，沿着x 轴正⽅向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P 作PQ 垂直于直线OA ，垂⾜为点Q ，设点P 移动的时间t 秒（0＜t ＜2），△OPQ 与四边形OABC 重叠部分的⾯积为S ．（1）求经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点M 的坐标；（2）⽤含t 的代数式表⽰点P 、点Q 的坐标；（3）如果将△OPQ 绕着点P 按逆时针⽅向旋转90°，是否存在t ，使得△OPQ 的顶点O 或顶点Q 在抛物线上？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S 与t 的函数关系式．24、（2014?武汉）如图，已知直线AB ：42++=k kx y 与抛物线221x y =交于A ，B 两点．（1）直线AB 总经过⼀个定点C ，请直接出点C 坐标；（2）当21-=k 时，在直线AB 下⽅的抛物线上求点P ，使△ABP 的⾯积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB=90°，求点D 到直线AB 的最⼤距离．24、（2014?随州）平⾯直⾓坐标系中，四边形ABCD 是菱形，点C 的坐标为（﹣3，4），点A 在x 轴的正半轴上，O 为坐标原点，连接OB ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过C 、O 、A 三点．（1）直接写出这条抛物线的解析式；（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的⼀点E ，设△EBO 的⾯积为S 1，菱形ABCD 的⾯积为S 2，当S1≤S 2时，求点E 的纵坐标n 的取值范围；（3）如图2，D （0，﹣）为y 轴上⼀点，连接AD ，动点P 从点O 出发，以个单位/秒的速度沿OB ⽅向运动，1秒后，动点Q 从O 出发，以2个单位/秒的速度沿折线O ﹣A ﹣B ⽅向运动，设点P 运动时间为 t 秒（0＜t ＜6），是否存在实数t ，使得以P 、Q 、B 为顶点的三⾓形与△ADO 相似？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．。