复数的几何意义

复数的几何意义

一、复数的几何意义

1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。

2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义

复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=

4、复数的加法与减法的几何意义

加法的几何意义 减法的几何意义

22b a + Z( )

x

o

Z 1

Z 2

Z

Z 2

Z

1

y

y o

x

z 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义

z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）

①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]

如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→

→

→

显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→

逆时针旋

转θ2角模变为oz 1

→

的r 2倍所得向量

便是积z 1·z 2=z 的向量oz →

。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→

顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法

'=÷=

=-+-z z z z z r r i 12121

2

1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠

0）

除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：

< 1 >θθ210>→

时顺时针旋转角２oz 。

< 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→

01oz 。

二、综合应用

例1

例2、满足3<|z|<5(z ∈C)的复数z 对应的点在复平面上将构成怎样的图形？ 解

：

设

z=x+yi(x,y ∈R)

图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内

例3．若Z ∈c ，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ 范围.

上22

2.求实数m 取何值时，

z =(m +5m +6)+(m -2m -15)i 对应的点，（1）在x 轴方(2)在第四象限

（3）在直线x +y +9=0上

()北京2

3.2004当

3

对应的点在第_____象限

4.若3-5i ，1-i 和-2+ai 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a =____

5

32

2<+

2

<+

解:法一，数形结合

由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1

为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的

距离.

显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,

另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知

∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)

法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)

则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,

∴|Z|=≤=,

∵(x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,

∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.

例4．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.

分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.

解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠

xOA=π,而

|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|

将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，

|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3

, ∴所求最小值=3.

法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，

∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，

|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,

∴所求最小值=3.

例5．若与分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠

Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.

解:欲求∠Z2OZ1，可计算