4、任意角的三角函数与求值计算
高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】
《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈gx 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o gy 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈o o g g第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g4、区分第一象限角、锐角以及小于90o的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g锐角：{}090αα<<o小于90o的角：{}90αα<o5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2α在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π815730.571801'︒=︒≈︒=π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r =2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin >0,cos >0,tan >0, 第二象限：0,0.><y x sin >0,cos<0,tan<0,第三象限：0,0.<<y x sin <0,cos <0,tan >0, 第四象限：0,0.<>y x sin<0,cos>0,tan<0,4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
高中数学 三角函数
高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。
它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。
常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。
正切函数的周期性稍有不同，为π。
2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。
例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。
3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。
例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。
4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。
例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。
例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。
例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。
例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。
例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。
任意角的三角函数数学总结
第一章 三角函数（内容总结）设计人：丁大牛1.1任意角和弧度制1.1.1 任意角1.任意角的两种分类2.和角α 终边相同的角的规律等式是3.等分角)3,2(=n n α的象限规律4.用角度的形式写出终边落在每个象限的角1.1.2 弧度制1.角的两种度量方式： 和2.角的两种度量单位及其规定：角度制弧度制3.换算公式4.角度和弧度转化时候需要注意5.扇形公式1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数锐角三角形中=αsin =αcos =αtan终边上一点),(y x P 的三角函数公式=αsin=αcos=αtan终边和单位圆交点),(y x P 的三角函数=αsin=αcos=αtan单位圆上的三角函数线：正弦线、余弦线、正切线各个象限角的三角函数值的符号规律α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限αsinαcosαtan终边相同的角的同一三角函数的值相等：=+)2sin(παk公式 =+)2c o s(παk 公式一的功能： =+)2tan(παk 1.2.2 同角三角函数的基本关系1. 平方和关系：2. 商数关系：3.变化应用：4.正弦、余弦化正切5. ααcos sin ±、ααcos sin ⋅和αtan 的关系6. 求值、化简、证明1.3三角函数的诱导公式公式二 公式二的功能：公式三 公式三的功能：公式四 公式四的功能：公式五 公式五的功能：公式六 公式六的功能：公式一至四可以概括为：公式五、六可以概括为：理解公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限1.4三角函数的图像与性质正弦函数x y sin 的图像和性质定义域值域周期性性质 单调性 图像最值奇偶性对称性余弦函数x y cos =的图像和性质定义域值域周期性性质 单调性最值 图像奇偶性对称性正切函数x y tan =的性质与图像定义域值域周期性性质 单调性 图像最值奇偶性对称性1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像一、由函数x y sin =的图像变化到)sin(ϕω+=x A y 的图像1.先平移后伸缩2.先伸缩后平移二、由图像来确定)sin(ϕω+=x A y 中的ϕω,,A1、由图像中的最高点和最低点求A 和b2、由横坐标确定周期进而确定ω的值3、由起始点的坐标进而确定ϕ的值/起始点、最高点、第三点、最低点、起始点。
如何计算任意角的三角函数值
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一
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第 三 或 第 四 象 限 ， 它 是 十ａ或 ２ － ｎ⑤ 若 要 求 适 合 条 件 的一 切 则 ｒ ； ｔ
角 ． 利 用 终 沩 相 同 的 角 的 表 式 写 出 一 切 角 再
三角函 ｌ（ ｎ ｌ 数 Ｉ ＋ｒ 数 一） ： 角萌 （ ２ ｏ ）
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特 举 几 种 类 型 的例 子 ：
例 １ 求 下 列 各 三 角 函 数 的值 ．
一
从例２ 可见， 知ａ 弓 的一个 角函 数值求角ａ实质上是要解 ，
个 最 简 单 的 ｉ 角 方 程 ， 的 一 般解 法 步 骤 是 ： 决 定 角 ｎ 在 的 它 ① 所
象 限 ； 如 函数 值 为 正 ， 求 出对 应 锐 角 一③ 如 函 数值 为 负 ， ② 先 ； 先求
④ａ一５） 一锄 ５一 ｔ（ 一 一 （ｔ 号一 ｔ（了 一 ｔ了 一ａ２ 号） 一 一ａ ｎ ｎｎ ｎ
３ 解①ｃｓ － １１ 一ｃｓｌ ｏ（ １ ） ｏ ｌｌ 一ｃｓ３０ ×３ ） ｏ３Ｏ ｆ ｏ（６￣ ＋３ 一ｃｓＯ ￣
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任意角的三角函数
《任意角三角函数的定义》问题导读—评价单【学习目标】掌握简单三角函数的计算方法再具体点【学习重点】三角函数线的理解与掌握【学习难点】利用三角函数线解决具体问题。
【学法指导】初中学习过的在直角三角形中三角函数的定义【预习评价】问题探究一单位圆中三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α的，记作，即cosα＝x；③yx叫做α的，记作，即tanα＝yx(x≠0)．问题探究二（1）三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？（2）三角函数在各象限内的符号怎样。
问题探究三终边相同的角的同名三角函数值间的关系问题探究四请表示出终边落在四个象限的三角函数线。
《任意角的三角函数定义》问题解决—评价单【教师生成的问题】问题1、已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα.（课本例一）注明出处问题2、化简：sin x|sin x|＋|cos x|cos x＋tan x|tan x|⎝⎛⎭⎪⎫其中x≠kπ2，k∈Z.（）例三求值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sin(－116π)＋cos12π5·tan4π.例四利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围：(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ<32.《任意角的三角函数定义》问题拓展—评价单一、选择题1．(点P(tan2009°，cos2009°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设a＝sin 2π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝35，则tanα＝()A．－34 B.34C.43 D．－434．设0≤α<2π，若sinα>3cosα，则α的取值范围是()A ．(π3，π2)B ．(π3，π)C ．(π3，4π3)D ．(π3，π2)∪(4π3，32π)二、填空题5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则a 的取值范围是________．6．sin390°－2cos765°＋3cos(－660°)－3tan(－330°)＝________. 三、解答题7．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)； (2)tan 8π3.8．求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x ) 【多元评价】。
6262任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式
任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式 一．知识点（1）任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是（),y x ，它与原点的距离是22(y x r r +=0>），那么：比值y r x r y x x y r x r y,,,,,分别叫α的正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，记作：sin α,.csc ,sec ,cot ,tan ,cos ααααα（2）正弦线，余弦线，正切线的定义（3）三角函数符号的判断口诀记忆法： 一全正，二正弦，三正切，四余弦 （4）公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等ααααααααααααcsc )360csc(;sec )360sec(;cot )360cot(tan )360tan(;cos )360cos(;sin )360sin(=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+k k k k k k ()z k ∈(5) 同角三角函数的关系式：1cos sin 22=+αα；;tan cossin ααα=1c o t t a n =⋅αα ; αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+,αααcot sin cos =, 1csc sin =αα ; 1sec cos =αα二：任意角的三角函数的方法总结1：用定义法求三角函数值 2．用转化法求终边相同的交的三角函数值 例题：求2π的六个三角函数值 例如：求值1470cos )1740sin(-3．用分类讨论的方法解题例如：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的六种三角函数值 4．用数形结合的方法解三角不等式 例如：已知23cos <θ，求角θ的取值范围三．同角三角函数的基本关系式的方法总结1． 用方程的思想指导解题 2. 用整体的思想指导解题例如：已知,,tan 23παπα<<=m 求αsin 例如：已知,cos sin a =+αα 求ααcos sin3． 分类讨论的思想解题 4. 用转化的思想指导解题例如：已知51sin =α，求ααtan ,cos 。
任意角的三角函数与求值计算资料
解： Q x 3, y 4,
r (3)2 （-4)2 5.
sin 4 ,
5
cos 3 ,
5
tan 4 .
3
y o
x
r
P(3, 4)
讨论 讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、
值域？
三角函数
定义域
y sin x y cos x y tan x
r
cos x ;
r
tan y .
x
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边 P(x, y)
y 的终边
P(x, y)
r
o
x
ox
sin y r
cos x
r
tan y
x
P(x, y)
y o
x
r
的终边
y o
x
r
P(x, y) 的终边
范例1 已知角α的终边上一点P(-3,-4),
第4章 任意角的三角函数
与求值计算
4.1 角的概念的推广与弧度制
引言
1.初中所学角是如何定义的？
具有公共顶点的两条射线组成的图形。
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0o 360o
引言
时钟慢了10分钟，应如何校？ 分针应转多少度？
一、任意角
(2)5cos 3sin 4sin 3 4 tan 0 3cot
2
2
2
4
范例4 判断下列三角函数值的符号.
必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)
任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一 三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是 ．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案 －43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解 因为x ＝2，y ＝－3， 所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案 一或二解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题11．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5， 得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。
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范例1 在0 ~360 范围内，找出与下列角终边相
同的角，并判断它们是第几象限角.
0
0
(1) 950 25
(2) 500
范例2 写出终边在 y 轴上的角的集合.
作业布置
书本 P72 练习4.1.1
二、弧度制
衡量角度大小以前我们用的是度 ( ) ，亦即角度制,
我们现在引入另一种衡量单位：弧度 (rad).
60
90 180 270 360
sin a
0
2 2 2 2
cos a
tan a
1
0
3 2 3 3
3 2 1 2
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
3
范例3 计算
(1)3sin 900 2cos00 5sin 2700 2 tan 450 tan180 0
3 (2)5cos 3sin 4sin 4 tan 0 3cot 2 2 2 4
30 ,390 ,750 , 330 分别是第几象限角？
它们有何关系？ (终边相同) 你能写出与30 角终边相同的角的集合吗？
y
O
x
一、任意角
一般地，所有与 α 角终边相同的角有无数个，
它们可以表示为 360 k
(k Z )
用集合可表示为 | 360 k , k Z
第4章 任意角的三角函数
与求值计算
4.1 角的概念的推广与弧度制
引言
1.初中所学角是如何定义的？
具有公共顶点的两条射线组成的图形。
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0 360
引言
时钟慢了10分钟，应如何校？ 分针应转多少度？
一、任意角
终边
y
x
4 sin , 5 3 cos , 5 4 tan . 3
讨论
讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、 值域？
三角函数
定义域
值域
y sin x
y cos x
R R
{ x | x k
[ 1,1]
2
[ 1,1]
, k Z}
y tan x
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
P ( x, y )
的终边
P ( x, y )
y
o
r
P ( x, y )
y
x
o
y
x
r
P ( x, y )
r
o
x
o
x
y sin r x cos r y tan x
的终边
的终边
范例4 判断下列三角函数值的符号.
o
角度和弧度的换算为： rad 180
所以有
1 rad
1
180
180
57 18
rad 0.01745 rad
范例3 把角度、弧度相互转化.
(1)180 (
(2)67 30 (
7 (3) ( 8
)rad
)rad
)
熟记特殊角弧度制表示，P74.
范例4 把下列角转换成弧度制.
R
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
正割 余割
P ( x, y )
o
r = x2 y 2
x
余切
r sec ; x r csc ; y x tan . y
范例2 求下列各角的正弦、余弦和正切值.
(1) 0
(2)
2
讨论
角
讨论特殊角的三角函数值.
0
函数值
30
1 2
45
余弦
o
r = x2 y 2
x
正切
y sin ; r x cos ; r y tan . x
范例1
已知角α的终边上一点P(-3,-4), 求α的正弦、余弦和正切值.
解： 因为x 3, y 4,
r (3) （-4) 5.
2 2
o
r
P(3, 4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一试
说出下列角分别是第几象限角
60 ,135 , 240 ,300 ,127 ,195 , 40 , 315 . I II III IV II III IV I y
(90 ,180 )
O
(0 ,90 )
x
(270 ,360 )
(180 , 270 )
范围在 0 ,360 内
想一想
(1)135
(2)240
(3)330
(3)765
范例5 把下列角转换成角度制.
5 (1) 4 5 (2) 3 17 (3) 6
范例6 求公路弯道部分的弧MN的长(精确到1m).
80 45m
l r
4.2 任意角的三角函数
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边
正弦
P ( x, y )
(1)sin 250
0
(2) tan( ) 4
(3)cos8500
(4)sin(6720 )
范例5 根据下列条件，确定角 α 所在的象限.
(1)sin 0且 cos 0
(2)sin tan 0
B
O
顶点
始边
A
角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图 形.
一、任意角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不旋转时形成的角
120
60
240
420
一、任意角
y
I II
O
x
III
IV
象限角：以角的顶点为原点，角的始边为 x 轴，终边 落在第几象限，就说这个角是第几象限角.