任意角的三角函数及基本关系

y
P
sin cos 1
2 2
P
O
x
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点 P（x，y），根据三角函数定义，有 y sin y ， x，tan ( x 0) ， cos x 由此可得sinα ，cosα ，tanα 满足什 么关系？ sin tan cos
例题
变式1：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0)，求角α
的正弦、余弦、正切值．
例题
变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、 余弦、正切值．
例题
5 例2：求 的正弦、余弦、正切值 . 3
例题
例3：已知角终边在直线 3x上， y 求角的各个三角函数值 .
6. 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos<0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。
课堂
练习
7.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的 取值范围： (1)sinα <cosα ; (2)|sinα |<|cosα | .
归纳
总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
左负右正纵为0
y
o
x
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
第一象限：x 0, y 0, 故 为正值； x y 第二象限：x 0, y 0, 故 为负值； x y 第三象限：x 0, y 0, 故 为正值； x y 第四象限：x 0, y 0, 故 为负值； x
y 3 、正切函数值 tan y x
y
P
O
M
x
MP＋OM>OP=1
知识探究（二）：正切线
思考1：如图，设角α 为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P（x，y），则 y tan 是正数，用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适？
y P T
y tan AT x
O
M A x
思考2：若角α 为第四象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 tan 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？
OP r
MP b OP r a 2 b 2
y
OM a cos OP r
﹒Pa, b

MP b tan OM a
o
﹒
M
x
诱思
探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
OMP ∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP
练习
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( D ) A.sin α=0 B.sin α=1 C.sin α=-1 D.sin α=± 1 2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是(B )
A.4 3 C. 4 3
B. 4 3 D. 3
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
﹒
M

O
M
x
M P OP OM OP
MP tan OM
M P OM
一、任意角的三角函数的定义1:
设是一个任意角的终边上任意一点 , P( x, y )(除端点外),它与原点的距离是 r (r x y 0), 那么:
2 2
y
P( x, y)
α 的终边 P(x，y)
O
x
说明
(1)sin ,cos , tan 分别叫做角的正弦函数、余弦函数、 正切函数．以上三种函数都称为三角函数;
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
例题
例1：已知角的终边经过点 0 (3,4)， P 求角的正弦、余弦、正切值 .
设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交 于点P(x,y)则:
y
y 叫α 的正弦
sin α y
x叫α的余弦
P ( x, y )
O
cos x
x
y 叫α的正切 x y tan x
一、任意角的三角函数的定义:
思考：对于一个任意给定的角α ，按照上述定义， 对应的sinα ，cosα ，tanα 的值是否存在？是否 惟一？ y
P
P
sin p p p < < t an 4 4 4
O
x
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线 是一个点；当角α的终边在y轴上时，角 α的正切线不存在.
思考7：对于不等式 sin a < a < t an a （其中α 为锐角），你能用数形结合 思想证明吗？
y P
O M A x T
课后思考：
由 sin 与 cos 的定义探究
r

O
x
y y (1)比值 叫做 的正弦 , 记为 sin , 即sin r r x x (2)比值 叫做 的余弦 , 记为 cos ,即 cos r r y y (3)比值 叫做 的正切 , 记为 tan ,即 tan x x
一、任意角的三角函数的定义2:
M O T
x
AT=tanα .
3.对于一个任意角α ，sinα ，cosα ， tanα 是三个不同的三角函数，从联系 的观点来看，三者之间应存在一定的内 在联系，我们希望找出这种同角三角函 数之间的基本关系，实现正弦、余弦、 正切函数的互相转化，为进一步解决三 角恒等变形问题提供理论依据．
知识探究（一）：基本关系
交叉正负
y
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin 、 csc
cos、 sec
tan 、 cot
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例题
例1、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
y
P（x，y）
y x
M
M
O
O
P（x，y）
x
思考5：设角α 的终边与单位圆的交点 为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称 有向线段MP，OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时， 角α 的正弦线和余弦线的含义如何？
y P M O x P O x y
P
思考6：设α 为锐角，你能根据正弦线和 余弦线说明sinα ＋cosα >1吗？
y T
y tan AT x
A M
O
T
A x
P
思考5：根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？
y P O A x T P O A T x y
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 AT=tanα .
思考6：当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正切线的含义如何？ y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
第一象限：x 0, r 0, 故 为正值； r x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
x 2 、余弦函数值 cos r x
二者的关系.
1.2.2 同角三角函数 的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别 是如何定义的？ y sin y cos x弦、 正切函数线分别是什么？ y P MP=sinα ，
A
x
OM=cosα ，
1.2.1任意角的三角函数
上述定义只限于直角三角形中的锐角， 而现在角的定义已经拓广到任意角.
如：
2 sin ? 3 cos ? t an(

3
)?
任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义
正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义
思考：如何定义任意角的三角函数？
新课
导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 其中 : MP b s i n OM a
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 sin x cos x tan x cot x 2、函数y 的值域是 B sin x cos x tan x cot x A、2， B、2，0， 4 4 C、2，0，2， D、4，-2，0， 4 4
M
x
思考2：若角α 为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 sin y ， x 都是负数，此时 cos 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示？ y
| MP | y sin
| OM | x cos
M
O
x
P（x，y）
思考3：为了简化上述表示，我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点，另 一个为终点，使得线段具有方向性，带 有正负值符号.根据实际需要，应如何 规定线段的正方向和负方向？
y
y x
y tan AT x
M O
A x
P
T
思考3：若角α 为第二象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 tan 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？
T
y P A T
y x
y tan AT x