高中数学第1章第2课课时分层训练
分层训练(二)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．
若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]
2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的________条件．
必要不充分[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]
3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．
充分必要[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分必要条件．]
4．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
导学号：62172008 2[由a＞bD ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.
所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．
从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]
5．“m＜1
4”是“一元二次方程x
2＋x＋m＝0有实数解”的________条件.
导学号：62172009
充分不必要[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤1
4，因为m＜1
4⇒m≤
1
4
，反之不成立．
故“m＜1
4”是“一元二次方程x
2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]
6．给出下列命题：
①“若a2<b2，则a<b”的否命题；
②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；
④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
③④[对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]
7．(2017·金陵中学期中)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
必要不充分[当a>2且b>2时，a＋b>4.
但当a＝1，b＝6时，有a＋b＝7>4，
故“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．]
8．“sin α＝cos α”是cos 2α＝0的________条件．
充分不必要[∵cos 2α＝cos2α－sin2α，
∴若sin α＝cos α，则cos 2α＝0，反之不一定，如当cos α＝－sin α时也成立．]
9．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是________.
导学号：62172010
若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 [“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．]
10．若x ＜m －1或x ＞m ＋1是x 2－2x －3＞0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．
[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3＞0}{x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}，
又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜m －1，m ＋1≤3，
∴0≤m ≤2.] 二、解答题
11．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解] (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．
该命题是真命题，证明如下：
因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .
又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，
因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，
所以否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )
＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.
该命题是真命题，证明如下：
因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，
因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，
所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围. 导学号：62172011
[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，
∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．
∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，
∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，
解得m ≥34或m ≤－34，
故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞. B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·南通第一次学情检测)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|F (x )|的图象
关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”)
必要不充分 [“y ＝f (x )是奇函数”，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；反之若f (x )＝x 2，则y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但y ＝f (x )是偶函数．]
2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集．
又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1＜1或⎩⎪⎨⎪⎧
－a －1＞－3，－a ＋1≤1，
解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]
3．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.
[证明] 必要性：
若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，
则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，
∴a ＋b ＋c ＝0.
充分性：
若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，
∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，
∴(ax －c )(x －1)＝0，
∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，
∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．
综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.
4．(2017·南通第一次学情检测)已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；
q ：函数f (x )＝x 2－c 2的最小值不大于－116.如果p ，q 均为真命题，求实数c 的取
值范围．
[解] 因为c >0，p ：函数y ＝c x 在R 上递减，
所以p 为真时，0<c <1；q 为真时，－c 2≤－116，
所以c ≤－14或c ≥14，
因为c >0，所以c ≥14.
因为p ，q 均为真命题，所以⎩⎨⎧ 0<c <1，
c ≥14，
解得14≤c <1，
所以，实数c 的取值范围为14≤c <1.。
人教A高中数学必修五同步课时分层训练：第1章 解三角形 第2课时 含解析
第一章 1.2 应用举例第二课时 高度、角度问题课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C 根据题图，由题意知CM ＝DM . ∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°×10≈37.3(m)，故选C. 2．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C 由物理学知识，画出示意图如图．AB ＝15，AD＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°.在△ADC 中，由余弦定理，得AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C.3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：选C如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ， 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理，得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．4．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507 minB ．157 hC ．21.5 minD ．2.15 h 解析：选A 设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知PQ 2＝B P 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos 120°，即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28x 2－20x ＋100，∴当x ＝514 h 时，s 2最小，即当航行时间为514 h ＝1507 min 时，s 最小．5.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m解析：选D 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.6．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝ .解析：如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10.∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32， ∴∠ACB ＝30°.答案：30°7.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.解析：根据题图所示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．答案：1508．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设观测站、商船、分别位于A，B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处．在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC2 2AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12，则∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，2090×60＝403(分)．答案：40 39.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中3≈1.732)．解：(1)∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得BCsin 45°＝4sin 30°，解得BC＝42(米)，即BC的长为4 2 米．(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝42，∴DC＝42sin 75°.∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋23，∴CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(米)，即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16米．10．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．解：如图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .根据题意，知在△ADC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos 60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos 60°＝244t 2－560t ＋400＝244⎝ ⎛⎭⎪⎫t －70612＋400－244×⎝ ⎛⎭⎪⎫70612， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．‖层级二‖|应试能力达标|1．在一座20 m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m解析：选B 如图所示，AB 为观测台，CD 为水塔，AM 为水平线．依题意得AB ＝20，∠DAM ＝45°，∠CAM ＝60°，从而可知MD ＝20，AM ＝20，CM ＝203， ∴CD ＝20(1＋3)(m)． 2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B ．π3 C.π6 D ．512π解析：选C 设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6.故选C. 3.某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A ．100 2 mB ．100 3 mC ．50(2＋6)mD ．200 m解析：选A ∠BAC ＝75°－30°＝45°.在△ABC 中，AC ＝100 m ，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴BC ＝AC sin ∠BAC sin B ＝100×sin 45°sin 30°＝1002(m)．故选A.4．如图，在O 点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P 点，1分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过1分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.12 B ．22 C.32 D ．3解析：选C 由题意知，PQ ＝QR ，设其长为1，则PR ＝2.在△OPR 中，由正弦定理，得2sin 120°＝OP sin R .在△OQR 中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQ sin R ，则tan ∠OPQ ＝OQ OP ＝sin 120°2sin 30°＝32.故选C.5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.解析：设两条船所在位置分别为A ，B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．答案：306．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船 (填“有”或“无”)触礁的危险．解析：如图所示，暗礁位于C 处，开始时，轮船在A 处，航行30海里后，轮船在B 处．由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，则∠ACB ＝15°.由正弦定理，得BC＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin 30°sin 15°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.所以，此船无触礁的危险．答案：无7．如图，小明同学在山顶A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为 m/s(精确到0.1，参数数据：2≈1.414，5≈2.236)．解析：由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，在△ABC 中，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≈ 316．17 m ，这辆汽车的速度为316.17÷14≈22.6 m/s.答案：22.68.如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意，知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB ＝ABsin∠ADB，即BD＝AB sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)sin 45°sin 105°＝5(3＋3)sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 3 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×1 2＝30 n mile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1 (h)．。
人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第一章 1.1 1.1.2
第一章1.1 1.1.2 集合间的基本关系课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则下列关系中正确的是( ) A ．A ∈A B ．0A C ．{0}∈AD ．∅A解析：选D “∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A 、C 错误；“”用来表示集合与集合之间的关系，故B 错误；而∅是任一集合的子集，是任一非空集合的真子集，故D 正确．2．已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的Venn 图是( )解析：选C 因为N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，M ＝{－1，0,1}，所以N M .3．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析：选B 依题意a ∈M ，且M{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个).4．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．MNC ．M ND ．M 与N 没有相同元素解析：选C 因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN .选C.5．设A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ＞a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥3}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ＞3}D ．{a |a ＜－1}解析：选B 集合A ，B 在数轴上表示如图所示，由A B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a ＝________.解析：由集合A 的子集有且仅有两个知A 中只有一个元素，若a －1＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a －1≠0，由题意得⎩⎨⎧a －1≠0，Δ＝32－4×(－2)×(a －1)＝0， 得a ＝－18.∴a 的值为1或－18. 答案：1或－188．已知集合A ＝{－2,3,4m －4}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：依题意可得m 2＝4m －4，即(m －2)2＝0，∴m ＝2. 当m ＝2时，A ＝{－2,3,4}，B ＝{3,4}，∴B ⊆A . 答案：29．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，且B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数． 解：(1)若B ＝∅，则m －1>2m ＋1， 得m <－2； 若B ≠∅，由题意得⎩⎨⎧m －1≤2m ＋1，2m ＋1≤6，m －1≥－1，得0≤m ≤52.综上得m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52.(2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A 中共有7个元素，其子集个数为27＝128个．10．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，求：(1)使A ＝{2,3,4}成立的x 的值； (2)使2∈B ，B ⊆A 成立的a ，x 的值； (3)使B ＝C 成立的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3. (2)因为2∈B ，B ⊆A ，所以⎩⎨⎧2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74.(3)因为B ＝C ，所以⎩⎨⎧x 2＋(a ＋1)x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎨⎧ x ＝－1，a ＝－6或⎩⎨⎧x ＝3，a ＝－2.‖层级二‖|应试能力达标|1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，那么()A．若a＝1，则N⊆MB．若N⊆M，则a＝1C．若a＝1，则N⊆M，反之也成立D．a＝1和N⊆M成立没有关系解析：选A显然a＝1时，集合N＝{1}，此时N⊆M；若N⊆M，则a2可以是集合M中的元素1或2，此时a可以取值1，－1，2，－ 2.即若N⊆M，则a＝1不成立．2．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是() A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：选D由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.3．已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A BC．B A D．A∈B解析：选D因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.4．设集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|x<b－2，或x>b＋2}．若A⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3解析：选D根据题意知A⊆B，作出如图所示的数轴，所以有b＋2≤a－1或b－2≥a＋1，解得a－b≥3或a－b≤－3，即|a－b|≥3.5．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a ≤14.答案：a ≤146．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当B ⊆A 时，则实数m 的取值范围为________．解析：集合A 在数轴上表示如图．要使B ⊆A ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素． 即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m4≤－2，即m ≥8， 故实数m 的取值范围是m ≥8. 答案：m ≥87．(2019·浙江四校高一联考)已知M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，a ∈R }，且NM ，则实数a 的取值范围是________．解析：M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{3，－1}． ①当N ＝∅时，NM 成立，∴Δ＝a 2－4<0，∴－2<a <2. ②当N ≠∅时，∵NM ，∴3∈N 或－1∈N .当3∈N 时，32＋3a ＋1＝0，即a ＝－103，此时方程为x 2－103x ＋1＝0，解得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，13，不满足NM ；当－1∈N 时，(－1)2－a ＋1＝0，即a ＝2，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得N ＝{－1}，满足NM .故实数a 的取值范围是－2＜a ≤2. 答案：－2＜a ≤28．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意； 当m ＋1≤2m －1.即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3. 综上可知，当m ≤3时，B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ∈R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素， 则有⎩⎨⎧ m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎨⎧m ≥2，2m －1＜－2，解得m ＞4.综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立．由Ruize收集整理。
新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习
新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习课时分层作业(一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察如下所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台B[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．]2．下列说法正确的是( )A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形D[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误：选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．]①②3．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而①④则不同．]4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．]①②二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.] 7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．3[如图，三棱台可分成三棱锥C1ABC，三棱锥C1ABB1，三棱锥AA1B1C1，三个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图①所示，三棱锥A1AB1D1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1ACD1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)．①②③[能力提升练]1．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]课时分层作业(二) 旋转体与简单组合体的结构特征(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )① ②A ．圆锥、棱柱B ．圆锥、棱锥C ．球、棱锥D ．圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°等腰三角形D ．其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ，依题意可知2πr ＝π·a 2，则r ＝a 4，故轴截面是边长为a 2的等边三角形．]4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A ．一个棱柱中挖去一个棱柱B ．一个棱柱中挖去一个圆柱C ．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC .16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.] 二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ，则r 2＋42＝52，所以r ＝3.所以截面圆面积为9π cm 2.]三、解答题9．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底面半径O 1A ＝2(cm)，下底面半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－（5－2）2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[能力提升练]1．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖出一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体B [圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.]2．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .则绳子的最短长度的平方f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4) [将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π，所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．]课时分层作业(三) 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．直线的平行投影可能是( )A ．点B ．线段C ．射线D ．曲线A [直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.]2．下列说法错误的是( )A ．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度B ．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度C ．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度D ．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样D [正视图和俯视图长度一样；正视图和侧视图高度一样；侧视图和俯视图宽度一样．故3．有下列说法：①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的投影图；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，平行线还是成平行的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法有( )A．1个B．2个C．3个D．4个C[由投影的知识知①②④正确．只有③错误，空间图形经过中心投影后，直线变成直线、平行线有可能变成了相交直线，综上可知正确说法有3个，故选C.]4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )C[正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B，D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.]5．如图所示，五棱柱的侧视图应为( )A B C DB[从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.]二、填空题6．如下图，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是________(说出视图名称)．① ② ③ ④正视图 侧视图 俯视图 [由几何体的位置知，①为正视图，②为侧视图，③为俯视图．]7．若线段AB 平行于投影面，O 是线段AB 上一点，且AO OB ＝m n，点A ′，O ′，B ′分别是A ，O ，B 在投影面上的投影点，则A ′O ′O ′B ′＝________． m n [由题意知AB ∥A ′B ′，OO ′∥AA ′，OO ′∥BB ′，则有A ′O ′O ′B ′＝AO OB ＝m n.] 8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．23 [由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D BCC 1B 1，最长棱为DB 1＝DC 2＋BC 2＋BB 21＝4＋4＋4＝2 3.]三、解答题9．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．[解](1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图：10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．[解]该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．[能力提升练]1．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为( )A B C DA [显然AB 1，AC ，B 1D 1，CD 1分别投影得到正视图的外轮廓，B 1C 为可见实线，AD 1为不可见虚线．故A 正确．]2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是________．15 [皮球的直径d ＝103sin 60°＝103×32＝15.]课时分层作业(四) 空间几何体的直观图(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图，已知等腰三角形ABC ，则如下所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是( )① ② ③ ④A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④D [原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别为在∠x ′O ′y ′成135°和45°的坐标系中的直观图．]2．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是( ) A ．三角形的直观图仍然是一个三角形 B ．90°的角的直观图会变为45°的角 C ．与y 轴平行的线段长度变为原来的一半 D ．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同B [对于A ，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；对于B ，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B 错误；C ，D 显然正确．]3．把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示)，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB ＝BC ＝AC ＝2，故△ABC 为等边三角形，故选A.]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm ，1 cm ，2 cm ，1.6 cmB ．4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，0.8 cmC ．4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cmD ．2 cm ，0.5 cm ，1 cm ，0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋ 2A [画出其相应平面图易求，故选A.]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．M′(4，2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．2.5 [由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．如图所示，水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．2 [△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD.所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′；(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取二点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC.10．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解] (1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，如图①. (2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD . (3)画顶点．在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.① ② [能力提升练]1．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm D [由题意可知其直观图如下图：由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.]2．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′，又在Rt △O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′，所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2. 又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]课时分层作业(五) 柱体、锥体、台体的表面积与体积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．πC [底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.]2．已知高为3的直棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34D [由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.] 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ， 由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1, 所以V圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.]4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10πD [用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]5．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A ．54B ．54πC ．58D ．58πA [设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似得r 3r ＝h －h 1h，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.]二、填空题6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________． 3 [设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.]7．已知一个圆台的正视图如图所示， 若其侧面积为35π， 则a 的值为____．2 [圆台的两底面半径分别为1，2，高为a , 则母线长为1＋a 2， 则其侧面积等于π(1＋2)·（1＋a 2）＝35π，解得a 2＝4，所以a ＝2(舍去负值)．]8．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．S2[如图所示， 设圆锥的底面半径为r , 母线长为l .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12πl 2＝S ，πl ＝2πr ，解得r ＝S2π.所以圆锥的底面面积为πr 2＝π×S 2π＝S2.]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157， 圆锥的高h ＝35·157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C A 1DD 1，求棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．[解] 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C A 1DD 1的体积为：VC A 1DD 1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12S h ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.[能力提升练]1．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14 [如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.] 2．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．8 [如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.]课时分层作业(六) 球的体积和表面积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．59倍B ．95倍 C ．2倍 D ．3倍 B [设小球半径为1，则大球的表面积S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.]2．把半径分别为6 cm ，8 cm ，10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cmD [由43πR 3＝43π·63＋43π·83＋43π·103，得R 3＝1 728，检验知R ＝12.]3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6πB [由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.]4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( ) A ．163πB ．4π3C ．323πD ．4πB [根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r ＝1，所以V ＝43πr 3＝43π.]5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4B [设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.] 二、填空题6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 3 [设此球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，R ＝3.]7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．33π [由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S ＝12×4π×32＋π×3×5＝33π.]8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．32[设球O 的半径为R ， ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.] 三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．[解] 因为AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5， 所以△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.又球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt △ABC 的外接圆的圆心，所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)， 设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径为R ，截面圆半径为r ， 在Rt △O ′CO 中，由题设知sin ∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， 所以∠O ′CO ＝30°，所以rR＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，(*) 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入(*)得R ＝10 3.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1 200π. 球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(103)3＝4 0003π.[能力提升练]1．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶4C [作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R ，则圆锥的高h ＝3R ，圆锥底面半径r ＝3R ，则l ＝（h 2＋r 2）＝23R ，所以S 圆锥侧S 球 ＝πrl 4πR 2＝π×3R ·23R 4πR 2＝32.] 2．在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球. 若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________.9π2[当球的半径最大时，球的体积最大. 在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r ＝6＋8－102＝2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V ＝9π2.]课时分层作业(七) 平面(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述正确的个数是( )①A ∈a ，a ⊄α⇒Aα；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α；③Aa ，a ⊂α⇒A α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α.A ．0B ．1C ．2D ．3A [①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a ，a ⊂α，但A ∈α；④不正确，“A ⊂α”表述错误．]2．下列命题中正确命题的个数是( ) ①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形； ④圆是平面图形． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.] 3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( ) A ．相交 B ．重合C ．相交或重合D ．以上都不对C [若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.] 5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0 B．1C．0或1 D．1或3D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．] 8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．1或2或3 [当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]三、解答题9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示．求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D l，所以l与D可以确定平面α，因为A∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．10．求证：三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．[证明]如图，延长AA1，BB1,设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂面BC1，∴P∈面BC1，AA1⊂面AC1，∴P∈面AC1，∴P为平面BC1和面AC1的公共点，又∵面BC1∩面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.[能力提升练]1．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]2．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]课时分层作业(八) 空间中直线与直线之间的位置关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．]2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面D[可能相交也可能异面，选D.]3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直A[如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]4．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30° B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.]5．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条A[如图，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．因此，这样的异面直线有无数条．]二、填空题6．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．3 [PA与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线，∴共3对．]7．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.②④[①错，可以异面；②正确，公理4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．]8．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．。
高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业集合的表示方法 Word版含解析
课时分层作业(二) 集合的表示方法(建议用时：40分钟)一、选择题1．将集合A ＝{x |1＜x ≤3}用区间表示正确的是( ) A.(1，3) B ．(1，3] C.[1，3)D ．[1，3]B [集合A 为左开右闭区间，可表示为(1，3].] 2．集合A ＝{x ∈N ︱x －1≤2 019}中的元素个数为( ) A.2 018 B ．2 019 C.2 020D ．2 021D [因为集合A ＝{x ∈N ︱x －1≤2 019}＝{x ∈N ︱x ≤2 020}＝{0，1，2，…，2 020}，所以元素个数为2 021.]3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋12n ，n ∈N *B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －1n ，n ∈N *D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N * D [由3，52，73，94，即31，52，73，94从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N*．] 4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A.x 1·x 2∈A B ．x 2·x 3∈B C.x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈AD [集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数， ∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．]5．设P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{4，5，6，7，8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A.4 B ．5 C ．19 D ．20C [由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)共5个元素．同样当a ＝2，3时集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19个，故选C.]二、填空题6．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ∈N ⎪⎪⎪y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1用列举法可表示为________． {1，2，4，8}[因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ∈N ⎪⎪⎪y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1，故x －1为8的正约数，即x －1的值可以为1，2，4，8，所以x 可以为2，3，5，9，用列举法表示⎩⎪⎨⎪⎧y ∈N ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1为{1，2，4，8}．]7．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________． {－1，4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4， ∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1，4}．] 三、解答题8．下列三个集合：①A ＝{x |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？[解] (1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合． (2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R .集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的实数对，可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图像．9．设P ，Q 为两个非空实数集，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？[解] 当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6；当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8；当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得 a ＋b 的值分别为6，7，11.由集合中元素的互异性知 P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个．10．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合； (2)方程x 2－x ＋2＝0的实数解构成的集合．[解] (1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A ，则可用描述法表示为A ＝{x |1＜x ＜70，x ∈N *}．A 是有限集．(2)设方程x 2－x ＋2＝0的实数解构成的集合为B ， 因为Δ＝1－8＝－7＜0，所以该方程无实数解，即集合B 中不存在任何元素， 所以B ＝，B 是有限集．11．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4＋12，k ∈Z ，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( )A.x 0∈N B ．x 0N C.x 0∈N 或x 0N D ．不能确定A[M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋24，k ∈Z ，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.]12．(多选题)定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A ⊙B 的元素为( )A.0 B ．6 C.12D ．18ABC [当x ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝6； 当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，即A ⊙B ＝{0，6，12}．]13．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m ⎪⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |}用列举法表示为________．{－1，3} [当x >0，y >0时，m ＝3； 当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1； 若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0， 则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1，3}．]14．已知有限集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ≥2，n ∈N )，如果A 中的元素a i (i ＝1，2，3，…，n )满足a 1·a 2·…·a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1＋52，－1－52是“复活集”； ②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2＞4； ③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”． 其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)①③ [∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，∴①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由根与系数的关系知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个不相等的实数根．由Δ＞0，可得t ＜0或t ＞4，故②错．③根据集合互异性知a 1≠a 2，若a 1，a 2∈N *，不妨设a 1＜a 2，由a 1a 2＝a 1＋a 2＜2a 2，即有a 1＜2.∵a 1∈N *，∴a 1＝1.于是1＋a 2＝1×a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确．]。
人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第一章 1.2 1.2.2 第二课时
第一章1.2 1.2.2第二课时 分段函数及映射课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( ) ①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ； ②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ； ③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.2．若A 为含三个元素的数集，B ＝{－1,3,5}，使得f ：x →2x －1是从A 到B 的映射，则A 等于( )A ．{－1,2,3}B ．{－1,0,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2}解析：选C 由映射的概念，A 中的元素在关系x →2x －1下，成为－1,3,5，则A ＝{0,2,3}．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]＝( )A.15B ．3C.23 D ．139解析：选D f (3)＝23，f [f (3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2.若f (x )＝3，则x ＝( )A ．1B ．±3 C.32D ． 3解析：选D 若⎩⎨⎧ x ＋2＝3，x ≤－1，即⎩⎨⎧x ＝1，x ≤－1无解；若⎩⎨⎧ x 2＝3，－1＜x ＜2，⎩⎨⎧x ＝±3，－1＜x ＜2，所以x ＝ 3. 若⎩⎨⎧2x ＝3，x ≥2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，x ≥2无解．综上可知，x ＝ 3.5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.解析：由题意知，⎩⎨⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－10.所以y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：107．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，x ＋1，x ≥2的值域是________．解析：当0≤x ≤1时，2x 2∈[0,2]；当x ≥2时，x ＋1≥3，所以函数f (x )的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．答案：[0,2]∪[3，＋∞)8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元．则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 答案：139．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．解：∵当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎨⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1. 由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， ∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解：当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4＜x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8＜x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4＜x ≤8，24－2x ，8＜x ≤12.‖层级二‖|应试能力达标|1．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选C f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，分段画出，应选C.2．(2019·兰州高一检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：选B g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， 所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1.∴解集为{x |x ≤1}，故选A. 4.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自点O 开始移动．设线段OE ＝x ，过点E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D解法一：当x∈[0,2]时，直线OA：y＝12x，此时S＝12·x·⎝⎛⎭⎪⎫x2＝x24；当x∈(2,3]时，直线AB：y＝3－x，S＝12·3·1－12·(3－x)·(3－x)＝－x22＋3x－3；当x>3时，S＝32.对比图形特征易得D符合．解法二：显然当x＝2时，面积为1，排除A，B，注意到x∈[0,2]时，面积增速越来越快，排除C.5．(2019·聊城高一检测)若定义运算a⊙b＝⎩⎨⎧b，a≥b，a，a＜b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意知f(x)＝⎩⎨⎧2－x，x≥1，x，x＜1.画出图象为由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，－1≤x＜0，－12x，0＜x＜2，3，x≥2，则f⎩⎨⎧⎭⎬⎫f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫－34＝________.解析：∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，而0<12<2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.答案：327．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则实数a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－348．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0＜12，且f (x 0)＝x 0＋12， 又12≤x 0＋12＜1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12∈B ，所以f [f (x 0)]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f [f (x 0)]∈A ， 所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0＜12， 所以14＜x 0＜12.由Ruize收集整理。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第一章 空间几何体 2 含解析
第一章1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.32π3C．8π D.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝13a2h＝a2＝6，得a＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ＜ 3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( )A.π3B.π4C.π2 D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π.答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )A．24π B．36πC．48π D．60π解析：选C由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝23，其外接球的表面积S＝4π×()232＝48π，故选C.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________． 解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，三棱柱的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 37．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．答案：48．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r＝12，∴r ＝33 cm ，V球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm3)，即球的体积等于4327π cm3.。
高中数学课时分层作业2集合的基本关系北师大版必修1(含答案)
高中数学课时分层作业：课时分层作业(二) 集合的基本关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．下列命题不正确的是( )A．{0,1}NB．∈{x∈R|x2＋1＝0}C．{1,2}＝{x|x2－3x＋2＝0}D．a∈{a，b，c}B[A，C，D正确．对于B，由于{x∈R|x2＋1＝0}＝，所以B错误．]2．已知集合S＝{1,2,3,4}，则含有元素1,2的S的子集共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个D[含有元素1,2的S的子集为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．共4个．] 3．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，若A B，则a＝( )A．1 B．0C．－2 D．－3C[由A B，得1∈B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.]4．已知集合M＝{(x，y)|x<0，y<0}，P＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}，那么( )A．P M B．M PC．M＝P D．M PC[因为“x<0，y<0”等价于“x＋y<0，xy>0”，所以M＝P.]5．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，则M，P，S之间的关系为( )A．S P M B．S＝P MC．S P＝M D．S P＝MC[由M＝{x|x＝3(k－1)＋1，k∈Z}，得M＝P，由S＝{z|z＝3×2m＋1，m∈Z}，得S P.故S P＝M.]二、填空题6．已知集合P 和Q 的关系如图所示，则P 与Q 的关系是________．[答案] PQ7．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{4，x 2}，若A ＝B ，则x ＋y ＝________.4，或5，或20 [由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝16，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以x ＋y ＝4，或5，或20.]8．集合{(x ，y )|x ＋y <4，x ，y ∈N *}的非空子集个数是________． 7 [当x ＝1时，y ＝1,2； 当x ＝2时，y ＝1；所以，该集合共有3个元素，所以，其非空子集个数为23－1＝7.] 三、解答题9．判断下列各组中两集合之间的关系．(1)A ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R }；(2)A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k3，k ∈Z ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k6，k ∈Z； (3)A ＝{矩形}，B ＝{平行四边形}； (4)A ＝{0,1,2}，B ＝{x ∈N |2x －3≤0}．[解] (1)由y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，得B ＝{y |y ≥1}， 又A ＝{y |y ≥1}， 则A ＝B .(2)由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k3，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k6，k ∈Z，得A B .(3)A B .(4)由B ＝{x ∈N |2x －3≤0}＝{0,1}，得A B .10．已知{x |1<ax <2}{x |－1<x <1}，求实数a 的取值范围．[解] 当a >0时，{x |1<ax <2}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，解得a ≥2.当a ＝0时，{x |1<ax <2}＝，满足题意．当a <0时，{x |1<ax <2}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <1a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，2a≥－1，1a ≤1，解得a ≤－2.综上得，a ≤－2或a ＝0或a ≥2.1．已知{x |ax ＝1}{x |x 2－4＝0}，则实数a 的值是( )A ．0B ．±12C ．0或±12D ．0或12C [当a ＝0时，{x |ax ＝1}＝，满足题意；当a ≠0时，{x |ax ＝1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，∴1a∈{x |x 2－4＝0}，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－4＝0， 解得a ＝±12.综上得a ＝0或±12.]2．设a ，b ∈R ，{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2C [依题意，0∈{1，a ＋b ，a }，又a ≠0，则a ＋b ＝0， ∴ba＝－1，又－1∈{1，a ＋b ，a }，则a ＝－1， ∴b ＝1，∴b －a ＝2.]3．集合{x |x 2－2x ＋3＝0，x ∈R }的子集个数为________． 1 [由Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8<0，得{x |x 2－2x ＋3＝0}＝.故其子集个数为1.]4．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为________．7 [当x ＝－1时，1x＝－1∈M .当x ＝0时，1x无意义．当x ＝12时，1x ＝2∈M .当x ＝1时，1x＝1∈M .当x ＝2时，1x ＝12∈M .当x ＝3时，1x ＝13M .故有{1}，{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，{1，－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，2，共7个．]5．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B A ，求实数a 的取值范围．[解] A ＝{0，－4}．Δ＝[2(a ＋1)]2－4(a 2－1)＝8a ＋8.当Δ<0，即a <－1时，B ＝，满足题意；当Δ＝0，即a ＝－1时，B ＝{0}，满足题意； 当Δ>0，即a >－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上得，a≤－1或a＝1.。
高考复习数学(江苏版)第1章 第2课 课时分层训练2
课时分层训练(二)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的________条件．必要不充分[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．充分必要[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分必要条件．]4．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：62172008】2[由a＞bD ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]5．“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件.【导学号：62172009】充分不必要[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，因为m＜14⇒m≤14，反之不成立．故“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]6．给出下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中为真命题的是________．(填序号)③④[对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]7．(2017·金陵中学期中)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)必要不充分[当a>2且b>2时，a＋b>4.但当a＝1，b＝6时，有a＋b＝7>4，故“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．]8．“sin α＝cos α”是cos 2α＝0的________条件．充分不必要[∵cos 2α＝cos2α－sin2α，∴若sin α＝cos α，则cos 2α＝0，反之不一定，如当cos α＝－sin α时也成立．] 9．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________.【导学号：62172010】若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 [“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．]10．若x ＜m －1或x ＞m ＋1是x 2－2x －3＞0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3＞0}{x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}，又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.] 二、解答题11．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解] (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围. 【导学号：62172011】[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·南通第一次学情检测)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|F (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”)必要不充分 [“y ＝f (x )是奇函数”，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；反之若f (x )＝x 2，则y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但y ＝f (x )是偶函数．]2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集． 又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1＜1或⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1＞－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]3．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.[证明] 必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.充分性：若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，∴(ax －c )(x －1)＝0，∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b＋c ＝0.4．(2017·南通第一次学情检测)已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－c 2的最小值不大于－116.如果p ，q 均为真命题，求实数c 的取值范围．[解] 因为c >0，p ：函数y ＝c x 在R 上递减，所以p 为真时，0<c <1；q 为真时，－c 2≤－116，所以c ≤－14或c ≥14，因为c >0，所以c ≥14.因为p ，q 均为真命题，所以⎩⎨⎧ 0<c <1，c ≥14，解得14≤c <1，所以，实数c 的取值范围为14≤c <1.。
人教A版高中数学选择性必修第一册1.4.1空间中直线、平面的垂直(第2课时)课时分层练习题含答案解析
1.4.1 空间中直线、平面的平行（第2课时）基础练习一、多选题1．已知v 为直线l 的方向向量，1n u r ，2n u u r分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ）A ．1n u r ∥2n u u r ⇔α∥βB ．1n u r ⊥2n u u r⇔α⊥β C ．v ∥1n u r ⇔l ∥αD ．v ⊥1n u r ⇔l ∥α【答案】AB【解析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可.【详解】解：v 为直线l 的方向向量，1n u r ，2n u u r分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则1n u r ∥2n u u r ⇔α∥β，1n u r ⊥2n u u r⇔α⊥β，v ∥1n u r ⇔l ⊥α，v ⊥1n u r ⇔l ∥α或l ⊂α. 因此AB 正确.2．（多选题）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则不可能使l //α的是（ ） A ．m =(1，0，0)，n =(-2，0，0) B ．m =(1，3，5)，n =(1，0，1) C ．m =(0，2，1)，n =(-1，0，-1) D ．m =(1，-1，3)，n =(0，3，1)【答案】ABC【分析】由题可知，要使直线与平面平行，即求直线和平面的法向量垂直即可，结合向量垂直的数量积公式即可求解【详解】若l ∥α，则需m n ⊥，即·0m n =，根据选择项验证可知： A 中，·2m n =-； B 中，·6m n =； C 中，·1m n =-； D 中，·0m n =；综上所述，选项A ，B ，C 符合题意 二、填空题3．设向量,v μ分别是平面,αβ的法向量，向量(1,2,2),(2,4,)v m μ=-=--，若,αβ平行，则实数m =___________ 【答案】4【分析】据//αβ时，它们的法向量共线，列出方程求出m 的值． 【详解】∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行，∴(1λ，2，2)(2-=-，4-，)m ，且R λ∈； 解得2λ=-，4m =．4．平面α的法向量(,1,2)u x =-，平面β的法向量(1,,2)v y =-，已知//αβ，则x y +=__________.【答案】0【分析】由//αβ可得//u v ，可设u v λ=，可得出关于λ、x 、y 的方程组，解出这几个未知数的值，进而可求得x y +的值.【详解】//αβ，则//u v ，设u v λ=，则122x y λλλ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得111x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，因此，0x y +=.三、解答题5．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD=，13AA =，点S 、P 在棱1CC 、1AA 上，且112CS SC =，12AP PA =，点R 、Q 分别为AB 、11D C 的中点．求证：直线∥PQ 直线RS ．【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得.【详解】以点D 为原点，分别以DA 、DC 与1DD 的方向为x 、y 与z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D 、()3,0,0A 、()0,4,0C 、()3,4,0B 、()10,0,3D 、()13,0,3A 、()10,4,3C 、()13,4,3B ， 由题意知()3,0,2P 、()0,2,3Q 、()0,4,1S 、()3,2,0R ，∴()3,2,1PQ =-，()3,2,1RS =-． ∴PQ RS =，又PQ ，RS 不共线， ∴PQ RS ∥.6．如图，已知空间四边形ABCD ，点E ，H 分别是AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且23CF CB =，23CG CD =.用向量法求证：四边形EFGH 是梯形.点E ，H 分别是边AB 的中点，且23CF CB =，23CG CD =，∴()()11133332222244EH BD CD CB CG CF CG CF FG ==-=-⎛⎫ ⎪⎝-=⎭=， ∴EH FG ∥且34EH FG FG =≠. F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形．（2022·全国·高二专题练习）如图，已知棱长为1111E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .【分析】根据题意建立空间直角坐标系，分别写出,,,,,,A M N E F B D ，求出平面AMN 与平面EFBD .的法向量，根据法向量与法向量的关系即可证明.【详解】由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()4,0,0A ,(),,M 204,(),,N 424,(),,B 440,(),,E 024,(),,F 244()(),,,,,,AM AN =-=204024()(),,,,,,DE BF ==-024204设平面AMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m AM m AN ⎧⎪⎨⎪⎩==00即x z y z -+=+=⎧⎨⎩240240，令1z =，解得2,2-==y x 所以()2,2,1m =-设平面EFBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则m DE m BF ⎧⎪⎨⎩=⎪=00即y z x z +=-+=⎧⎨⎩240240，令1z =，解得2,2-==y x 所以()2,2,1n =- 所以//m n∴平面AMN ∥平面EFBD .8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M ，N 分别为1A B ，AC 的中点，证明：1MN B C ∥.【分析】连接1AB ，由中位线定理即可证明1MN B C ∥. 【详解】连接1AB ,如图，由正方体知四边形11ABB A 是正方形，且M 是1A B 的中点， 所以11AB A B M ⋂=， 即M 是1AB 的中点， 又N 是AC 的中点， 所以1MN B C ∥.9．证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知： a β⊂，b β⊂，a b P =，//a α，//b α． 求证：//αβ．【分析】通过证明两个平面的法向量相同来证得结论成立.【详解】取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u r，v ． 因为//a α，//b α，所以0n u ⋅=，0n v ⋅=． 因为a β⊂，b β⊂，a b P =，所以对任意点Q β∈，存在x ，y R ∈，使得PQ xu yv =+． 从而()0n PQ n xu yv xn u yn v ⋅=⋅+=⋅+⋅=．αβ．所以，向量n也是平面β的法向量．故//10．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..DD的方向【详解】（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，1分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以DA＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.由于MN＝(0，1，－1)，则·MN DA＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN⊥DA.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.。
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册全册各章节课时分层练习题含解析
北师大版选择性必修第一册课时练习第一章直线与圆.................................................................................................................... - 2 -1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系 ........................ - 2 -2、直线方程的点斜式................................................................................................ - 7 -3、直线方程的两点式直线方程的一般式.......................................................... - 12 -4、两条直线的平行与垂直...................................................................................... - 16 -5、两条直线的交点坐标.......................................................................................... - 20 -6、平面直角坐标系中的距离公式.......................................................................... - 25 -7、圆的标准方程...................................................................................................... - 30 -8、圆的一般方程...................................................................................................... - 34 -9、直线与圆的位置关系.......................................................................................... - 38 -10、圆与圆的位置关系............................................................................................ - 44 - 第二章圆锥曲线 ................................................................................................................... - 50 -1、椭圆及其标准方程.............................................................................................. - 50 -2、椭圆的简单几何性质.......................................................................................... - 55 -3、双曲线及其标准方程.......................................................................................... - 61 -4、双曲线的简单几何性质...................................................................................... - 66 -5、抛物线及其标准方程.......................................................................................... - 73 -6、抛物线的简单几何性质...................................................................................... - 78 -7、直线与圆锥曲线的位置关系.............................................................................. - 84 - 第三章空间向量与立体几何................................................................................................ - 91 -1、点在空间直角坐标系中的坐标.......................................................................... - 91 -2、空间两点间的距离公式...................................................................................... - 96 -3、从平面向量到空间向量空间向量的运算(一) ............................................. - 100 -4、空间向量的运算(二) ......................................................................................... - 105 -5、空间向量的运算(三) ......................................................................................... - 110 -6、空间向量基本定理............................................................................................ - 117 -7、空间向量运算的坐标表示及应用.................................................................... - 123 -8、直线的方向向量与平面的法向量.................................................................... - 129 -9、用向量方法研究立体几何中的位置关系........................................................ - 135 -10、空间中的角...................................................................................................... - 142 -11、空间中的距离问题.......................................................................................... - 153 - 第五章计数原理 ................................................................................................................. - 163 -1、分类加法计数原理分步乘法计数原理........................................................ - 163 -2、基本计数原理的简单应用................................................................................ - 167 -3、排列与排列数排列数公式............................................................................ - 172 -4、组合组合数及其性质.................................................................................... - 175 -5、二项式定理的推导............................................................................................ - 179 -6、二项式系数的性质............................................................................................ - 182 - 第六章概率 ......................................................................................................................... - 187 -1、条件概率的概念................................................................................................ - 187 -2、乘法公式与事件的独立性全概率公式........................................................ - 192 -3、随机变量............................................................................................................ - 199 -4、离散型随机变量的分布列................................................................................ - 202 -5、离散型随机变量的均值.................................................................................... - 207 -6、离散型随机变量的方差.................................................................................... - 213 -7、二项分布............................................................................................................ - 220 -8、超几何分布........................................................................................................ - 225 -9、正态分布............................................................................................................ - 230 -第七章统计案例................................................................................................................ - 235 -1、一元线性回归.................................................................................................... - 235 -2、成对数据的线性相关性.................................................................................... - 240 -3、独立性检验问题................................................................................................ - 246 -第一章直线与圆1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系一、选择题1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为()A．3B．－2C．2D．不存在B[由题意可得AB的斜率为k＝2－41－0＝－2．]2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4，1)与(－4，－1) B．(0，1)与(1，0)C．(1，4)与(－1，4) D．(－4，1)与(－4，－1)D[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．]3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°C[直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°．]4．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B ．3 C ．233 D ．－3B [法一：设斜率为33的直线的倾斜角为α，则tan α＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴l 的斜率k ＝tan 2α＝3．故选B ．法二：设斜率为33的直线的倾斜角为α，则tan α＝33，∴l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2331－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3．故选B ．] 5．过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1．] 二、填空题6．已知直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是________．2 [如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0，2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2．]7．已知A (2，－3)，B (4，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．12 [因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－(－3)4－2＝m 2－(－3)5－2，解得m ＝12．] 8．若直线l 的斜率k 的取值范围是[)0，3，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 [当0≤k <3时，即0≤tan α<3，又α∈[)0，π，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3．] 三、解答题9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α．(1)A (2，3)，B (4，5)；(2)C (－2，3)，D (2，－1)；(3)P (－3，1)，Q (－3，10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°．(2) 存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°．(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°．10．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)．(1)求y ＋3x ＋2的最大值和最小值； (2) 求x ＋y ＋5x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)如图，可知y ＋3x ＋2表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ．由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)．易知k P A≤k≤k PB．由斜率公式得k P A＝43，k PB＝8，所以43≤k≤8．故y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43．(2)由(1)知，y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43．又x＋y＋5x＋2＝y＋3x＋2＋1，所以x＋y＋5x＋2的最大值是9，最小值73．11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C[∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝m2－11－2>0，∴－1<m<1．]12．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则() A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2，b＝3D．a＝3，b∈R且b≠1D[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．]13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是()A ．若()1，k 是直线l 的一个方向向量，则k 是该直线的斜率B ．若直线l 的斜率是k ，则()1，k 是该直线的一个方向向量C ．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角[答案] ABC14．(一题两空)已知点A (3，1)，B (－2，k )，C (8，1)．(1)直线AC 的倾斜角为________；(2)若这三点能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．0 (－∞，1)∪(1，＋∞) [因为k AC ＝1－18－3＝05＝0．所以直线AC 的倾斜角为0，又k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5， 要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0．∴k ≠1．]15．把一块长和宽都是13 dm 的矩形纸片按图(1)裁好，问能否拼成图(2)所示的矩形，为什么？(1) (2)[解] 不能，如图，以B 为坐标原点建立直角坐标系，使得BE 在y 轴正半轴上，AB 在x 轴负半轴上．边AC所在直线的斜率为k AC＝88－5＝83，边EC所在直线的斜率为k EC＝135≠83，即k AC≠k EC，所以A、C、D、E四点不可能在同一条直线上．即不能拼成图(2)所示的矩形．2、直线方程的点斜式一、选择题1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示()A．任何一条直线B．不过原点的直线C．不与坐标轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线D[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．]2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是()A．y＋3＝4(x－2)B．y－3＝4(x－2)C．y－3＝4(x＋2) D．y＋3＝4(x＋2)[答案]A3．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于()A ．－12B ．12C ．－2D ．2C [直线x －ay ＝4可化为y ＝1a x －4a ，∴－4a ＝2，得a ＝－2．]4．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( )A ．k 1<k 2且b 1<b 2B ．k 1<k 2且b 1>b 2C ．k 1>k 2且b 1>b 2D ．k 1>k 2且b 1<b 2A [设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2．由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k 1<k 2，又b 1<0，b 2>0，所以b 1<b 2．故选A ．]5．若y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)有两个公共点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1A [y ＝x ＋a (a >0)表示斜率为1，在y 轴上的截距为a (a >0)的直线，y ＝a |x |表示关于y 轴对称的两条射线．∴当0<a ≤1时，只有一个公共点；当a >1时，有两个公共点，故选A ．]二、填空题6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．－4 [由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4．]7．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点为________．(2，3) [将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，∴该直线过定点(2，3)．]8．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎨⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32．] 三、解答题9．已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°．求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．[解](1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行．∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0．(2)∵∠A＝60°，∴k AC＝3，AC边所在直线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y＋1－3＝0．又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1．∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0．10．如图，直线l：y－2＝3(x－1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程．[解]设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y－2＝3(x－1)知，直线l的斜率为3，则倾斜角为60°．当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝33(x－1)，即y＝33(x－1)＋2．综上，所求直线l′的方程为x＝1或y＝33(x－1)＋2．11．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()A B C DD [对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0．故选D ．]12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是( )A ．方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)表示同一条直线B ．直线l 过点P (x 0，y 0)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 0C ．直线l 过点P (x 0，y 0)，斜率为0，则其方程为y ＝y 0D ．所有直线都有点斜式和斜截式方程BC [A 中方程，k ＝y －2x ＋1，x ≠－1；D 中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴AD 错误，BC 正确．]13．(一题两空)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；再向右平移1个单位，所得到的直线为________．y ＝－13x y ＝－13x ＋13 [将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13．]14．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1．(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．[解] (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方， 需满足⎩⎨⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1． 所以，实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1．15．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列结论正确的是( )A ．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点B ．如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点C ．直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数D ．存在恰经过一个整点的直线AD [A 正确，如直线y ＝2x ＋12，不经过任何整点(x ＝0，y ＝12；x ≠0，y 是无理数)B 错误，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；C 错误，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不通过任何整点； D 正确，比如直线y ＝2x 只经过一个整点(0，0)．]3、直线方程的两点式直线方程的一般式一、选择题1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式B[由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．] 2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则() A．C＝0，B>0B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0D[通过直线的斜率和截距进行判断．]3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<cC[由已知直线表达式，得l1：y＝－1a x－ba，l2：y＝－1c x－dc，由题图知⎩⎪⎨⎪⎧－1a >－1c >0－ba <0－d c >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <a <0b <0d >0.]4．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0B [如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°． ∴直线l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x ．]5．若直线Ax ＋By ＋C ＝0过坐标原点，则A ，B ，C 满足的条件是( ) A ．C ＝0B ．AB ≠0且C ＝0 C ．A 2＋B 2≠0且C ＝0D ．A ＋B ＝0C [A ，B 不能同时为0．] 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1，3)的直线的一般式方程为________．2x －y ＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0．]7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是________．－32 [直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32．]8．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是________．x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0 [设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为 y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)，得x ＋2y －1＝0．]三、解答题9．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距．[解] 由已知，直线过点(3，0)，所以3(a ＋2)－2a ＝0， 即a ＝－6．所以直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，即4x －45y －12＝0．令x ＝0，得y ＝－415． 故直线在y 轴上的截距为－415．10．求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程． [解] 由题意可知，所求直线的斜率为±1． 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0，或x ＋y －7＝0．11．过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 B [当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ； 当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1|a |＝|b |，∴⎩⎨⎧ a ＝2b ＝2或⎩⎨⎧a ＝4b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y －4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B ．]12．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0A [∵点A (2，1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0．由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上． ∵点A (2，1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0．由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上． ∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0．]13．(多选题)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0B ．bc <0C ．ab <0D ．bc >0AB [易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a b <0，－c b >0，所以ab >0，bc <0．]14．(一题两空)已知点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________；最小值为________．3 0 [线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，所以xy ＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，所以当x ＝32时，xy 的最大值为3；当x ＝0或3时，xy 的最小值为0．]15．已知直线l 过点M (2，1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．[解]根据题意，设直线l的方程为xa＋yb＝1，由题意，知a>2，b>1，∵l过点M(2，1)，∴2a＋1b＝1，解得b＝aa－2，∴△AOB的面积S＝12ab＝12a·aa－2，化简，得a2－2aS＋4S＝0．①∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去)．∴S的最小值为4，将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，∴b＝aa－2＝2．∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.4、两条直线的平行与垂直一、选择题1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．ax－ay－a＝0B[显然B中直线与直线x－y－1＝0斜率相等但不重合．]2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不确定B[∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．]3．下列直线中，与已知直线y＝－43x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；直线与y 轴交点需在y 轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．]4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1，∴k 2＝－1a ；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合，故直线l 2的斜率不存在．∴直线l 2的斜率为－1a 或不存在．]5．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形C [∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC ．] 二、填空题6．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________． －23[－2m ＝3，∴m ＝－23．] 7．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为________．－5 [l 1、l 2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l 1⊥l 2，即2m ＋10＝0，∴m ＝－5．]8．已知A (3，1)，B (－1，－1)，C (2，1)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为________．3x＋2y－11＝0[k BC＝1－(－1)2－(－1)＝23，∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－3 2，∴所求直线方程为y－1＝－32(x－3)，即3x＋2y－11＝0．]三、解答题9．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M 的坐标．[解]设M(x，0)∴M是以AB为直径的圆与x轴的交点，∴AM⊥BM，∴k AM·k BM＝－1，即3－0－1－x×2－04－x＝－1，∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，∴M(1，0)或M(2，0)．10．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]∵A、B两点纵坐标不等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3．①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式k AB＝4－2－2m－4－(－m－3)＝2－(m＋1)，k CD＝3m＋2－m3－(－m)＝2(m＋1)m＋3．∵AB⊥CD，∴k AB·k CD＝－1，即2－(m＋1)·2(m＋1)m＋3＝－1，解得m＝1，综上m的值为1或－1．11．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．] 12．若{(x，y)|ax＋2y＋2＝0}∩{(x，y)|3x－y－2＝0}＝∅，则系数a＝()A．6B．－6C．32D．－32B[由题意知，两直线平行，∴a3＝2－1，∴a＝－6．]13．(多选题)下列说法中，不正确的是()A．若两直线斜率相等，则两直线平行B．若l1∥l2，则k1＝k2C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行ABD[当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，A不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，B不正确；显然C正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，D不正确．]14．(一题两空)直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)．(1)若l1∥l2，则a的值为________．(2)若l1⊥l2，则a的值为________．10 354[直线l2的斜率k2＝3－2a－1－1＝1a－2，由l1∥l2，得k1＝k2，∴1a－2＝34，∴a＝10 3．由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，∴1a－2×34＝－1，∴a＝54．]15．已知O 为坐标原点，点M (2，2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 的坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN ； (2)∠MPN 是直角． [解] 设P (x ，0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴MO ∥PN ，∴k OM ＝k NP ， 又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5． ∴2x －5＝1，解得x ＝7，即P (7，0)． (2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1，∵k MP ＝22－x ，k NP ＝2x －5， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6． ∴P (1，0)或(6，0)．5、 两条直线的交点坐标一、选择题1．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．不确定 B [∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13＜0，∴k 1≠k 2的两直线相交．] 2．直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：4x －3y －13＝0的交点坐标为( ) A ．(2，3) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，73 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫37，3B [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝04x －3y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73y ＝3，本题也可代入选项验证．]3．两条直线x ＋y －a ＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2＜a ＜2}B ．{a |a ＜－2}C ．{a |a ＞2}D ．{a |a ＜－2或a ＞2}C [联立方程，得⎩⎨⎧x ＋y －a ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22y ＝a －22，由交点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22>0a －22>0，解得a ＞2．所以实数a 的取值范围是{a |a ＞2}．]4．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－4B ．20C ．0D ．24 A [由两直线垂直得－a 4×25＝－1，∴a ＝10，将垂足代入ax ＋4y －2＝0，得c ＝－2，再代入2x －5y ＋b ＝0，得b ＝－12， ∴a ＋b ＋c ＝－4．]5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为( ) A ．－9 B ．9 C ．－6 D ．6 A [由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3， 得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9．] 二、填空题6．三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________．－1 [由⎩⎨⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－2．将(4，－2)代入ax ＋2y ＋8＝0，得4a ＋2×(－2)＋8＝0， ∴a ＝－1．]7．已知直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在x 轴上，则k 的值为________．27[直线y ＝－14x ＋1交x 轴于点(4，0)． ∵两条直线的交点在x 轴上，∴直线y ＝kx ＋3k －2过点(4，0)．∴0＝4k ＋3k －2．∴k ＝27．]8．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．(－1，－2) [直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．]三、解答题9．已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． [解] (1)由⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点P 的坐标是(－2，2)． 又所求直线l 与x －2y －1＝0垂直， 可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0．把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2． ∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0．(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1．10．已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，6)，两边AB 、AC 上的高所在直线的方程分别为4x ＋5y －24＝0与x －6y ＋5＝0，求直线BC 的方程．[解] ∵AB 边上的高所在直线的方程为4x ＋5y －24＝0， ∴可设直线AB 的方程为5x －4y ＋m ＝0， 把点A (5，6)坐标代入得25－24＋m ＝0， ∴m ＝－1，即直线AB 方程为5x －4y －1＝0， 由⎩⎨⎧ 5x －4y －1＝0x －6y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1，即B (1，1)． 同理可得C (6，0)， ∴k BC ＝1－01－6＝－15． ∴直线BC 的方程为y ＝－15(x －6)，即x ＋5y －6＝0．11．已知点P (－1，0)，Q (1，0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D ．[0，2]A [点P ，Q 所在直线的方程为y ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由－1≤b2≤1，得－2≤b ≤2．]12．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0D [设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于x ＝1对称的点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，所以2－x －2y ＋1＝0，即x ＋2y －3＝0．故选D ．]13．(多选题)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则( ) A ．Ax 0＋By 0＋C ≠0 B ．Ax 0＋By 0＋C ＝0C ．方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示不过点P 且与l 垂直的直线D ．方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示不过点P 且与l 平行的直线 AD [因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ．故选AD ．]14．(一题两空)已知直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点．(1)若它们相交于一点，则a ＝________； (2)若它们共有两个不同的交点，则a ＝________．－11 －1或23 [因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，25，若它们相交于一点，则－15a ＋45－3＝0，所以a ＝－11．若要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1；当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23．]15．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．[解] 取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0，2)，设点A (0，2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得 ⎩⎨⎧a ＝3，b ＝5，∴B (3，5)．由⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1，4)， ∴反射光线在经过点B (3，5)和点P (1，4)的直线上， 该直线的方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x－2y＋7＝0．故反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0.6、平面直角坐标系中的距离公式一、选择题1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为()A．55B．255C．5D．25A[直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝|2×1－2＋1| 22＋(－1)2＝55，故选A．]2．已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于()A．3B．－3C．－33D．3或－33D[由|3＋3m－4|2＝1，解得m＝3或－33，故选D．]3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为()A．－6或12B．－12或1C．－12或12D．0或12A[|3m＋2＋3|m2＋12＝|－m＋4＋3|m2＋12，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或12．]4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是() A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0D [在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则|3×1－4×1＋m |32＋(－4)2＝3，解得m ＝16或m ＝－14， 即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0．]5．过点P (0，1)且和A (3，3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0C [∵k AB ＝3－(－1)3－5＝－2，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即2x ＋y －1＝0，又AB 的中点C (4，1)，∴PC 的方程为y ＝1．] 二、填空题6．已知A (a ，3)，B (－2，5a )，|AB |＝13，则实数a 的值为________． 3或－2 [依题意及两点间的距离公式，得[a －(－2)]2＋(3－5a )2＝13，整理得a 2－a －6＝0，解得a ＝3或a ＝－2．]7．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．4 [由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4．]8．点A (－3，1)，C (1，y )关于点B (－1，－3)对称，则|AC |＝________．45 [由已知得y ＋12＝－3，解得y ＝－7，即C (1，－7)，∴|AC |＝[1－(－3)]2＋(－7－1)2＝45．] 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． [解] (1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)， 整理得，所求直线方程为3x ＋4y －14＝0．(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3， 即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．[解] ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18． 故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0．(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22．故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0．11．在直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．25 A [如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4，2)， C (－2，0)，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|NP |＝|DM |＋|MN |＋|NC |．由对称性，D 、M 、N 、C 共线，∴|CD |即为所求，由两点间的距离公式得|CD |＝40＝210．]12．若直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2C ．12 D ．4B [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2．] 13．(多选题)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝2，则下列结论正确的是( ) A ．原点到直线l 距离等于2B ．若点P (x 0，y 0)在直线l 上，则x 20 ＋ y 20 ≥4C ．点(1，1)到直线l 距离d 的最大值等于2＋2D ．点(1，1)到直线l 距离d 的最小值等于2－ 2 ABCD [由点到直线的距离公式知，A 正确；由A 正确得，||OP ≥2，所以x 20 ＋ y 20 ≥4；因为d ＝|cos α＋sin α－2|cos 2α＋sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2，所以d 的最大值等于2＋2，最小值等于2－2．]14．(一题两空)在平面直角坐标系内，已知A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________．25 (2，4) [设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M (图略)，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 即为所求．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为 y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0．②联立①②得⎩⎨⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．]15．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l 的方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．[解] 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)．由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0， 得正方形的中心坐标为P (－1，0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0．又正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0，3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋(－1)2＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或a ＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，3x －y －3＝0．∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0．7、 圆的标准方程一、选择题1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝25 B ．x 2＋y 2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25C [r ＝(3－0)2＋(4－0)2＝5，故选C ．]2．圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2＝9的圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离等于( ) A ．65 B ．85 C ．245 D ．265B [由已知得，C (－4，3)，则圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离d ＝|－16＋9－1|42＋32＝85．] 3．点(a ，a )在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2a 2的内部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞A [由(a －1)2＋(a ＋2)2<2a 2，得a <－52．]4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2B [由题意，知 |PQ |的最小值即为圆心到直线x ＝－3的距离减去半径长，即|PQ |的最小值为6－2＝4，故选B ．]5．方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是()A．半圆B．圆C．两个圆D．两个半圆D[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是两个半圆．故选D．]二、填空题6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．(x－2)2＋y2＝5[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]7．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为________．26＋2[由(x－1)2＋(y－1)2的几何意义知：本题是求圆上一点到点(1，1)的最大值，其最大值为(0－1)2＋(－4－1)2＋2＝26＋2．]8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．1[∵|AB|＝2．∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为(2，2)，半径为1．所以此时C的坐标为(2，1)，S的最小值为1．]△ABC三、解答题9．求圆心C(8，－3)且过点P(5，1)的圆的标准方程．[解]法一：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，。