陕西省商洛市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案
16．函数 f (x) x2 8ln x 的最小值为_____．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每道试题考生 都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ．已知 a cosC ( 2b c) cos A ．
如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ABCD 平面 BCEF ，四边形 ABCD 为矩形，E，F 是以 BC 为直径
的半圆圆弧的两个三等分点， BC 4,CD 4 3 ．
3
（1）证明：平面 ABF 平面 ACF ． （2）求二面角 B AC F 的余弦值．
20．（12 分）
如图，O 为坐标原点，椭圆 C :
30
A．
10
10
B．
10
C． 3 5
25
D．
5
10．运行如图所示的程序框图，若输出 S 的值为 129，则判断框内可填入的条件是（ ）
A． k 4 ? B． k 5? C． k 6 ? D． k 7 ?
11．已知函数
f
(x)
l(o4ga
x a, x 1,
是
a)x 2, x 1
R
上的单调递增函数，则
商洛市 2019~2020 学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学试卷参考答案（理科）
1．A 因为 M {x x 1}, N {x 2 x 2}，所以 M N (1, 2] ．
2．B 因为 i(1 i) 1 i ，所以复数 i(1 i) 对应的点位于第二象限．
3．C
1 x
C． 2 3
D． 19 4
6．设各项均不相等的等比数列an 的前 n 项和是 Sn ，若 S1 1, S3 3，则 S6 （ ）
A．27 B． 16 C． 21 D．36
7．高二某班共有学生 45 人，学号依次为 1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为 5
的样本，已知学号为 6，24，33 的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（ ）
足 R2 OO12 42 6 OO1 2 O1H 2 ，设 OO1 x ，则 x2 16 (6 x)2 4 ，解得 x 2 ，从而 R2 20 ，
故三棱锥 P BCD 外接球的表面积为 4 R2 80 ．
6
13．135 由已知得 a5 a7 2a6 ，所以 a6 15 ，所以公差 d 6 ，所以
商洛市 2019~2020 学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学试卷（理科）
考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．
k 4; S 17 4 241 49, k 5; S 49 5 251 129, k 6 ，此时输出 S，即判断框内可填入的条件
是“ k 6 ? ”．
11．B
a 1, 由题意可得 4 a 0, 解得 3 a 4 ．
a 4 a 2,
12．D 如图，取 AD 的两个三等分点 O1, E ，连接 BD,O1C,CE, BD O1C H ，连接 PH ， AH ．由
x3
项的系数是（
）
A．40 B． 40 C．80 D． 80
4．已知双曲线的方程为 x2 y2 1，其离心率为（ ） 34
A． 1 2
B． 7 2
C． 3 3
D． 21 3
5．已知向量 a (m,1),b (2, 3) ，若 (2a b) b ，则 m （ ）
A． 19 4
B． 2 3
1 2
21 ．
5
7．B 8．A
因为 45 9 ，所以另两人的编号分别为 6 9 15 和 33 9 42 ． 5
由题意可得 | AF
|
x0
p 2
2,
y0
2 px0 2 ，解得 p 2 ．
9．A 如图，过点 D 作 DF / / A1C1 交 A1B1 于点 F，连接 AF ，则 ADF 为异面直线 A1C1 与 AD 所成的角．由
10 分
故 ABC 的面积为 1 bc sin A 1 2 2 6 2 6 ．
2
2
2
12 分
18．解：（1）记“小张获得 2000 元”为事件 A，
取出两个小球共有 C62 15 种情况，
2分
其中两个小球均为红色共有 C22 1种情况，
21．（12 分）
已知函数
f
(x)
x2 ex
a(a R) ．
（1）若 f ( x) 有三个不同的零点，求 a 的取值范围；
（2）当 x 3时，不等式 ex f (x) (a 3)x 0 恒成立，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
2
x
5
展开式的通项为
Tr1
C5r
1 x
5r
(2x)r
(2)r C5r x2r5
．令 2r
5
3 ，得 r
4 ，则
T5
(2)4C54x 3
80 x 3
，故
1 x
2
x
5
的展开式中含
x3
项的系数是
80．
4．D 5．D
由题意得双曲线的 a 3,b 2, c 7 ，离心率 e c 7 21 ． a33
由题意可得
2a
b
(2m
2,
5)
．因为
(2a
b)
b
，所以
2(2m
2)
15
0
，解得
m
19
．
4
6．C
由已知得，公比
q
1，所以
Sn
a1
1 qn 1 q
，知
S3
a1
1 q3 1 q
，所以 q 2 或 q 1，又等比数
列an
各项均不相等，所以
q
2
，所以
S6
a1
1 q6 1 q
1 1 26
题意可得 AH BH DH 1 2
12 36 2
3,O1B O1C O1D 4 ，则 O1 是 BCD 的外接圆的圆
心．因为 PA PB PD 4 3 ，所以 PH 平面 ABCD ，且 PH (4 3)2 (2 3)2 6 ．设 O 为三
棱锥 P BCD 外接球的球心，连接 OO1,OP,OD ，过 O 作 OF PH ，垂足为 F，则外接球的半径 R 满
16． 4 8 ln 2 因为 f (x) 2x 8 2( x 2)( x 2) ，所以 f ( x) 在 (0, 2) 上单调递减，在 (2, ) 上单
x
x
调递增，故 f (x)min f (2) 4 8ln 2 ．
17．解：（1）因为 a cosC ( 2b c) cos A ，所以 sin Acos C ( 2 sin B sin C) cos A ，
a
的取值范围是（
）
A． (1, 4) B． [3, 4) C． [2, 4) D． (1, 3]
12．在四棱锥 P ABCD 中， BC / / AD ， AD AB ， AB 2 3 ， AD 6 ， BC 4 ，
2
PA PB PD 4 3 ，则三棱锥 P BCD 外接球的表面积为（ ） A． 60 B． 40 C．100 D． 80
所以 cos A 2 ，则 A ．
6分
2
4
（2）由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bc cos A ，
5分 7分
因为 a 2 5,b 2 2,cos A 2 ，所以 20 8 c2 4c ，
8分
2
7
即 c2 4c 12 0 ，解得 c 6 或 c 2 （舍去）．
第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．等差数列an 中， a5 9, a7 21，则 a10 a11 a12 ______．
14．函数
f
(x)
3 tan
2x
3
的图象的对称中心是______．
15．已知函数 f ( x) 是偶函数，且当 x 0 时， f (x) log3(x 1) x 2 ，则 f (2) ______．
a10 a11 a12 a5 a6 a7 15d 135 ．
14．
k 4
6
,0 (k Z )
令 2x k (k Z ) ，解得 x k (k Z ) ，则 f (x) 的图象的对称中
32
46
心是
k 4
6
,0 (k Z ) ．
15．5 由题意可得 f (2) f (2) log3(2 1) 2 2 5 ．
题意知 AD 22 (2 5)2 2 6 ， DF 12 22 5 ， AF 42 12 17 ．故
cos ADF
AD2 DF 2 AF 2 2AD DF
24 5 17 22 6 5
30 ． 10
10．C S 0, k 1; S 0 1 211 1, k 2; S 1 2 221 5, k 3; S 5 3 231 17 ，
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
3 cos , 5 sin
陕西省商洛市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
【答案】C
【解析】
∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；
本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0.
8．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。
3、若 ，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若 ,则A是B的充要条件。
9．已知双曲线 ，两条渐近线与圆 相切，若双曲线的离心率为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由离心率确定双曲线的渐近线方程，再由渐近线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果.
故选： .
【点睛】
本题考查了极轴的对称问题，属于简单题.
6．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）
A．甲的极差是29B．甲的中位数是24
C．甲罚球命中率比乙高D．乙的众数是21
【答案】B
【解析】
【分析】
通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．
在区间 上任取两个实数a，b所对应的点 构成的区域为正方形 ，
所以函数 无零点的概率 .
【点睛】
本题考查几何概型计算概率，考查利用面积比求概率，注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.
陕西省商洛市2019-2020学年高二下学期期末2份数学学业质量监测试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中真命题的个数是（ ） ①若p q ∧是假命题，则p 、q 都是假命题；②命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是“0x ∃∈R ，320010x x -+>”③若p ：1x >，q :11x<，则p 是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =RR ，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．{}2a a ≤ B ．{}1a a < C ．{}2a a ≥D ．{}2a a >3．空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值4．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．125．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．175B ．275C ．375D ．4756．下列说法中， 正确说法的个数是（ ）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和 0.3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a = A ．0B ．1C ．2D ．37． “直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为12和45，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．139．已知0c b a ≥≥>，且21a b c ++=，则a 的取值范围为（ ） A ．9a >B ．8a >C ．7a >D ．07a <≤10．若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．12B 2C ．1D ．211．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ） A ．12种B ．24种C ．48种D ．60种12．函数的图象的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题13．()62111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案) 14．计算233398log 3(2)27-⎛⎫++- ⎪⎝⎭的结果为______.15．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 16．函数()212log 32y x x =-+的单调递增区间为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷(理科)附解答
2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷（理科）一．选择题（60分）（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1． 已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ）A. x=-1，y=1B. x=-1，y=2C. x=1，y=1D. x=1，y=2 2． 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）A.8289A AB.8289A CC. 8287A AD.8287A C3． 在对我市高中学生某项身体素质的测试中，测试结果ξ服从正态分布2,1(σN ）)0(>σ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（0，1）内取值的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6D.0.34．43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是（ ）A ．-6B ．-3C ．0D ．35． 函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-196． =---⎰dx x x ))1(1(21（ ）A. 22π+B. 12+πC. 212-πD. 142π-7． 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ） A.72B.96C.108D.1448． 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） Ａ．14Ｂ．79120Ｃ．34Ｄ．23249． 设'()f x 是函数()f x 的导函数，将y =()f x 和y ='()f x 的图像画在同一个直角坐标系中，不可能的是（ ）10． 某展览会一周(七天)内要接待三所学校学生参观，每天只安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观一天，则不同的安排方法有( ) A ．210种B ．50种C ．60种D ．120种11． 观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ） A.01 B.43 C.07 D.4912． 若在曲线(,)0f x y =(或()y f x =)上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(,)0f x y =(或()y f x =)的自公切线，下列方程的曲线:①221x y -= ②2||y x x =-③||1x +=④3sin 4cos y x x =+ 存在自公切线的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 二．填空题（20分）13． 某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的期望E ξ=8.9，则y 的值为 .14． 将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
陕西省商洛市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷(I)卷
陕西省商洛市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·六安期末) 若，则不等式的解集是（）A .B .C .D .2. （2分）(2013·浙江理) 已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ= ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高二上·福田期中) 已知命题p：x＞y；则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y；则x2＜y2；在命题①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q中，真命题是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④4. （2分）命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是（）A . “∀a∈R，函数y=π”是减函数B . “∀a∈R，函数y=π”不是增函数C . “∃a∈R，函数y=π”不是增函数D . “∃a∈R，函数y=π”是减函数5. （2分）函数f（x）=的定义域为（）A . （0，2]B . （0，2）C . （﹣2，2）D . [﹣2，2]6. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 复数( 为虚数单位)的共轭复数的虚部等于（）A .B .C .D . 17. （2分） (2016高二上·东莞开学考) 一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A . 12，24，15，9B . 9，12，12，7C . 8，15，12，5D . 8，16，10，68. （2分）一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 =7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A . 身高一定是145.83cmB . 身高在145.83cm以上C . 身高在145.83cm以下D . 身高在145.83cm左右9. （2分） (2017高三上·安庆期末) 已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[ ，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[ ]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A . [﹣，0]B . [﹣πlnπ，0]C . [﹣， ]D . [﹣，﹣ ]10. （2分）(2017·甘肃模拟) 若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高三上·滨州期末) 已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log2x﹣2的零点依次为a，b，c，则（）A . a＜b＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . b＜a＜c12. （2分）若sinα＞0，则（）A . cos2α＞0B . tan2α＞0C . cos＞0D . tan＞0二、填空题 (共5题；共9分)13. （1分）已知2sin（π﹣x）+1=0，则cos2x=________．14. （1分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－，则不等式f(x)<－的解集是________．15. （1分） (2016高一上·江阴期中) 函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，则实数m的取值范围________．16. （1分） (2016高一上·武城期中) 函数f（x）=（）的单调递增区间是________．17. （5分）已知角α的终边上一点P（4a，﹣6a）（a≠0），求sinα，cosα，tanα的值．三、解答题 (共5题；共45分)18. （5分）(2017·合肥模拟) 某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；（Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计附：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 K00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819. （10分）解答题（1）已知f（x+1）=x2﹣2x，求f（x）．（2）求函数f（x）= 的最大值．20. （10分）(2019·恩施模拟) 已知函数 .（1）当时，探究零点的个数；（2）①证明：；②当时，证明： .21. （10分） (2017高一下·伊春期末) 某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 )（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为10时，销售收入的值。
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-------------------------密-------------------封-------------------线------------------------班级：_____________姓名：_____________考场：________学号：______________2019-2020学年度第二学期高二年级数学（理）学科期末试卷（注意：本试卷共4页，共22题，满分120分，时间100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设P 、Q 是两个非空集合，定义*{(,)|,}P Q a b a P b Q =∈∈，若{0,1,2}P =，{1,2,34}Q =，,则P*Q 中元素个数是（ ）A.4B.7C.12D.16 2.设离散型随机变量X 分布列如下表，则p 等于（ ）A.110 B. 15 C. 25D. 123．通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表:由22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++算得2110(40302020)=7.860506050χ⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯. 附表：A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y =bx ）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元 5．设随机变量ξ的分布列为2=(1,2,3)3k P k m k ξ=（）=()，则m 的值为（ ）A.1738 B.2738 C.1719 D.27196．随机变量X 的分布列如下,若15()8E X =,则D (X)等于（ ） X 1 2 3 P0.5xyA.732 B.32 C.64 D.55647．在如图所示的电路图中，开关a ,b ,c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是 （ ） A.18 B.38C.14D.788．设10210220121002101392-,x a a x a x a x a a a a a a =++++++++++L L L （）则（）-（）的值为（ ）A.0B.-1C.1 D(102-1（）9．某篮球运动员在一次投篮训练中得分ξ的分布列如下表所示，其中a ,b ,c 成等差数列，且c =ab, 则这名运动员投中3分的概率是（ ）ξ0 2 3 Pab cA.14B.17C.13D.1610.从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数有（ ）A.24108C AB.1599C AC.1589C AD.1588C A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.设231021001210(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x a x +++++++=++++L L ，则2a 的值是__________.12.在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取出两支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是__________.13.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数为__________.14.在25(32)x x ++的展开式中x 项系数为__________.15.某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的时间是相互独立的，且概率都是0.4，则此人在上班途中遇到红灯次数的均值为__________.三、简答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）16.有0,1,2,3,4,5共6个数字(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数;(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数.17.已知2nx）展开式中第三项系数比第二项系数大162，求 (1)n 的值;(2)展开式中含3x 的项.18.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学（理）试题 含答案一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2.设随机变量ξ服从正态分布，若=，则c 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 3.命题“∈R ，－x ＋1≥0”的否定是（ ）A ．∈R ，lnx ＋x ＋1＜0B ．∈R ，－x ＋1＜0C ．∈R ，－x ＋1＞0D ．∈R ，－x ＋1≥04. 如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.5. 已知函数 则 是 成立的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 6.已知的最小值为n ， 则的展开式中常数项为（ ） A. 20 B. 160 C. -160 D. -207.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78.若实数x,满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤52x －y ＋3≤0x ＋y －1≥0，则z=|x |+2的最大值是（ ）A. 10B. 11C. 13D. 149.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（ ） A.4 B. C.2 D.10.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 11.四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的表面（ ）A ．25πB ．45πC ．50πD ．100π 12. 定义域为R 的函数满足，当[0，2)时，若时，有解，则实数t 的取值范围是A.[-2，0)(0，l)B.[-2，0) [l ，+∞)C.[-2，l]D.(，-2] (0，l]第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。
2019-2020学年陕西省商洛市数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
2019-2020学年陕西省商洛市数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列命题中，真命题是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤ B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．1,1a b >>是1ab >的充分条件2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()20f =，当0x >时，()()0xf x f x ->'，则不等式()0xf x >的解集是( ) A ．()(),22,-∞-+∞U B ．()2,2- C ．()()2,02,-+∞U D ．以上都不正确3．已知在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(5)f x +为偶函数，(10)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ） A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(5,)+∞D ．(10,)+∞4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( ) A ．假设三内角都大于060 B ．假设三内角都不大于060 C ．假设三内角至多有一个大于060D ．假设三内角至多有两个大于0605．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．在等差数列{}n a 中，47,a a 是函数2()318f x x x =--的两个零点，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．15-B ．15C ．30D ．30-7．已知全集U =R ，集合2{|5140}A x x x =--<，{|33}B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．(3,2]--B ．(2,3]-C ．(2,3]D ．[3,7)8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>和直线:60l x y --=，过点(2,0)且与直线l 垂直的直线交抛物线C 于,P Q 两点，若点,P Q 关于直线l 对称，则p =( ) A ．1B ．2C ．4D ．69．已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．已知1232727272727S C C C C =++++L ，则S 除以9所得的余数是A ．2B ．3C ．5D ．711．已知0c b a ≥≥>，且21a b c ++=，则a 的取值范围为（ ） A ．9a >B ．8a >C ．7a >D ．07a <≤12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X 表示所选3人中女生的人数，则()E X 为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线22y x =的准线方程为________．14．函数()212log 32y x x =-+的单调递增区间为__________． 15．若存在两个正实数x ，y 使等式()()22ln ln 0x m y ex y x +--=成立，（其中 2.71828...e =）则实数m 的取值范围是________.16．设非空集合A 为实数集的子集，若A 满足下列两个条件： （1）0A ∈，1A ∈；（2）对任意,x y A ∈，都有x y A +∈，x y A -∈，xy A ∈，()0xA y y∈≠ 则称A 为一个数域，那么命题：①有理数集Q 是一个数域；②若A 为一个数域，则Q A ⊆；③若A ，B 都是数域，那么A B I 也是一个数域；④若A ，B 都是数域，那么A B U 也是一个数域. 其中真命题的序号为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数2()ln f x x x =+（1）求函数()f x 在[1,]e 上的最大值和最小值； （2）求证：当x (1,)∈+∞时，函数()f x 的图象在3221()32g x x x =+的下方． 18．已知函数()()()ln 0f x a x x a =+≠，()2g x x =.（1）当1a =时，方程()f x mx =在区间1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，求实数m 的取值范围；（2）对于区间[]1,2上的任意不相等的实数1x 、2x ，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求a 的取值范围.19．（6分）甲乙两名选手在同一条件下射击，所得环数,ξη的分布列分别为ξ6 7 8 9 10P0.16 0.14 0.42 0.1 0.18 η678910P0.19 0.24 0.12 0.28 0.17（I ）分别求两名选手射击环数的期望；（II ）某比赛需从二人中选一人参赛，已知对手的平均水平在7.5环左右，你认为选谁参赛获胜可能性更大一些？20．（6分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求抛物线的方程;（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求的值.21．（6分）已知a ，b 是正数，求证：22144a b ab++…. 22．（8分）在圆224x y +=上任取一点M ，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足.3DN =u u u vu u u v ，当点M 在圆上运动时， （1）求N 点的轨迹T 的方程；（2） 若(2,0)A ，直线l 交曲线T 于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥.O 为坐标原点，点P 满足2OP OE OF =+u u u v u u u v u u u v，证明直线l 过定点，并求直线AP 的斜率的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】A ：根据指数函数的性质可知0x e ＞ 恒成立，所以A 错误．B ：当1x =- 时，()2112112--＝＜＝，所以B 错误． C ：若0a b == 时，满足0a b += ，但 1ab=-， 不成立，所以C 错误．D ：11a b ＞，＞， 则1ab ＞ ，由充分必要条件的定义，11a b ＞，＞，，是 1ab ＞的充分条件，则D 正确． 故选D ． 2．C 【解析】 令()()f xg x x=，则当0x >时：()()()2''0xf x f x g x x -=>，即函数()g x 在()0,∞+上单调递增，由()20g =可得： 当()0,2x ∈时，()0g x <； 当()2,x ∈+∞时，()0g x >；不等式()0xf x >在()0,∞+上的解集为()2,+∞， 同理，不等式()0xf x >在(),0-∞上的解集为()2,0-， 综上可得：不等式()0xf x >的解集是()()2,02,-⋃+∞. 3．A 【解析】 【分析】 【详解】分析：构造新函数()()x f x g x e=，利用已知不等式确定()g x 的单调性， 详解：设()()x f x g x e=，则'()()'()xf x f xg x e -=，由已知'()()f x f x <得)'(0g x <，∴()g x 是减函数．∵(5)f x +是偶函数，∴()f x 的图象关于直线5x =对称， ∴(0)(10)1f f ==，0(0)(0)1f g e ==，()()1x f x g x e=<的解集为(0,)+∞，即()x f x e <的解集为(0,)+∞．故选A ．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是是构造新函数()()x f x g x e=，对于含有'(),()f x f x 的已知不等式，一般要构造新函数如()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()xg x e f x =，()()x f x g x e=等等，从而能利用已知条件确定()g x 的单调性，再解出题中不等式的解集． 4．B 【解析】 【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案. 【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B. 【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 5．D 【解析】 【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题． 6．B 【解析】由题意得47,a a 是方程23180x x --=的两根， ∴473a a +=， ∴110101104710()5()5()53152a a S a a a a +==+=+=⨯=．选B ．7．D 【解析】 【分析】 【详解】分析：先求出A 集合，然后由图中阴影可知在集合A 中出去A,B 的交集部分即可. 详解：由题得：{|27}=-<<A x x 所以(2,3)A B ⋂=-故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为()A C A B ⋂=[)3,7 故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】由于直线l 与直线PQ 垂直，且直线l 的斜率为1，所以直线PQ 的斜率为1-，而直线PQ 过点(2,0)，所以可求出直线PQ 的方程，将直线PQ 的方程与抛物线方程联立成方程组，求出PQ 的中点坐标，然后将其坐标代入:60l x y --=中可求出p 的值. 【详解】解：由题意可得直线PQ 的方程为2y x =-+，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由222y x y px=-+⎧⎨=⎩，得2(42)40x p x -++=， 所以12121242,()42x x p y y x x p +=++=-++=-， 所以PQ 的中点坐标为(2,)p p +-， 因为点,P Q 关于直线l 对称， 所以260p p ++-=，解得2p = 故选：B 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于基础题. 9．D 【解析】分析：由复数的运算，化简得到z ，由实部与虚部的和为1，可求得a 的值． 详解：因为2iz ai =+所以2222221ai i ai a iz a i i i ++-+====-- 因为复数z 的实部与虚部和为1 即()21a +-= 所以3a = 所以选D点睛：本题考查了复数的基本运算和概念，考查了计算能力，是基础题． 10．D 【解析】 【分析】根据组合数的性质，将1232727272727S C C C C =++++L 化简为()9911--，再展开即可得出结果.【详解】()9123272799081827272727999C C C C 21819119C 9C 9C 2S =++++=-=-=--=-++-L L ，所以除以9的余数为1．选D. 【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题. 11．D 【解析】 【分析】由三个正数的和为21，可知三个正数的平均数为7，因此可以用反证法来求出a 的取值范围. 【详解】由三个正数的和为21，可知三个正数的平均数为7，假设7a >，因为0c b a ≥≥>，则有7,7b c >>，这与21a b c ++=，相矛盾，故假设不成立，即7a ≤，故本题选D. 解法二: 因为0c b a ≥≥>，所以21307a b c a a ++=≥∴<≤ 【点睛】本题考查了反证法的应用，正确运用反证法的过程是解题的关键. 12．B【分析】先由题意得到X 的可能取值为0,1,2,，分别求出其对应概率，进而可求出其期望. 【详解】由题意，X 的可能取值为0,1,2,，由题中数据可得：()3436441065420532=====⨯⨯⨯C P X C ，()21423662123165420532⨯=====⨯⨯⨯C C P X C ， ()124236441265420532=====⨯⨯⨯C C P X C ， 所以131()0121555=⨯+⨯+⨯=E X . 故选B 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记期望的概念，会求每个事件对应的概率即可，属于常考题型. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．18y =- 【解析】 【分析】先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程. 【详解】因为抛物线22y x =的标准方程为：212x y =， 因此其准线方程为：18y =-. 故答案为：18y =- 【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 14．(),1-∞ 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调递增区间.由2320x x -+>解得1x <或2x >，由于12log y x =在其定义域上递减，而232y x x =-+在1x <时递减，故()212log 32y x x =-+的单调递增区间为(),1-∞. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查对数函数定义域的求法，属于基础题. 15．()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()()22ln ln x m ex y y x =--，()()2ln ln 11ln 22ex y y x y y e m x x x --⎛⎫==-⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，设0yt x => ，设()ln 2t g t e t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，那么()1111ln ln 2222t e g t t e t t t ⎛⎫=-+-⋅=-+- ⎪⎝'⎭ ，()2212022e t e g t t t t'+=-'=--<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当t e =时， ()0g e '=，当()0,t e ∈时， ()0g t '> ，函数单调递增，当(),t e ∈+∞ ， ()0g t '< ，函数单调递减，所以()g t 在t e =时，取得最大值， ()2e g e =，即12e m ≤ ，解得： 0m < 或2m e ≥ ，写出区间为()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ ，故填： ()2,0,e⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 16．①②③④ 【解析】分析：根据“数域”的定义，对四个结论逐一验证即可，验证过程一定注意“照章办事”，不能“偷工减料”.详解：(),0x y Q x y Q x y Q xy Q xQ y y+∈⎧⎪-∈⎪⎪∈⇒∈⎨⎪⎪∈≠⎪⎩Q ，则①正确；对于②，若A 是一个数域，则0,1A A ∈∈，于是任何一个分数，都可以构造出来，即Q A ⊆，②正确；对于③，(),0x y A Bx y A B x y A B xy A BxA B y y+∈⋂⎧⎪-∈⋂⎪⎪∈⋂⇒∈⋂⎨⎪⎪∈⋂≠⎪⎩Q ，③正确；定义④，(),0x y A B x y A B x y A B xy A BxA B y y+∈⋃⎧⎪-∈⋃⎪⎪∈⋃⇒∈⋃⎨⎪⎪∈⋃≠⎪⎩Q ④正确，故答案为①②③④. 点睛：本题考查集合与元素的关系，以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）()f x 的最小值是(1)1f =，最大值是2()1f e e =+；（2）证明详见解析.【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导数，确定导函数恒大于零，即得函数单调递增，最后根据单调性确定最值，（2）先作差函数，利用导数研究函数单调性，再根据单调性去掉函数最值，根据最大值小于零得证结论. 试题解析：(1)因为f(x)＝x 2＋ln x ，所以1()2f x x x'=+因为x>1时，f ′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数， 所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e 2. (2)证明：令2312()()()ln 23F x f x g x x x x =-=-+， 所以()2232332(1)211211()2x x x x x x x x F x x x x x x x'-++-+--+=-+===因为x>1，所以F ′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以121()(1)0236F x F <=-=-<.所以f(x)<g(x)． 所以当x ∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在3221()32g x x x =+的下方．18．（1）[]11,11m e e ⎧⎫∈-+⎨⎬⎩⎭U （2）10a -≤<或01a <≤ 【解析】 【分析】(1)由()f x mx =得ln 1x m x =+，即y m =与()t x 的图象在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有唯一交点. 设()ln 1x t x x =+,利用导数讨论出函数的单调性，得出答案.(2) 不妨设1212x x ≤<≤，当0a >时，()0f x '>,则()f x 在[]1,2上单调递增，则转化为()()()()2211f x g x f x g x -<-，即()()()F x f x g x =-在[]1,2上单调递减，所以()22'0ax a F xx x +-=≤恒成立，当0a <时，即()()()G x f x g x =+在[]1,2上单调递增，从而可求答案. 【详解】 【详解】（1）解：由ln x x mx +=，得ln 1xm x=+， 设()ln 1x t x x =+，1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则问题等价于y m =与()t x 的图象在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有唯一交点， ∵()21ln 'xt x x -=， ∴1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0t x >，函数单调递增，(),x e ∈+∞时，()'0t x <，函数单调递减，∵11t e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11t e e=+且(),x e ∈+∞时，()1t x >， ∴[]11,11m e e ⎧⎫∈-+⎨⎬⎩⎭U .（2）解：()11+f x a x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()g x 在[]1,2上单调递增. 不妨设1212x x ≤<≤，当0a >时，()0f x '>,则()f x 在[]1,2上单调递增，()()12f x f x <，()()12g x g x <，∴()()()()1212f x f x g x g x -<-可化为()()()()2121f x f x g x g x -<-， ∴()()()()2211f x g x f x g x -<-，设()()()F x f x g x =-，即()()21ln F x a x x =+-，∵()F x 在[]1,2上单调递减，∴()22'0ax a F xx x+-=≤恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立，∵22221111124x x x =≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴01a <≤， 当0a <时，()()12f x f x >，()()12g x g x <，∴()()()()1212f x f x g x g x -<-可化为()()()()1221f x f x g x g x -<-， ∴()()()()2211f x g x f x g x +>+， 设()()()Gx f x g x =+，即()()21ln G x a x x =++，∵()G x 在[]1,2上单调递增，∴()22'0ax a G xx x++=≥恒成立，即221x a x ≥-+在[]1,2上恒成立.∴22221111124x x x -=-≤-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴10a -≤<， 综上所述：10a -≤<或01a <≤. 【点睛】本题考查根据方程根的个数求参数范围和构造函数利用函数的单调性求参数范围，属于中档题. 19． (1) ()8E ξ=.（2）甲稳定，甲参赛获胜可能性更大一些. 【解析】分析：（1）根据期望和方差的公式得到数值；（2）根据第一问得到的数据，方差小的发挥稳定一些. 详解：(1)()60.1670.1480.4290.1100.188E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()60.1970.2480.1290.28100.178E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）()()()()()()22222680.16780.14880.42980.11080.18 1.6D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=()()()()()()22222680.19780.24880.12980.281080.17 1.96D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=因为()()D D ξη<所以甲稳定，甲参赛获胜可能性更大一些.点睛：这个题目考查了期望和方差的计算公式，以及两个数据在实际中的应用，方差能够说明数据的离散程度，期望说明数据的平均值，从选手发挥稳定的角度来说，应该选择方差小的. 20．（1）y 2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值. 试题解析：(1)直线AB 的方程是y ＝2（x-），与y 2＝2px 联立，消去y 得8x 2－10px ＋2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝ .由抛物线定义得|AB|＝＋p ＝9，故p=4(2)由(1)得x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝1，x 2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值. 21．见证明 【解析】 【分析】运用基本不等式即可证明 【详解】证明：因为a ，b 是正数，所以2244a b ab +…. 所以221144244a b ab ab ab+++=厖.即22144a b ab++…. 当且仅当1a =，12b =时取等号【点睛】本题考查了基本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等”的条件22． (1) 22143x y +=. (2)5656⎡-⎢⎣⎦. 【解析】 试题分析：（1）由相关点法得到M(x 0,y 0),N （x,y ），则x=x 00y （2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据条件结合韦达定理得到27k t =-，2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，APk = 217878k k k k=++，进而求得范围. 解析：(1) 设M(x 0,y 0),N （x,y ），则x=x 0,y=2y 0,代入圆方程有22143x y +=.即为N 点的轨迹方程.(2)当直线l 垂直于x 轴时,由2223412y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得271640x x -+=, 解得27x =或2,此时2,07P ⎛⎫⎪⎝⎭,直线AP 的斜率为0； 当直线l 不垂直于x 轴时,设()()1122,,,E x y F x y ,直线l :y kx t =+(2t k ≠-), 由223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 整理得()2223484120k x ktx t +++-=, 依题意()()2222644344120k t kt∆=-+->,即22430k t -+>(*),且122834kt x x k +=-+,212241234t x x k -=+,又AE AF ⊥,所以()()()()()()121212122222AE AF x x y y x x kx t kx t ⋅=--+=--+++u u u v u u u v 2227416034t k kt k++==+, 所以2274160t k kt ++=,即()()7220t k t k ++=,解得27kt =-满足(*), 所以2OP OE OF =+u u u v u u u v u u u v()1212,x x y y =++= 2286,3434kt t k k⎛⎫-⎪++⎝⎭,故2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,故直线AP 的斜率22233344846234APtt k k kt k kt k+==-=++--+ 217878k k k k =++,当0k <时,78k k +≤-此时0AP k ≤<； 当0k >时,78k k +≥此时056AP k <≤； 综上,直线AP的斜率的取值范围为,5656⎡-⎢⎣⎦. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。
2019-2020学年高二(下)期末数学试卷(理科)带答案
2019-2020学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3．（5分）数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件4．（5分）图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4，其大小关系为（）A．a1＜a2＜a3＜a4，B．a2＜a1＜a3＜a4，C．a1＜a2＜a4＜a3，D．a2＜a1＜a4＜a35．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 7．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°8．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F 与面GEF成角的正弦值（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1] 10．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1611．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x3+1＞0”．②双曲线﹣=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个12．（5分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．16．（5分）已知a＞b，且ab=1，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m 与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．3．（5分）数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列和等差数列的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，设公差为d，则当n≥2时，=为非零常数，则数列{b n}是等比数列，若数列{b n}是等比数列，设公比为q，则当n≥2时，===q，则a n﹣a n﹣1=2q为常数，则数列{a n}是等差数列，则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列和等差数列的定义是解决本题的关键．4．（5分）图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4，其大小关系为（）A．a1＜a2＜a3＜a4，B．a2＜a1＜a3＜a4，C．a1＜a2＜a4＜a3，D．a2＜a1＜a4＜a3【分析】先根据椭圆越扁离心率越大判断a1、a2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a3、a4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．【解答】解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a1＜a2＜1根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a3＜a4∴可得到a1＜a2＜a3＜a4故选A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率大小的判断．考查对基础知识的理解和记忆．5．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．6．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．7．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式整理后代入求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，变形得：（b+c）2﹣a2=3bc，整理得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，则A=60°．故选B【点评】此题考查了余弦定理，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8．（5分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，E ，F ，G 为 AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与面GEF 成角的正弦值（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用等体积，计算B 1到平面EFG 距离，再利用正弦函数，可求B 1F 与面GEF 成角的正弦值．【解答】解：取A 1B 1中点M ，连接EM ，则EM ∥AA 1，EM ⊥平面ABC ，连接GM ∵G 为A 1C 1的中点，棱长为∴GM=B 1C 1=1，A 1G ═A 1F=1，FG=，FE=，GE=在平面EFG 上作FN ⊥GE ，则∵△GFE 是等腰三角形，∴FN=，∴S △GEF =GE ×FN=， S △EFB1=S 正方形ABB1A1﹣S △A1B1F ﹣S △BB1E ﹣S △AFE =，作GH ⊥A 1B 1，GH=，∴V 三棱锥G ﹣FEB1=S △EFB1×GH=，设B 1到平面EFG 距离为h ，则V 三棱锥B1﹣EFG =S △GEF =， ∵V 三棱锥G ﹣FEB1=V 三棱锥B1﹣EFG ， ∴，∴h= 设B 1F 与平面GEF 成角为θ，∵B 1F=∴sinθ==∴B1F与面GEF所成的角的正弦值为．故选A．【点评】本题考查线面角，考查三棱锥的体积计算，考查转化思想，解题的关键是利用等体积计算点到面的距离．9．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]【分析】利用S△ABF =2S△AOF，先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF =2S△AOF，∴r1r2═2•c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．10．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x3+1＞0”．②双曲线﹣=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】①利用命题的否定，即可判断其真假；②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，③将cosB=﹣cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判断③的正误；④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．【解答】解：①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∃x0∈R，使得+1≥0”，故①错误；②，依题意，F（c，0），A（﹣a，0），∵点B（0，b），∴=（a，b），=（c，﹣b），∵•=0，∴ac﹣b2=0，而b2=c2﹣a2，∴c2﹣ac﹣a2=0，两端同除以a2得：e2﹣e﹣1=0，解得e=或e=（舍去），故②正确；③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，∴cosB=﹣cos（A+C），∴原式化为：cos2B﹣cos（A+C）+cos（A﹣C）=1，∴cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1﹣cos2B，∵cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC，1﹣cos2B=2sin2B，∴sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比数列错误；④，∵，是夹角为120°的单位向量，∴（λ+）⊥（﹣2）⇔（λ+）•（﹣2）=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）•=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）×1×1×（﹣）=0⇔2λ﹣2﹣=0，∴λ=．故④正确；综上所述，正确命题的个数是2个．故选B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定，向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查双曲线的性质，综合性强，属于难题．12．（5分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b＞0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵=+=++≥+2=，（当且仅当=，即a=，b=时取到等号）∴≤﹣（当且仅当=，即a=，b=时取到上确界）故选：D．【点评】这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．14．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=3．【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可．【解答】解：∵向量，共面，∴存在唯一一对实数m，n使得，∴，解得．故答案为：3．【点评】本题考查了向量共面定理，属于基础题．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n=（2n﹣1）•a n，我们可得，，则=，代入﹣1若=，即可得到答案．=（2n﹣1）•a n，【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1∴，，则=，又∵=，∴=即=故答案为：【点评】在等差数列中，S2n=（2n﹣1）•a n，即中间项的值，等于所有项值的﹣1平均数，这是等差数列常用性质之一，希望大家牢固掌握．16．（5分）已知a＞b，且ab=1，则的最小值是2．【分析】将条件进行整理，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．【解答】解：∵ab=1，a＞b，∴==a﹣b+，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时取等号，故的最小值是2，故答案为：2【点评】本题主要考查基本不等式的应用，将条件转化为基本不等式的形式是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为x2=2py，由焦点为F（0，1），可得=1，即p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，，由y=x﹣2和y=x联立，得，同理，所以=，令4k﹣3=t，t≠0，则，则，则所求范围为．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的能力，属于中档题．21．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，【分析】故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差﹣1的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m 与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．【分析】（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，所以由此能求出k的取值范围和x2﹣x1的最小值．（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），，=．由此能证明k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵l与圆相切，∴∴m2=1+k2（2分）由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，∴，∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k 的取值范围为（﹣1，1）．（5分）由于，∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2﹣x1取最小值．（7分）（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），∴，∴=（10分）====，由m2﹣k2=1，∴为定值．（14分）【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。
陕西省商洛市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
陕西省商洛市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高和底面边长均为2，则该球的体积为 A ．92π B ．5π C ．112π D ．814π 【答案】A 【解析】分析：设球的半径为R,再根据图形找到关于R 的方程，解方程即得R 的值，再求该球的体积.详解：设球的半径为R,由题得223(2),.2R R R =-∴=所以球的体积为3439()322V ππ=⋅=. 故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查球的内接几何体问题和球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解题的关键是从图形中找到方程22(2)R R =-. 2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则33a b +的最小值是( )A ．18B ．6C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由重要不等式可得33a b +≥=a ＋b ＝2，代入即可得解. 【详解】解：由实数a ，b 满足a ＋b ＝2，有336a b +≥==，当且仅当33a b =，即1a b ==时取等号， 故选:B. 【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件，重点考查了运算能力，属基础题. 3． “0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】显然由于21,log 0x x ≥≥，所以当m<0时，函数f( x)= m+log 2x （x≥1）存在零点;反之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A ．4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，()1121n n n nS nS a n n -=++≥+ ，若138m S >，则m 的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】根据a n ＝s n ﹣s n ﹣1可以求出{a n }的通项公式，再利用裂项相消法求出s m ，最后根据已知，解出m 即可． 【详解】由已知可得，()111n n n n s s a n --=++，()111n n a n -=+， ()()111111211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，（n≥2），11111111232411m s m m ⎛⎫=+-+-++-= ⎪-+⎝⎭111111312218m m ⎛⎫++-- ⎪+⎝⎭＞，即11114m m +<+，解之得，72m ＜或 72m >＞7.5，故选：C ． 【点睛】本题考查前n 项和求通项公式以及裂项相消法求和，考查了分式不等式的解法，属于中等难度． 5．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 6．已知集合{0,1,2},{0,}A B x ==，若B A ⊆，则x ＝( )A ．0或1B ．0或2C ．1或2D ．0或1或2【答案】C 【解析】1B A x ⊆∴= 或2x =．故选C ．点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合．2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解．3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．7．已知,x y 满足约束条件330x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若2z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．6-C ．5D ．5-【答案】A 【解析】分析：首先绘制不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解最值即可. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：30x y y +=⎧⎨=⎩，可得点A 坐标为：()3,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 2306z =⨯+=. 本题选择A 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by(ab≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y轴上截距最小时，z 值最大.8．被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如图是利用该公式设计的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，依次计算可得所求结果 【详解】当4a =，3b =，2c =时，31512S =<，2k =； 当5a =，4b =，3c =时，612S =<，3k =； 当6a =，5b =，4c =时，27124S =<，4k =； 当7a =，6b =，5c =时，6612S =>，5k =； 故选B 【点睛】本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意1k k =+所在位置9．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 考点：条件概率．10．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】D 【解析】分析：先求出二项式展开式的通项，再令x 的指数为4得到r 的值，即得5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数.详解：由题得二项展开式的通项为2551031551(2)()2rrr r r r r T C x C x x---+==, 令10-3r=4,所以r=2,所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2525210880C -=⨯=.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查二项式展开式中某项的系数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)521 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2525210880C -=⨯=,不是2510C =,要把二项式系数和某一项的系数两个不同的概念区分开.11．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．12．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ） A ．小 B ．大C ．相等D ．大小不能确定【答案】B 【解析】试题分析：四种不同的玻璃球，可设为,,,A B C D ，随意一次倒出一粒的情况有4种，倒出二粒的情况有6种，倒出3粒的情况有4种，倒出4粒的情况有1种，那么倒出奇数粒的有8种，倒出偶数粒的情况有7种，故倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率大. 考点：古典概型.二、填空题：本题共4小题13．甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为15、14、13，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________． 【答案】35【解析】分析：根据相互独立事件的概率乘法公式，目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，运算求得结果.详解：目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，故目标被击中的概率是111311115435⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为35. 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系. 14．已知1()42xx f x m +=-⋅，设21()21x x g x -=+，若存在不相等的实数,a b 同时满足方程()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1(,)2+∞ 【解析】 【分析】根据奇偶性定义求得()g x 为奇函数，从而可得=-b a 且0a ≠，从而可将()()0f a f b +=整理为：221222a a a am --+=-+，通过求解函数()()122x h x x x =->的值域可得到m 的取值范围. 【详解】()()21122121x xx x g x g x -----===-++ ()g x ∴为R 上的奇函数又()()0g a g b +=且ab b a ∴=-且0a ≠()()()()()1144220a a a a f a f b f a f a m -+-∴+=+-=+-+=即：()()2112224422122222222a aaaa a a a a a a am ---+---+-++===-+++ 令()()122x h x x x =->，则()21102h x x'=+> ()h x ∴在()2,+∞上单调递增 ()()112122h x h ∴>=-= 又222aa-+> ()2211222222a a aaa ah ---+∴+=->+ 1,2m ⎛⎫∴∈+∞ ⎪⎝⎭本题正确结果：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到奇偶性的判定、单调性的应用，关键是能够将问题转化为221222a a aa--+-+的值域的求解问题；易错点是在求解22a a -+的取值范围时，忽略0a ≠的条件，错误求解为222a a -+≥，造成增根.15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于120时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120.根据以上性质，函数()f x =__________．【答案】2 【解析】 【分析】 函数()f x =x,y ）到点C （1，0）的距离与到点B （-1，0），到A （0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC ，由角DOB 为060，角DOC为060，OD=3，，OA=，距离之和为：2OC+OA ，求和即可.【详解】根据题意画出图像并建系，D 为坐标原点函数()()()()222222112f x x y x y x y =-++++-x,y ）到点C （1，0）的距离与到点B （-1，0），到A （0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD 上，设为O 点即费马点，连接OB ，OC ，则角DOB 为060，角DOC 为060，B （-1，0）C （1，0），A （0，2），33，OA=3，距离之和为：2OC+OA=333故答案为23. 【点睛】这个题目考查了点点距的公式，以及解三角形的应用，解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.16．42()x x-展开式中的常数项为__________． 【答案】24 【解析】分析：由题意，求得二项式42()x x-的展开式的通项为4214(2)r r r r T C x -+=-⋅，即可求解答案.详解：由题意，二项式42()x x-的展开式的通项为4421442()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=⋅-=-⋅，令2r，则2234(2)24T C =-⋅=.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word 版含答案xx.7注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1．函数()2232xlog e lnx a f x x --+=的一个极值点在区间内，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列命题中的真命题是 A ． B ． C ． D ．3．若复数是实数（是虚数单位），则实数的值为 （ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．24．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A.81B.64C.48D.245．已知函数()()32120f x x ax x a a=++>，则的最小值为A ．B ．C ．D ．6．设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( )(A)y=x-1或y=-x+1 (B)y=(x-1)或y=-(x-1) (C)y=(x-1)或y=-(x-1) (D)y=(x-1)或y=-(x-1)7．设，对于数列，令为中的最大值，称数列为的“递进上限数列”。
例如数列的递进上限数列为2,2,3,7,7.则下面命题中（ ）①若数列满足，则数列的递进上限数列必是常数列 ②等差数列的递进上限数列一定仍是等差数列 ③等比数列的递进上限数列一定仍是等比数列 正确命题的个数是（ ）A ． 0B ．1C ．2D ．38．已知随机变量服从正态分布N （2，σ2），且P （＜4）＝0.8，则P （0＜＜2）＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 9．若是真命题，是假命题，则（A ）是真命题 (B)是假命题 (C) 是真命题 (D)是真命题10．设点P(x ，y)，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11．函数在定义域（—2，4）内可导，其图象如图所示，设函数的导函数为，则不等式的解集为。