等边三角形习题变式专题
第一章第02讲 等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练)(原卷版)
第02讲等边三角形的性质与判定(4类热点题型讲练)1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01 等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60°；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.知识点02 等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.题型01等边三角形的性质【变式训练】1．（2022下·上海浦东新∠=角形，则BAC题型02 等边三角形的判定【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，40A ∠=°，点E 在边AC 上，连接,BE C CBE ∠=∠．若20ABE ∠=°，求证：BCE V 是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点E 在ABC V 的外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于点F ，若12∠=∠，AE AC =，B ADE ∠=∠．(1)求证：AB AD =；(2)若160∠=°，判断ABD △的形状，并说明理由．2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，ABC V 中，D 为AC 边上一点，ED 的延长线交BC 的延长线于F ，且EF AB ^，CD CF =．(1)求证：ABC V 是等腰三角形；(2)当F ∠等于多少度时，ABC V 是等边三角形？请证明你的结论．题型03 等边三角形的判定和性质【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知ABC V 和CDE V 均是等边三角形，点B ，C ，D 在同一条直线上，BE 与AD 交于点O ．(1)求证：AD BE =；(2)若AD 与CE 交于点N ，AC 与BE 交于点M ，连接MN ，求证：CMN V 为等边三角形．【变式训练】1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边ABC V 中，点O 在ABC V 内，OB OC =，且OD AB ∥，OE AC ∥．(1)试判定ODE V 的形状，并说明理由；(2)判断线段BD ，CE 的数量关系，并说明理由．2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 在ABC V 内部，BD BC =，60DBC ∠=°，点E 在ABC V 外部，15060BCE ABE ∠=°∠=°，．(1)求ADC ∠的度数；(2)判断ABE V 的形状并加以证明；(3)连接DE ，若4DE BD DE ^=，，求BC 的长．题型04 含30°角的直角三角形三边的数量关系【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，ABC V 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至点E ，使CE CD =．(1)求证：DB DE =；(2)过点D 作DF 垂直于BE 【变式训练】(1)如图1：求证：AD CE =；(2)如图2，取BD 的中点F ，连接AE AF 、，求证：CAE BAF ∠=∠；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F 作FH AE ^于点H ，求证：3EH AH =．一、单选题1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在等边三角形ABC 中，BD 平分ABC ∠，若10cm BC =，则CD 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在ABC V 中，90A ∠=°，60C ∠=°，4BC =，则AC 的长为（ ）A．1B3．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）^交AB于点于F，DE BCA．50°4．（2023上·山西大同在射线OB上，且CDA．15．（2023上·湖南永州且AD BE=，AE△是等边三角形；③ADFA．3B二、填空题6．（2023上·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知等边三角形的周长为为．7．（2023上·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在（1）D ∠= ；（2）若3CD AE =，CF 9．（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）两个三角板抽象成如图10．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图1在天花板上，图2是其示意图．已知轨道220cm AB =已知每小片门扇宽度均相等(AC CD DE EF ===合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，cm ；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，C ∠三、解答题11．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，在ABC V 中，30A ∠=°，90ACB ∠=°，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，过点D 作DE AB ^于点E ，连接CE ．(1)若6AD =，求CD 的长；(2)判断BCE V 的形状，并说明理由．12．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，将等边DEF V 放在含有30°角的直角三角板ABC 上（90A ∠=°，30C ∠=°），使EF 落在线段AC 上，DE 与DF 分别交边BC 于点H 、G ，其中2FG =．(1)证明：GF FC =；(2)求CG 的长．13．（2023上·山东日照·八年级校考期中）如图,ABC V 为等边三角形,AE CD =,,AD BE 相交于点P ,BQ AD ^于Q ,9PQ =,3PE =．(1)求证:ABE CAD △△≌;(2)求BPQ ∠的度数;(3)求BE 的长．(1)如图1，若D E 、分别为BC AC 、的中点，求证：2AF FD=(2)如图2，若BD CE =，求证：60AFE ∠=°；(3)如图3，在（2）的条件下，连接FC ，若,2FC AD BD ^=，求(1)求证：ABD CDE ∠=∠；(2)如图2，若60BAC ∠=°，求证：AD CE =；(3)如图3，在（2）的条件下，点F 是ABC V 外一点，连接FC ，AF ，BF ，且FC 平分AFB ∠12AF BF =，求BF 的长．(1)如图1，若60ACD ∠=°，则AFB ∠的度数为________；(2)【初步探究】如图2，若48ACD BCE ∠=∠=°，连接FC ，求AFC ∠的度数；(3)【简单应用】将图1中的等边ACD V 绕点C 顺时针旋转（如图3），连接AE AB BD ，，，若70ABD ∠=°，则EAB ∠的度数为________．。
部编数学八年级上册专题03等边三角形(解析版)含答案
2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题03 等边三角形【题型1】等边三角形的性质1．（2022·全国·八年级课时练习）下列条件中，不能判断ABC V 是等边三角形的是（ ）．A ．AB AC =，60B Ð=oB ．AB AC =，B A Ð=ÐC ．60A B Ð=Ð=oD ．2A B CÐ+Ð=Ð【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A 选项：∵AB =AC ．∠B =60°．∴△ABC 是等边三角形，故A 选项不符合题意；B 选项：∵∠B =∠A ，∴AC =BC ，∵AB =AC ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故B 选项不符合题意；C 选项：∵∠A =∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°，∴∠A =∠B =∠C ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意；D 选项：∵∠A +∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠C =60°，不能判断△ABC 是等边三角形，故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，∠1＝15°，则∠2的度数为____°．【答案】60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =Ð∠，证明△ABD ≌△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE ，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE ，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ，即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，A ABC CB =Ð∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠1＝∠CBE ，∵∠2＝∠1+∠ABE ，∴∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【题型2】等边三角形的判定1．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，已知P 、Q 是△ABC 的BC 边上的两点，BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小为（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30°，从而求解．【详解】解：∵PQ =AP =AQ ，∴△APQ 是等边三角形，∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，∵BP ＝AP ， QC ＝AQ∴∠B =∠BAP ，∠C =∠CAQ ．又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ =60°，∠C +∠CAQ =∠AQP =60°，∴∠BAP =∠CAQ =30°．∴120BAC BAP PAQ CAQ Ð=Ð+Ð+Ð=°．故∠BAC 的度数是120°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．【变式2-1】2．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______【题型3】等边三角形的判定和性质1．（2022·山东·济南市济阳区垛石街道办事处中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．【答案】2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式3-1】2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，延长DE 交于AB 于F ，若EF ＝2，则DF ＝_________．【答案】6【分析】由AB AC =，60A Ð=°得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质和AE EC CD ==，推出BE =4，再由∠DBE =∠CDE =30°，推出ED =BE =4，从而求出DF 的长度．【详解】解：∵AB AC =，60A Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，又∵AE EC =，∴∠AEB =90°，∠ABE =∠DBE =30°，∵∠ACB =60°，EC CD =，∴∠CED =∠CDE =30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB =60°，∴∠BFE =90°，∵2EF =，∴BE =4，∵∠DBE=∠CDE =30°，∴ED=BE =4，∴DF = ED+EF =6．故答案为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF 是直角三角形．【题型4】含30度角的直角三角形1．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，∠B =∠D =90°，AB =AD ，∠2=60°，BC =5，则AC =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2.5【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B =∠D =90°，AB =AD ，AC =AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △ACD （HL ），∴∠ACB =∠ACD =60°，∴∠1=30°，∵BC =5，∴AC =2BC =10，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ．【变式4-1】2．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，BE 平分ABC Ð，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．【答案】6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =Ð=Ð=Ð，再根据三角形的内角和定理可得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE V 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE Q 平分ABC Ð，ABE CBE \Ð=Ð，ED Q 垂直平分AB ，AE BE \=，ABE A \Ð=Ð，ABE CBE A \Ð=Ð=Ð，又90C Ð=°Q ，90ABE CBE A \Ð+Ð+Ð=°，解得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，Q 在Rt BCE V 中，90C Ð=°，30CBE Ð=°，2BE CE \=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若12AB cm =，则阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．362．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =，则AB =（ ）A ．2B C D ．1.5【答案】A 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC ，代入求出即可．【详解】解：Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，2AB BC \=，1BC =Q ，2AB \=，故选：A ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，能根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC 是解此题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E Ð=o ，则CE 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC ＝6，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，D 是等边ABC V 的边AC 上的一点，E 是等边ABC V外一点，若BD CE =，12Ð=Ð，则对ADE V 的形状最准确的是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C 【分析】先根据已知利用SAS 判定△ABD ≌△ACE 得出AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，从而推出△ADE 是等边三角形．【详解】解：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵BD ＝CE ，∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，12AB AC BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB ＝20米，AC ＝30米，∠A ＝150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要（ ）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】C 【详解】如图，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，∵草皮的售价为a元/米2，∴购买这种草皮的价格：150a元．故选C．二、填空题7．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝_____cm．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且Ð=_____．Ð=120°，那么BDC=，AOBOD OA【答案】60°【分析】由AOB Ð的度数利用邻补角互补可得出60AOD Ð=°，结合OD OA =可得出AOD D 为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS 易证出BAO CAD D @D ，根据全等三角形的性质可得出120ADC AOB Ð=Ð=°，再根据BDC ADC ADO Ð=Ð-Ð即可求出BDC ∠的度数．【详解】解：ABC D Q 为等边三角形，AB AC \=，60BAC Ð=°．120AOB Ð=°Q ，180AOD AOB Ð+Ð=°，60AOD \=°∠．又OD OA =Q ，AOD \D 为等边三角形，AO AD \=，60OAD Ð=°，60ADO Ð=°．60BAO OAC OAC CAD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，BAO CAD \Ð=Ð．在BAO D 和CAD D 中，AB AC BAO CAD AO AD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO CAD SAS \D @D ，120ADC AOB \Ð=Ð=°，60BDC ADC ADO \Ð=Ð-Ð=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明BAO CAD D @D ，找出120ADC AOB Ð=Ð=°是解题的关键．9．（2022·山东临沂·八年级期末）已知等腰ABC V 的一底角∠B =15°，且斜边AB ＝6cm ，则ABC V 的面积为__10．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，142Ð=°，则2Ð的度数为________．【答案】102°【分析】根据题意可求出BACÐ的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】Q三角形ABC为等边三角形\Ð=°BAC60//Qa b\Ð=Ð+Ð=°+°=°BAC214260102故答案为：102°．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区秋实学校八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE = ，则BC =________．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD DE =，如果20BAD Ð=o ，∠AED ＝60o ，那么∠EDC 的度数为___度．【答案】10【分析】先证明△ADE 是等边三角形，从而得到∠ADE =∠AED =60°，再根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质得到∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，据此求解即可．【详解】解：∵AD =DE ，∠AED =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠AED =∠C +∠EDC ，∴∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，∴2∠EDC =60°-∠C +∠B -40°，∴∠EDC =10°，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ADE 是等边三角形是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁营口·九年级期中）ABC V 与CDE △都是等边三角形，连接AD 、BE ．（1）如图①，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE Ð=______度；（2）将图①中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD BE =．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD D D ≌即可求解．【详解】解：（1）∵CDE △是等边三角形，∴60DCE Ð=°，∵点B 、C 、D 在同一条直线上，∴180BCE DCE ÐÐ+=°，∴180120BCE DCE ÐÐ=°-=°（2）∵ABC V 与CDE △都是等边三角形，∴BC =AC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在BCE V 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BCE ACD SAS D D ≌，∴BE =AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．14．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，已知点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE Ð的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90o．【分析】（1）作AF BC ^于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE V 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ^于F ．Q AB AC =，AD AE =，\BF CF =，DF EF =，15．（2021·江西·信丰县第七中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点C 为线段AB 上一点，ACM V ，CBN V 是等边三角形，直线AN MC 、交于点E ，直线BM CN 、交于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：EC FC =；（3）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）只需要证明△CAN ≌△CMB 即可得到答案；（2）根据△CAN ≌△CMB 得到∠EAC =∠FNC ，再由AC =MC ，∠ACE =∠MCF =60°，即可证明△AEC ≌△MFC ，得到CE =CF ；（3）根据CE =CF ，∠ECF =60°，推出△ECF 是等边三角形，则∠CEF =∠ACE =60°，即可得证．【详解】解：（1）∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，∴AC =MC ，CN =CB ，∠ACM =∠BCN =60°，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠BCN =60°，∴∠CAN =∠ACM +∠MCN =∠MCN +∠BCN =∠BCM =120°，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN =BM ；（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠EAC=∠FNC，∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△AEC≌△MFC（ASA），∴CE=CF；（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠CEF=∠ACE=60°，∴EF∥AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．【答案】等边 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（S A S），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AA S），∴CF＝GF，18．（2021·河北唐山·八年级期末）在三角形纸片ABC 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，4AC =，点E 在AC 上，3AE =．将三角形纸片ABC 按图中方式折叠，使点A 的对应点A ¢落在AB 的延长线上，折痕为ED ，A E ¢交BC 于点F ．（1）求CFE Ð的度数；（2）求BF 的长度．【答案】（1）60°；（2）1．【分析】（1）先根据折叠的性质可得30A A ¢Ð=Ð=°，再根据邻补角的定义可得90A BF =¢Ð°，然后根据直角三角形的性质可得60A FB ¢Ð=°，最后根据对顶角相等即可得；（2）先根据线段的和差可得1CE =，再根据等边三角形的判定与性质可得1EF CE ==，然后根据折叠的性质可得3A E AE ¢==，从而可得2A F ¢=，最后利用直角三角形的性质即可得．【详解】（1）由折叠的性质得：30A A ¢Ð=Ð=°，90ABC Ð=°Q ，点A ¢落在AB 的延长线上，18090ABC A BF ¢Ð=°Ð=-\°，9060A FB A ¢¢\Ð=°-Ð=°，由对顶角相等得：60CFE A FB ¢Ð=Ð=°；（2）4,3C E A A ==Q ，1CE AC AE \=-=，Q 在ABC V 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，9060C A \Ð=°-Ð=°，由（1）知，60CFE Ð=°，。
等边三角形试题及答案
等边三角形试题及答案
1. 等边三角形的三个内角各是多少度？
答案：等边三角形的三个内角都是60度。
2. 在等边三角形中，如果一边的长度是a，那么其周长是多少？
答案：等边三角形的周长是3a。
3. 已知等边三角形的高为h，求其面积。
答案：等边三角形的面积是\(\frac{\sqrt{3}}{4} \times h^2\)。
4. 等边三角形的外接圆半径和内切圆半径的关系是什么？
答案：等边三角形的外接圆半径是内切圆半径的两倍。
5. 如果等边三角形的边长增加10%，那么其面积会增加多少？
答案：等边三角形的面积会增加约33.1%。
6. 等边三角形的中线、角平分线和高线是否重合？
答案：是的，等边三角形的中线、角平分线和高线都重合。
7. 等边三角形的外心、内心和重心是否重合？
答案：是的，等边三角形的外心、内心和重心都重合。
8. 等边三角形的对角线长度是多少？
答案：等边三角形的对角线长度是\(\frac{\sqrt{3}}{2} \times a\)。
9. 在等边三角形中，如果一个内角的度数增加5度，那么这个三角形
还是等边三角形吗？
答案：不是，因为等边三角形的每个内角都是60度，增加5度后不再
是等边三角形。
10. 等边三角形的边长和高的关系是什么？
答案：等边三角形的高是边长的\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)倍。
有关三角形的变式题专题
图1图2（第22题）2．已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 都是等边三角形，AN交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ． (1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90 O ，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．二、以等腰直角三角形为基础 5．（2008山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE ⊥．6、（2009年牡丹江）已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到D E A C ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F7、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图所示），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。
等边三角形专题(含详解析)
《等边三角形》专题2.(2017天津第9题)如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转060得DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD .下列结论一定正确的是（ ）A ．E ABD ∠=∠B ．C CBE ∠=∠ C. BC AD // D ．BC AD =3. (2017天津第11题)如图，在ABC ∆中，AC AB =，CE AD ,是ABC ∆的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于EP BP +最小值的是（ ）A ．BCB ．CE C. AD D ．AC17. （2017河池第12题）已知等边ABC ∆的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作AC DE ⊥于点E ，过E 作BC EF ⊥于点F ，过F 作AB FG ⊥于点G .当G 与D 重合时，AD 的长是（）A ．3B ．4 C. 8 D ．910.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD 交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。
（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。
《等边三角形》练习题1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°3．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．2C．D．34．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（）A．2 B．4 C．D．25．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A．3S1=2S2B．2S1=3S2C．2S1=S2D．S1=2S28．（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其A．3个B．2个C．1个D．0个设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定11．（2007•南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里12．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好A．25°B．30°C．45°D．60°13．（2011•茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________ ．16．（2004•茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则：（1）△A3B3C3的边长a3= _________ ；（2）△A n B n C n的边长a n= _________ （其中n为正整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_________ 三角形．18．（1999•广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2009•辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD 为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；②_________ ；③_________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB 至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002•黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2010•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（2005•临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C 2．C 3．C 4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E= 15 度．14．①②③⑤．15．.16．a3=；△A n B n C n的边长a n= （或21﹣n）17．等边三角形．18． 2 个．19 PP′= 3 ．20．解：（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分）∴S=BC×AD=×4×2=4．（3分）（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．（1分）在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．（3分）（注：其它方法酌情给分）．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC与△CDE为正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并对（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，即=，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度数为120°．27．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．28．证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠EAD．∴∠EAD=∠ECD．在△AFE和△CFD中又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE为等边三角形．29．解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，=∠ADC+60°+∠BED，=∠CED+60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE=180°﹣（∠ADE+∠BED）=60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．30．解：过P点作PF∥BC交AC于F点，∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，∴AP=CQ，∵PF∥AB，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，∴△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴EF=AF，∵△APF是等边三角形，AP=CQ，∴PF=CQ∵PF∥AB，∴∠Q=∠FPD，在△PDF和△QDC中∵，∴△PDF≌△QDC，∴DF=CD，∴DF=CF，∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，∴ED=5．双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。
题型技巧练：1_1_2 等边三角形(原卷版)
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
解题技巧提炼
根据动点和时间表示出线段长度，进而解决问题。
【变式3-1】如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从点C出发，以每秒2个单位的速度在线段AC上从点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为 秒.(1)运动_____秒时，CD=3AE.(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；(3)若△ABD≌△DCE，∠BAC= 则∠ADE=_______(用含 的式子表示)．
【变式1-3】如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．
（1）求∠EFB的度数；
（2）求证：DE＝2DF．
【变式1-4】如图，已知∠AOB＝120°，△COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60°的三角形），OM平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOM＝；
【变式5-2】如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是（）
A．AB＝AC，∠B＝∠CB．AD⊥BC，BD＝CD
C．BC＝AC，∠B＝∠CD．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
【变式5-3】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
【变式5-5】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
中考专题——变式训练及答案
中考专题——变式训练及答案1．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 点在边DE 上，F 点在线段CB •的延长线上，且∠EAF=90°． （1）试证明：△ADE ≌△ABF ．（2）△ADE 可以通过平移、翻转、旋转中的哪种方法到△ABF 的位置．（3）指出线段AE 与AF 之间的关系．2.（1）如图a ，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．（1）求∠AEB 的大小； （2）如图b ，ΔO AB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 3．（1）如图10，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，M 为AB 中点，AF=CE ，请判断△MEF 的形状.（2）已知：如图11在Rt △ABC 中, AC=BC, ∠C=90°，点D 为AB 上任一点，DF ⊥AC 于F ， DE ⊥BC 于E ，M 为BC 的中点.① 判断△MEF 是什么形状的三角形并证明你的结论.② 当点D 在AB 上运动时，四边形FMEC 的面积是否会改变,并证明你的结论． ③ 当点D 在BA 的延长线上运动时，如图12，①中的结论还成立吗？4.已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图18），易证．（1）当绕点旋转到时（如图19），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图20的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．C BOD 图a A B O D CE 图b图3D5．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;(2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论. 6. 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB ． (1)如图①，当∠DAB ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时， 求证：AB ＋AD ＝AC ．(2)如图②，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时， 线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系? 写出你的猜想，并给予证明． (3)如图③，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时， 线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系? 写出你的猜想，并给予证明．7. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=︒，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．FHFED ADA 图1D8. 如图1，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ． （1）试说明：FG= 12（AB+BC+AC ）；（2）如图2，若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；（3）如图3，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段FG 与△ABC 三边的数量关系是9. 两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点． （1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.图3图1图2AD E C HF G变式训练答案1．解：（1）90909090EAF BAF BAEBAD DAE BAE∠=︒⇒∠+∠=︒⎫⇒⎬∠=︒⇒∠+∠=︒⎭∠EAF=∠EAD，而AD=AB，∠D=∠ABF=90°，故△ADE≌△ABF．（2）可以通过旋转，将△ADE绕点A顺时针旋转90°就可以到△ABF的位置．（3）由△ADE≌△ABF可知AE=AF．2.解析：（1）∵在等边三角形OAB和等边三角形OCD中，OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD．∵在△AOC和△BOD中∴△AOC≌△BOD（SAS）∴∠OAC=∠OBD∵∠1=∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠AEB∴∠AEB=∠AOB=60°．（2）同（1）可证∠AEB=∠AOB=60°．3.思路点拨：在等腰三角形中，M为底边AB的中点，连结CM是常用的辅助线．解析：（1）△MEF是等腰直角三角形．（2）①△MEF是等腰直角三角形．理由如下：连结CM，如图13∵DF⊥AC于F，DE⊥BC于E，∠ACB=90°∴四边形CEDF为长方形，∴DF=CE∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，M为AB中点，∴∠A=∠1=45°，CM⊥AB，AM=BM=CM．∵在Rt△ADF中，∠A=45°∴AF=DF，∴AF=CE∵在△AMF和△CME中∴△AMF≌△CME（SAS）∴MF=ME，∠2=∠3∵∠2+∠CMF=90°，∴∠3+∠CMF=90°，即∠EMF=90°∴△MEF是等腰直角三角形．②当点D在AB上运动时，四边形FMEC的面积不会改变，证明如下：由①可知，△AMF≌△CME，∴S△AMF=S△CME．∵S△ACM=S△BCM，∴S△CMF=S△BME，∴S四边形FMEC=S△CMF+ S△CME=S△ABC．∴四边形FMEC的面积不会改变．③成立，理由如下：连结CM，如图14∵DF⊥AC于F，DE⊥BC于E，∠ACB=90°∴四边形CEDF为长方形，∴DF=CE∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB中点，∴∠BAC=∠1=45°，CM⊥AB，AM=BM=CM．∴∠MAF=∠MCE=135°．∵在Rt△ADF中，∠DAF=∠BAC=45°∴AF=DF，∴AF=CE∵在△AMF和△CME中∴△AMF≌△CME（SAS）∴MF=ME，∠AMF=∠CME∵∠CME+∠AME=90°，∴∠AMF+∠AME=90°，即∠EMF=90°∴△MEF是等腰直角三角形．5.分析：（1）要证明CH=EF+EG首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CE⊥NH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG=CN，最后根据AAS可求证△EGC ≌△CNE得出结论．（2）过C点作CO⊥EF于O，可得矩形HCOF，因为HC=DO，所以只需证明EO=EG，最后根据AAS可求证△COE≌△CGE得出猜想．（3）连接AC，过E作EG作EH⊥AC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG=CH，最后根据AAS可求证△CHE≌△EGC得出猜想．（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CE⊥PF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证△CEP≌△CNP，故CG=PF-PN．解答：（1）证明：过E点作CN⊥CH于N（1分）∵EF⊥BD，CH⊥BD，∴四边形EFHN是矩形．∴EF=NH，FH∥EN．∴∠DBC=∠NEC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且互相平分∴∠DBC=∠ACB∴∠NEC=∠ACB∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°，又EC=EC，∴△EGC≌△CNE．（3分）∴EG=CN∴CH=CN+NH=EG+EF（4分）（2）解：猜想CH=EF-EG（5分）（3）解：EF+EG= 12BD（6分）（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有CG=PF-PN．6. （1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC；（3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与（2）同理可得△CEB≌△CFD，则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD= 2AC．解答：证明：（1）在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∴∠CAB=∠CAD=60°．又∵∠B=∠D=90°，∴∠ACB=∠ACD=30°．∴AB=AD= 12AC，即AB+AD=AC．（2）AB+AD=AC．证明如下：如图①，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．∵AC平分∠DAB，∴CE=CF．∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D．又∵∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB．∴ED=BF．∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．由（1）知AE+AF=AC．∴AB+AD=AC．（3）AB+AD= 2AC．证明如下：如图②，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．∵AC平分∠DAB，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠FDC=180°，∴∠ABC=∠FDC．又∵∠CEB=∠CFD=90°．∴△CEB≌△CFD．∴CB=CD．延长AB至G，使BG=AD，连接CG．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，∴∠CBG=∠ADC．∴△GBC≌△ADC．∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．∴∠ACG=90°．∴AG= 2AC．∴AB+AD= 2AC．7. 1)证明;在BC上截取BF=AD,连接DF.则三角形DCF为等边三角形,DF=DC.又BF=EG,AD=CE=BF.则FG=CG.所以,DG⊥CG.(等腰三角形底边的中线也是底边上的高)2)(1)的结论还成立.证明:在BC的延长线上截取线段CF=CD.又∠DCF=∠ACB=60°,则三角形CDF为等边三角形,得CD=FD;AD=CE,即AC+CD=CF+EF,BC+CF=CF+EF,得BC=EF;又点G为BE的中点,即:BG=EG.则BG-BC=EG-EF,得CG=FG.故DG⊥BC.(等腰三角形"三线合一")8.分析：（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案；（3）与（1）方法类同即可证出答案．解答：解：（1）∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，∴∠BAF=∠BMF，∴MB=AB∴AF=MF，同理：CN=AC，AG=NG，∴FG是△AMN的中位线∴FG= 12MN，= 12（MB+BC+CN），= 12（AB+BC+AC）．（2）图（2）中，FG= 12（AB+AC-BC）解：如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG∴FG= 12MN，= 12（BM+CN-BC），= 12（AB+AC-BC），答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG= 12（AB+AC-BC）．（3）解：FG= 12（AC+BC-AB），理由是：延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG∴FG= 12MN，= 12（CN+BC-BM），= 12（AC+BC-AB）．故答案为：FG= 12（AC+BC-AB）．9.（1）解：∵DE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH= 12AD，FH∥AD，FG= 12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为：相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH= 12AD，FH∥AD，FG= 12BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．。
专题1.2 等边三角形的性质与判定【十大题型】(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.2 等边三角形的判定与性质【十大题型】【北师大版】【题型1 利用等边三角形的性质求值】 (1)【题型2 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】 (2)【题型3 等边三角形的证明】 (4)【题型4 等边三角形在坐标系中的运用】 (5)【题型5 等边三角形中的折叠问题】 (7)【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 (9)【题型7 等边三角形中的动态问题】 (10)【题型8 等边三角形中求最值】 (12)【题型9 等边三角形中的多结论问题】 (13)【题型10 确定等边三角形中的线段之间的关系】 (14)【知识点等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【题型1利用等边三角形的性质求值】【例1】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD 与BE交于点P，则∠APE=°．【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期末）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．(1)求证：△DBE≌△CBE；(2)求∠BDE的度数．(3)若∠ABE=45°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由．【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C 的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=2，则DE+DF=．【变式1-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为m，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM 的长为．【题型2利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】BC，点【例2】（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．(1)求证：EF⊥AB；(2)连接BD，求证：BD=DE．【变式2-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE．【变式2-2】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）已知，将等边△ABC和一块含有30°角的直角三角板DEF (∠F=30°)如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上．（1）利用图证明：EF=2AC；（2）△ABC在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2．判断线段EB=AH是否成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-3】（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．(1)以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；(2)若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连接AF、DF，使得∠ADF=60°，试猜想△ADF的形状，直接写出你的结论．【题型3等边三角形的证明】【例3】（2023春·河南周口·八年级校考期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE=AD．(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．【变式3-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，E是CD的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA．求证：△BEC是等边三角形．补全下面的证明过程及理由．证明：∵DF平分∠CDA（已知），∠___________（___________）．∴∠FDC=12∵∠CDA=120°（已知），∴∠FDC=__________°．∵DF∥BE（已知），∴∠FDC=∠__________（___________），∴∠BEC=60°．又∵EC=EB（已知），∴△BCE是等边三角形（____________）．【变式3-2】（2023春·甘肃天水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．求证：(1)DE=DF；(2)△DEF是等边三角形．【变式3-3】（2023春·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC 边上的中线，且BD=BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．(1)求∠ADE的度数．(2)证明：△ADF是等边三角形．【题型4等边三角形在坐标系中的运用】【例4】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．(1)求证：OC=AD；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．【变式4-1】（2023春·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC>1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．(1)求证：OC=AD；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？【变式4-2】（2023春·北京·八年级北京市广渠门中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A0 ， 2，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB=AC；（2）∠CAP的度数是；（直接写出答案，不需要说明理由．）（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？如不变，请求出AE的长度；若改变，请说明理由．【变式4-3】（2023春·湖北黄石·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，B（b，0），C（c，0）在x轴上，∠BAC=60°，且b、c满足等式b2+2bc+c2＝0．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如图1，F为AB延长线上一点，连FC，若∠GFC+∠ACG=60°．求证：FG平分∠AFC；(3)如图2，△BDE中，DB=DE，∠BDE=120°，M为AE中点，试确定DM与CM的位置关系．【题型5等边三角形中的折叠问题】【例5】（2023春·四川成都·八年级校考期末）如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为度．【变式5-1】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cmA．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D 落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【变式5-3】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．(1)如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；(2)如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的度数；(3)若AB=9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．【题型6与等边三角形有关的规律问题】【例6】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3 C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n C n C n+1的周长和为．【变式6-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是0，4，以为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（）A B C D【变式6-2】（2023·四川·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为．【变式6-3】（2023春·广西柳州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1=1,∠ODB1=60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，按此规律进行下去，则点A6的横坐标是．【题型7等边三角形中的动态问题】【例7】（2023春·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为v P=2cm/s，v Q=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【变式7-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同．连接AQ、CP交于点M．(1)求证：△ABQ≌△CAP；(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，则△ABQ和△CAP 还全等吗？说明理由；【变式7-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，点P，Q是等边△ABC边AB，BC上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接AQ,CP,PQ，其中AQ与CP交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（）A．BQ=AP B．△ABQ≌△CAPC．△BPQ的形状可能是等边三角形D．∠CMQ的度数随点P，Q的运动而变化【变式7-3】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；(2)当CE∥AB时．①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．【题型8等边三角形中求最值】【例8】（2023春·广东深圳·八年级校联考开学考试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 是BC边的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方做等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（）A B．1C D．2【变式8-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ=8，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰△PCB，则PQ的最小值为（ ）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为．【变式8-3】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（）A．8B．10C．12D．14【题型9等边三角形中的多结论问题】【例9】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市北雅中学校考开学考试）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM．其中，正确的有．【变式9-1】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③∠BFD=60°；④FE+FC=FA．其中一定正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【变式9-3】（2023春·全国·八年级期末）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD=CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≅△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF﹔④AB=AH+FG﹔⑤S△AGE︰S△BGC=DG∶GC，其中正确的说法有．【题型10确定等边三角形中的线段之间的关系】【例10】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段AB⊥l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．(1)当点F在线段BD上时，如图①，直接写出DF，CE，CF之间的关系 ．(2)当点F在线段BD的延长线上时，如图②，当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．(3)在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，请直接写出CF的值．【变式10-1】（2023春·山东青岛·八年级校考期中）已知：如图，等边△ABC中，D，E分别在BC，AC边上运动，且始终保持BD=CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合，连接AD、BE，AD，BE交于点F．(1)试说明△BEC≌△ADB；(2)直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系；(3)运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．【变式10-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，过等边△ABC的顶点A作直线l∥BC，点D在直线l上，（不与点A重合），作射线BD，把射线BD绕着点B顺时针旋转60°后交直线AC于点E．(1)如图1，点D在点A的左侧，点E在AC上，请写出线段AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由．(2)（2）如图2，点D在点A的右侧，点E在AC的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论，若不成立，写出你认为正确的结论，并证明．。
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E
B
C
E
D
将等边△ CDE顺时针旋转，使得B、C、D在一 条直线上，此时BE=AD吗？
E
A
B
C
D
在相同条件下，试猜想△KCH的形状，并说明 理由．
E
△KCH是等边
AG
三角形
H
K
B
C
D
在相同条件下，猜想KH与BD的位置关系， 并说明理由．
E
AG
H
K
B
C
KH∥BD
D
已知条件同上，并添加条件：P是ＢE中点，F是 ＡD中点，试猜想△CPF的形状，并说明理由．
如图，在等边△ ABC中，C点N的⊥MA、B，N分别
A在M边⊥BBCC、，A找B上出，图且中A所N有=的BM全，等A三M角与形CN．
交于点D．（1）找出图中所有的全等三角
形． A
N
△AMNCC≌ △ BAMMAB ≌ △ C△NAAM≌C △≌ C△NCBNB △ NDA ≌ △ MDC
ND
D
B MM
C
如图，在等边△ ABC中，点的M、N分别 在边BC、AB上，且BM=AN，AM与CN 交于点D．
（2）求证∠MDC=60°
A
ND
B
M
C
如图，延长DM至E，使△ CDE是等边三角形．连 接BE，那么BE与AD有怎样的数量关系？
A
ND
B
M
C
E
将等边△ CDE顺时针旋转，BE还与AD 相等吗？
A
D
E
P Ａ
F
Ｂ
Ｃ
D
在相同条件下，求证：GC平分∠BGD． E
AG
B
C
D
向外部做等边三角形 如图，在图中连
A
F 接BC，以BC为边 向外做等边三角
D
形BCE，连接AE，
那么图中有哪些
B
C 对全等三角形？
△ACD和△AFB
E
△CBF和△CEA
△CBD和△EBA
A
F
D
B
A D
B
C A
D
CB
1.复杂图 形的分解
2.基本图
形的掌握 F
A
F
CB
C
E
E
E
向内部做等边三角形
D C
如果以△ABC的三 边为基础向三角形 内部作三个等边三 角形，请找出其中 A 的全等三角形．
△ACD和△ABF,
F
△ CBD和△ABE,
B
E △CBF和△ACE．
“遇新题、 忆旧题、 多思考、 善联想、 多变换、 找规律”
谢谢！