等边三角形经典习题
等边三角形的判定和性质习题及答案
等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。
等边三角形性质与判定练习题
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一•选择题（共8小题）1 •如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中 / a+ / B的度数是（）A •180 ° B .220 ° C •240 ° D .300 °2 .下列说法正确的是（）A .等腰三角形的两条高相等C.有一个角是60。
的锐角三角形是等边三角形B .等腰三角形一定是锐角三角形 D •三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3 .在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若/ A= / B= / 6则厶ABC为等边三角形；③有两个角都是60。
的三角形是等边三角形；④一个角为60。
的等腰三角形B D EC 是等边三角形•上述结论中正确的有（）A •1个B •2个C •3个D •4个4 .如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△ BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处，则/ A 等于（）A . 25 °B . 30 °C. 45 °D . 60 °5 .如图，已知D、E、F分别是等边△ ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE丄BC、EF丄AC、FD丄AB，则下列结论不成立的是（）A . △DEF 是等边三角形B . △ADF ◎△ BED ◎△ CFEC. DE=ABD. S △ABC=3S △DEF6 .如图，在厶ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC ,则/ BAC的度数是（）A . 30 °B. 45 °C . 120 ° D . 15 °7 .如图，在△ ABC中，AB=AC , / A=120 °BC=6cm , AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E , AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm第1题第4题第5题第7题8 .已知/ AOB=30 °点P在/ AOB内部，P1与P关于0B对称，P2与P关于OA对称，则P l, 0 , P2三点所构成的三角形是（）A.直角三角形 B . 钝角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形二.填空题（共10小题）9 .已知等腰△ABC 中，AB=AC , / B=60 °贝U / A= 度.10 . △ABC 中，/ A= / B=6 0 °且AB=10cm，贝U BC= __________________ cm .11 .在△ABC中，/ A= / B= /。
全等三角形习题精粹(经典)
三角形全等习题荟萃（经典）1、如图,ABC ∆是等腰直角三角形,∠C ＝900,点M,N 分别是边AC 和BC 的中点,点D 在射线BM 上,且BD ＝2BM, 点E 在射线NA 上,且NE ＝2NA.求证:BD ⊥DE.2、如图,设P 为等腰直角三角形ABC 斜边AB 上任意一点,PE 垂直AC 于点E, PF 垂直BC 于点F, PG 垂直EF 于点G,延长GP 并在其延长线上取一点D,使得PD ＝PC.求证:BC ⊥BD, 且BC ＝BD.3、已知在ABC ∆中，=∠ACB 于F ，求证：AC EF 21=。
MNEDCBA4、如图，已知在ABC ∆︒=∠90ACB ︒=∠30CAB ACD ∆ABE ∆角形D E 交AB 于5、已知在ABC ∆6、已知ABC ∆和∆7、已知ABC ∆中，BDC ∠，求证：8、 等腰ABC ∆9、如图已知ABC ∆中，10、 如图，已知ABC ∆以D 为顶点作一个求证：AMN ∆11、AT 为ABC ∆的内角A 求证：BD=EC12、已知在ABC ∆中，作13、如图，已知在ABC 中，AD 是角平分线，CF ⊥AD 交AB 于F ，垂足为M ，CE ∥AD 交BA的延长线于E ，求证：AC=AE=AF 。
14、如图，△ABC 是等腰三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的点，且BD=CE ， 连结DE 交BC 于点G ，求证：GD=GE15、如图，在△ABC 中,AB=5，AC=3，则边BC 上的中线AD 的取值范围是多少？16、如图，在△ABC 内一点，DB=DA ，BF=AB,∠DBF=∠DBC,求∠F 的度数。
17、如图，△ABC 是等边三角形，AE=CD,BQ ⊥AD,垂足为Q,BE 交AD 于点P,求证：BP=2PQ.A BE B CC BC B A18、如图，△ABC,△BDE 都是等边三角形，求证：∠BAD=∠BCE19、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC 是直角，D 是AC 上一个点，AE ⊥BD,AE 的延长线交BC 与F,若∠ADB=∠FDC ，求证:D 是AC 的中点。
等边三角形的面积等边三角形环的面积练习题
等边三角形的面积等边三角形环的面积练习题一、等边三角形的面积练题1. 已知等边三角形的边长为10cm，求其面积。
解答：等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (边长的平方× √3) / 4代入已知条件，计算得到：面积= (10 × 10 × √3) / 4 = 25√3 cm²2. 已知等边三角形的面积为12√3 cm²，求其边长。
解答：等边三角形的边长可以通过以下公式计算：边长= √(面积× 4 / √3)代入已知条件，计算得到：边长= √(12√3 × 4/ √3) = √48 cm = 4√3 cm二、等边三角形环的面积练题1. 已知等边三角形环的边长为12cm，内部等边三角形的边长为8cm，求等边三角形环的面积。
解答：等边三角形环的面积可以通过以下公式计算：面积 = (外部等边三角形的面积 - 内部等边三角形的面积)外部等边三角形的面积可以使用之前提到的公式计算：外部等边三角形的面积 = (边长的平方× √3) / 4内部等边三角形的面积也可以使用之前提到的公式计算。
代入已知条件，计算得到：外部等边三角形的面积 = (12 ×12 × √3) / 4 = 36√3 cm²内部等边三角形的面积= (8 × 8 × √3) / 4 = 12√3 cm²面积= (36√3 - 12√3) cm² = 24√3 cm²2. 已知等边三角形环的面积为18√3 cm²，内部等边三角形的边长为6cm，求等边三角形环的边长。
解答：可以使用类似的方法解答这个题目。
首先，计算内部等边三角形的面积：内部等边三角形的面积= (6 × 6 × √3) / 4 = 9√3 cm²然后，计算外部等边三角形的面积：外部等边三角形的面积 = 内部等边三角形的面积 + 等边三角形环的面积代入已知条件，计算得到：外部等边三角形的面积= 9√3 + 18√3 = 27√3 cm²最后，通过计算外部等边三角形的边长，可以求得等边三角形环的边长：边长= √(面积× 4 / √3) = √(27√3 × 4 / √3) = √108 cm = 6√3 cm以上是等边三角形的面积和等边三角形环的面积的练习题解答。
等边三角形经典练习题
等边三角形经典练习题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1、下图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB ＝,∠A ＝30°立柱BC 、 DE 要多长 B2、如图：在Rt △ABC 中∠A=300,AB+BC=12cm 则AB=_____cm第2题图 第3题图 第4题图3、如图:△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC,DE ⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿， BE=____4、如图在△ABC 中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=150,CD 是腰AB 上的高，求CD 的长5、要把一块三角形的土地均匀分给甲 、乙、丙三家农户去种植,如果∠C ＝90°∠B ＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.ACBＣ ＢＡ３００AC EBDDCBAA6、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD ⊥BC 于D 。
求证：BC=4CD7、如图， ∠AOB= 30°，P 是角平分线上的点，PM ⊥OB 于M ，PN8、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此三角形的三个角的度数分别是_________ ____________________________________9、如图，在正△ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作正△CDE ， 求证：BE=AD 。
10、如图，已知△ABC 、 △DCE 都是等边三角形，B 、C 、E 三点在同一直线上. 求证：（1）BD=AE （2）连接FG ，说明△DCE 是等边三角形.ABCDEANM PBOABCD11、已知：如图，△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.求证：BP=2PQ12、Rt B=Rt1CAD=BAC D DE AC 2DE ADC1BD=DC2ABC∠∠∠∠⊥∠已知：如图，在中，，，过点作，恰好是的平分线.求证：C13、等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，求证：AE+BE=BCAEB C14、如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE。
等边三角形练习题
等边三角形练习题1. 已知等边三角形的边长为6cm，求其高。
解：设等边三角形的高为h，根据等边三角形的性质，高将底边平分，形成两个30°-60°-90°的直角三角形。
在这种三角形中，较短的直角边（即高）是斜边（即边长）的一半的根号3倍。
因此，h = √3 * (6/2)。
2. 若等边三角形的周长为18cm，求其面积。
解：设等边三角形的边长为a，则a = 18/3 = 6cm。
等边三角形的面积公式为A = √3/4 * a²，代入a = 6cm，得A = √3/4 * 6²。
3. 等边三角形的顶角为60°，求其底角。
解：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60°。
因此，底角也是60°。
4. 已知等边三角形的高为4cm，求其边长。
解：设等边三角形的边长为a，高为h。
根据30°-60°-90°三角形的性质，斜边（即边长）是高（即较短的直角边）的两倍的根号3倍。
因此，a = 2 * h / √3 = 2 * 4 / √3。
5. 等边三角形的面积为12平方厘米，求其边长。
解：设等边三角形的边长为a，面积为A。
等边三角形的面积公式为A = √3/4 * a²。
代入A = 12，得√3/4 * a² = 12，解得a = √(12 * 4/√3)。
6. 已知等边三角形的边长为8cm，求其内切圆半径。
解：设等边三角形的内切圆半径为r。
等边三角形的内切圆半径r 等于高h的1/3，而高h = √3 * (8/2)。
因此，r = (√3 * 8/2) /3。
7. 等边三角形的边长为10cm，求其外接圆半径。
解：设等边三角形的外接圆半径为R。
等边三角形的外接圆半径R等于边长a的一半的根号3倍。
因此，R = √3 * (10/2)。
8. 已知等边三角形的面积为27平方厘米，求其周长。
解：设等边三角形的边长为a，面积为A。
等边三角形练习题
综合：
例10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，分 别以AB，AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，连 接DE交AB于F.
求证：点F为DE中点.
例11.如图，点P是等边△ABC内部一点，∠APC=117°， ∠BPC=130°，求以AP、BP、CP为边的三角形三个内角 的度数.
例1.等边△ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的 延长线上，DE=DB，求CE的长.
例2.等边△ABC中，AD⊥BC于D，点E在线段AD上， ∠EBC=45°，求∠ACE的度数.
构造等边三角形
例1.在△ABC中，∠B=60°，延长BC到点D，延长 BA到点E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE.求 证：△ABC是等边三角形.
例4.△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC上一动点， 由点A向点C运动（不与点A、C重合），点Q是CB延长 线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向CB延长 线方向运动（点Q不与点B重合）.过点P作PE⊥AB于E. 连接PQ交AB于点D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长.
（2）运动过程中，DE的长度是否发生变化？如果不变， 求线段DE的长；如果改变，说明理由.
等边三角形练习题
练一练：
1.如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以 CD为边作等边△CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连 接AE.求证：AE∥BC
第1题图
第2题图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.如图，D为等边△ABC的边AC上的一点，∠1=∠2， BD=CE.求证;△DAE是等边三角形.
利用等边三角形的性质计算
例7.已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的 延长线上，连接CE.
(完整版)八年级数学《等边三角形》练习题
八年级数学《等边三角形》练习题班级姓名1、填空题（1）等边三角形的三条边都，三个内角都，且每个内角都等于。
（2）等边三角形有条对称轴。
（3）等边三角形的、、互相重合。
( 4 )等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是______．（5）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，如果∠ABE=40°，那么∠CBD=度。
BCDAE2．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．3．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．4．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．一、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形AFDB EC BAE12DC4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状三、解答题1．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？2．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH•的形状并说明理由．AEFB C HD3．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE 平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）ADEB4、如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，求证：DB=DEB ADCEC5、若a、b、c为△ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，求证：△ABC是等边三角形。
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等边三角形练习题
一、选择题
1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③
D ．①②③④
3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．腰和底边不相等的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．不等边三角形
题3 题5
4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ）
A ．2cm
B ．4cm
C ．8cm
D ．16cm
5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准确的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．不等边三角形 D ．不能确定形状
二、填空题
1．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．
2.在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，如果A B ∠=∠2，那么=∠A ______，=AB ________BC .
3.如图，已知：ABC ∆是等边三角形，cm AB 5=，BC AD ⊥，AB DE ⊥，AD AF =， 则=∠BAD ________，=∠ADF _______，=BD _________cm ，=∠FDC _____.
3题图 10题图 11题图
4.一辆汽车沿︒30角的山坡从山底开到山顶，共走了4000米，那么这座山的高度是____ _米.
5.一等腰三角形的一个底角为︒30，底边上的高为cm 9，则这个等腰三角形的腰长是________cm ，
顶角是_______.
6.ABC ∆为等边三角形，D 为BC 边上的一点，AB DE //，交AC 于点E ，则EDC ∆为______三角形.
7.在ABC ∆中，︒=∠30B ，︒=∠45C ，
若BC AD ⊥，D 为垂足，1=CD ，则=AB ______. 8．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． E D C A B F
21E
D C A B
9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______．
10. 如图，ΔABC 是等边三角形，D 为BA 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ，EF ∥AB ，AE=1，则AD= ，ΔEFC 的周长= 。
11.如图，已知：在ABC ∆中，cm AC AB 4==，︒=∠15ABC ，AC BD ⊥于点D ，则=BD ______.
三、解答题
1．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.
2. 如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠=120,BAC AC AB ，D 是BC 上的一点，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F 。
求证：BC DF DE 2
1=+。
3. 如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，P 为BC 边的中点，AC PD ⊥。
求证：AD CD 3=。
4.如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 为AB 中点，BC DE ⊥于E 。
求证：BE BC 4=。
5.如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠︒=∠30,90A ABC ，CD 平分ACB ∠。
求证：BD AD 2=。
D C A B
6. 如图，已知：在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠75ABC ，从顶点B 引BD 交CA 于D ，使︒=∠30CDB .
求证：BC AD 2=.
7. 如图，已知：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30A ，AB CD ⊥，BC DE ⊥，D 、E 是垂足，cm AB 24=。
求BE 。
8. 如图，已知，在ABC ∆中，︒=∠60A ，高BD ，EC 相交于点H ，且1=HD ，2=HE 。
求BD ，CE 的长。
9.如图，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠30BAD ，且AD AE =，求EDC ∠的度数。
10.如图，已知：在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，AC DE //交AB 于E ，AB DF //交AC 于F ，又6=AE 。
求：四边形AFDE 的周长。
11．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？
12. 如图，已知等边ΔABC 的∠ABC 、∠ACB 的平分线交于O 点，若BC 上的点E 、F 分别在OB 、OC 垂直平分线上，试说明EF 与AB 的关系，并加以证明。
13.如图，已知ΔABC 是等边三角形，D 为AC 上一点，∠1=∠2，BD=CE ，求证：ΔADE 是等边三角形。
14．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，
①求证：BE=AD ； ②求证：CF=CH ；
③判断FH•与BD 的位置关系，并证明．
E D C A
B H F。