数据库之函数依赖公理体系
函数依赖公理系统
函数依赖公理系统
函数依赖公理系统是一种逻辑框架，用于描述数据库中各种数据之间的依赖关系。
这个系统包括多个公理和规则，它们定义了函数依赖的基本性质和相关的推理规则。
其中最基本的公理是函数依赖传递公理，它表明如果X → Y，且Y → Z，则X → Z。
这个公理说明了函数依赖的传递性质，也是其他推理规则的基础。
另外，函数依赖公理系统还包括了等式推理规则、合并规则、拆分规则等等，这些规则可以用来简化和优化函数依赖的描述。
通过这些公理和规则，我们可以更加精确地描述数据库中不同数据之间的依赖关系，并推导出一些重要的结论和性质，比如关系模式的最小化、函数依赖的规范化等等。
总之，函数依赖公理系统是数据库理论中的一个基础概念，它不仅对于理论研究有重要的意义，也为实际的数据库设计和优化提供了一定的指导和支持。
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[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、无损连接性、保持函数依赖、范式、……）
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[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、⽆损连接性、保持函数依赖、范式、……）≏≎≟≗≖≍≭∼∽≁≃≂≅≊≈≉≇≳⪞⪆⋧⪊≵≲⪝⪅⋦⪉≴⊂ subset ⋐⊄⊊ ⊈⊃⊇ ⋑⊅⊋ ⊉≺⪯≼⋞≾⪷⋨⪵⪹⊀≻⪰≽⋟≿⪸⋩⪶⪺⊁ in ∋∉∌∝≬⊸函数依赖（Function Dependency）定义设关系模式R（U），属性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y为属性集合U的⼦集，如果对于关系模式R(U)的任⼀可能的关系r，r中的任意两个元组u、v，若有 u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X。
⽤符号X→Y表⽰。
其中X为决定因素，Y为被决定因素。
若对于R（U）的任意⼀个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值性等，⽽在Y上的属性值不等。
(1) 函数依赖是语义范畴的概念，只能根据语义来确定⼀个函数依赖关系。
(2) 函数依赖X→Y的定义要求关系模式R的任何可能的关系r中的元组都满⾜函数依赖条件。
术语 (1)若X→Y，则X称作决定因素（Determinant） (2)若X→Y，Y→X，称作X<->Y。
(3)若Y不函数依赖于X，称作X -/-> Y。
(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，则称X→Y为⾮平凡的函数依赖。
正常讨论的都是⾮平凡的函数依赖。
(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，则称X→Y为平凡的函数依赖。
(6)完全函数依赖(full functional dependency)：在R(U)中，设X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若存在 X→Y，且不存在 X的任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，则称Y完全函数依赖 ( full functional dependency ) 于X。
记作 X-F->Y。
(7)部分函数依赖：在关系模式R（U）中，X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若X→Y成⽴，如果X中存在任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，⽽且有X'→Y也成⽴，则称Y对X是部分函数依赖，记作：X-P->Y。
函数依赖理论第一讲
属性集闭包பைடு நூலகம்算举例
• r(R)=r(A, B, C, G, H, I)，F={A→B, A→C, CG→H, CG→I, B→H}， 计算(AG)+。
– 算法第一次循环的执行步骤： 步骤 1． 2． 3． 4． 5． 6． FD 初值 A →B A →C CG→H CG→I B→H closure AG ABG ABCG ABCGH ABCGHI ABCGHI
判断属性集是否为候选码举例
• r(R)和F定义同上例，判断AG是否为r(R)的候选码。 – 上例已计算出(AG)+＝ABCGHI, 则还要进一步分 别计算A+和G+。 – 经计算得，A+=ABCH、G+=G，它们都不包含R的 所有属性。因此，AG为r(R)的候选码。
为关系模式， 设r(R)为关系模式，α⊆R，β⊆R。对任意合法关系 及其 为关系模式 。对任意合法关系r及其 中任两个元组t 中任两个元组 i和tj，i≠j，若ti[α]=tj[α]，则ti[β]=tj[β]，则称α ≠， ， ， 函数确定β 或 β 函数依赖于α，记作α→β。
α β
图5-3 α→β 函数依赖图
图57传递依赖的依赖图函数依赖集闭包对于给定关系模式rr及其函数依赖集f有时只考虑给定的函数依赖集是不够的而需要考虑在rr上总是成立的所有函数依赖
函数依赖理论
郑子仪
函数依赖定义
函数依赖(functional dependency, 简称FD)是一种 完整性约束，是现实世界事物属性之间的一种制约 关系，它广泛地存在于现实世界之中。
结果为closure=ABCGHI。
– 算法第二次循环后的结果为closure=ABCGHI，没有变化，算法终止。 – (AG)+＝ABCGHI。
6.第六章关系的规范化
第六章关系的规范化设计第六章关系的规范化设计第一节问题的提出第二节函数依赖第三节范式第四节数据依赖的公理系统第一节关系模式设计问题的提出如何设计一个合理的关系数据库模式？c3c2c1c3c1cno 77OS丁惠s283DS 丁惠s290DB 丁惠s287OS 李立s178DB 李立s1gradecname sname sno 泛关系模式泛关系：泛关系模式中存在的问题c3c2c1c3c1cno 77OS丁惠s283DS 丁惠s290DB 丁惠s287OS 李立s178DB 李立s1gradecname sname sno反映现实世界操作性能例：设计教学管理关系数据库模型sc问题分析Sno Cno Tno Sname Grade Cname Tname S1C1T1赵民90OS彭S1C2T2赵民90DS杨S1C3T3赵民85C++刘S1C4T4赵民87DB张S2C1T4李军90OS张S3C1T4陈江75OS张S3C2T2陈江70DS杨S3C4T4陈江56DB张S4C1T1魏致90OS彭S4C2T2魏致85DS杨S5C1T1乔远95OS彭S5C4T4乔远80DB张关系SCT产生问题的原因？解：sct（sno, cno, tno, sname, grade, cname, tname）属性间约束关系（即数据间的依赖关系）太强解一：（sno，（cno，tno，（tno，cno, tname （sno，cno，解二：（sno，（cno，（tno, tname （sno，cno，（tno，cno）分解关系解决问题的方法：例sc解（sno, cno, tno, sname, grade, cname, tnameS n o S n a m e S 1赵民S 2李军S 3陈江S 4魏致S 5乔远StudentsCno Cname C1OS C2DS C3C++C4DBCoursesSnoCno Grade S1C190S1C290S1C385S1C487S2C190S3C175S3C270S3C456S4C190S4C285S5C195S5C480scTno Tname T1 彭 T2 杨 T3 刘 T4 张TeachersTeachCno Tno C1T1C1T4C2T2C3T3C4T4本章要解决的主要问题理想第二节：函数依赖数据依赖函数依赖（1）、函数依赖定义X 函数决定Y Y函数依赖于XX Y例：只能根据语义来确定函数依赖性的存在与否。
第3-4讲函数依赖和公理
定义(传递FD):设关系模式R，X、Y、Z是R的属性子集， 若FD X→Y，Y → X，Y→Z，则有FD X→Z，称FD X→Z为 传递函数依赖。
函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。
18
算法3.2.3
判定F是否蕴涵X→Y的成员测试算法
输入：函数依赖集F和FD X→Y。
输出：若F蕴涵X→Y输出为true，否则为false MEMBER(F, X→Y) begin if Y CLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.
={AB→E，E→G， BE→I， GI→H}
13
定义(函数依赖集F的闭包 F +)
设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集
合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F |= X→Y }
例：设F={AB→C，C→B}。 求F+
14
设F={AB→C，C→B}。 F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B,
（3）并比较两种方法更好用语言来实现。
21
（1）设F ={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖关系与关系模式的联系：关系模式是相对稳定的，静态的，是把所有元组删去后的⼀张空表格，是对元组数据组织⽅式的结构描述，⽽关系却是动态变化的，不稳定的，是将若⼲元组填⼊关系模式后得到的⼀个取值实例。
每⼀个关系对应⼀个关系模式，每⼀个关系模式可以定义多个关系。
关系模式R(U)对应的具体关系通常⽤⼩写字母r来表⽰。
函数依赖：设R(U)是属性集U={A1, A2, …, An}上的关系模式，X和Y是U的⼦集。
若对R(U)的任⼀具体关系r中的任意两个元组t1和t2，只要t1[X]=t2[X] 就有t1[Y]=t2[Y]。
则称"X函数确定Y" 或"Y函数依赖于X"，记作X→Y，X为这个函数依赖的决定因素。
函数依赖要求R(U)的⼀切具体关系r都要满⾜的约束条件。
若X→Y且Y→X，则记作X⇿Y平凡函数依赖：X→Y，Y⊆X // 对于任⼀关系模式，平凡函数依赖必然是成⽴的⾮平凡函数依赖：X→Y，Y⊄X完全函数依赖：如果X→Y，且对于X的任何⼀个真⼦集X'，都有X不函数确定Y ，则称Y对X完全函数依赖或者X完全决定Y，记作：部分函数依赖：如果X→Y，但Y不是完全函数依赖于X，则称Y 对X部分函数依赖，记作：传递函数依赖：如果X→Y，Y→Z，且 Y→X，Y⊄X，Z⊄Y,则称Z对X传递函数依赖，记作:候选键：对关系模式R(U)，设K⊆U，且K完全函数确定U，则K为能够唯⼀确定关系中任何⼀个元组(实体)的最少属性集合，称K为R(U)的候选键或候选关键字。
【R(U，F)，U={ A，B，C，D，E，G }，F={AB→C，CD→E，E→A，A→G}，求候选键】因G只在右边出现，所以G⼀定不属于候选码⽽B，D只在左边出现，所以B，D⼀定属于候选码BD的闭包还是BD，则对BD进⾏组合，除了G以外，BD可以跟A，C，E进⾏组合先看ABDABD本⾝⾃包ABD，⽽AB→C，CD→E，A→G，所以ABD的闭包为ABDCEG=U再看BDCCD→E，E→A，A→G，BDC本⾝⾃包，所以BDC的闭包为BDCEAG=U最后看BDEE→A，A→G，AB→C，BDE本⾝⾃包，所以BDE的闭包为BDEAGC=U因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE主键：通常在R(U)的多个候选键中任意选定⼀个候选键作为主键，也称为主码或主关键字。
数据库函数依赖及范式（最通俗易懂）
数据库函数依赖及范式（最通俗易懂）⼀、基础概念 要理解范式，⾸先必须对知道什么是关系数据库，如果你不知道，我可以简单的不能再简单的说⼀下：关系数据库就是⽤⼆维表来保存数据。
表和表之间可以……（省略10W字）。
然后你应该理解以下概念： 实体：现实世界中客观存在并可以被区别的事物。
⽐如“⼀个学⽣”、“⼀本书”、“⼀门课”等等。
值得强调的是这⾥所说的“事物”不仅仅是看得见摸得着的“东西”，它也可以是虚拟的，不如说“⽼师与学校的关系”。
属性：教科书上解释为：“实体所具有的某⼀特性”，由此可见，属性⼀开始是个逻辑概念，⽐如说，“性别”是“⼈”的⼀个属性。
在关系数据库中，属性⼜是个物理概念，属性可以看作是“表的⼀列”。
元组：表中的⼀⾏就是⼀个元组。
分量：元组的某个属性值。
在⼀个关系数据库中，它是⼀个操作原⼦，即关系数据库在做任何操作的时候，属性是“不可分的”。
否则就不是关系数据库了。
码：表中可以唯⼀确定⼀个元组的某个属性（或者属性组），如果这样的码有不⽌⼀个，那么⼤家都叫候选码，我们从候选码中挑⼀个出来做⽼⼤，它就叫主码。
全码：如果⼀个码包含了所有的属性，这个码就是全码。
主属性：⼀个属性只要在任何⼀个候选码中出现过，这个属性就是主属性。
⾮主属性：与上⾯相反，没有在任何候选码中出现过，这个属性就是⾮主属性。
外码：⼀个属性（或属性组），它不是码，但是它别的表的码，它就是外码。
⼆、6个范式 好了，上⾯已经介绍了我们掌握范式所需要的全部基础概念，下⾯我们就来讲范式。
⾸先要明⽩，范式的包含关系。
⼀个数据库设计如果符合第⼆范式，⼀定也符合第⼀范式。
如果符合第三范式，⼀定也符合第⼆范式…第⼀范式（1NF）：属性不可分。
在前⾯我们已经介绍了属性值的概念，我们说，它是“不可分的”。
⽽第⼀范式要求属性也不可分。
那么它和属性值不可分有什么区别呢？给⼀个例⼦：name tel age⼤宝136****567822⼩明139****6655010－123456721Ps：这个表中，属性值“分”了。
函数依赖的公理系统资料
定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：
(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+
定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统
建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？
本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]
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DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
③ 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，
(F-{XA})∪{ZA}不等价于F。
每个FD左端无多余 的属性
F没有 多余的
FD
求解方法
（1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右 端为单个属性的函数依赖；
Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
（2）去掉F中冗余的函数依赖
（1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成 员；
（2）若X是L类属性，且X＋包含了R的全部属性， 则X必为R的唯一候选键；
（3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员； （4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键
中； （5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，
且X＋包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。
CGB，CEG
四、候选键的求解方法
1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可将
其属性分为4类： ① L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性； ② R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性； ③ N类：在F的FD左右两边均未出现的属性； ④ LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。
2、快速求解候选键的一个充分条件
对于F中任一FD：XY
① G = F-{XY}；
② 求X关于G的闭包XG+； ③ 看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，则在G 中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余的函数依赖， 所以F=G；如果X+不包含Y，则保留XY。
（3）去掉左端多余的属性
对于F中左端是非单属性的函数依赖（XYA）， 假设要判断Y是否是多余的属性
1、X关于F的闭包
设 有 关 系 模 式 R(U,F) 和 属 性 集 U={A1,A2,…,An}
的子集X。则称所有用阿姆斯特朗公理从F推导出的 函数依赖X→Ai的属性Ai组成的集合称为X关于F的 闭包，记为XF+，通常简记为X+。即
XF+={Ai|用公理从F推出的X→Ai}
对比 F+和X+ 集合元素
3、候选键的一般求解方法
① 将所有属性分为L、R、N和LR四类，并令X代 表L和N类，Y代表LR类；
② 求XF+：若XF+包含了R的全部属性，则X是R的 唯一候选键，转⑧；
③ 在Y中取一属性A，并求(XA)F+ ：若(XA)F+包 含了R的全部属性，则XA为的一个候选键；
④ 重复③，直到Y中的属性依次取完为止；
(3)X（2）=BCDEG
(4)X（3）=ABCDEG A∈BD＋，故BD→A成立
三、最小函数依赖集
一个函数依赖集F的闭包F＋通常包含很多函数 依赖，有些函数依赖是无意义的，如平凡的函 数依赖，还有一些是可以推导出的，即无关的 函数依赖。如果将每一个函数依赖看作是对关 系的一个约束，要检查F＋中的每一个函数依赖 对应的约束，显然是一件很繁重的任务。如果 能找出一个与F等价的、包含较少数目函数依赖 的函数依赖集G，则可以简化此工作。最小函数 依赖集的概念由此而提出。
⑤ 从Y中除去所有已成为主属性的属性A；
⑥ 在剩余的属性中依次取两个属性、三个属 性，…，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若 (XB)F+包含了R的全部属性，且自身不包含已求 出的候选键，则XB为R的一个候选键；
⑦ 重复⑥，直到Y中的属性按⑥的组合依次取完 为止；
⑧ 输出候选键，算法结束。
例:设有关系模式R（A,B,C,D,E），R的函数依赖
证：
X Y
增广律
WX→ WY WY→ Z
传递律
WX→ Z
4、定理5.2
如果Ai(i=1,…,n)是关系模式R的属性,则 XA1A2…An成立的充分必要条件是XAi(i= 1,…,n)均成立。
作用：将一个FD分解成若干个右边是单属性
的FD。为确定关系的主键打下基础。
二、X关于F的闭包及其计算（*）
4、举例
例5.4 已知R(U),U={A,B,C,D,E,G}， R上的FD集
F={AB→C,C→A,BC→D,ACD→B
，
D→EG,BE→C,
CG→BD,CE→AG}，
Z=EG BD=X(0)
X=BD，求X＋，BD→A是否成立？
(1)X（0）=BD。 (2)X（1）=BDEG
X＋=ABCDEG
推论
每一个函数依赖集F都被其右端只有一个属性 的函数依赖组成的依赖集G所覆盖。
作用：任一函数依赖集都可转化成由右端只 有单一属性的依赖组成的集合。
该结论是最小函数依赖集的基础。
2、最小函数依赖集
满足下列条件的函数依赖集F称为最小函数依赖集。
① F中每一个FD的右端都是单个属性；
② 对F中任何FD:XA，F-{XA}不等价于F；
A1 自反律：若YX，则XY
证：设u、v为r的任意两个元组。 若u[X]=v[X]，则u和v在X的任何子集上必然相等。 由条件YX ，所以有：u[Y]=v[Y]， 由u、v的任意性，并根据函数依赖的定义，可得 XY。
3、 阿姆斯特朗公理的推论
合并规则：若XY且XZ，则XYZ 分解规则：若XY，且ZY，则XZ 伪传递规则：若XY且WYZ，则WXZ
求X+
FD右边 单属性
无多余FD
F+=G+
FD左边 无多余属性
③ F3=
ABC，CA，BCD， CDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
法2：
① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB CGD，CEA,CEG
②
F21=
ABC，CA，BCD， DE，DG，BEC，
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
② F22=
ABC，CA，BCD， ACDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
② F22=
ABC，CA，BCD， ACDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
1、函数依赖集的等价与覆盖
定义5.5 设F和G是两个函数依赖集，如果F＋＝G＋，则
称F和G等价。如果F和G等价，则称F覆盖G，同 时也称G覆盖F。
定理 定理5.7 F＋＝G＋的充要条件是FG＋和GF＋。
所 有
F
F＋= G＋
X→Y G＋
X→Y能否Y由GX根G据+ ？公理导出？
FG＋ GF＋
2、定理5.3
设有关系模式R(U，F)，U={A1,A2,…,An}是R 的属性集，F是R的属性集U上的函数依赖集，X、 Y是U的子集，则
XY能用Armstrong公理从F导出YX＋。
该 定 理 把 判 定 XY 是 否 能 由 F 根 据 Armstrong公理导出的问题 求出X＋，判定Y是否为X＋的子集的问题。
3、X关于F的闭包X＋的计算
算法5.1 求属性集X关于函数依赖集F的闭包X＋ 输入：
关系模式R的全部属性集U,U上的函数依赖集F， U的子集X。 输出：
X关于F的闭包X＋。 计算方法：
（1）X(0)=X。 （2）从F中找出满足条件VX(i)的所有函数依赖
V→W，并把所有的V→W中的属性W组成的集 合记为Z；也即从F中找出那些其决定因素是X(i) 的子集的函数依赖，并把由所有这样的依赖的 被决定因素组成的集合记为Z。 （3）若ZX(i)，则转（5）。 （4）否则，X(i+1)=X(i)Z，并转（2）。 （5）停止计算，输出X(i)，即为X+。
集F＝{ABC,CDE,BD,EA}，求R的所有 候选键。
均为LR类,令Y=ABCDE。 A+=ABCDE E+=ABCDE BC+=ABCDE CD+=ABCDE R的候选键：A、E、BC和CD
小结
Armstrong公理 及推论
X→Y是否能从F导出
候选键
求最小FD集
L类、N类、LR类
YX+
F+= A→ C， AB→ C， AC→ C， ABC→ C， B→ BC，
A→ AB， AB→ AB， AC→ AB， ABC→ AB， BC→ ， A→ AC， AB→ AC， AC→ AC， ABC→ AC， BC→ B， A→ BC， AB→ BC， AC→ BC， ABC→ BC， BC→ C， A→ ABC，AB→ ABC，AC→ ABC，ABC→ ABC，BC→ BC，
① G = (F-{XYA})∪{XA}；
② 求X关于F的闭包XF+； ③ 如果A不属于XF+，则XA不在F+中，说明Y 不是多余的属性，接着判别X是否是多余的属性； 如果A属于XF+，则说明Y是多余的属性，F=G。
例：求函数依赖集F的最小函数依赖集
F= 法1：
ABC，CA，BCD， ACDB，DEG，BEC， CGBD，CEAG
例：已知关系模式 R(A,B,C)，其函数依赖集为 F={A→B，B→C}，求函数依赖集F的闭包F+。
A→ ， AB→ ， AC→ ， ABC→ ， B→ ， C→ A→ A， AB→ A， AC→ A， ABC→ A， B→ B， C→ C A→ B， AB→ B， AC→ B， ABC→ B， B→ C，
1、阿姆斯特朗公理
设有关系模式R(U,F)，U={A1,A2,…,An}是R的 属性集，F是R的属性集U上的FD集，X、Y、Z、