数据库函数依赖 关系模式 范式 候选键 主键 码
[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、无损连接性、保持函数依赖、范式、……）
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[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、⽆损连接性、保持函数依赖、范式、……）≏≎≟≗≖≍≭∼∽≁≃≂≅≊≈≉≇≳⪞⪆⋧⪊≵≲⪝⪅⋦⪉≴⊂ subset ⋐⊄⊊ ⊈⊃⊇ ⋑⊅⊋ ⊉≺⪯≼⋞≾⪷⋨⪵⪹⊀≻⪰≽⋟≿⪸⋩⪶⪺⊁ in ∋∉∌∝≬⊸函数依赖（Function Dependency）定义设关系模式R（U），属性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y为属性集合U的⼦集，如果对于关系模式R(U)的任⼀可能的关系r，r中的任意两个元组u、v，若有 u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X。
⽤符号X→Y表⽰。
其中X为决定因素，Y为被决定因素。
若对于R（U）的任意⼀个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值性等，⽽在Y上的属性值不等。
(1) 函数依赖是语义范畴的概念，只能根据语义来确定⼀个函数依赖关系。
(2) 函数依赖X→Y的定义要求关系模式R的任何可能的关系r中的元组都满⾜函数依赖条件。
术语 (1)若X→Y，则X称作决定因素（Determinant） (2)若X→Y，Y→X，称作X<->Y。
(3)若Y不函数依赖于X，称作X -/-> Y。
(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，则称X→Y为⾮平凡的函数依赖。
正常讨论的都是⾮平凡的函数依赖。
(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，则称X→Y为平凡的函数依赖。
(6)完全函数依赖(full functional dependency)：在R(U)中，设X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若存在 X→Y，且不存在 X的任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，则称Y完全函数依赖 ( full functional dependency ) 于X。
记作 X-F->Y。
(7)部分函数依赖：在关系模式R（U）中，X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若X→Y成⽴，如果X中存在任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，⽽且有X'→Y也成⽴，则称Y对X是部分函数依赖，记作：X-P->Y。
数据库范式与关系模式示例
补充讲义一、范式举例BCNF.如：课程号与学号）例4：R(X,Y,Z),F={XY->Z},R为几范式？BCNF。
例5：R(X,Y,Z),F={Y->Z，XZ->Y},R为几范式？3NF。
R的候选码为{XZ,XY}，（R中所有属性都是主属性，无传递依赖）二、求闭包数据库设计人员在对实际应用问题调查中，得到的结论往往是零散的、不规范的（直观问题好办，复杂问题难办了），所以，这对分析数据模型，达到规范化设计要求，还有差距，为此，从规范数据依赖集合的角度入手，找到正确分析数据模型的方法，以确定关系模式的规范化程度。
例1．已知关系模式R(U、F)，其中，U={A,B,C,D,E}; F={AB→ C, B→ D, EC → B , AC→B} ,求（AB）+F.解：设X(0)=AB○1计算X(1),在F中找出左边为AB子集的FD,其结果是：AB→C,B→D∴X(1)=X(0)UB=ABUCD=ABCD 显然，X(1)≠X(0)○2计算X(2),在F中找出左边为ABCD子集的FD，其结果是：C→E,AC→B∴X(2)=X(1)UB=ABCDUBE=ABCDE 显然，X(2)=U所以，（AB）+ F=ABCDE.（等于U，所以AB是唯一候选关键字）例2．设有关系模式R(U、F)，其中U={A,B,C,D,E，I};F={A→D,AB→E,B→E,CD→I,E→C},计算（AE）+解：令X={AE},X(0)=AE○1在F中找出左边是AE子集的FD,其结果是：A→D,E→C∴X(1)=X(0)UB=X(0)UDC=ACDE 显然，X(1)≠X(0)○2在F中找出左边是ACDE子集的FD，其结果是：CD→I∴X(2)=X(1)UI=ACDEI显然，X(2)≠X(1)，但F中未用过的函数依赖的左边属性已含有X(2)的子集，所以不必再计算下去，即（AE）+=ACDEI.因为，X（3）＝X（2），所以，算法结束。
关系数据库的模式设计习题及答案
数据库原理之关系数据库的模式设计课后习题及答案名词解释(1)函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X，Y是U的子集，r是R 的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y], 则称X函数决定Y,或Y函数依赖于X，记为X→Y。
X→Y为模式R的一个函数依赖。
(2) 函数依赖的逻辑蕴涵：设F是关系模式R的一个函数依赖集，X，Y是R的属性子集，如果从F中的函数依赖能够推出X→Y，则称F逻辑蕴涵X→Y,记为F|=X→Y。
(3) 部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W→A，如果存在X W(X包含于W)有X→A成立，那么称W→A是局部依赖，否则称W→A为完全依赖。
(4)完全函数依赖：见上。
(5) 传递依赖：在关系模式中，如果Y→X，X→A，且X Y（X不决定Y），A X（A 不属于X）,那么称Y→A是传递依赖。
(6) 函数依赖集F的闭包F+: 被逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为F的闭包(closure),记为F+。
(7) 1NF：第一范式。
如果关系模式R的所有属性的值域中每一个值都是不可再分解的值, 则称R是属于第一范式模式。
如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库存模式属于第一范式的数据库模式。
第一范式的模式要求属性值不可再分裂成更小部分，即属性项不能是属性组合和组属性组成。
(8) 2NF：第二范式。
如果关系模式R为第一范式，并且R中每一个非主属性完全函数依赖于R的某个候选键，则称是第二范式模式；如果某个数据库模式中每个关系模式都是第二范式的，则称该数据库模式属于第二范式的数据库模式。
(注：如果A是关系模式R的候选键的一个属性，则称A是R的主属性，否则称A是R的非主属性。
)(9)3NF：第三范式。
如果关系模式R是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选键，则称R是第三范式的模式。
如果某个数据库模式中的每个关系模式都是第三范式，则称为3NF的数据库模式。
关系数据库设计理论(关系模式、函数依赖、范式)
函数依赖关系是属性间的一种多对一的关系。 函数依赖关系是属性间的一种多对一的关系。 如果X →Y， X←Y， 是一对一关系。 如果X →Y，且X←Y，则X和Y是一对一关系。
如学号与身份证号。 如学号与身份证号。
7.2
函数依赖
SQL Server 2000
三、函数依赖的几种特例
1、平凡函数依赖与非平凡函数依赖 、 如果X→Y， 如果X→Y，且Y X→Y 若Y 由于Y 由于Y 称为非平凡函数依赖。 X，则X→Y 称为非平凡函数依赖。
7.1
关系模式的评价
SQL Server 2000
教学（学号，姓名，年龄，系名，系主任，课程名，成绩） 教学（学号，姓名，年龄，系名，系主任，课程名，成绩）
学号 98001 98001 98002 98002 98003 98003 99001 姓名 李华 李华 张平 张平 陈兵 陈兵 陆莉 年龄 21 21 22 22 21 21 23 系名 计算机 计算机 计算机 计算机 数学 数学 物理 系主任 王民 王民 王民 王民 赵敏 赵敏 王珊 课程名 C语言 高等数学 C语言 高等数学 高等数学 离散数学 普通物理 成绩 90 80 65 70 95 75 85
7.1
关系模式的评价
SQL Server 2000
对于有问题的关系模式， 对于有问题的关系模式，可以通过模式分解的方法使之 规范化， 规范化，上述关系模式如果分解为如下三个关系则可以克服 以上出现的问题。 以上出现的问题。 学生（学号，姓名，年龄，系名） 学生（学号，姓名，年龄，系名） 系（系名，系主任） 系名，系主任） 选课（学号，课程名，成绩） 选课（学号，课程名，成绩） 如何分解关系模式，分解的依据是什么？ 如何分解关系模式，分解的依据是什么？下二节将讨论 这些问题。 这些问题。
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖关系与关系模式的联系：关系模式是相对稳定的，静态的，是把所有元组删去后的⼀张空表格，是对元组数据组织⽅式的结构描述，⽽关系却是动态变化的，不稳定的，是将若⼲元组填⼊关系模式后得到的⼀个取值实例。
每⼀个关系对应⼀个关系模式，每⼀个关系模式可以定义多个关系。
关系模式R(U)对应的具体关系通常⽤⼩写字母r来表⽰。
函数依赖：设R(U)是属性集U={A1, A2, …, An}上的关系模式，X和Y是U的⼦集。
若对R(U)的任⼀具体关系r中的任意两个元组t1和t2，只要t1[X]=t2[X] 就有t1[Y]=t2[Y]。
则称"X函数确定Y" 或"Y函数依赖于X"，记作X→Y，X为这个函数依赖的决定因素。
函数依赖要求R(U)的⼀切具体关系r都要满⾜的约束条件。
若X→Y且Y→X，则记作X⇿Y平凡函数依赖：X→Y，Y⊆X // 对于任⼀关系模式，平凡函数依赖必然是成⽴的⾮平凡函数依赖：X→Y，Y⊄X完全函数依赖：如果X→Y，且对于X的任何⼀个真⼦集X'，都有X不函数确定Y ，则称Y对X完全函数依赖或者X完全决定Y，记作：部分函数依赖：如果X→Y，但Y不是完全函数依赖于X，则称Y 对X部分函数依赖，记作：传递函数依赖：如果X→Y，Y→Z，且 Y→X，Y⊄X，Z⊄Y,则称Z对X传递函数依赖，记作:候选键：对关系模式R(U)，设K⊆U，且K完全函数确定U，则K为能够唯⼀确定关系中任何⼀个元组(实体)的最少属性集合，称K为R(U)的候选键或候选关键字。
【R(U，F)，U={ A，B，C，D，E，G }，F={AB→C，CD→E，E→A，A→G}，求候选键】因G只在右边出现，所以G⼀定不属于候选码⽽B，D只在左边出现，所以B，D⼀定属于候选码BD的闭包还是BD，则对BD进⾏组合，除了G以外，BD可以跟A，C，E进⾏组合先看ABDABD本⾝⾃包ABD，⽽AB→C，CD→E，A→G，所以ABD的闭包为ABDCEG=U再看BDCCD→E，E→A，A→G，BDC本⾝⾃包，所以BDC的闭包为BDCEAG=U最后看BDEE→A，A→G，AB→C，BDE本⾝⾃包，所以BDE的闭包为BDEAGC=U因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE主键：通常在R(U)的多个候选键中任意选定⼀个候选键作为主键，也称为主码或主关键字。
SQL中的主键，候选键，外键，主码，外码
SQL中的主键，候选键，外键，主码，外码1、码=超键：能够唯⼀标识⼀条记录的属性或属性集。
标识性：⼀个数据表的所有记录都具有不同的超键⾮空性：不能为空有些时候也把码称作“键”2、候选键=候选码：能够唯⼀标识⼀条记录的最⼩属性集标识性：⼀个数据表的所有记录都具有不同的候选键最⼩性：任⼀候选键的任何真⼦集都不能唯⼀标识⼀个记录（⽐如在成绩表中（学号,课程号）是⼀个候选键，单独的学号，课程号都不能决定⼀条记录）⾮空性：不能为空候选键是没有多余属性的超键举例：学⽣ID是候选码，那么含有候选码的都是码。
少部分地⽅也有叫超级码的，但是见得不多3、主键=主码：某个能够唯⼀标识⼀条记录的最⼩属性集（是从候选码⾥⼈为挑选的⼀条）唯⼀性：⼀个数据表只能有⼀个主键标识性：⼀个数据表的所有记录都具有不同的主键取值⾮空性：不能为空⼈为的选取某个候选码为主码4、主属性包含在任⼀候选码中的属性称主属性。
简单来说，主属性是候选码所有属性的并集⾮主属性不包含在候选码中的属性称为⾮主属性。
⾮主属性是相对于主属性来定义的。
5、外键（foreign key）：⼦数据表中出现的⽗数据表的主键，称为⼦数据表的外键。
6、全码：当所有的属性共同构成⼀个候选码时，这时该候选码为全码。
（教师，课程，学⽣）假如⼀个教师可以讲授多门课程，某门课程可以有多个教师讲授，学⽣可以听不同教师讲授的不同课程，那么，要区分关系中的每⼀个元组，这个关系模式R的候选码应为全部属性构成（教师、课程、学⽣），即主码。
7、代理键：当不适合⽤任何⼀个候选键作为主键时（如数据太长等），添加⼀个没有实际意义的键作为主键，这个键就是代理键。
（如常⽤的序号1、2、3）8、⾃然键：⾃然⽣活中唯⼀能够标识⼀条记录的键（如⾝份证）。
数据库函数依赖及范式（最通俗易懂）
数据库函数依赖及范式（最通俗易懂）⼀、基础概念 要理解范式，⾸先必须对知道什么是关系数据库，如果你不知道，我可以简单的不能再简单的说⼀下：关系数据库就是⽤⼆维表来保存数据。
表和表之间可以……（省略10W字）。
然后你应该理解以下概念： 实体：现实世界中客观存在并可以被区别的事物。
⽐如“⼀个学⽣”、“⼀本书”、“⼀门课”等等。
值得强调的是这⾥所说的“事物”不仅仅是看得见摸得着的“东西”，它也可以是虚拟的，不如说“⽼师与学校的关系”。
属性：教科书上解释为：“实体所具有的某⼀特性”，由此可见，属性⼀开始是个逻辑概念，⽐如说，“性别”是“⼈”的⼀个属性。
在关系数据库中，属性⼜是个物理概念，属性可以看作是“表的⼀列”。
元组：表中的⼀⾏就是⼀个元组。
分量：元组的某个属性值。
在⼀个关系数据库中，它是⼀个操作原⼦，即关系数据库在做任何操作的时候，属性是“不可分的”。
否则就不是关系数据库了。
码：表中可以唯⼀确定⼀个元组的某个属性（或者属性组），如果这样的码有不⽌⼀个，那么⼤家都叫候选码，我们从候选码中挑⼀个出来做⽼⼤，它就叫主码。
全码：如果⼀个码包含了所有的属性，这个码就是全码。
主属性：⼀个属性只要在任何⼀个候选码中出现过，这个属性就是主属性。
⾮主属性：与上⾯相反，没有在任何候选码中出现过，这个属性就是⾮主属性。
外码：⼀个属性（或属性组），它不是码，但是它别的表的码，它就是外码。
⼆、6个范式 好了，上⾯已经介绍了我们掌握范式所需要的全部基础概念，下⾯我们就来讲范式。
⾸先要明⽩，范式的包含关系。
⼀个数据库设计如果符合第⼆范式，⼀定也符合第⼀范式。
如果符合第三范式，⼀定也符合第⼆范式…第⼀范式（1NF）：属性不可分。
在前⾯我们已经介绍了属性值的概念，我们说，它是“不可分的”。
⽽第⼀范式要求属性也不可分。
那么它和属性值不可分有什么区别呢？给⼀个例⼦：name tel age⼤宝136****567822⼩明139****6655010－123456721Ps：这个表中，属性值“分”了。
04735数据库系统
则称F为最小函数依赖集合。
如果函数依赖集F和G等价，并且G是最小集，
那么称G是F的一个 最小覆盖 。
这一段并不要求掌握最小集的求法，但是应
当通过其求法理解最小集的概念。
谢
谢！
3.3 关系模式分解特性
1.模式分解中存在的问题
模式分解 就是将一个泛关系模式 R分解成 数据库模式ρ ，以ρ代替R的过程。 它不仅仅是属性集合的分解，它是对关系模式上的函数依赖集、以及 关系模式的当前值分解的具体表现。
A4合并性：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立。 A6分解性：如果X→Y和Z Y成立，那么X→Z成立。 A5伪传性：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立。 A7复合性：{X→Y， W→Z} |=XW →YZ。
A8通用一致性定理：{X→Y， W→Z } |=x ∪(X-Y) →YZ。
《数据库系统原理》
3.1 函数依赖
1.函数依赖的定义
设有关系模式R(A1，A2，...An)或简记为R(U)，X， Y是U的子集，r是R的任一具体关系，如果对r的任意两 个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y]，则称X函数决 定Y，或Y函数依赖于X，记为X→Y。X→Y为模式R的一 个函数依赖。 这个定义可以这样理解：有一张设计好的二维表， X，Y是表的某些列(可以是一列，也可以是多列)，若在 表中的第t1行，和第t2行上的X值相等，那么必有t1行和 t2行上的Y值也相等，这就是说Y函数依赖于X。
四类集合运算符将关系看成元组的集合运算是从关系的水平方向即行的角度来进行专门的关系运算符不仅涉及行而且涉及列算术比较符辅助专门的关系运算符进行操作逻辑运算符辅助专门的关系运算符进行操作广义笛卡尔积extendedcartesianproduct?r?n目关系k1个元组?s?m目关系k2个元组?rs?列
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• 设有关系模式R（A,B,C,D,E,F）其函数依 赖集为F＝｛E→D,C→B,CE→F,B→A,求候 选码
• 设有关系模式R（A,B,C,D,E,F）其函数依 赖集为F＝｛E→D,C→B,CE→F,B→A,求候 选码 • L: C,E • R:A,D,F • LR:B • N:无
• 设有关系模式R（A,B,C,D,E,F）其函数依 赖集为F＝｛E→D,C→B,CE→F,B→A,求候 选码 • C的闭包为{A,B,C} • E的闭包为{D,E} • CE的闭包为{A,B,C,D,E} • 由此可见，候选键为{CE}
• 设有关系模式R（U,F），其中 U={A,B,C,D,E,I} F={A->D,AB->E,BI>E,CD->I,E->C} • 计算(AE)的闭包 • 在F中找出左边是AEDC子集的函数依赖， 其结果是CD->I，所以X(2)=ACDEI，但F中 未用过的函数依赖的左边属性已没有X(2)的 子集，即(AE)的闭包=ACDEI
• 关系模式R（A，B，C，D）的函数依赖集 为F={AC→B}，则R的候选键为（ ）。
• 关系模式R（A，B，C，D）的函数依赖集为 F={AC→B}，R的候选键为（ ）。
• ACD • • • • 因为 AC→B 所以 AC→ACB 所以 ACD→ABCD 所以R的候选码是ACD
• 设有关系模式R（U,F），其中 U={A,B,C,D,E,I} F={A->D,AB->E,BI>E,CD->I,E->C} • 计算(AE)的闭包
• • • • • • • • • • • • • • •
其中U＝{W,X,Y,Z},F={WX→Y,W→X, X→Z,Y→W} L:无 R:Z LR:w，x，y N:无 先排除z 在LR中，w的闭包为{w，y，z，x} x的闭包为{x，z} y的闭包为{y，w} wx的闭包为{w，x，y，z} wy的闭包为{w，y} xy的闭包为{x，y，z，w} wxy的闭包为{x，z，y，w} 由此可见，候选键为{w，wx，xy，xyw} 可从候选键中选取一个作为主键。
• 设有关系模式R（U,F），其中 U={A,B,C,D,E,I} F={A->D,AB->E,BI>E,CD->I,E->C} • 计算(AE)的闭包 • 令X={AE}, X(0)= AE • 在F中找出左边是AE子集的函数依赖，其结 果是：A->D,E->C，所以 X(1)=X(0)UDC=ACDE，显然X(1)不等于 X(0)
函数依赖
（U）是属性U上的一个关系模式，X和Y均为U={A1，A2，…，An}的子集，r为R的任一关系 如果对于r中的任意两个元组u，v，只要有u[X]=v[X]，就有u[Y]=v [Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记为X→Y。（补充）
如果
如何求关系模式中的候选键
• 关系模式R（U，F），其中U＝ {W,X,Y,Z},F={WX→Y,W→X, X→Z,Y→W}。 关系模式R的候选建是?
如何求关系模式中的候选键
• • • • • • • 解法：从函数依赖集出发，把所有属性分为4类 1、L类：全部出现在函数依赖的左半部 2、R：全部出现在函数依赖的右半部 3、LR：出现在函数依赖的左右两边 4、N：不出现在函数依赖中 可能成为候选键的有L类，LR类和N类 对于L类，求出它的闭包，若包含所有属性，则说明其为 候选键，且为唯一候选键。 • 对于LR类，求出其闭包，若包含所有属性，则为候选键， 若不包含，在找出其中一个属性结合。 • 对于N类，直接加至候选键即可。