函数依赖
函数依赖理论第一讲
结果为closure=ABCGHI。
– 算法第二次循环后的结果为closure=ABCGHI，没有变化，算法终止。 – (AG)+＝ABCGHI。
计算属性集闭包的作用
• 计算属性集闭包的作用可归纳如下： – 验证α→β是否在F+中：看是否有β⊆α+。 – 判断α是否为r(R)的超码：通过计算α+，看其是否包含R 的所有属性。例如，(AG)+＝ABCGHI，则AG为r(R)的超码。 – 判断α是否为r(R)的候选码：若α是超码，可检验α包含 的所有子集的闭包是否包含R的所有属性。若不存在任 何这样的属性子集，则α是r(R)的候选码。 – 计算F+。对于任意γ⊆R，可通过找出γ+，对任意的S⊆γ+， 可输出一个γ→S。
函数依赖理论
郑子仪
函数依赖定义
函数依赖(functional dependency, 简称FD)是一种 完整性约束，是现实世界事物属性之间的一种制约 关系，它广泛地存在于现实世界之中。
为关系模式， 设r(R)为关系模式，α⊆R，β⊆R。对任意合法关系 及其 为关系模式 。对任意合法关系r及其 中任两个元组t 中任两个元组 i和tj，i≠j，若ti[α]=tj[α]，则ti[β]=tj[β]，则称α ≠， ， ， 函数确定β 或 β 函数依赖于α，记作α→β。
判断属性集是否为候选码举例
• r(R)和F定义同上例，判断AG是否为r(R)的候选码。 – 上例已计算出(AG)+＝ABCGHI, 则还要进一步分 别计算A+和G+。 – 经计算得，A+=ABCH、G+=G，它们都不包含R的 所有属性。因此，AG为r(R)的候选码。
α β
图5-3 α→β 函数依赖图
名词解释：函数依赖
名词解释：函数依赖
函数依赖是指在关系模型中，一个或多个属性的值可以唯一地确定其他属性的值。
具体来说，如果一个关系模式中，A 和 B 是属性集合，且对于 A 的任意两个元组，它们在 B 上的取值都必须相同，那么就称 B 函数依赖于 A。
可以简单地理解为，通过已知属性的值可以推出其他属性的值。
函数依赖是数据库设计中重要的概念，可以帮助设计者优化数据库结构，减少数据冗余和不一致性。
在实际应用中，函数依赖可以用于关系的分解、查询优化等方面。
需要注意的是，函数依赖只能描述属性之间的直接关系，而无法描述间接关系。
此外，函数依赖的正确性和适用性取决于实际应用场景和数据特征。
- 1 -。
《函数依赖》课件
伪传递性
如果X→Y和WY→Z，则有 XW→Z。
02
函数依赖的推理规则
函数依赖推理规则的概述
函数依赖推理规则是关系型数据库中处理函数依赖的一种重要方法，它通过一系列 推理规则来推导和验证函数依赖的正确性。
这些规则基于函数依赖的定义，通过逻辑推理来验证关系模式中的函数依赖是否满 足某些特定的条件。
《函数依赖》ppt课件
目录 CONTENT
• 函数依赖的定义 • 函数依赖的推理规则 • 函数依赖在数据库设计中的应用 • 函数依赖的分解与合并 • 函数依赖的验证与求解
01
函数依赖的定义
函数依赖的定义
函数依赖
在关系模式R中，如果X→Y，则 称Y函数依赖于X。
完全函数依赖
如果X→Y，且Y中的每个值都至少 在X的一个值之后出现，则称Y完 全函数依赖于X。
它基于三个基本的公理：反身性、传 递性和合并性。
函数依赖的推理规则应用
函数依赖推理规则在数据库设计、数 据建模和数据完整性检查等方面具有 广泛的应用。
在数据建模方面，函数依赖推理规则 可以用于分析和验证数据模型中的函 数依赖关系，以确保数据模型的一致 性和完整性。
在数据库设计阶段，通过使用函数依 赖推理规则，可以验证关系模式的正 确性和数据的一致性，从而减少数据 冗余和数据不一致的问题。
在数据完整性检查方面，函数依赖推 理规则可以用于验证数据的完整性和 一致性，确保数据的准确性和可靠性 。
03
函数依赖在数据库设计中 的应用
数据库设计中的范式理论
范式理论是数据库设计中的重要 概念，它规定了数据库中表的结 构和关系，以减少数据冗余和提
高数据一致性。
范式理论包括第一范式（1NF） 、第二范式（2NF）、第三范式 （3NF）等，这些范式规定了表 中的列和行的要求，以确保数据
关系模式基本函数依赖容易写错
关系模式基本函数依赖容易写错中的特定函数解释在关系数据库中，函数依赖是一种描述关系模式中属性之间的依赖关系的概念。
它描述了一个属性（或一组属性）的值如何决定另一个属性（或一组属性）的值。
在关系模式中，基本函数依赖是最常见和最基本的函数依赖类型。
函数依赖定义在讨论特定函数之前，我们首先来了解一下函数依赖的定义。
给定一个关系模式R，如果对于R中的两个元组t1和t2，如果它们具有相同的某些属性集X上的值，则它们也必须具有相同属性集Y上的值。
这时我们说X函数决定Y，记作X -> Y。
例如，假设我们有一个员工表格，其中包含员工ID、姓名、部门和工资等属性。
如果对于任意两个员工ID相同的员工来说，他们的姓名和部门也必须相同，则可以表示为{员工ID} -> {姓名, 部门}。
特定函数解释在基本函数依赖中，有几个特定的函数经常容易被写错。
这些特定函数包括：1.完全函数依赖（Fully Functional Dependency）：完全函数依赖是指在一个函数依赖中，被函数决定的属性集合是最小的，即没有任何一个属性可以从这个函数依赖中删除而不改变依赖关系。
例如，如果我们有一个员工表格，并且{员工ID, 日期} -> {姓名}，则该函数依赖是完全函数依赖。
2.部分函数依赖（Partial Functional Dependency）：部分函数依赖是指在一个函数依赖中，被函数决定的属性集合可以通过删除其中某些属性而不改变依赖关系。
例如，如果我们有一个员工表格，并且{员工ID, 姓名} ->{部门}，则该函数依赖是部分函数依赖。
3.传递函数依赖（Transitive Functional Dependency）：传递函数依赖是指在一个函数依赖中，被决定的属性集合可以通过其他非主属性来决定。
例如，如果我们有一个员工表格，并且{员工ID} -> {部门}和{部门} -> {经理}，则可以推断出{员工ID} -> {经理}这个传递函数依赖。
函数依赖
函数依赖2.1、属性间的联系实体间的联系有两类：一类是实体与实体之间的联系；另一类是实体内部各属性间的联系。
属性间的联系可分为以下三类：（1）一对一联系（1∶1）以职工模式为例：职工（职工号，姓名，职称，部门）。
如果该企业（或单位）中职工无重名，则属性职工号与姓名之间是1∶1联系。
一个职工号唯一地决定一个姓名，一个姓名也可决定唯一的职工号。
设X、Y是关系R的两个属性（集）。
如果对于X中的任一具体值，Y中至多有一个值与之对应，且反之亦然，则称X、Y两属性间是一对一联系。
（2）一对多联系（1∶ m）在职工模式中，职工号和职称间是一对多联系。
一个职工号只对应一种职称（如胡一民只能对应工程师），但一种职称却可对应多个职工号（如工程师可对应多名职工）。
设X、Y是关系R的两个属性（集）。
如果对于X中的任一具体值，Y中至多有一个值与之对应，而Y中的一个值却可以和X中的n个值相对应，则称Y对X是一对多联系。
（3）多对多联系（m∶ m）在职工模式中，职称和部门之间是多对多联系。
一种职称可分布在多个部门中（如每一个部门中均可有工程师），而一个部门中也可有多个职称。
设X、Y是关系R的两个属性（集）。
如果对于X中的任一具体值，Y中有m个值与之对应，而Y中的一个值也可以和X中的n个值相对应，则称Y对X是多对多联系。
上述属性间的三种联系实际上是属性值之间相互依赖又相互制约的反映，称为属性间的数据依赖。
数据依赖共有三种：函数依赖（FunctionalDependency，简称FD）、多值依赖（Multiva-luedDependency，简称MVD）和连接依赖（JoinDependency，简称JD），其中最重要的是函数依赖和多值依赖。
2.2、函数依赖函数依赖是属性之间的一种联系。
假设给定一个属性的值，就可以唯一确定（查到）另一个属性的值。
定义：所谓函数依赖是指在关系R中，X、Y为R的两个属性或属性组，如果对于R的任一关系r都存在：对于X的每一个具体值，Y 都只有一个具体值与之对应，则称属性Y函数依赖于属性X。
数据库函数依赖和范式总结
数据库函数依赖和范式总结1 函数依赖1.1 定义：一个集合R(U,F)，U为属性全集，F为函数依赖集合。
F中存在着{Xi->Yi...};对于每个X都存在着一个Y与之唯一对应。
意思就是相当于X为主键，Y由主键决定。
比如一个学生他的学号相当于X，而他的姓名与年龄这些其他信息相当于Y。
但是X有时候并不是一个值，比如一个学生他的成绩需要有两个属性才能知道他的成绩，学号+课程号->成绩1.2 平凡函数依赖与非平凡函数依赖平时我们主要讨论的是非平凡函数依赖。
平凡函数依赖概念：Y集合属性属于X集合属性的子集非平凡函数则相反1.3 逻辑蕴涵(为后面求闭包做好基础)X,Y为属性集合U的子集，且X->Y不存在于F中。
即我们需要通过F中的函数依赖推出X->Y称为函数依赖。
而所有函数依赖的集合则称为闭包1.4 函数依赖的推理规则(就是求函数依赖的逻辑蕴涵)1.4.1 几个公理1.4.1.1 公理一(自反律):Y属于X的子集，则X->Y 数学公式描述 Y?X?U1.4.1.2 公理二(增广律):X->Y成立，Z?U也成立，则 XZ?YZ1.4.1.3 公理三(传递律):X->Y成立，Y->Z成立，则 X->Z1.4.2 公理的推广1.4.2.1 推广一(合并律):X->Y,X->Z,则X->YZ1.4.2.2 推广二(伪传递律):X->Y,YW->Z,则XW->Z(证明只需要在XY两边*W)1.4.2.3 推广三(分解律):X->Y成立，Z?Y，则 X->Z1.4.2.4 推广四(复合律):X->Y,W->Z,则XW->YZ1.5 完全函数依赖与部分函数依赖(范式中基础知识)X->Y的集合中，若X的任一真子集x都能 x->Y则为部分函数依赖，若不能则的完全函数依赖，如果X没有真子集则也称为完全函数依赖。
部分函数依赖
部分函数依赖
函数依赖（Functional Dependency）是数据库系统中一个
重要的概念，它指的是在一个表中的一个属性的值可以从另外一个属性的值中推导出来。
它是一种描述数据库中数据之间相关性的一种方式，可以帮助表中数据之间的关系更加清晰，并有助于数据库系统保持完整性和一致性。
函数依赖主要有两种：强函数依赖（Strong Functional Dependency）和弱函数依赖（Weak Functional Dependency）。
强函数依赖指的是一个属性的值完全可以从另外一个属性的值中推断出来，而弱函数依赖则是指一个属性的值可以从另一个属性的值中推断出来，但是可能会有一些偏差。
函数依赖可以帮助数据库系统管理员更好地维护数据库。
它可以帮助他们发现表中的潜在问题，如属性值不一致、冗余和非法依赖，可以帮助他们更加容易地调整表中的属性，以便更好地管理数据库；强函数依赖也可以帮助他们发现数据库中的不一致，以便及时修复。
此外，函数依赖还可以帮助数据库管理员更好地设计数据库。
它可以帮助他们了解表中属性之间的关系，可以帮助他们更好地构建出合理的数据库，减少表中属性的冗余，并有助于提高数据库的性能。
函数依赖是数据库系统中一个重要的概念，可以帮助数据库管理员更好地设计数据库，更好地维护数据库，并且可以帮助他们发现表中的潜在问题，以便及时修复。
因此，函数依赖对于数据库系统的运行和管理都有着重要的意义。
函数依赖(理论及举例)
函数依赖（理论及举例）教你如何理解函数依赖一、函数依赖的概念函数依赖：函数依赖就是讨论一个数据表（关系）中属性值之间所存在的函数关系。
函数是一种数学中的概念，被引入到数据库中对数据的联系进行分析。
在一个关系中，属性相当于数学上的变量，属性的域相当于变量的取值范围，属性在一个元组上的取值相当于属性变量的当前值。
例如：在下面的这个职工关系中，职工号、姓名、性别、年龄、职务等属性都相当于变量；职工号属性的域，即四位十进制数字，就是取值范围，性别属性的域：{男、女}，就是性别属性的取值范围。
此关系中包含有6个元组，如第2个元组为{3051、刘平、男、48、副处}，其中的每个属性值都是对应属性在该元组上的当前值。
单值函数和多值函数：元组中一个属性或一些属性值对另一个属性值的影响相当于自变量值对函数值的影响。
当给定一个自变量值能求出唯一的一个函数值时，称此为单值函数或单映射函数，否则为多值函数。
在单值函数中由自变量的一个值确定函数的一个值，但不同的自变量值允许具有相同的函数值。
如f(x)=2x, f(n)=(-1)^n, f(x)=x^3+1等都是单值函数，由自变量x或n的值能够唯一确定f(x)或f(n)的值。
属性的单值函数决定（依赖）：在一个关系中，若一个或一组属性的值对另一个或一组属性值起到决定性的作用，则称为单值函数决定（依赖）。
如上表中职工号的值就能够函数决定其余每个属性的值，也就是说，当职工号给定后，其他每个属性的值就跟着唯一地确定了。
如假定职工号为3074，则他的姓名必定是王海，性别必定为男，年龄必定为32岁，职务必定为正科。
这就叫做职工号能够分别单值函数决定姓名、性别和年龄属性，反过来，可以说姓名、性别和年龄等属性单值函数依赖于职工号属性。
二、函数依赖的定义定义：设一个关系为R(U)，X和Y为属性集U上的子集，若对于X上的每个值都有Y上的一个唯一值与之对应，则称X和Y具有函数依赖关系，并称X 函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记作X→Y，称X为决定因素。
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定义：若R（U，F）的属性（组）X（X属于U）是 另一个关系S的主码，则称X为R的外码。
关系模式中的码 2．外码
关系规范化 范式
关系数据库中的关系要满足一定的要求，满足 不同程度要求的为不同的范式。满足最低要求的为 第一范式，简称1NF（First Normal Form）。在第 一范式中进一步满足一些要求的为第二范式，简称 2NF，依此类推，还有3NF，BCNF，4NF，5NF。
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函数依赖
为什么要讨论函数依赖
设有描述学生修课及住宿情况的关系模式：
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主码：关系R (U, F)中可能有多个候选码，则选其中一 个作为主码 全码：候选码为整个属性组。 主属性与非主属性：
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在R (U, F)中，包含在任一候选码中的属性称 为主属性，不包含在任一候选码中的属性称为非主 属性。
• 5.1.3为什么要讨论函数依赖 • 5.1.1函数依赖基本概念 • 5.1.2一些术语和符号
5.1 函数依赖
5.1 函数依赖
函数依赖基本概念
函数对我们来说已经是非常熟悉的概念，例如公 式： Y=f(X) 。但是大家熟悉的是X和Y之间数量上的 对应关系，也即给定一个X值，都会有一个Y值和它对 应，也可以说X函数决定Y，或Y函数依赖于X。在关系 数据库中讨论函数或函数依赖注重的是语义上的关系， 比如： 省=f(城市) 如果“城市”是自变量X，“省”是因变量或函数值Y。 并且把X函数决定Y，或Y函数依赖于X表示为： X→ Y
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关系规范化
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关系规范化 范式
看一下分解完之后是否还存在问题，先讨论对S-L 表。 首先，在这个关系模式中，描述多少个学生就会 重复描述每个系和其所在的宿舍楼多少边，因此还 存在数据冗余。其次，当新组建一个系时，如果此 系还没有招收学生，但已分配了宿舍楼，则无法将 此系的信息插入到数据库中，因为这时的学号为空。 这是插入异常。 由此我们看到第二范式的表同样还可能存在操作 异常情况，因此我们需要对此关系模式进行进一步 的分解。
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函数依赖
定义4.1 设有关系模式R(A1,A2,…,An)，X和Y均为 {A1,A2,…,An}的子集，r是R的任一具体关系，t1、 t2是r中的任意两个元组；如果由t1[X]=t2[X]可以 推导出t1[Y]=t2[Y]，则称X函数决定Y，或Y函数依 赖于X，记为X→Y。 只要t1[X]=t2[X] t1[y]=t2[y]成立, X→Y 也就是说当t1[X]=t2[X]为真 t1[y]=t2[y]为假 为真, 为假时, 为真 为假 函数依赖不成立 而当t1[X]=t2[X]为假 为假时,不管t1[y]=t2[y]为真为假 为真为假, 为假 为真为假 都有X→Y成立
第 5 章 关系数据库规范化理论
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• 5.1 函数依赖 • 5.2 关系规范化
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关系规范化 范式
3．第三范式 定义：如果R(U,F) ∈2NF，并且所有非主属性 都不传递依赖于主码，则R(U,F) ∈3NF。 关系模式S-L（Sno,Sdept,Sloc）， 因为有： Sno→Sdept，Sdept→Sloc 因此有： Sno传递→Sloc 因此，不是3NF的关系模式。
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电子与通讯系 4
电子与通讯系 4
关系规范化范式
2．第二范式
定义：如果R(U,F) ∈1NF，并且R中的每个非主属 性都完全 完全函数依赖于主码，则R(U,F) ∈2NF。 完全 例：S-L-C（Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade）就不是 2NF的。 因为（Sno,Cno）是主码， 而又有：Sno→Sdept, 因此有： Sno，Cno）p→Sdept
80 85 90 84 78
上述关系模式存在问题
数据冗余问题—宿舍楼 数据更新问题—转系 数据插入问题—没选课的学生不能插入 数据删除问题—删除选课会删除学生基
本信息
函数依赖
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关系规范化 范式
这个关系存在操作异常。 分解过程为： 首先，对于组成主码的属性集合的每一个子集， 用它作为主码构成一个表。 对于每个表，将依赖于此主码的属性放置到此 表中。
S-L-C（Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade）
假设每个系的学生都住在一栋楼里
Sno
9812101 9812101 9821101 9821101 9821102
Sdept
计算机 计算机 信息 信息 信息
SLOC
2公寓 2公寓 1公寓 1公寓 1公寓
Cno
DB OS C DS OS
Grade
关系规范化
关系模式中的码
例1：SC（Sno，Cno，Grade） 其候选码为：（Sno，Cno），也为主码 则主属性为： Sno，Cno ，Grade为非主属性。 例2：R（P，W，A） 其中各属性含义分别为： 演奏者，作品和听众。 其语义为：一个演奏者可演奏多个作品，某一作品 可被多个演奏者演奏；听众也可欣赏不同演奏者个 不同作品。 其候选码为：（P，W，A），因为只有这三者才能 确定一场音乐会。我们称全部属性均为主码的表为 全码表。
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函数依赖
例
例1：有关系模式： SC（Sno,Sname,Cno,Credit,Grade） 其中各属性分别为：学号、姓名、课程号、学分、 成绩，主码为（Sno, Cno）。 函数依赖关系有： Sno→Sname 姓名函数依赖于学号 （Sno, Cno）p→Sname 姓名部分函数依赖于学号和课程号 （Sno, Cno）f→Grade 成绩完全函数依赖于学号和课程号
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关系规范化
范式
分解过程为 （1）对于不是候选码的每个决定因子，从表中删 去依赖于 它的所有属性； S-L（Sno,Sdept,Sloc） S-D（Sno,Sdept） （2）新建一个表，新表中包含在原表中所有依赖 于该决定 因子的属性； S-D（Sdept,Sloc） （3）将决定因子作为新表的主码。 S-L（Sdept,Sloc）
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关系规范化
S-L-C关系模式分解后的形式为： S-L（Sno,Sdept,Sloc）和S-C（Sno, Cno,Grade） S-L有：Snof→Sdept，Snof→SLOC：是2NF f f S-C有:（Sno, Cno）f→Grade：是2NF f
5.2 关系规范化
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• 5.2.1 关系模式中的码 • 5.2.2 范式
5.2 关系规范化
关系模式中的码 1．候选码
设K为R (U, F)中的属性或属性组，若K f→U，则K 为R候选码。（K为决定R全部属性值的最小属性组）
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